UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte II Notas de aula - Marlene

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1 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II Nots de ul - Mrlene Sumário II Números reis - operções e ordenção 7 2 Operções, ioms e proprieddes dos reis 7 2. As operções Som e Produto e os Aioms Algérios Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Trnsitividde d iguldde Proprieddes lgéris Proprieddes lgéris ásis Outrs proprieddes lgéris importntes Leis de nelmento Lei do nulmento do produto Iguldde de frções Produtos notáveis Implições e equivlênis em epressões e em equções O que é um epressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? O que são epressões equivlentes? O que são equções equivlentes? Simplifir epressões é o mesmo que simplifir equções? Aioms e proprieddes de ordem Aioms de ordem Proprieddes de ordem Podemos tror < por e > por? Representção geométri dos reis A ret numéri ou ret orientd Intervlos Análise de sinl de epressões Implições e equivlênis em inequções O que é um desiguldde? O que é um inequção? O que é um solução de inequção? Como representr s soluções de um inequção? Podemos simplifir inequções etmente d mesm form que simplifimos equções? 35

2 7 Prte II Números reis - operções e ordenção Introdução Um dos ojetivos do nosso estudo dos reis é onsolidr o onheimento dquirido té qui sore os reis, om um visão mis profundd, fzendo uso do que prendemos em noções de lógi. A plição nturl ds proprieddes dos reis é n resolução de equções e inequções, que surgem nos prolems de diverss áres de onheimento. Ns simplifições ds equções e inequções são usds fortemente s proprieddes dos reis. Infelizmente, é muito omum o luno plir s proprieddes de form equivod, or porque são plids sem os devidos uiddos de verifir s hipóteses em que é possível plir, or porque no fã de simplifir, surgem proprieddes que não eistem. Esper-se que o finl do estudo o luno sej pz de identifir orretmente quis proprieddes podem ser usds em simplifições de equções e inequções. Como ess disiplin é ofereid pens pr os lunos do urso de Físi, não há preoupção em provr tods s proprieddes, ms so o luno tenh uriosidde de ver tods els, pode onsultr s nots de ul d disiplin Mtemáti Bási, ofereid pr os lunos do urso de Mtemáti. Historimente os onjuntos numérios, que são os nturis, os inteiros, os rionis, os irrionis, os reis e os ompleos surgirm n mesm ordem em que são estuddos ns esols de Ensino Básio, Fundmentl e Médio. A neessidde de estudo de um novo tipo de onjunto numério sempre esteve de lgum form vinuld à neessidde de mplir s proprieddes dos números pr que pudessem resolver novos prolems. Ess é ordem nturl de estudo e já foi vist por todos os lunos que entrm n Universidde. Agor vmos onstruir iomtimente os números reis, isto é, os números reis serão definidos omo os números que stisfzem um determindo número de ioms ou postuldos, eitos sem demonstrção. Os outros onjuntos são suonjuntos dos reis e lguns ioms dos reis não se plim nos suonjuntos, destremos quis não se plim. Muits vezes os ioms tmém são hmdos de proprieddes ou proprieddes ásis. É muito importnte que tenhmos em mente esses ioms, são eles que nos permitem enontrr novs definições e proprieddes. 2 Operções, ioms e proprieddes dos reis 2. As operções Som e Produto e os Aioms Algérios Sej R um onjunto, hmdo onjunto dos números reis ou onjunto dos reis. Som e Produto são operções plids sore quisquer dois elementos, R. Úni notção usul d som de e : + (lei-se mis ) Notções usuis do produto de por :, e. (lei-se vezes ) Pr,, R dmitem-se verddeiros os ioms lgérios desritos seguir. Aioms d Som Aioms do Produto Lei do fehmento AS : + R AP : R Lei ssoitiv AS2 : ( + ) + = + ( + ) AP 2 : ( ) = ( ) Lei omuttiv AS3 : + = + AP 3 : = Lei do elemento neutro AS4 : 0 R; + 0 = AP 4 : R, 0; = Lei do elemento simétrio AS5 :, R; + ( ) = 0 (diz se : é o simétrio de ) Lei do elemento inverso AP 5 : 0, R; = (diz se : é o inverso de ) Aiom d Som e Produto Lei distriutiv ASP : ( + ) = +

3 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Oservções: Form truiuíds letrs (AS, AS2, AP5, et) pens pr filitr, qundo for preiso itr referênis os ioms. Qulquer outr propriedde lgéri dos reis pode ser deduzid ou provd prtir desses ioms. Listremos lgums importntes, lgums são triviis de demonstrr, outrs não. Os números reis, que são os elementos do onjunto dos reis, stisfzem esses ioms, ms pens esses ioms não rterizm os números reis, isto é, não são pens os números reis que stisfzem esses ioms. Os números rionis e os números ompleos tmém stisfzem esses ioms. Os números nturis surgirm historimente om o ojetivo de ontr ojetos, onde poderi juntr ojetos e ontr, isto é, somr, poderi juntr por grupos, isto é, multiplir. Isto é, nos números nturis, poderim definir s operções som e multiplição. A lei de formção dos nturis omeçou om o número, depois, somndo o, otém o 2, somndo o 2, otém o 3, depois foi esteleido que todo número nturl pode ser otido omo som de um outro número nturl om o número, isto é, todo número nturl tem um suessor, logo 8 é o suessor de 7, 00 é o suessor de 000, ssim por dinte. E ssim, o onjunto dos nturis é {, 2, 3, 4, 5, }, omo já semos é denotdo por N. No onjunto N dos nturis não eiste o elemento neutro d som, nem o elemento simétrio, ms eiste o elemento neutro do produto, o únio elemento que possui elemento inverso é o próprio elemento neutro. O onjunto Z dos números inteiros é formdo pelos números nturis, pelo zero e pelos simétrios dos nturis. Isto é, Z = {0,,, 2, 2, 3, 3, }. No onjunto Z dos inteiros, os únios números que possuem elemento inverso são o e o. Agor vmos ver que sutrção, divisão e s potênis nturis podem ser definids usndo os ioms lgérios. Outr notção pr o elemento inverso de é, isto é, =. 2.2 Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Definição (Sutrção) Sejm, R. A sutrção de é denotd por e definid omo som de om o simério de. Em símolos, := + ( ). (lei-se menos ) Definição (Divisão) Sejm, R e 0. A divisão de por é denotd por e definid omo o produto de pelo inverso de. Em símolos, :=. (lei-se dividido por ) Outrs notções: = = / Oservção sore divisão por 0: omo 0 não possui inverso, divisão por zero não é definid. Oservção sore os símolos := e =, onheidos omo por definição. Esses dois símolos têm etmente o mesmo signifido: epressão do ldo esquerdo do símolo é nov, está sendo definid pel epressão do ldo direito, que us lgo onheido previmente. O símolo = é mis usdo em tetos mtemátios, o símolo := tmém é usdo em tetos mtemátios mis reentes, é o mesmo símolo usdo em progrms omputionis. Definição (Potêni nturl) Sejm, R e n N. A potêni de elevd à n é denotd por n e n :=. }{{} n vezes

