TRABALHO DE GRADUAÇÃO INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBES- GUE, UM ESTUDO COMPARATIVO ALESSANDRA PISKE

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1 TRABALHO DE GRADUAÇÃO INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBES- GUE, UM ESTUDO COMPARATIVO ALESSANDRA PISKE JOINVILLE, 2013

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3 ALESSANDRA PISKE INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBESGUE, UM ESTUDO COMPARATIVO Trblho de Grdução presentdo o Curso de Licencitur em Mtemátic do Centro de Ciêncis Tecnológics, d Universidde do Estdo de Snt Ctrin, como requisito prcil pr obtenção do gru de Licencitur em Mtemátic. Orientdor: Prof. Dr. José Rfel Sntos Furlnetto JOINVILLE, SC 2013

4 P677i Piske, Alessndr Integrção: Riemnn e Lebesgue, um estudo comprtivo / Alessndr Piske : il. Bibliogrfi: p. 137 Trblho de Grdução Universidde do Estdo de Snt Ctrin, Centro de Ciêncis Tecnológics, Curso de Licencitur em Mtemátic, Joinville, Orientdor: José Rfel Sntos Furlnetto 1. Integrl de Riemnn. 2. Integrl de Lebesgue. 3. Continuidde. 4. Função mensurável. 5. Limite. I. Furlnetto, J. R. S. II. Integrção: Riemnn e Lebesgue, um estudo comprtivo CDD: 515

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7 Agrdecimentos Pensei em tnts pessos e jeitos pr grdecer, ms escrever é um tref mis complicd do que se pens. Agrdeço Deus que me deu vid, cpcidde, s oportuniddes e s condições físics e psicológics que permitirm conclusão desse trblho. Agrdeço à minh mãe pelo mor, crinho, proteção, educção e pels tnts vezes que me fez mssgeá-l "cntndo" tbud. À minh irmã por seu crinho, pelos momentos em que cuidou de mim, que me judou ns trefs e por ter me ddo o przer de ser ti. Agrdeço tmbém os meus fmilires que estiverm o meu ldo, um pen não ser mis possível grdecer dus pessos tão especiis. Durnte noss vid, conhecemos váris pessos, lgums dels se tornm mis do que migos e, sem dúvids, eu não poderi deixr de grdecer às minhs querids migs Grziele e Júli que, embor nos desencontremos, sempre rrnjmos um tempinho pr irmos o cinem, lmoçrmos junts e sirmos pr colocr o ppo em di. Agrdeço Vlesc que eu posso pssr tempos sem ver, ms qundo vejo é como se tivessemos nos visto no di nterior. Não posso deixr de grdecer o Mtheus que entrou n minh vid por cso e se fez um grnde migo e irmão. Muits vezes tive medo de estr sozinh, ms eu vi que no meu curso isso não é possível. Agrdeço Sbrin, Mnu, Jo, Nthi, Frn, Tmr e s menins de estágio por tornrem os meus dis n UDESC muito divertidos, inclusive queles em que eu estou tão rbugent. Eu não lembro por quntos professores eu já pssei, ms com certez todos eles me ensinrm muito e me inspirrm escolher ess

8 profissão. Gostri de grdecer Professor Elisndr pel su dedicção, por creditr em mim e pel su mizde. Agrdeço o Professor José Rfel por me orientr mesmo ntes de eu estr mtriculd n disciplin de TGR, pel su pciênci e dedicção. Agrdeço Professor Ptrici pel su mizde e por ter ceito vlir meu trblho. Agrdeço o Professor Rodrigo pel su jud em meu trblho e tmbém por ceitr ser bnc deste. Agrdeço tmbém todos os professores que colborrm com minh formção. Agrdeço o Alexndre que, por muit bo vontde, me judou com o Ltex e o Bruno por ter lido o meu TGR. Agrdeço o Sndro, Nyr e o Viktor por terem me uxilido qundo eu solicitei e por terem turdo os meus momentos de prnoi.

9 "Prioriddes correts e um bo dministrção do tempo exigem um consciênci de que hoje é o único momento que temos pr gir. O pssdo é irrevogvelmente findo, e o futuro é pens um possibilidde." Dorothy Kelley Ptterson

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11 Resumo PISKE, Alessndr. Integrção: Riemnn e Lebesgue, um estudo comprtivo p.. Trblho de Conclusão de Curso (Grdução em Licencitur em Mtemátic) - Universidde do Estdo de Snt Ctrin, Joinville, O presente trblho tem por objetivo o estudo rigoroso ds integris de Riemnn e Lebesgue, definindo-s e nlisndo os resultdos decorrentes de sus definições fim de comprá-ls. A primeir integrl permite, pens, que funções contínus em quse todo ponto de seu domínio sejm integráveis, enqunto segund, bsed n teori de medid, exige que função sej mensurável e que possu integrl finit pr que sej integrável. Sbe-se que Integrl de Lebesgue é um generlizção d Integrl de Riemnn. Com ess idei, lém de formlizá-ls, este trblho tem por objetivo mostrr s vntgens que existem de um sobre outr, especilmente s que se referem integrbilidde de funções e troc do limite com o sinl de integrl, e de que form Integrl de Riemnn é um cso prticulr d Integrl de Lebesgue. Plvrs-chve: Integrl de Riemnn. Integrl de Lebesgue. Continuidde. Função mensurável. Limite.

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13 Abstrct PISKE, Alessndr. Integrtion: Riemnn nd Lebesgue, comprtive study p.. Work of Course Conclusion (Grdute Degree in Mthemtics) - Snt Ctrin Stte University, Joinville, The present work ims to rigorous study of Riemnn s nd Lebesgue s integrls, defining them, nd nlyzing the results due to their definitions in order to compre them. The first integrl llows only tht continuous functions on lmost everywhere of its domin re integrble, while the second, bsed on the mesure theory, requires tht the function hs mesurble nd hs finite integrl to be integrble. It is known tht the Lebesgue Integrl is generliztion of the Riemnn integrl. With this ide, beyond formlize them, this work hs s objective show tht there re dvntges of one over the other, especilly those concerning the integrbility of functions nd exchnge the limit with the integrl sign, nd how the Riemnn integrl is specil cse of Lebesgue Integrl. Key-words: Riemnn Integrl. Lebesgue Integrl. Continuity. Mesurble Function. Limit.

