Integrais duplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 24. Assunto: Integrais Duplas

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1 Assunto: Integris Dupls UNIVESIDADE FEDEAL DO PAÁ CÁLCULO II - POJETO NEWTON AULA 24 Plvrs-hves: integris dupls,soms de iemnn, teorem de Fubini Integris dupls Sej o retângulo do plno rtesino ddo por {(x, y) 2 ; x b, y d} em que, b, e d são números reis tis que < b e < d. Sejm P : x < x < x 2 <... < x n b P 2 : y < y < y 2 <... < y m d e prtições dos intervlos, b] e, d] respetivmente. O onjunto P P P 2, isto é, P {(x i, y j ); i,, 2,..., n, j,, 2,..., m} é hmdo de prtição do retângulo. A prtir de um prtição P obtemos nm retângulos menores ij {(x, y) 2 ; x i < x < x i, y j < y < y j } hmdos de sub-retângulos d prtição P.

2 O retângulo originl então dividido em nm sub-retângulos de P. Consideremos os números x i x i x i, i, 2,..., n e y j y j y j, y, 2,..., n O número máx{ x, x 2,..., x n, y, y 2,..., y m } é hmdo de norm d prtição P. Sej gor outr prtição P P P 2 do retângulo. Se P P dizemos que P é um prtição mis n que P ou que P é um renmento de P. É lro que norm de P é tl que. Um onjunto de mn elementos X {X ij ; i, 2,..., n, j, 2,..., m} é dito dmissível à prtição P se, pr quisquer i, j, temos X ij ij. Podemos entender um onjunto dmissível à prtição P omo sendo um esolh de mn pontos no retângulo de modo que d sub-retângulo d prtição P ontenh lgum de tis pontos. Um subonjunto do 2 é limitdo se está ontido em lgum retângulo do 2. Sejm f : 2 um função em que é um onjunto limitdo, {(x, y) 2 ; x b, y d} um retângulo do 2 que ontém e P {(x i, y j ); i,, 2,..., n, j,, 2,..., m} um prtição do retângulo e X {X ij ; i, 2,..., n, j, 2,..., m} um onjunto dmissível à prtição P. O somtório duplo n m i j f(x ij ) x i y j é hmdo de som de iemnn de f reltiv à prtição P e o onjunto dmissível X. Nesse somtório, onvenionmos que f(x ij ) se X ij. Observemos que se f(x ij ) >, então prel d som de iemnn f(x ij ) x i y j prlelepípedo uj bse é o sub-retângulo ij e ltur é f(x ij ). é o volume do Dizemos que um número L é o limite d som de iemnn de f se, pr todo ɛ >, existe δ >, tl que, pr qulquer prtição P, om seu respetivo onjunto dmissível X, que stisfz < δ, temos 2

3 n m f(x ij ) x i y j L < ɛ i j O número L, qundo existe, é hmdo de integrl dupl de f sobre e é denotd por ou por f(x, y)da. Esrevemos f(x, y)dxdy lim n i j m f(x ij ) x i y j Qundo esse limite existe, dizemos que função f é integrável em. f(x, y)dxdy Sejm f(x, y) um função integrável em, om f(x, y) em e o onjunto A {(x, y, z) 3 ; (x, y) e z f(x, y)} O volume de é ddo por volume de f(x, y)dxdy Qundo f(x, y) é função onstnte e igul, integrl dupl de f nos dá áre de, ou sej, áre de f(x, y)dxdy A integrl dupl stisfz s seguintes proprieddes. Se f e g são funções integráveis em um onjunto e k é um onstnte, então f + g e kf são integráveis e. 2. f(x, y) + g(x, y)]dxdy kf(x, y)dxdy k 3. f(x, y) em 4. f(x, y) g(x, y) em f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy Cálulo d integrl dupl Sej f(x, y) um função integrável no retângulo {(x, y) 2 ; x b, y d} 3

4 Pr d y xdi em, d], onsideremos função ϕ :, b] x f(x, y) Portnto, ϕ(x) f(x, y). Podemos então lulr integrl d função ϕ de té b ϕ(x)dx f(x, y)dx ess integrl depende do y xdo em, d], ou sej, pr d y, temos um vlor pr ess integrl. Temos ssim, um função α :, d] dd por α(y) f(x, y)dx O teorem que presentremos seguir onheido por teorem de Fubini, nos diz que integrl dess função α(y) é igul integrl dupl d função f(x, y) em, ou sej f(x, y)dx α(y)dy ] b f(x, y)dx dy De form nálog, poderímos ter omeçdo xndo um x em, b] e onsiderdo função ψ :, d] y f(x, y) Assim, ψ(y) f(x, y) e podemos então lulr integrl dess função de té d ψ(x)dy f(x, y)dy pr d x xdo em, b], obtemos um vlor pr ess integrl de modo que podemos onsiderr função β :, b] denid por β(x) f(x, y)dy O teorem de Fubini rm que integrl dupl de f(x, y) em, isto é, f(x, y)dx β(x)dx ] d f(x, y)dy dx 4

5 Teorem (Teorem de Fubini) Sej f(x, y) integrável no retângulo {(x, y) 2 ; x b, y d} Se f(x, y)dx existe pr todo y, d] e f(x, y)dy existe pr todo x, b], então d ] b b ] d f(x, y)dxdy f(x, y)dx dy f(x, y)dy dx Exemplo Clule (2x + 4y)dxdy em que {(x, y) 2 ; x 3, y 2} esolução: Temos então que 3 ] (2x + 4y)dxdy (2x + 4y)dy dx esolvendo integrl mis intern obteremos: (2x + 4y)dy 2xy + 4y2 2 2xy + 2y 2 2x (2x ) 4x + 8 2x 2 2x + 6 Portnto, (2x + 4y)dxdy 3 (2x + 6)dx x 2 + 6x x x ] Vmos gor lulr ess mesm integrl invertendo ordem de integrção (2x + 4y)dxdy 3 ] (2x + 4y)dx dy 5

6 esolvendo integrl mis intern obteremos: 3 (2x + 4y)dx 2x yx x 2 + 4xy y ( y) 9 + 2y ( + 4y) 8y + 8 Portnto, (2x + 4y)dxdy (8y + 8)dy 4y 2 + 8y y y ] Exemplo 2 Clule o volume do sólido onstituído por todos os pontos (x, y, z) tis que x 2, y 2 e z x 2 + y 2 esolução: O volume V desse sólido é ddo por V (x 2 + y 2 )dxdy om {(x, y) 2 ; x 2, y 2} Pelo teorem de Fubini, temos: Assim V (x 2 + y 2 )dy x 2 y + y3 3 (x 2 + y 2 )dydx x x

7 Logo V (2x )dx 2x x