4 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Trnsitividde d iguldde Um firmção de ráter mis gerl é usd ns demonstrções ds proprieddes: Trnsitividde d iguldde: = e = = =. 2.4 Proprieddes lgéris 2.4. Proprieddes lgéris ásis Assim denominds porque são stnte usds, junto om os ioms e s definições, pr demonstrr outrs proprieddes tmém importntes. Ns provs desss proprieddes são usdos pens os ioms, ms isso não signifi de form lgum que é fáil desorir omo provr tods els. Tente provr, provvelmente voê pereerá difiuldde em lgums dels. Propriedde PA A iguldde não se lter qundo som-se ou multipli-se o mesmo número nos dois ldos d iguldde. Sejm,, R. Vlem s seguintes proprieddes: i) = = + = + (preservção d iguldde n som) ii) = = = (preservção d iguldde no produto) Prov: ness prov só é usd lógi e os ioms de fehmento d som e do produto. i) R e R pel lei do fehmento d som, + R, e semos, pel lógi, que + = +. ( ) Por hipótese, =, logo, por lógi, = e + = + = + = +. ( ) Como =, o vlor do ldo direito d iguldde foi sustituído pelo vlor. ii) R e R pel lei do fehmento do produto, R, e semos, pel lógi, que =. ( ) Por hipótese, =, logo, por lógi, = e = = =. ( ) Como =, o vlor do ldo direito d iguldde foi sustituído pelo vlor. Propriedde PA 2 Uniidde do elemento neutro d som Primeir propriedde de uniidde do 0: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento neutro d som. Esrit em símolos: O únio elemento R que stisfz + =, R é o elemento 0. Prov: Suponh, por surdo, que tese é fls, isto é, suponh que eiste outro elemento neutro 0 R; 0 0. Por um ldo, 0 é elemento neutro d som = = 0. Por outro ldo, 0 é elemento neutro d som = = 0. 0 trnsitivvidde d iguldde + 0 = = 0 = 0. Ms, pel lei omuttiv d som, temos que Ms 0 = 0 e 0 0 não podem oorrer simultnemente, portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento neutro 0 R é únio. Segund propriedde d uniidde do 0: + = pr lgum R = = 0. Prov: + = = PA ( + ) + ( ) = + ( ) = AS2 + ( + ( )) = + ( ) = AS3 + (( ) + ) = + ( ) = AS2 ( + ( )) + = + ( ) = AS5 0 + = 0 = AS3 + 0 = 0 = AS4 = 0.

5 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Propriedde PA 3 Uniidde do elemento neutro do produto Primeir propriedde de uniidde do : de elemento neutro do produto. Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni Esrit em símolos: o únio elemento R, 0 que stisfz =, R é o elemento. Prov: Suponh, por surdo, que eiste outro elemento neutro R; 0,. Por um ldo, é elemento neutro do produto = =. Por outro ldo, é elemento neutro do produto = =. Ms, pel lei omuttiv do produto, temos que trnsitivvidde d iguldde = = =. Ms = e não podem oorrer simultnemente. portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento neutro R é únio. ( Segund propriedde d uniidde do : Prov: =, 0 ) = PA e AP5 = ( ) =, pr lgum R, 0 = = = ( AP2 = AP5 = = = AP3 = = AP4 =. Propriedde PA =, R. Propriedde PA 5 =, R. ) = ( ) AP3 = = AP2 = Propriedde PA 6 Uniidde do elemento simétrio Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento simétrio. Propriedde PA 7 Uniidde do elemento inverso Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento inverso. - Oservção sore notção de eistêni e uniidde. O símolo! signifi eiste um únio. Pels proprieddes im, Podemos esrever! 0 R; + 0 =, R e tmém! R; =, R. Ddo R, podemos esrever,! R, e se 0 podemos esrever! Propriedde PA 8 + = 0, R. Propriedde PA 9 =, R e 0. Propriedde PA 0 ( ) =, R (lei-se: é o simétrio de ). ( Propriedde PA =, R e 0 lei-se: é o inverso de ). Propriedde PA 2 ( + ) = +,,, R. Propriedde PA 3 0 = 0 = 0, R. Propriedde PA 4 ( ) = = ( ), R. R.