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15 List de ilustrções Figur 1 s(f; P ) = Figur 2 S(f; P ) = Figur 3 s(f; Q) = Figur 4 S(f; Q) = Figur ln(x3 )dx = Figur 6 Sequênci de funções conforme Lem

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17 List de símbolos N Q R C n Conjunto dos números nturis Conjunto dos números rcionis Conjunto dos números reis Conjunto ds funções contínus com derivds contínus té ordem n.

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19 Sumário INTRODUÇÃO A INTEGRAL DE RIEMANN GEORG RIEMANN CONCEITOS INICIAIS INTEGRAL DE RIEMANN CÁLCULO COM INTEGRAIS O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES PASSAGEM AO LIMITE SOB INTEGRAL FUNÇÕES MENSURÁVEIS MEDIDA A INTEGRAL DE LEBESGUE HENRI LEBESGUE INTEGRAL DE LEBESGUE FUNÇÕES INTEGRÁVEIS TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS A INTEGRAL DE RIEMANN A INTEGRAL DE LEBESGUE LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN CONCLUSÃO Referêncis

20 Anexos 139 ANEXO A TEOREMAS IMPORTANTES ANEXO B CONJUNTO DE CANTOR

21 19 INTRODUÇÃO Durnte grdução, o estudo de integris está concentrdo no que se refere o cálculo, pr complementr formção mtemátic surgiu necessidde de formlizr o conceito de Integrl. Com ess idei, pretende-se, com este trblho, formlizr Integrl de Riemnn, com qul os estudos desenvolvidos durnte o curso form embsdos, e em seguid definiremos Integrl de Lebesgue. A teori que formliz integrl com qul já tivemos contto, chmd Integrl de Riemnn, requer muits condições pr o seu desenvolvimento. Em contrprtid, Integrl de Lebesgue, bsed n Teori de Medid, exige menos condições pr desenvolver um estudo e, por esse motivo, é mis vntjos em relção Integrl de Riemnn. Nesse sentido, existem funções que são Lebesgue-integráveis, ms não são Riemnn-integráveis. Dess form, estudr-se-ão s Integris de Riemnn e de Lebesgue fim de compreendê-ls e comprá-ls. A principl comprção que busc-se fzer, neste trblho, é que existe entre o Teorem de Pssgem o Limite sob o Sinl de Integrl, pr Integrl de Riemnn, e o Teorem d Convergênci Domind, pr Integrl de Lebesgue. Esses dois teorems nos fornecem o mesmo resultdo, porém sob condições diferentes. Além disso, sbe-se que Integrl de Riemnn é um cso prticulr d Integrl de Lebesgue, ms de que form e sob que condições isso é verdde? Este trblho está dividido d seguinte form: no Cpítulo 1 será formlizd Integrl de Riemnn. No Cpítulo 2 será inicido o estudo de Funções Mensuráveis, no Cpítulo 3 será definid Medid, no Cpítulo 4 será presentd, definid e estudd Integrl de Lebesgue. Finlmente, no Cpítulo 5, s dus integris serão comprds e será provdo que, de fto, Integrl de Riemnn é um cso prticulr d

22 20 Introdução Integrl de Lebesgue. Ao finl, serão dicionds s conclusões deste trblho.

23 21 1 A INTEGRAL DE RIEMANN Durnte grdução, o estudo de integris se restringiu o cálculo d Função Primitiv e mis trde o uso de limites de soms de Riemnn, porém Integrl de Riemnn não foi formlizd. Neste cpítulo pretende-se definir Integrl de Riemnn, estudr os teorems e s sus demonstrções, procurndo nlisr s condições necessáris pr obtê-los. A fim de estudá-l será utilizdo o livro de Lim (2012). 1.1 GEORG RIEMANN Georg Friedrich Bernhrd Riemnn nsceu no no de 1826, n cidde de Hnover e, em virtude de um tubercolose, fleceu em 1866 n Itáli. Estudou n Universidde de Berlim e obteve o gru de Doutor n Universidde de Göttingen. Riemnn fez grndes contribuições pr Mtemátic, como s equções diferencis de Cuchy-Riemnn, s superfícies de Riemnn, geometri riemnnin e função zet de Riemnn, lém disso, dentre os Problems de Hilbert se encontr Hipótese de Riemnn que ind está em berto. Com respeito o trblho de Riemnn, nest monogrfi vmos trtr pens d Integrl de Riemnn, que é mis conhecid integrl nos cursos de grdução (EVES, 2004). 1.2 CONCEITOS INICIAIS A definição de Integrl de Riemnn está licerçd nos conceitos de supremo e ínfimo de um função em um intervlo. Assim, pr demonstrr os teorems, usremos o fto de que o supremo M de um função limitd f : X R é um número rel que deve stisfzer:

24 22 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN i. Pr todo x X, f(x) M; ii. Se c < M então existe f(x) f(x) tl que c f(x). De modo nálogo, o ínfimo m de um função limitd f : X R é um número rel que deve stisfzer: i. Pr todo x X, f(x) m; ii. Se c > m então existe f(x) f(x) tl que c f(x). Observção 1.1. Se função f : [, b] R é contínu então, pelo Teorem de Weierstrss (A.1), existem x 0, x 1 [, b] tis que f(x 0 ) f(x) f(x 1 ) pr todo x [, b], pois [, b] é compcto, isto é, função tinge vlores de máximo e mínimo em [, b]. Isso vle pr s restrições de f os intervlos d prtição, que são compctos. Os lems seguir são necessários pr demonstrr os resultdos decorrentes d definição de Integrl de Riemnn. Lem 1.1. Sejm A, B R tis que pr todo x A e pr todo y B se tenh x y. Então i. sup A inf B. ii. sup A = inf B se, e somente se, ε > 0 existem x A e y B com y x < ε. Demonstrção: i. Suponh que pr todo x A e pr todo y B sempre se tenh x y. Assim, pel definição de cot superior, todo y B é um cot superior do conjunto A, em prticulr, sup A y, pois sup A é menor ds cots superiores de A. Logo, inf(sup A) inf y B B E portnto, sup A inf B.

