1 Integral de Riemann-Sieltjes

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1 Cálulo Avnçdo Referêni: Brtle, R. G. The Elements of Rel Anlysis, Seond Edition, Wiley. 1 Integrl de Riemnn-Sieltjes 1.1 Definição No que segue vmos onsiderr f e g funções reis definids em J = [, b] e limitds. Dizemos que um prtição de [, b] é um oleção P de subintervlos não sobrepostos de [, b] uj união é [, b]. Notção: P (= = x 0, x 1,..., x n = b) tl que x 0 x 1... x n. Dizemos que Q é um refinmento de P (ou é mis fin que P ), se todo subintervlo de Q estiver ontido em P. Isso equivle dizer que todo ponto d prtição P é ponto d prtição Q. Nesse so esrevemos, Q P. Definição 1: Se P é um prtição de J, então um som de Riemnn-Stiletjes de f om respeito g orrespondente P = (x 0, x 1,..., x n ) é um número rel S(P ; f, g) d form om ξ k [x k 1, x k ], k = 1, 2,..., n. S(P ; f, g) = n f(ξ k ){g(x k ) g(x k 1 )} (1) i=1 Definição 2: Dizemos que f é integrável om respeito g em J se existe um número rel I tl que pr todo ɛ > 0, existe um prtição P ɛ de J tl que pr todo refinmento P de P ɛ e qulquer som de Riemnn-Sieltjes orrespondente P, S(P ; f, g), tem-se S(P ; f, g) I < ɛ (2) Nesse so I é univomente determindo e é denotdo por I = f(t)dg(t) O número rel I é hmdo integrl de Riemnn-Stieltjes de f om respeito g sobre J. Chmmos f de integrndo e g de integrdor. Algums vezes dizemos que f é g-integrável em J. Observção: Um tipo mis restritivo de limite exigiri S(P ; f, g) I < ɛ pr qulquer prtição P = (x 0, x 1,..., x n ) tl que P = sup{x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n x n 1 } < δ(ɛ). Este tipo de limite é gerlmente usdo n definição d integrl de Riemnn e lgums vezes n integrl de Riemnn Stieltjes. Porém, muitos utores empregm definição dotd em Brtle, que é devid à S.Pollrd. 1

2 Teorem 1: Critério de Cuhy pr integrbilidde A função f é integrável om respeito g em J se, e somente se, pr d ɛ > 0, existe um prtição Q ɛ de J tl que se P e Q são quisquer refinmentos de P ɛ e S(P ; f, g) e S(Q; f, g) são quisquer soms de Riemnn-Stieltjes orrespondentes P e Q, respetivmente, então S(P ; f, g) S(Q; f, g) < ɛ (3) 1.2 Algums proprieddes d Integrl Teorem 2: () Se f 1 e f 2 são g-integráveis em J e se α, β são números reis quisquer, então αf 1 + βf 2 é g-integrável em J e (αf 1 + βf 2 )dg = α f 1 dg + β f 2 dg (4) (b) Se f é g 1 -integrável em J e g 2 -integrável em J e se α, β são números reis quisquer, então f é (αg 1 + βg 2 )-integrável e fd(αg 1 + βg 2 ) = α fdg 1 + β fdg 2 (5) Teorem 3: () Suponh b e f um função g-integrável em [, ] e em [, b]. Então f é g-integrável em [, b] e fdg + fdg (6) (b) Suponh f g-integrável em J e sej J. Então f é g-integrável em [, ] e em [, b] e vle equção (6). Teorem 4: Integrção por prtes Um função f é g-integrável em J se, e somente se, g é f-integrável em J. Nesse so, fdg + gdf = f(b)g(b) f()g() (7) Observção: Qundo o integrdor g tem derivd ontínu em J, é possível e frequentemente onveniente, substituir integrl de Riemnn-Stieltjes por um integrl de Riemnn. Teorem 5: Se derivd de g, g, existe e é ontínu em J e se f é g-integrável em J, então o produto fg é Riemnn integrável e O teorem 17 fornee um extensão desse resultdo. fg (8) 2