6 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Outrs proprieddes lgéris importntes As demontrções desss proprieddes são mis simples do que s demonstrções ds proprieddes ásis, vmos provr pens lgums, outrs serão deids omo eeríio. Antes de ver demonstrção de d propriedde, tente provr sozinho. Pr provr d propriedde podemos usr s definições, ioms e proprieddes disponíveis, por esse motivo mneir de provr não é úni. Qunto mis proprieddes fim disponiveis, mior é o número de mneits diferentes de provr. Qundo preer o símolo :=, signifi que usmos lgum definição. Propriedde PA 5 ( ) = ( ) = ( ),, R. Prov d primeir iguldde: ( ) PA4 = ( ) ( ) ssoitiv = (( ) ()) PA4 = ( ) Prov d segund iguldde: ( ) PA4 = ( ) ( ) omuttiv = ( ) ( ) ssoitiv = ( ( )) PA4 = ( ) Propriedde PA 6 ( ) ( ) =,, R. Prov: ( ) ( ) PA5 = ( ( )) PA5 = = ( ( )) PA0 = Propriedde PA 7 = =,,, R, 0 ( ssoitiv Prov d primeir iguldde: := ( ) = ( ssoitiv Prov d segund iguldde: := ( ) = ssoitiv = ( ) := Propriedde PA 8 = =, R, 0 elemento neutro PA7 Prov d primeir iguldde: = = Prov d segund iguldde: Por outro ldo, ( ) Logo ) := ) omuttiv = PA4 = pel lei do elemento inverso, ( ) ( ) PA6 elemento neutro = () =. e são os inversos de. Como o inverso é únio, = = Propriedde PA 9,, R, 0, 0. ( ) Prov: Primeiro vmos verifir ( ) =. ( ) ( ) ( ) ( ) AP3 = AP2 = ( ) Assim, provmos que é o elemento inverso de ( ). Como o elemento inverso de ( ) é únio e é igul ( ) é o elemento inverso de. AP5 = () AP4 = ( ), temos que = AP5 =. Propriedde PA 20 Prov: AP2 = ( d = d := ( ) ) ( ) d := d d PA9 = ( ) d,,,, d R, 0, d 0. ( ) ( AP2 = d ) d ( AP3 = ) d

7 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Propriedde PA 2 Prov: eeríio. + = +,,, R, 0. Atenção: omo est propriedde é muito útil em simplifições, lguns pensm que st tror os numerdores om os denomindores e propriedde ontinu vlendo. Isso não é verdde. Eeríio: dê um ontr-eemplo pr mostrr que iguldde + = + é fls. Propriedde PA 22 ( + ) =,, R. Prov: eeríio. Propriedde PA 23 Prov: eeríio. Propriedde PA 24 Prov: eeríio. Propriedde PA 25 Prov: eeríio. + d Leis de nelmento = = =,,, R, 0.,, R,, 0. d,,,, d R,,, d 0. Propriedde PA 26 Sejm,, R. Leis de nelmento d som e do produto (implições) Vlem s seguintes proprieddes: i) + = + = = (é reípro d preservção n som) ii) = e 0 = = (não é reípro d preservção no produto) Prov: i) + = + = PA + + ( ) = + + ( ) = AS5 + 0 = + 0 AS4 ii) = e 0 PA = = = = AP5 = = = AP4 = Oservção. Ess propriedde é onheid omo ort ort, ms é preiso tomr todo o uiddo no produto, só pode ortr se tem ertez que o termo ortdo é não nulo e outr iguldde é verddeir. Vej esse eemplo: 4 = 3, plindo o ort ort, 4 = 3, onluímos que 4 = 3. Ué? o que houve? Respost: iguldde 4 = 3 é verddeir pens qundo = 0, isto é, hipótese d lei do nelmento (4 = 3 e 0) é fls, não podemos plir propriedde. Lemre sempre Só podemos plir um propriedde qundo forem verddeirs s hipóteses d propriedde. Propriedde PA 27 Lei de nelmento d som (equivlêni) Sejm,, R. Vle seguinte propriedde: = + = +. Prov: (relei s proprieddes PA i) e PA26 i) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA i).

8 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene ( =) Já está provd, é propriedde PA26 i). Oservção: no nelmento do produto vmos preisr resentr 0 n hipótese pr que sej verddeir equivlêni. Isto é, sejm,, R, seguinte firmção, É FALSA PORQUE ( =) É FALSA. = = É FALSA, Contr-eemplo: = 0, = 2, = 0,,, R, hipótese 0 0 = 2 0 é verddeir e tese 0 = 2 é fls. Propriedde PA 28 Lei de nelmento do produto (equivlêni) Sejm,, R, 0. Vle seguinte propriedde: = =. Prov: (relei s proprieddes PA ii) e PA26 ii) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA ii). ( =) Já está provd, é propriedde PA26 ii) Lei do nulmento do produto Propriedde PA 29 Lei do nulmento do produto Pr, R vle seguinte equivlêni: = 0 = 0 ou = 0 Prov: ( =) Por hipótese, = 0 ou = 0. Anlisndo d um dos dois sos, so = 0 = = 0 = 0 ou so = 0 = = 0 = 0 (= ) Pel lógi, ddo R, = 0 ou 0. Por hipótese, = 0. Assim, temos = 0 = = 0 e ( = 0 ou 0) = ( = 0 e = 0) ou ( = 0 e 0) Anlisndo d um dos dois sos, so ( = 0 e = 0) = = 0 ou so ( = 0 e 0) = = 0 = = 0 = = 0 Propriedde PA 30 Pr, R vle seguinte equivlêni: = = ou = 0 Prov: é simples entender que é um onsequêni d lei do nulmento. = + ( ) = + ( ) = 0 ( ) = 0 PA29 = 0 ou = 0 + = 0 + ou = = ou = 0 = ou = Iguldde de frções Propriedde PA 3 Teste d iguldde de frções. Pr,,, d R,, d 0 é verddeir seguinte equivlêni: = d d =. Voê prestou tenção ns hipóteses, d 0? Sem esss hipóteses não vle equivlêni porque s epressões d iguldde do ldo esquerdo não estrim definids se tivessem denomindores nulos. Prov: Eeríio. Sugestão: use propriedde PA28. Propriedde PA 32 Simplifições em soms de frções (redução o mesmo denomindor). Pr,,, d, p, q R,, d, p, q 0, vlem s seguintes igulddes: i) + d = d d + d + = d d