25 1.2. CONCEITOS INICIAIS 23 ii. ( ) Suponh que ε > 0 existem x A e y B com y x < ε. Já provmos que sup A inf B, então vmos supor por bsurdo que sup A < inf B. Pel relção de ordem, temos que existe ε > 0 tl que ε = inf B sup A. Sbemos que, pr todo x A e todo y B, x sup A e inf B y, ssim x sup A < inf B y Logo, y x ε, o que contrdiz hipótese. Portnto, se y x < ε então sup A = inf B. ( ) Suponh que sup A = inf B. Como sup A é menor cot superior de A, pr qulquer ε > 0 temos sup A ε não é cot superior de A, 2 ssim existe x A tl que sup A ε < x < sup A. De modo nálogo, 2 pr qulquer ε > 0, inf B + ε não é cot inferior de B, ssim existe 2 y B tl que inf B < y < inf B + ε 2. Por hipótese sup A = inf B, então sup A ε 2 < x < sup A = inf B < y < inf B + ε 2 Logo, E, portnto, y x < inf B + ε ( 2 sup A ε ) 2 y x < ε O item (i) desse Lem é bstnte nturl, já o item (ii) nos diz que fim de que sup A = inf B é necessário, e suficiente, que sempre sej possível encontrr elementos em A e em B tis que distânci entre eles é tão pequen qunto se queir. Lem 1.2. Sejm A, B R conjuntos limitdos e c R, então os conjuntos A + B = {x + y; x A e y B} e c A = {c x; x A e c R} tmbém são limitdos. Além disso, i. inf(a + B) = inf A + inf B e sup(a + B) = sup A + sup B.

26 24 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN ii. Se c 0, então inf(c A) = c inf A e sup(c A) = c sup A, cso contrário inf(c A) = c sup A e sup(c A) = c inf A. Demonstrção: i. Suponh A e B conjuntos limitdos. Assim, existem, b tis que = inf A e b = inf B. Pel definição de ínfimo, pr todo x A e todo y B temos x e y b, logo x + y + b e, então, + b é cot inferior de A + B. Como = inf A então, pr qulquer ε > 0, + ε não é cot inferior de A, pois é menor dels. 2 Do mesmo modo b + ε não é cot inferior de B. Dest form, existem 2 x A e y B tis que x + ε 2 e b y b + ε 2. Então x+y +b+ε, ou sej, pr qulquer ε > 0 temos que +b+ε não é cot inferior de A + B, portnto + b é mior cot inferior de A + B e, ssim, inf(a + B) = inf A + inf B e A + B é limitdo inferiormente. De modo nálogo temos que sup(a + B) = sup A + sup B. Com isso, concluímos que A + B é um conjunto limitdo. ii. Suponh A limitdo. Assim, existe tl que = inf A, ou sej, pr todo x A temos x. Pr c = 0 o conjunto c A = {0}, e portnto inf(0 A) = 0 = 0 inf A. Se c > 0, então c x c pr todo x A, logo c é cot inferior de c A. Tome d tl que d > c, então < d c e, como = inf A, existe x A tl que < x < d, então c < c x < d, ssim d não é cot c inferior de c A e c é mior dels. Portnto, inf(c A) = c inf A. A demonstrção pr sup(c A) = c sup A é feit de modo nálogo. Se c < 0 e = sup A então, pel definição de supremo, pr todo x A temos x, ssim, c c x, deste modo c é cot inferior de c A. Tome d tl que d > c, então d c <, como = sup A, existe x A tl que d x, ssim c c x d e d não é cot inferior de c A. c Portnto, inf(c A) = c sup A. A demonstrção pr sup(c A) = c inf A é feit de modo nálogo. Com isso provmos que o conjunto c A é limitdo.

27 1.2. CONCEITOS INICIAIS 25 O Lem que cbmos de provr em comunhão com o Corolário que segue serão muito importntes pr s demonstrções que fremos no estudo de integris, um vez que definição desse conceito está ssocid o supremo e ínfimo de um função em um intervlo. Corolário 1.1. Sejm f, g : X R funções limitds. Então pr todo c R s funções f + g : X R e c f : X R são limitds. Além disso, i. sup(f + g) sup f + sup g, inf(f + g) inf f + inf g. ii. Se c 0, temos sup(c f) = c sup f e inf(c f) = c inf f. Cso contrário, sup(c f) = c inf f e inf(c f) = c sup f. Demonstrção: Pr demonstrr este corolário, tome A = f(x) = {f(x); x X} e B = g(x) = {g(x); x X}. i. Sejm C = (f + g)(x) = {f(x) + g(x); x X} e, como no Lem nterior, A + B = {f(x) + g(y); f(x) f(x) e g(y) g(x)}. Posto isso, fic clro que C A + B, pois um elemento f(x) + g(x) C tmbém pertence A + B, então inf C inf(a + B) e sup C sup(a + B). Ms pelo Lem 1.2 temos que inf(a + B) = inf A + inf B e sup(a + B) = sup A + sup B. Portnto, inf(f + g) inf f + inf g e sup(f + g) sup f + sup g. ii. Pr c 0, segue do Lem 1.2 que inf(c f) = inf {c f(x); x X} = inf(c A) = c inf A = c inf f e, de modo nálogo, sup(c f) = c sup f. E pr c < 0, inf(c f) = inf {c f(x); x X} = inf(c A) = c sup A = c sup f e, de modo nálogo, sup(c f) = c inf f. Lem 1.3. Dd f : X R limitd. Sejm m = inf f, M = sup f e ω = M m, chmd de oscilção de f em X. Então ω = sup { f(x) f(y) x, y X}.