3 1.3 Existêni d Integrl Ness seção vmos onsiderr integrdores que são funções monótons resentes. Apesr dess restrição, muito do que será presentdo pode ser estendido pr funções g que presentm vrição limitd sobre J no sentido de que existe M > 0 tl que se P = (x 0, x 1,..., x n ) é qulquer prtição de J, então n g(x j ) g(x j 1 ) M (9) j=1 Observção: se g é monóton resente, então g tem vrição limitd. Reipromente, pode ser mostrdo que tod função om vrição limitd é diferenç entre dus funções resentes. Teorem 6: Critério de Riemnn pr integrbilidde Sej J = [, b] e g um função monóton resente em J. Um função f : J R é g-integrável em J se, e somente se, pr todo ɛ > 0, existe um prtição P ɛ de J tl que se P = (x 0, x 1,..., x n ) é um refinmento de P ɛ, então n (M j m j ){g(x j ) g(x j 1 )} < ɛ (10) j=1 om M j = sup{f(x) x [x j 1, x j ]} e m j = inf{f(x) x [x j 1, x j ]}, j = 1,..., n. Teorem 7: Teorem d integrbilidde Se f é ontínu em J e g é monóton resente em J, então f é g-integrável em J. Corolário 7.1: Se f é monóton resente em J e g é ontínu em J, então f é g-integrável em J. Teorem 8: Sej g monóton resente em J. () Se f : J R é g-integrável em J, então f é g-integrável em J. (b) Se f 1 e f 2 são g-integráveis em J, então o produto f 1 f 2 é g-integrável em J. Teorem 9: Sej g monóton resente em J e suponh f g-integrável em J. Então, Se m f(x) M, pr todo x J, então fdg f dg f J (g(b) g()). (11) m (g(b) g()) fdg M (g(b) g()) (12) 3

4 1.4 Cálulo d Integrl Teorem 10: Primeiro teorem do vlor médio Se g é resente em J e f é ontínu em J, então existe um número J tl que f() dg = f(){g(b) g()} (13) Teorem 11: Teorem d Diferenição Suponh que f é ontínu em J e g é resente em J tendo um derivd em J. Então função F definid em J por tem um derivd em e F () = f()g (). F (x) = x fdg (14) Teorem 12: Teorem Fundmentl do Cálulo (Prtiulrizndo o teorem nterior, obtemos o resultdo que fornee bse pr o método fmilir de vlição de integris.) Sej f ontínu em J. Um função F em J stisfz pr x J se, e somente se, F = f em J. F (x) F () = x f, (15) Observção: Se F é um função definid em J tl que F = f em J, então dizemos que F é um integrl indefinid, ou um nti-derivd ou um primitiv de f. Ness terminologi, o teorem d diferenição firm que tod função ontínu possui um primitiv. Algums vezes o teorem fundmentl do álulo é formuldo de modos diferentes do que o formuldo qui, ms ele sempre inlui firmção de que sob hipóteses proprids, integrl de Riemnn de f pode ser luld vlindo-se qulquer primitiv de f nos pontos finis do intervlo de integrção. A formulção qui produz um ondição neessári e sufiiente pr um função ser um primitiv de um função ontínu. Não se deve supor que o teorem fundmentl firm que se derivd de um função F existe em todo ponto de J, então f é integrável em J e F (x) F () = x f. De fto, pode onteer que f não sej Riemnn integrável. Por exemplo F (x) = { x 2 sen ( ) 1 x, 2 0 < x 1 0, x = 0 F tem derivd em todo ponto do intervlo [0,1]. Porém, F não é integrável em [0,1] e, portnto, F não é integrl de su derivd. Similrmente, um função pode ser Riemnn integrável, ms não ter um primitiv. 4