9 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene ii) d = d d d = d d iii) Qundo m=p=dq, + d = p p + q p + q = dq m Provs: Eeríio. Os. Se, d, p, q N, m será um múltiplo omum de e d Produtos notáveis Propriedde PA 33 Prinipis produtos notáveis. Sejm, R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + ) 2 = ii) ( + ) 3 = iii) ( ) 2 = iv) ( ) 3 = v) 2 2 = ( )( + ) vi) 3 3 = ( )( ) vii) = ( + )( ) viii) n n = ( )( n + n n 2 + n ) Prov: eeríio. Provr d i) té viii). Há um produto notável importnte que será estuddo mis dinte, é o produto denomindo Binômio de Newton. O Binômio de Newton estelee um fórmul pr ( + ) n. 2.5 Implições e equivlênis em epressões e em equções Agor temos por ojetivo justifir o uso ds proprieddes lgéris pr simplifir epressões e equções. Primeiro vmos preisr responder às seguintes pergunts: 2.5. O que é um epressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? A plvr epressão em mtemáti é usd qundo onetmos elementos de um onjunto por operções entre esses elementos. Eemplos de epressões são: () 2 (4 π); () ; () 4 + log 0 3; (d) ; R (e) m + log 0 n; m, n Q. No eemplo () podemos vlir epresssão, o resultdo é um número rel em definido. No eemplo () podemos vlir epressão, o logrítmo de um número n se 0 pode ser vlido em qulquer número positivo, o resultdo será um número rel. Já no eemplo () não é possível vlir epressão porque pr vlir epressão o denomindor tem que ser não nulo, isto é o resultdo d epressão não está definido. Qundo são olods letrs n epressão, s letrs são hmds de vriáveis ou onstntes e sempre é preiso fir lro em que onjunto universo podemos esolher elementos pr sustituir no lugr d(s) letr(s) pr vlir epressão, ou sej enontrr um resultdo em onheido pr epressão. A letr é hmd de vriável qundo podemos esolher mis que um elemento do onjunto universo pr sustituir no lugr d letr e é hmd onstnte qundo podemos triuir pens um elemento. Um epressão lgéri n vriável U, que podemos denotr por E() ou por qulquer letr no lugr de E, é um epressão em que preem um ou mis ds seguintes operções lgéris: som, produto, sutrção, divisão, potenição ou rdiição entre vlores de um onjunto e vriável. Eemplos de epressões lgéris em R: E() = ; F () =

10 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Denominmos domínio de definição d epressão ou simplesmente domínio d epressão, o mior suonjunto do onjunto universo U em que epressão está em definid, ou sej, em que é possível vlir epressão. Num epressão E() podem preer váris epressões, neste so o domínio d epressão E() é interseção dos domínios de d epressão ontid em E(). Chmmos de restrições de E() s ondições que devem ser stifeits pr que s epressões que preem em E() sejm em definids. No eemplo E() im, s restrições sâo: 2 0 e 2 0. Pr enontrr os vlores possíveis de, preismos plir proprieddes lgéris e resolver equções, flremos sore isso n próim seção. No eemplo F () im, s restrições sâo: 0 e 0. Aind não fizemos revisão d operção lgéri rdiição, será feit mis dinte. Pr enontrr os vlores possíveis de, teremos que plir proprieddes de ordem e resolver inequções, que serão vists ns próims seções. Eistem epressões em que não são epressões lgéris. Eemplo de epressões não lgéris em : E() = 2 sen () + 4 os(2); E() = 3 log 0 (2) + 3 log 2 (3). As epressões trigonométris e logrítmis serão revisds om detlhes em Mtemáti Bási I. Um equção em é um iguldde entre dus epressões distints E() e F () definids em U, ou sej E() = F (), U. O domínio d equção é interseção dos domínios de E() e F (). Ddo um vlor fio ou onstnte diz-se que = é um solução d equção E() = F (), ou simplesmente é um solução d equção E() = F () se sustituirmos pelo vlor fio em E() e em F (), os resultdos forem iguis. Eemplo: n equção = 2 + 6, R, temos que E() = e F () = Pr = vlimos: E( ) = 4( ) 3 0( ) = 4( ) + 0 = = 6 e F ( ) = 2 + 6( ) = 2 6 = 6. Resultdos iguis impli que = é solução d equção. Pr = vlimos: E() = 4() 3 0() = 4 0 = 6 e F () = 2 + 6() = = 8. Como os resultdos são diferentes, = não é solução d equção O que são epressões equivlentes? Diz-se que dus epressões são iguis ou equivlentes em A qundo pr todo A, se sutituirmos o vlor ns dus epressões, os resultdos otidos ns dus epressões são iguis. Qundo trnsformmos um epressão E() em outr epresssão trvés d plição suessiv de proprieddes lgéris sore os termos onstntes e sore o termo vriável d epressão E(), otemos um nov epressão F () n vríável. Alguns sos de plição de proprieddes ds operções lgéris em que otemos epressões equivlentes: Se somrmos e sutrirmos um mesm epressão G() qulquer epressão H() que fç prte d epressão originl E() então será otid um nov epressão igul ou equivlente à originl. Justifitiv Sendo H() um epressão que fz prte d epressão originl E(). Somndo e sutrindo um epressão G() H(), otemos H() + G() G() = H() + 0 = H().

11 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Assim não ltermos epressão H(), onsequentemente não ltermos epressão E(). Eemplo E() = e vmos somr e sutrir 4 E(). F () = E() = = = = 4( ) 5 = 4( + ) 2 5. Assim, s epressões E() = e F () = 4( + ) 2 5 são iguis ou equivlentes. Eemplo 2 E() = 2 F () = 2 + e vmos somr e sutrir 2. = 2 + Assim, s epressões E() = 2 Eemplo 3 E() = F () = = Assim, s epressões E() = = e F () = = =. são iguis ou equivlentes. e vmos somr e sutrir 2 +. = e F () = = são iguis ou equivlentes. Se multiplirmos e dividirmos um mesm epressão G() não nul em A por qulquer epressão H() que fç prte d epressão originl E() então será otid um nov epressão igul ou equivlente à epressão originl em A. Justifitiv Se H() é um epressão que fz prte d epressão originl E(). Multiplindo e dividindo H() por um epressão G(), onde é tl que G() 0, otemos: H() G() G() = H() = H(), onde é tl que G() 0 Assim não ltermos epressão H(), onsequentemente não ltermos epressão E() que G() 0. pr tl Eemplo E() = +, vmos multiplir e dividir por ( ), pr. ( ) F () = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) = ) 2 2 ( ) ( ) = pr. ( ) Assim, s epressões E() = + e F () = são iguis ou equivlentes pr. Vle pen oservr que lgums operções lgéris plids sore um epressão, não onduzem um nov epressão igul ou equivlente à epressão originl, isto é, onduzem um nov epressão que não é equivlente à epressão originl. Somr mesm epressão o numerdor e o denomindor de um epressão não onduz um epressão equivlente. + Eeríio : Verifique que + +, 0. + Eeríio 2: Sejm P (), Q(), H() epressões em tis que H() 0 e Q() + H() 0. Prove que P () P () + H() = P () = Q(). Q() Q() + H() Elevr um epressão o qudrdo não onduz um epressão equivlente. Eeríio: Verifique que e ( ) 2 não são equivlentes.