28 26 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Demonstrção: Tome x, y X rbitrários e suponh f(x) f(y). Assim, m f(y) f(x) M, pois m e M são ínfimo e supremo de f, dest form f(x) f(y) M m = ω, ou sej, ω é cot superior de { f(x) f(y) x, y X}. Além disso, pr todo ε > 0, existem x, y X tis que f(x) > M ε 2 e f(y) > m+ ε, pois M e m são supremo e ínfimo de f, respectivmente. 2 Assim, f(x) f(y) f(x) f(y) < M m ε = ω ε Portnto, ω = sup { f(x) f(y) x, y X}. A oscilção de um função é um importnte conceito pr obtermos um relção que nos fcilitrá s provs, especilmente, s que se referem integrbilidde de funções. E esse Lem será bstnte utilizdo ns demonstrções em que não podemos grntir que função tinj os vlores de máximo e mínimo, sendo necessário tomr o supremo de tods s diferençs possíveis entre todos os vlores - dois dois - que função tinge em um intervlo. Lem 1.4. Sejm A A e B B conjuntos limitdos de números reis. Se pr cd A e cd b B existem A e b B tis que e b b, então sup A = sup A e inf B = inf B. Demonstrção: Suponh que pr cd b B exist b B tl que b b e B B. Sendo ssim, inf B é cot inferior de B. Tome c > inf B, então c não é cot inferior de B e, pel definição de ínfimo, existe b B tl que inf B b < c. Ms, por hipótese, existe b B tl que b b < c, então c tmbém não é cot inferior de B. Logo, inf B é menor cot inferior de B e, portnto, inf B = inf B. De modo nálogo, temos sup A = sup A.

29 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 27 Definição 1.1. Um prtição de um intervlo [, b] é um subconjunto finito de pontos P = {t 0, t 1,..., t n } [, b] tl que P e b P, sendo = t 0 e b = t n e, lém disso, = t 0 < t 1 <... < t n = b. E usremos s seguintes notções. Dd um função f : [, b] R, então m = inf{f(x); x [, b]} e M = sup{f(x); x [, b]}. Se tomrmos f [t i 1, t i ], chmd restrição de f o i-ésimo intervlo d prtição, então podemos tomr o ínfimo e supremo d função neste intervlo e denotremos d seguinte form: m i = inf{f(x); x [t i 1, t i ]} e M i = sup{f(x); x [t i 1, t i ]}. Além ds definições de ínfimo e supremo de um função, no Lem 1.3, definimos oscilção de um função no intervlo [, b]. Se tomrmos restrição de f o i-ésimo intervlo denotremos oscilção neste intervlo como ω i = M i m i e, lém disso, ω i = sup { f(x) f(y) x, y [t i 1, t i ]}. Provdos os lems nteriores e fixds esss notções podemos definir integrl de Riemnn. 1.3 INTEGRAL DE RIEMANN Além d definição de Função Primitiv, integrl foi vist como um ferrment pr clculr áres delimitds por um função, e é ess noção inicil de Integrl de Riemnn. Nesse sentido, vmos definir som inferior e superior de um função limitd f : [, b] R: Definição 1.2. A som inferior reltivmente à prtição P é o vlor s(f; P ) = m 1 (t 1 t 0 ) m n (t n t n 1 ) = m i (t i t i 1 ). i=1

30 28 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN A Figur bixo represent um Som Inferior reltiv prtição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} pr função f(x) = ln(x 3 ) definid no intervlo [1.1, 7] e, utilizndo um softwre mtemático, result em s(f; P ) = Figur 1 s(f; P ) = Definição 1.3. A som superior reltivmente à prtição P é o vlor S(f; P ) = M 1 (t 1 t 0 ) M n (t n t n 1 ) = M i (t i t i 1 ). A Figur bixo represent um Som Superior reltiv prtição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} pr função f(x) = ln(x 3 ) definid no intervlo [1.1, 7] e, utilizndo um softwre mtemático, result em S(f; P ) = Observe que, em módulo, som inferior s(f; P ) represent um vlor proximdo, por flt, d áre d região limitd pel função f e som superior S(f; P ) represent um vlor proximdo, por excesso, d mesm áre. A prtição escolhid ns figurs 1 e 2 possui intervlos de comprimentos iguis, no entnto isso não é necessário. Observndo esss figurs é fácil notr que s(f; P ) S(f; P ), como formliz observção bixo. i=1

31 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 29 Figur 2 S(f; P ) = Observção 1.2. Como [t i 1, t i ] [, b], então m m i M i M. Dest form, m(b ) s(f; P ) S(f; P ) M(b ). Ou sej, som inferior reltiv um prtição é sempre menor ou igul do que som superior reltiv mesm prtição. Agor observe som inferior e superior, pr prtição Q, com n = 30 intervlos, tl que Q = {1.1, 1.29, 1.49, 1.69, 1.89, 2.08, 2.28, 2.48, 2.67, 2.87, 3.07, 3.26, 3.46, 3.66, 3.85, 4.05, 4.25, 4.44, 4.64, 4.84, 5.03, 5.23, 5.43, 5.62, 5.82, 6.02, 6.21, 6.41, 6.61, 6.8, 7}. Temos que s(f; Q) = 22.3 e S(f; Q) = Perceb que P Q, nesse cso, dizemos que Q refin P e clrmente vemos que s(f; P ) s(f; Q) S(f; Q) S(f; P ). Nesse sentido, segue o Teorem. Teorem 1.1. Qundo se refin um prtição, som inferior não diminui e som superior não ument. Ou sej, se P Q então s(f; P ) s(f; Q) e S(f; Q) S(f; P ).