5 Por exemplo, função f(x) = [x], x [0, 2] é Riemnn-integrável em [0,2], ms não é derivd de qulquer função. Teorem 13: (Vrinte do primeiro teorem do vlor médio) Se f e p são funções ontínus e, J e p(x) 0, x J, então existe J tl que f(x)p(x)dx = f() p(x)dx (16) Teorem 14: Integrção por prtes Se f e g possuem derivds ontínus em J, então fg = f(b)g(b) f()g() f g (17) Teorem 15: Segundo teorem do vlor médio 1. Se f é resente e g é ontínu em J, então existe J tl que f() dg + f(b) 2. Se f é resente e h é ontínu em J, então existe J tl que fh = f() h + f(b) 3. Se ϕ é não-negtiv e resente e h é ontínu em J, então existe J tl que ϕh = ϕ(b) dg (18) h (19) h (20) Teorem 16: Mudnç de vriável Sej ϕ um função rel definid em [α, β] R om derivd ontínu e suponh que = ϕ(α) e b = ϕ(β). Se f é ontínu sobre imgem de ϕ, então f(x)dx = β α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt (21) Teorem 17: (Redução de um IRS num IR.) Se g existe e f e g são Riemnn integráveis em J, então f é g-integrável em J e fg (22) 5

6 1.5 Outrs proprieddes d integrl Questão: Se (f n ) é um sequêni onvergente de funções integráveis, existe integrl d função limite? Suponh que g é monóton resente em J e que (f n ) sej um sequêni onvergente de funções que são g-integráveis em J e que f n f. É bstnte nturl esperr que (lim f n ) dg = lim f n dg Porém, esse pode não ser o so pr lgums funções. n 2 x, 0 x < 1/n Exemplo: Fç J = [0, 1], g(x) = x e f n (x) = n 2 ( x 2 n), 1/n x 2/n 0, 2/n x 1 definid pr n 2. Pr d n, f n é ontínu em J e ssim el é integrável em J om respeito g. Tnto por meio de um álulo direto, omo lulndo áre sob f n em J obtemos 1 0 f n(x)dx = 1, n 2. Em dição, (f n ) onverge x J pr função identimente nul em J, f(x) = x, x J tl que Portnto, nesse so, 1 0 f(x)dx = 0 (lim f n ) dg lim Como ess iguldde é muito onveniente em diverss plições, é importnte onheer sob que ondições podemos usá-l. Teorem 18: Sej g um função monóton resente em J e (f n ) um sequêni de funções definids em J que são g-integráveis em J. Suponh tmbém que (f n ) onverge uniformemente pr f em J. Então, f é g-integrável em J e lim f n dg = lim f n dg f n dg (23) Observção: A hipótese de onvergêni uniforme no teorem 17 é forte e restritiv. Existe um resultdo que não restringe tão pesdmente o tipo de onvergêni, ms requer integrbilidde d função limite. Teorem 19: Teorem d onvergêni limitd Sej (f n ) um sequêni de funções reis que são integráveis om respeito um função monóton resente g definids em J. Suponh que existe B > 0 tl que f n (x) B, x J, n N. 6

7 Se f(x) = lim (f n (x)), x J existe e é g-integrável em J, então lim f n dg = lim f n dg (24) O seguinte orolário do Teorem d Convergêni Limitd é frequentemente útil. Teorem 20: Teorem d onvergêni monóton Sej (f n ) um sequêni monóton de funções 1 que são g-integráveis em J, om g monóton resente. Se f(x) = lim f n (x), x J é g-integrável em J, então lim f n dg = lim f n dg (25) Observção: O ponto forte d teori de integrção de Lebesgue (Lebesgue-Stieltjes) é que el ument lsse de funções integráveis tl que equção lim f ndg sej válid, sob suposições mis frs do que s suposições dos teorems preedentes. 1 f n(x) f n+1(x), x J e n N. 7