12 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene O que são equções equivlentes? Considere dus equções em A, F () = G() e K() = L(). Esss equções são dits equivlentes em A qundo A é solução de F () = G() A é solução de L() = K(). Isto signifi que: A é solução de F () = G() = A é solução de L() = K() e A é solução de L() = K() = A é solução de F () = G() Simplifir epressões é o mesmo que simplifir equções? A respost é não. Simplifir um epressão E(), A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore epressão E(), A pr oter um nov epressão F (), A igul ou equivlente à epressão originl E(), A. Simplifir um equção E() = F (), A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore s epressôes E() e F (), A pr oter um nov equção K() = L(), A. Oservções importntes sore simplifição de equção: As epressões K() e L() otids d simplifição d equção E() = F () não são equivlentes às respetivs epressões E() e F (). Eemplo F () = 4 2 e G() = 8 4 n equção originl 4 2 = 8 4. Podemos plir proprieddes de nelmento d som = + = + e d multiplição pr 0, temos = =. E tmém propriedde 2 = 0 = 0 (não foi dd, prove). Aplindo s proprieddes pr simplifir, 4 2 = 8 4 +( 8+4) ( 8 + 4) = ( 8 + 4) = 0 4( ) = (2 2 + ) = = 0 ( ) 2 = 0 = 0 =. Assim n simplifição otivemos omo últim equção =, isto é, temos K() = e L() =. F () = 4 2 e K() = não são equivlentes. G() = 8 4 e L() = não são equivlentes. Porque s soluções d últim equção simplifid são s únis ndidts soluções d primeir equção? Isso é um questão de lógi. Ao resolver equções, ns simplifições estremos usndo proprieddes. É muito omum esrevermos um equção emio d outr, sem epliitr se propriedde usd n simplifição é um propriedde de equivlêni ou se é um propriedde só de implição, isto é, não vle reípro d simplifição. Vej, tnto ns proprieddes de equivlêni qunto ns proprieddes de implição usds ns simplifições, temos: A é solução d equção E() = F () = A é solução d equção K() = L(). Semos que p = q é o mesmo que q = p. Aplindo ess propriedde de lógi, temos que: A não é solução d equção K() = L() = A não é solução d equção F () = G(). Isto é, pr ser solução d equção originl F () = G() é neessário ser solução d equção simplifid K() = L().

13 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Qundo podemos firmr que tods s soluções d últim equção simplifid são etmente s soluções d equção originl? Respost: qundo tods s proprieddes usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que s soluções d últim equção são tods s soluções d primeir equção. Eemplo No eemplo nterior, tods s simplifições form de equivlêni. Logo, omo úni solução d últim equção é = então úni solução d equção originl 4 2 = 8 4 será =. Qundo é preiso testr se s soluções d últim equção simplifid são etmente s soluções d primeir equção? Respost: Qundo ns simplifições foi usd pelo menos um propriedde em que só vle implição, isto é, não vle reípro d propriedde usd. Eemplo: Queremos resolver equção = 6. Pr resolver, vmos usr propriedde = = 2 = 2. Eeríio: prove que reípro é fls, isto é, 2 = 2 =. = 6 = ( ) 2 = (6 ) 2 = = = 0 = 3 ± = 3 ± 5 = 9 ou = Testndo s soluções n equção originl, Pr = 4, temos 4 = 2 e 6 4 = 2. Logo equção = 6 é verddeir pr = 4. Pr = 9, temos 9 = 3 e 6 9 = 3. Logo equção = 6 é fls pr = 9. Assim, úni solução é = 4. Lemre sempre Pr resolver equções é preiso ser em s proprieddes lgéris. 2.6 Aioms e proprieddes de ordem 2.6. Aioms de ordem Os seguintes ioms (ou proprieddes) são eitos, sem demonstrção. Aiom d ordem. Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) é positivo (ii) = 0 (iii) é positivo Conheido omo propriedde de triotomi d ordem. Qundo é positivo, diz-se que é negtivo. Aiom d ordem 2. Ddos, R vle s firmção: é positivo e é positivo = + é positivo e é positivo. Conheido omo propriedde de fehmento d ordem, n som e no produto. Consequêni imedit dos ioms: é positivo e é negtivo. Prov: semos que 0 porque 0 é o únio elemento neutro d som e é o únio elemento neutro do produto, logo pelo iom, temos dois sos eludentes: so (i) é positivo.