32 30 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Figur 3 s(f; Q) = 22.3 Figur 4 S(f; Q) = Demonstrção: Sej P = {t 0, t 1,..., t n } um prtição de [, b] e suponh Q um prtição do mesmo intervlo que refine P de tl modo que Q = P {t }, ssim existe lgum i tl que t [t i 1, t i ], ou sej, Q = {t 0,..., t i 1, t, t i,..., t n }. Sejm M i o supremo d função f no intervlo [t i 1, t i ] d prtição P e M e M os supremos de f no intervlos [t i 1, t ] e [t, t i ], respectivmente, d prtição Q. Posto isso, temos S(f; P ) S(f; Q) = n j=1 M j(t j t j 1 ) i 1 j=1 M j(t j t j 1 )

33 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 31 M (t t i 1 ) M (t i t ) n j=i M j(t j t j 1 ) Logo, S(f; P ) S(f; Q) = M i (t i t i 1 ) M (t t i 1 ) M (t i t ) Somndo M i t M i t n expressão cim e mnipulndo, convenientemente, podemos escrevê-l ssim S(f; P ) S(f; Q) = (M i M )(t i t ) + (M i M )(t t i 1 ) Ms como [t i 1, t ] e [t, t i ] estão contidos em [t i 1, t i ], então M M i e M M i. Além disso, t t i e t i 1 t. Logo, S(f; P ) S(f; Q) 0 Portnto, S(f; Q) S(f; P ). Dess form provmos que se dicionrmos um ponto à prtição P, temos S(f; Q) S(f; P ). Se dicionrmos n pontos el, o procedimento é o mesmo. Demonstrmos que s(f; P ) s(f; Q) de modo nálogo. O Teorem 1.1 nos diz que qundo tommos um prtição inicil e divimos em mis intervlos, preservndo os pontos originis, mis proximds estrão som inferior e superior d áre, qundo função for não negtiv, d região limitd pel função f. Com bse ness idei, iremos definir (n Definição 1.4) integrl inferior e superior de um função. Corolário 1.2. Pr quisquer prtições P e Q de [, b] e qulquer função limitd f : [, b] R tem-se s(f; P ) S(f; Q).

34 32 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Demonstrção: Suponh f limitd e P e Q prtições de [, b]. Tome prtição P Q, que refin P e Q. Pelo teorem nterior e pel Observção 1.2, temos s(f; P ) s(f; P Q) S(f; P Q) S(f; Q). Portnto, s(f; P ) S(f; Q) pr quisquer prtições P, Q de [, b]. O Corolário 1.2 mpli Observção 1.2, pois nos diz que pr tods s prtições possíveis de um intervlo [, b] som inferior é sempre menor ou igul do que som superior independente ds prtições que tomrmos. Definição 1.4. Sej f : [, b] R um função limitd, então i. A integrl inferior é definid por b f(x)dx = sup P s(f; P ) ii. A integrl superior é definid por b f(x)dx = inf P S(f; P ) onde sup e inf são tomdos em relção tods s prtições P do intervlo [, b]. É intuitivo que, como s integris superior e inferior são definids com bse no supremo e ínfimo de um função, integrl inferior sej menor ou igul integrl superior, e ssim formliz o próximo corolário. Corolário 1.3. Dd f : [, b] R então m(b ) b b f(x)dx f(x)dx M(b )

35 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 33 Demonstrção: Sejm A = {s(f; P ); P é prtição} e B = {S(f; Q); Q é prtição}. Pel definição desses conjuntos e pel Definição 1.4 sbemos que sup A = sups(f; P ) = P b b f(x)dx e inf B = inf S(f; Q) = f(x)dx Q E pelo Corolário 1.2 sbemos que, pr quisquer prtições P e Q, sempre temos s(f; P ) S(f; Q) Então, pelo Lem 1.1, sups(f; P ) infs(f; Q), ou sej, P Q b f(x)dx b f(x)dx Além disso, m(b ) b f(x)dx e f(x)dx M(b ) ocorrem pel Observção 1.2. Portnto, m(b ) b b b f(x)dx f(x)dx M(b ) A Definição 1.4, nos diz que pr encontrrmos o vlor d integrl superior e d inferior de um função f : [, b] R é necessário tomr um supremo e um ínfimo reltivos tods s prtições que existem pr o intervlo [, b], no entnto não é preciso tomr tods esss prtições, pois o corolário bixo nos grnte isso. Corolário 1.4. Sej P 0 um prtição de [, b]. Se considerrmos s soms s(f; P ) e S(f; P ) reltivs às prtições P que refinm P 0 obteremos os mesmos vlores pr b f(x)dx e b f(x)dx. Demonstrção: Sejm A = {s(f; Q); Q é prtição}, que é o conjunto ds soms inferiores reltivs tods s prtições, e A =

36 34 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN {s(f; P ); P é prtição e P 0 P }, logo A A pois P é prtição. Pr todo s(f, Q) A existe, pelo Teorem 1.1, s(f; P ) A tl que s(f; Q) s(f; P ) bst tomr P = P 0 Q, que refin P 0 e Q. Sendo ssim o Lem 1.4 nos grnte que sup A = sup A, pois A A, isto é, sups(f; P ) = sups(f; Q) = P Q b f(x)dx Anlogmente, provmos que obtemos os mesmos vlores pr b f(x)dx independente d prtição que tomrmos. De fto, o Corolário 1.4 nos diz que não precismos tomr tods s prtições do intervlo [, b] pr obtermos os vlores d integrl inferior e d superior, bst tomr um prtição e refiná-l. Definição 1.5. Um função limitd f : [, b] R é Riemnn integrável qundo b f(x)dx = b f(x)dx. E esse vlor chmmos de Integrl de Riemnn d função e denotmos por b f(x)dx. Qundo definimos Som Inferior e Superior flmos de áre, nesse sentido, dizer que um função não negtiv é integrável implic em dizer que região delimitd pel função possui áre, se função tmbém ssumir vlores negtivos, devemos considerr o módulo dess função. Além disso, dest definição segue que b f(x)dx = sup P s(f; P ) = inf P S(f; P ) e isso pode nos ser útil pr s próxims demonstrções.