14 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene so (iii) é positivo. Neste so, pelo iom 2, onluímos que ( )( ) é positivo. (*) Por outro ldo, por proprieddes lgéris, semos que ( )( ) = ()() = (**). Por (*) e (**), onluímos que o número é positivo. Ess onlusão ontrdiz o iom, pois não é possivel s dus firmções serem verddeirs simultnemente: é positivo e é positivo. Logo, não é possível supor positivo. Só restou o so (i) é positivo. Ness prov vimos que não é positivo. Como semos que 0, só rest possiilidde ( ) é positivo, isto é, é negtivo. Definição. Ordenção dos números reis. Ddos quisquer, R, Diz-se que é mior do que se é positivo e denot-se por >. Diz-se que é menor do que se é positivo e denot-se por <. Consequêni d definição: so prtiulr, R e = 0: Diz-se que é mior do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é positivo e denot-se por > 0. Diz-se que é menor do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é negtivo e denot-se por < Proprieddes de ordem A prtir dos ioms d ordem, prov-se outrs proprieddes de ordem. Aqui estão listds lgums dels. Outrs, que não estão listds, podem ser demonstrds prtir dos ioms e ds proprieddes listds qui. Só veremos demonstrções de lgums dels, s outrs o luno urioso pode ver no teto Nots de ul d disiplin Mtemáti Bsi ofereid pr os lunos do Curso de Mtemáti. Propriedde PO Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) > 0 (ii) = 0 (iii) < 0 Tmém é onheid por triotomi d ordem. Propriedde PO 2 Ddos,, R, vle implição: < = + < +. Conheid omo propriedde de monotoniidde d dição ou lei de preservção d ordem n dição. menor do que Prov: < = > 0 = + 0 > 0 = + + ( ) > 0 = + > 0 = + ( + ) > 0 = + > + = + < +. Propriedde PO 3 Ddos,, R e > 0, vle implição: < = <. Conheid omo propriedde de monotoniidde do produto ou lei de preservção d ordem no produto. Prov: < e > 0 = > e > 0 = > 0 e > 0 iom 2 = ( ) > 0 > 0 = > = <. Propriedde PO 4 Ddos,, R e < 0, vle implição: < = >. Conheid omo lei de inversão d ordem no produto. menor do que Prov: < e < 0 = > 0 e 0 > 0 = > 0 e > 0 iom = 2 ( ) ( ) > 0 mior do que ( ) ( ) > 0 = + > 0 = > 0 = >. Propriedde PO 5 Ddos,, R, vle implição: < e < = <. Conheid omo propriedde trnsitiv d ordem. Prov: < e < = > 0 e > 0 iom 2 = + > 0 = + > > 0 = > 0 = > = <.

15 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 6 (outr triotomi). Ddos, R, um e só um ds possiiliddes é verddeir: (i) < (ii) = (iii) > Prov: Ddos, R, podemos lulr. Aplindo propriedde PO (segund triotomi) em, temos 3 sos distintos: (i) < 0 (ii) = 0 (iii) > 0 Ms, plindo s definições de mior do que e menor do que, d um deles, temos respetivmente: (i) < (ii) = (iii) > Propriedde PO 7 Ddos,, R, vle equivlêni: < + < +. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 2. ( =) + < + PO = ( ) < + + ( ) = + 0 < + 0 = <. Propriedde PO 8 Ddo R; 0, vlem s equivlênis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 Propriedde PO 9 Ddos,, R, > 0, vle equivlêni: < <. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 3. ( =) < e > 0 PO = 8 < e > 0 PO = 3 < = < = <. Propriedde PO 0 Ddos,, R, < 0, vle equivlêni: < >. Prov: Eeríio. Propriedde PO Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) < 0 > 0 (ii) > 0 < 0 (iii) < > (iv) > <. Propriedde PO 2 Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) < 0 ( > 0 e < 0) ou ( < 0 e > 0) Provs: Vmos provr (i). Eeríio: provr (ii) (i) ( =) Hipótese: ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) Anlisndo d um dos dois sos, Cso ( > 0 e > 0) iom2 = > 0. Cso 2 PO ( < 0 e < 0) = > 0 e > 0 iom2 = ( )( ) > 0 = > 0. (= ) Hipótese: > 0. Pel triotomi d ordem, semos que = 0 ou < 0 ou > 0. Anlisndo d um deles, Cso = 0 = = 0 = 0. Logo o so = 0 e > 0 é flso. Cso 2 > 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, > 0 e > 0. Cso 3 < 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, < 0 e < 0. PO 3 > 0 e > 0 = > 0 = > 0 = > 0. PO 4 < 0 e > 0 = < 0 = < 0 = < 0. Propriedde PO 3 Ddo R, vle implição: > 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; > 0 temos que 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 2 = e o iom 2.

16 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 4 Ddo R, não vle reípro d propriedde nterior, isto é, 2 > 0 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: presente um ontr-eemplo. Propriedde PO 5 Ddo R, vle implição: < 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; < 0 temos que 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 2 = = ( )( ) = ( ) 2, propriedde PO e o iom 2. Propriedde PO 6 Ddo R, vle equivlêni: 0 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; 0 se e só se 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: pr 0 sepre nos dois sos possíveis e eludentes, > 0 e < 0. Propriedde PO 7 Ddo R, vlem s equivlênis: (i) > 0 3 > 0 (ii) < 0 3 < 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 3 = 2, ioms e proprieddes nteriores Podemos tror < por e > por? A respost é SIM, em todos os ioms e proprieddes podemos tror. Ms é preiso entender o que isso signifi. Lemre que signifi = ou <, são sos eludentes. Qundo esrevemos = d signifi que: = = d = = d ou < d. Isto é, = = = d ou < d (ou elusivo) ou (elusivo) < = d = = d ou < d. Isto é, < = = d ou < d (ou elusivo) Ou ind, = = d ou < d (ou elusivo) Eemplo. Vmos verifir que seguinte firmção é verddeir 2 = 3. Prov: 2 = = 2 ou < 2 = ( = 2 ou < 2) e 2 < 3 = ( = 2 e 2 < 3) ou ( < 2 e 2 < 3) = ( < 3) ou ( < 3) = < 3 = 3. Propriedde PO 8 Vle seguinte implição: R = 2 0. Prov: Eeríio. Sugestão: pr R onsidere os 2 sos possíveis e eludentes = 0 e 0 e use proprieddes nteriores. Preste tenção pr grnde importâni dess propriedde. Como é um implição, podemos firmr: pr todo número rel, o seu qudrdo é positivo ou nulo. Ou dito de outr form, o qudrdo de qulquer número rel é positivo ou nulo. Podemos pensr em um outro onjunto que stisfç tods s proprieddes lgéris presentds té qui, ms que não stisfç ess propriedde, isto é, um onjunto onde o seu qudrdo pode ser um número negtivo. É justmente pensndo nisso que historimente surgirm os números ompleos. Isto é, eistem outros números que não são os reis, ujo qudrdo é um número negtivo. Estudremos os números ompleos no finl desse período. 2.7 Representção geométri dos reis Qundo há um orrespondêni entre os elementos de dois onjuntos A e B, de form que todo elemento de A orresponde um e só um elemento de B e todo elemento de B orresponde um e só um elemento de A, dizse que há um orrespondêni um um entre A e B ou há um orrespondêni iunívo entre A e B. Há um importnte propriedde que diz que todo ponto d ret orresponde um e só um número rel e todo número rel orresponde um e só um ponto d ret, isto é, eiste um orrespondêni um um ou iunívo entre os pontos d ret e os números reis. A prov dess propriedde requer oneitos vistos pens em um urso mis vnçdo de Mtemáti. Os números reis são representdos nos pontos de um semiret espeil desrit n próim seção.