37 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 35 Figur ln(x3 )dx = N Figur 5, temos representção gráfic d Integrl d função ln(x 3 ) e com o uxílio de um softwre, temos que ln(x 3 )dx = Pelos comentários ds Figurs 1, 2, 3 e 4 temos s(f; P ) s(f; Q) ln(x 3 )dx S(f; Q) S(f; P ). Isso contece sempre que Q P, pois o Corolário 1.3 nos diz que b f(x)dx b f(x)dx. Ms definimos Integrl Inferior e Superior como b f(x)dx = sup P s(f; P ) e b f(x)dx = inf P S(f; P ) Assim, pel definição de supremo e ínfimo, pr qulquer prtição P, temos s(f; P ) b b f(x)dx f(x)dx S(f; P )

38 36 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN E o Teorem 1.1 nos diz que qundo Q P, temos que som inferior não diminui e superior não ument, então temos s(f; P ) s(f; Q) b b f(x)dx f(x)dx S(f; Q) S(f; P ) Além disso, pel Definição de Integrbilidde segue que s(f; P ) s(f; Q) b f(x)dx S(f; Q) S(f; P ). Assim, o que se observ pels imgens, vle pr qulquer função integrável e pr prtições tis que P Q. Teorem 1.2 (Condição imedit de integrbilidde). Sej f : [, b] R um função limitd. Então s seguintes firmções são equivlentes: i. f é integrável. ii. Pr todo ε > 0, existem prtições P, Q de [, b] tis que S(f; Q) s(f; P ) < ε. iii. Pr todo ε > 0, existe um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } de [, b] tl que S(f; P ) s(f; P ) = n i=1 ω(t i t i 1 ) < ε. Demonstrção: (i ii) Suponh f integrável e sejm A = {s(f; P ); P é prtição} e B = {S(f; Q); Q é prtição}. Pelo Corolário 1.2, pr quisquer prtições P e Q sempre temos s(f; P ) S(f; Q) Ms como f é integrável, então sup A = inf B. E, pelo ítem (ii) do Lem 1.1, pr todo ε > 0 existem prtições P e Q tis que S(f; Q) s(f; P ) < ε. (ii iii) Suponh que pr todo ε > 0 existem prtições P e Q tis que S(f; Q) s(f; P ) < ε. Tome P 0 = P Q, que refin P e Q. Então, pelo Teorem 1.1, s(f; P ) s(f; P 0 ) S(f; P 0 ) S(f; Q)

39 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 37 Como S(f; Q) s(f; P ) < ε, então S(f; P 0 ) s(f; P 0 ) < ε. (iii i) Suponh que pr todo ε > 0, exist um prtição P 0 de [, b] tl que S(f; P 0 ) s(f; P 0 ) < ε. Sejm A = {s(f; P ); P é prtição e P 0 P } e B = {S(f; P ); P é prtição e P 0 P }. Por hipótese temos que S(f; P 0 ) s(f; P 0 ) < ε Ms S(f; P 0 ) B e s(f; P 0 ) A, então, pelo Lem 1.1, inf B = sup A, ou sej, inf S(f; P ) = sup s(f; P ) P 0 P P 0 P e, pelo corolário 1.4, podemos tomr pens s prtições que refinm P 0 pr obtermos integrl superior e inferior, ssim Portnto, f é integrável. b f(x)dx = b f(x)dx Esse teorem irá fcilitr s demonstrções dos próximos resultdos e pode ser visto como um definição pr Riemnn Integrbilidde. Podemos dizer que um função é Riemnn Integrável se sempre for possível conseguir um prtição P de [, b] tl que s(f; P ) e S(f; P ) estão tão próxims qunto se queir. Teorem 1.3. Sej < c < b. A função f : [, b] R é integrável se, e somente se, sus restrições f [, c] e f [c, b] são integráveis. No cso firmtivo b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx

40 38 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Demonstrção: Suponh f : [, b] R limitd e c (, b). Sejm P 1 = { = t 0, t 1,..., t i = c} e P 2 = {c = t i, t i+1,..., t n = b} prtições de [, c] e [c, b], respectivmente. Dest form, P 0 = P 1 P 2 é um prtição de [, b] que contém c. Defin A = {s(f; P ); P 1 P } e B = {s(f; P ); P 2 P } Afirmo que A + B = {s(f; P ); P 0 P }, que será provdo o finl d demonstrção. Pelo Lem 1.2 sup(a+b) = sup A + sup B e, pelo Corolário 1.4 podemos tomr pens s prtições que refinem P 0, P 1 e P 2 pr obtermos integrl inferior, ssim b f(x)dx = c f(x)dx + b c Anlogmente, defin A = {S(f; P ); P 1 P } e B = {S(f; P ); P 2 P } f(x)dx (1.1) Então, A + B = {S(f; P ); P 0 = P 1 P 2 P } Pelo mesmo motivo de ntes, b f(x)dx = c f(x)dx + c Subtrindo (1.2) de (1.1), temos b f(x)dx b c f(x)dx = b f(x)dx b c c b f(x)dx (1.2) f(x)dx f(x)dx c f(x)dx +

41 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 39 Ms, pelo Corolário 1.3, temos que b f(x)dx c f(x)dx b c f(x)dx b c b c f(x)dx 0, f(x)dx 0 e f(x)dx 0. Com isso temos que ( ) Se f é integrável, então b f(x)dx b f(x)dx = 0, logo c f(x)dx c f(x)dx = 0 e b c f(x)dx b c f(x)dx = 0. Portnto, f [, c] e f [c, b] são integráveis. ( ) Se f [, c] e f [c, b] são integráveis, teremos que c f(x)dx c f(x)dx = 0 e b c f(x)dx b b f(x)dx = 0, logo c f(x)dx b f(x)dx = 0. Portnto, f : [, b] R é integrável. Além disso, se f : [, b] R é integrável, sbemos que integrl inferior (e superior) é igul integrl, então pel equção (1.1) temos que b f(x)dx = c f(x)dx + b Pr concluir demonstrção, vmos provr que A + B = {s(f; P ); P 0 P }. c f(x)dx. Sejm s(f; P ) A e s(f; P ) B, onde P é um prtição pr [, c] e P é um prtição pr [c, b]. Temos que P P = {c}, ssim s(f; P ) + s(f; P ) = m 1 (t 1 ) m i (c t i 1 ) + m i+1 (t i+1 c) m n (b t n 1 ) = s(f; P ) sendo P = P P então A + B {s(f; P ); P 0 P }, pois P 0 P. Por outro ldo, se tomrmos s(f; P ) {s(f; P ); P 0 = P 1 P 2 P },