17 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene A ret numéri ou ret orientd Os números reis são mrds sore um semiret denomind ret numéri ou ret orientd d seguinte form: - esolhe-se um ponto pr representr o número 0; - esolhe-se um ponto à direit do ponto que represent o número 0 pr representr o número ; - unidde de medid é distâni entre os pontos que representm os números 0 e ; - se >, o ponto que represent o número está situdo à direit do ponto que represent o número e dist uniddes do ponto que represent o número ; ou, esrito de outr form, o ponto que represent o número está situdo à esquerd do ponto que represent o número e dist uniddes do ponto que represent o número. Oserve que: - se > 0 então o ponto que represent está situdo à direit do ponto que represent o número 0 e dist 0 = uniddes do ponto que represent o número 0; - se < 0 então o ponto que represent está situdo à esquerd do ponto que represent o número 0 e dist 0 = uniddes do ponto que represent o número 0. - omo eiste um orrespondêni um um entre pontos d ret e números reis é usul nos referirmos ponto d ret ou número d ret, ou sej, não será feit distinção entre ponto ou número d ret numéri Intervlos < 0 0 Intervlos são suonjuntos espeiis dos números reis e há um orrepondêni um um om suonjuntos de pontos d ret numéri. A seguir listmos os intervlos om sus orrespondênis em três forms distints, símóli, desrição usndo-se notção de onjunto e símolos de mior ou menor ou igul e represetção geométri. Tmém listmos lssifição de d um deles. Considere, R,, onde e são onstntes. > 0 Símolo Desriç~o Representç~o geométri Clssifiç~o R (, ) { R; < < } [, ] { R; } [, ) { R; < } (, ] { R; < } (, ) { R; > } (, ) { R; < } [, ) { R; } (, ] { R; } (, ) { R} [, ] { R; } = {} erto e limitdo fehdo e limitdo limitdo (nem erto, nem fehdo) limitdo (nem erto, nem fehdo) erto e ilimitdo erto e ilimitdo fehdo e ilimitdo fehdo e ilimitdo erto, fehdo e ilimitdo fehdo e limitdo (degenerdo, reduzido ponto)

18 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Análise de sinl de epressões Anlisr o sinl de um epressão E() signifi:. Enontrr todos os números reis, isto é, todos os vlores de R, tis que é possível lulr E(). Nesse so os possíveis vlores de formm um onjunto, é o domínio d epressão. Dependendo d epressão, esse onjunto é um intervlo ou um união de intervlos disjuntos (intervlos disjuntos são intervlos que não têm nenhum ponto em omum). 2. Enontrr todos os números reis, isto é, todos os vlores de R, tis que E() = 0. Dependendo d epressão, esse onjunto é o onjunto vzio ou um onjunto de pontos isoldos. 3. Enontrr todos os números reis, isto é, todos os vlores de R, tis que E() > 0. Dependendo d epressão, esse onjunto é o onjunto vzio ou um intervlo ou um união de intervlos disjuntos. 4. Enontrr todos os números reis, isto é, todos os vlores de R, tis que E() > 0. Dependendo d epressão, esse onjunto é o onjunto vzio ou um intervlo ou um união de intervlos disjuntos. Visulizção d nálise de sinl Suponh que o resultdo d nálise de sinl de um epressão E(), é o seguinte:. O domínio é o onjunto (, ) [, ], onde < <. 2. E() = 0 pr os seguintes vlores de :, 2,, 3, onde < 2 < e < 3 <. 3. E() > 0 pr pr os vlores de tis que < ou 2 < < ou < < E() > 0 pr pr os vlores de tis que < < 2 ou 3 <. A visulizção d nálise de sinl n ret numéri pode ser feit d seguinte form: Primeiro identifimos o domínio: mrmos n ret numeri os etremos dos intevlos do domínio d epressão, onde os etremos que fzem prte do domínio são mrdos om ol hei e os que não fzem prte do domínio são mrdos om ol vzi. A seguir, mrmos om sigl nd (signifi não definido) os pontos que não fzem prte do domínio. Depois identifimos os sinis: primeiro mrmos os pontos onde epressão se nul esrevendo d ponto e o número 0 logo im desse pontos. Por último esrevemos sinis + nos intervlos onde epressão é positiv e esrevemos sinis nos intervlos onde epressão é negtiv. Se estivermos nlisndo mis de um epressão, vmos preisr de um ret pr d epressão, nesse so, é om esrever epressão o ldo d ret em que está representd nálise de sinl. A seguir está representd nálise de sinl n ret numéri orrespondente o resultdo d nálise de sinl, desrito im. E() nd nd A visulizção d nálise de sinl em tel pode ser feit d seguinte form: N primeir linh estrão representdos os seguintes vlores de, os etremos dos intervlos do domínio e os pontos onde epressão se nul, esrevemos tmém d intervlo entre esses pontos, ver io. N segund linh esrevemos nálise de sinl mrndo nd, 0, + e, n mesm olun dos orrespondentes vlores esritos n primeir linh. < < < < < < < < < < < > E() nd nd nd OBS. Não há omo dizer o que é mis simples, usr ret numéri ou tel pr nlisr o sinl, isso depende de d epressão que estmos nlisndo.