42 40 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN então podemos seprr prtição P em dus prtições que refinem P 1 e P 2. Portnto, {s(f; P ); P 0 = P 1 P 2 P } A + B. Teorem 1.4 (Proprieddes d Integrl de Riemnn). Sejm f, g : [, b] R funções limitds e integráveis. Então i. A som f + g é integrável e b f(x) + g(x)dx = b f(x)dx + b ii. O produto f g e integrável. Se c R, então b c f(x)dx = c b f(x)dx. g(x)dx. iii. Se 0 < k g(x) pr todo x [, b], então f g é integrável. iv. Se f(x) g(x) pr todo x [, b], então b f(x)dx b g(x)dx. v. f é integrável e b f(x)dx b f(x) dx. Demonstrção: Pr demonstrr este teorem, vmos denotr por m i, M i, m i, M i e ω i, ω i os ínfimos, supremos e oscilções de fe g, respectivmente, no i-ésimo intervlo de P. i. Pelo Teorem 1.2 temos que, se f e g são integráveis, então pr todo ε > 0, existe um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } tl que

43 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 41 ω i(t i t i 1 ) < ε 2 e i=1 i=1 ω i (t i t i 1 ) < ε 2 Pelo Corolário 1.1, função (f + g)(x) é limitd e lém disso, Assim, S(f +g; P ) = m i = inf(f + g) inf f + inf g = m i + m i e M i = sup(f + g) sup f + sup g = M i + M i M i (t i t i 1 ) i=1 M i (t i t i 1 )+ i=1 i=1 M i (t i t i 1 ) e s(f + g; P ) = m i (t i t i 1 ) i=1 m i (t i t i 1 ) + i=1 Subtrindo segund expressão d primeir, temos S(f + g; P ) s(f + g; P ) (M i m i)(t i t i 1 ) + i=1 ω i(t i t i 1 ) + i=1 i=1 i=1 i=1 (M i m i )(t i t i 1 ) = ω i (t i t i 1 ) < ε 2 + ε 2 m i (t i t i 1 ) Portnto, S(f + g; P ) s(f + g; P ) < ε e, pelo Teorem 1.2, f + g é integrável. Além disso, suponh f, g limitds e integráveis e P um prtição de [, b], então b f(x)dx + b g(x)dx = sups(f; P ) + sups(g; P ) P P

44 42 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN b f(x)dx + sups(f + g; P ) = P b b e g(x)dx = inf P b f(x) + g(x)dx S(f; P ) + infs(g; P ) P inf S(f + g; P ) = f(x) + g(x)dx P Ms como f, g e f + g são integráveis temos que integrl inferior é igul integrl superior, portnto b f(x) + g(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx. ii. Suponh f e g integráveis e limitds, dess form existem k 1, k 2 R tis que f(x) k 1 e g(x) k 2 pr todo x [, b]. Tome k = mx {k 1, k 2 }, ssim f(x) k e g(x) k pr todo x [, b]. Além disso, como f e g são integráveis, temos que pr todo ε > 0, existe um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } tl que i=1 i=1 ω i(t i t i 1 ) < ε 2k e ω i (t i t i 1 ) < ε 2k Ms pr x, y [t i 1, t i ] rbitrários, temos f(y) g(y) f(x) g(x) = f(y)g(y) f(x)g(y) + f(x)g(y) f(x)g(x) = g(y) f(y) f(x) + f(x) g(y) g(x) g(y) f(y) f(x) + f(x) g(y) g(x) k(ω i + ω i )

45 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 43 Pelo Lem 1.3, temos que ω i = sup { f(y) g(y) f(x) g(x) ; x, y [t i 1, t i ]} Ms como tommos x, y rbitrários temos que ω i k(ω i + ω i ), então [ n ] ω i (t i t i 1 ) k ω i(t i t i 1 ) + ω i (t i t i 1 ) < ε i=1 i=1 Portnto, f g é integrável pelo Teorem 1.2. i=1 Além disso, sej c R, pelo Lem 1.2, sbemos que sup s(c f; P ) = c sup(f; P ) Como f e c f são integráveis, por hipótese e pelo o que cbmos de provr, então b c f(x)dx = c b f(x)dx. iii. Acbmos de provr que se f e g são integráveis, então f g é integrável. Se provrmos que 1 g é integrável, então f será integrável. g Suponh g integrável e 0 < k g(x) pr todo x [, b]. Como g é integrável existe um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } de [, b] tl que ω i (t i t i 1 ) < ε k 2 i=1 Pr x, y [t i 1, t i ] rbitrários, temos 1 g(x) 1 g(y) = g(y) g(x) g(y) g(x) g(y) g(x) g(y)g(x) = g(y)g(x) k 2 { 1 Pelo Lem 1.3, ω i = sup g(x) 1 } g(y) ; x, y [t i 1, t i ] será oscilção de 1 g em [t i 1, t i ], e como tommos x, y rbitrários, então ω i ω i k 2