19 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene A seguir vmos ver um eemplo onde vmos usr pens tel, nesse so é mis simples. Eemplo Suponh que queremos nlisr o sinl de E() = A()B() C()D(). Suponh tmém que já onheemos nálise de sinl de d um ds epressões que preem no numerdor e no denomindor de E(). Podemos nlisr o sinl de d epressão e plir propriedde PO2 pr nlisr o sinl do produto ou quoiente de dus epressões. É fáil entender que qundo temos o produto ou quoiente de váris epressões, se for pr o número de epressões negtivs, o resultdo é positivo e se for ímpr o resultdo é negtivo. Como n epressão dd temos o produto ou quoiente om qutro termos, fi menos trlhoso se fizermos nálise de sinl em um úni tel, om nálise de sinl de d epressão em um linh, no finl olomos epressão E() e plimos regr do produto de termos positivos e negtivos. Temos que ter o uiddo de olor os vlores de n primeir linh de form que preçm os etremos dos intervlos do domínio de d epressão e os vlores de onde d epressão se nul, e esses vlores devem estr ordendos. < < < < < < < < < 5 5 > 5 A() B() nd C() 0 D() E() nd nd nd nd 2.8 Implições e equivlênis em inequções D mesm form que oservmos no item 2.4, vmos responder lgums pergunts O que é um desiguldde? O que é um inequção? Ddos dois números, R, semos que = ou. Como signifi que > ou <, nos dois sos, diz-se que há um desiguldde entre e. Considere A R. Um inequção em A é um desiguldde entre dus epressões E() e F () definids em A. Assim, E() < F (), A e E() > F (), A são inequções em A. Oservmos que E() F (), A é n verdde um form de esrever um equção e inequção simultnemente, ms é usul nos referimos pens omo inequção. Idem pr E() F (), A. Eemplo de inequção lgéri: > 4 2, A = { R;, 4}. 4 Eemplo de inequção não lgéri: sen 2 (2 3π) < os 2 (2), A = R O que é um solução de inequção? Um vlor fio é um solução de um inequção em se o triuírmos o vlor fio à vriável, desiguldde d inequção é verddeir. A solução de um inequção é o onjunto de tods s soluções d inequção. A solução de um inequção é um suonjunto dos números reis, que pode ser o próprio onjunto dos reis, um suonjunto próprio e não vzio dos reis ou o onjunto vzio Como representr s soluções de um inequção? A solução pode ser presentd omo um únio intervlo ou omo um união de dois ou mis intervlos disjuntos. Usr s notções de mior, igul ou menor, por eemplo, { R; 3 < 4 ou > 0}. Usr os símolos de intervlos, por eemplo, [ 3, 4) (0, ). Representr n ret numéri, por eemplo, 3 4 0

20 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Podemos simplifir inequções etmente d mesm form que simplifimos equções? A respost é não. Motivo: s proprieddes ds equções e ds inequções nem sempre são s mesms. Eemplo: Resolver equção 2 = + 4 e inequção 2 < + 4. Pr resolver equção, vmos usr propriedde: pr, d 0, = d =. d Assim, pr 0 e 2 0, temos que 2 = = ( 2)( + 4) 2 = = = 2 4 = Solução d equção: = 4 Agor, imginndo que eiste um propriedde nálog pr resolver inequção, vmos sustituir = por < em tudo. Assim, pr 0 e 2 0, temos que Solução d inequção: > 4 2 < < ( 2)( + 4) 2 < < < 2 4 < Agor, vmos testr se solução d inequção está orret em lguns vlores ritrários de. 6 Sustituindo = 6 > 4 nos dois ldos d inequção originl, 6 2 = 3 4 e = = 5 3. De fto, 3 4 < 5 3. Sustituindo = < 4 nos dois ldos d inequção originl, 2 = e + 4 = 5. Vemos, < 5. Ms, = < 4 não fz prte d solução enontrd. Logo, solução d inequção está errd. Isto signifi que foi ometido lgum erro n resolução d inequção. Antes de ler oservção io, tente desorir onde foi ometido o erro. Aqui está o erro. Foi dito, imginndo que eiste um propriedde nálog, ess propriedde não eiste!!!. Contr-eemplos: Em dois eemplos numérios vmos verifir que propriedde, d 0, < d < d é FALSA, isto é, vmos verifir que nesses eemplos epressão do ldo esquerdo d desiguldde é verddeir, ms, no entndo, epressão do ldo direito d mesm desiguldde é fls. Feito isso, onluímos que implição é fls, portnto equivlêni é fls. Primeiro ontr-eemplo: =, =, = 2, d = 3. = = e d = 2 3, omo < 2 3, < é verddeir. d d = 3 = 3 e = ( ) 2 = 2, omo 3 > 2, d < é fls. Segundo ontr-eemplo: = 3, = 6, = 2, d =. = 3 6 = e 2 d = 2 = 2, omo 2 < 2, < é verddeir. d d = 3 ( ) = 3 e = (6) ( 2) = 2, omo 3 > 2, d < é fls.

21 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Nots de ul - Mrlene Voltndo inequção, 2 < + 4, vmos resolvê-l, gor orretmente, isto é, usndo proprieddes lgéris pr simplifir epressões e usndo s proprieddes de implição ou de equivlêni reltivs à ordem dos números reis. 2 < + 4 PO < Usndo proprieddes lgéris pr simplifir d ldo, 2 ( 2)( + 4) ( 2) 2 ( ) ( 2) 2 ( ) ( 2) 8 2 ( 2) < 0 Pr resolver ess inequção podemos nlisr o sinl de d um ds três epressões e depois usr tel de sinis. < 0 < 0 < 0 Anlisndo o sinl de 8 2, o domínio é o onjunto dos reis e 8 2 = 0 2 = 8 = > > > 2 < 4 Anlisndo o sinl de 2, o domínio é o onjunto dos reis e 2 = 0 = 2 2 > > > 2 < < < < < 4 4 > ( 2) + nd nd + 0 Logo solução d inequção é { R; 0 < < 2 ou > 4} = (0, 2) (4, ). Qundo podemos firmr que solução d últim inequção simplifid é etmente solução d inequção originl? Respost: qundo tods s proprieddes lgéris e de ordem usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que solução d últim inequção é solução d primeir. Lemre sempre Pr resolver inequções é preiso ser em s proprieddes lgéris e s proprieddes de ordem.