46 44 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN E ssim, ω i (t i t i 1 ) i=1 i=1 ω i k 2 (t i t i 1 ) < ε k2 k 2 = ε Então, pelo Teorem 1.2, 1 g é integrável e, portnto, f g é tmbém é. iv. Suponh f(x) g(x) e sejm m i, m i ínfimos de f, g no intervlo [t i 1, t i ] de um prtição P de [, b] e tome A = {s(f; P ); P é prtição} e B = {s(g; P ); P é prtição} Como f(x) g(x) pr todo x [, b], então m i m i. Assim, sempre teremos s(f; P ) s(g; P ) e, pelo Lem 1.1 sup A sup B, ou sej, sups(f; P ) sups(g; P ). Portnto, como f e g são integráveis, e P P b f(x)dx b g(x)dx. v. Suponh f integrável. Sej ω i oscilção de f no intervlo [t i 1, t i ] de um prtição P de [, b] e ω i oscilção de f nesse mesmo intervlo. Como f é integrável, temos que ω i (t i t i 1 ) < ε i=1 Pr x, y [t i 1, t i ] rbitrários, temos f(y) f(x) f(y) f(x) ω i Pelo Lem 1.3, ω i = sup { f(y) f(x) ; x, y [t i 1, t i ]}, e como tommos x, y rbitrários, temos ω i ω i e ssim ω i (t i t i 1 ) ω i(t i t i 1 ) < ε i=1 i=1

47 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 45 Portnto, f é integrável. Além disso, sbemos que f(x) f(x) pr todo x [, b], então f(x) f(x) f(x), e pelo ítem (iv) deste teorem, temos Portnto, b f(x) dx b b f(x)dx f(x)dx b b f(x) dx. f(x) dx Corolário 1.5. Se f : [, b] R é integrável e f(x) k pr todo x [, b] então Demonstrção: b f(x)dx k(b ). Suponh f integrável e tl que f(x) k pr todo x [, b]. Pelo Teorem 1.4 sbemos que b b f(x)dx f(x) dx Além disso, como f(x) é integrável, temos que b E pelo Corolário 1.3 segue f(x) dx = inf S( f ; P ) inf S( f ; P ) M(b ) onde M é o supremo d função em [, b], ms M k. Portnto, b f(x)dx k(b ). Esses últimos resultdos nos trzim como hipótese funções integráveis e buscávmos um conclusão. Ms lém de procurrmos consequêncis d integrbilidde, precismos encontrr condições que tornem um função integrável. Nesse sentido, seguem os teorems.

48 46 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Teorem 1.5. Tod função contínu f : [, b] R é integrável. Demonstrção: Suponh f contínu em [, b], que é limitdo e fechdo e, portnto, compcto. Assim, pelo Anexo A.2, f é uniformemente contínu, isto é, pr todo ε > 0 ddo e pr todo x [, b] é possível obter δ > 0 tl que, se y [, b] temos y x < δ f(y) f(x) < ε b (1.3) Sej P = {t 0, t 1,..., t n } um prtição de [, b] tl que t i t i 1 < δ pr todo i = 0,..., n. Além disso, como f é contínu, pel Observção 1.1, existem x i, y i [t i 1, t i ], tis que f(x i ) = m i e f(y i ) = M i. Dess form, como y i x i t i t i 1 < δ, segue d Expressão (1.3) que y i x i < δ f(y i ) f(x i ) < ε b Ms f(y i ) f(x i ) = ω i, então n i=1 ω i(t i t i 1 ) < ε (b ) = ε b e, pelo Teorem 1.2, f é integrável. É esperdo que funções contínus definids em um intervlo [, b] sejm integráveis, pois se prticionrmos o conjunto [, b] em intervlos de comprimentos tão pequenos qunto se queir, os vlores de supremo e ínfimo, que pel Observção 1.1 são ssumidos pel função, tmbém estrão tão próximos qunto se queir, pel definição de continuidde de funções. Teorem 1.6. Tod função monóton f : [, b] R é integrável. Demonstrção: Suponh f monóton não decrescente e tome ε um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } de [, b] tl que t i t i 1 < f(b) f(). Como f é monóton não decrescente então, em cd [t i 1, t i ], temos ω i = f(t i ) f(t i 1 ), ssim ω i = [f(t 1 ) f(t 0 )] + [f(t 2 ) f(t 1 )] [f(t n ) f(t n 1 )] i=1

49 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 47 Logo, n i=1 ω i = f(t n ) f(t 0 ) = f(b) f() e, lém disso, ε ω i (t i t i 1 ) < f(b) f() i=1 Portnto, pelo Teorem 1.2, f é integrável. ω i = ε De modo nálogo, provmos que um função monóton não crescente tmbém é integrável. Definição 1.6. O comprimento I do intervlo [, b] R é ddo por I = b. Observção 1.3. Um cobertur de um conjunto X R é um fmíli de conjuntos tis que união deles contém X. Definição 1.7 (Medid nul). Dizemos que um conjunto X R tem medid nul qundo, pr todo ε > 0 ddo, existe um cobertur finit ou infinit enumerável X k I k de X por intervlos bertos I k cuj som dos comprimentos é tl que I k < ε. k No Cpítulo 3 deste trblho, iremos definir medid de mneir rigoros, ms nesse momento ess definição pr Medid Nul é suficiente pr provr os próximos teorems. A Definição 1.7 nos diz que um conjunto tem medid nul se for possível cobrí-lo com intervlos cuj som de seus comprimentos sej tão pequen qunto se queir, ms se não conseguirmos cobrir um pequen prte do conjunto todo com nem mesmo um intervlo com medid tão pequen qunto se queir, é suficiente, pr dizer que o conjunto todo tem medid nul. Sendo ssim, pr cd ε > 0 tome vizinhnç ( ε, + ε), que possui I = 2ε. Ess vizinhnç não possui medid nul, pois pr cd vizinhnç ( ε, +ε) não é possível cobrí-l com um intervlo de comprimento ε. Por outro ldo, pr todo ε > 0 é possível cobrir o ponto com um vizinhnç ( + ε, ε). i=1

50 48 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Assim, podemos concluir que os únicos intervlos de números reis que possuem medid nul são degenerdos. Teorem 1.7. Se o conjunto D dos pontos de descontinuidde de um função limitd f : [, b] R tem medid nul, então f é integrável. Demonstrção: Suponh que D tem medid nul, ou sej, pr todo ε > 0 existe um cobertur de intervlos bertos I 1,..., I k,... tis que D k I k e k I k < ε, com ω = M m. 2ω Pr cd x em que f é contínu tome um vizinhnç J x de x tl que ε oscilção de f (J x [, b]) sej menor que 2(b ). Assim, x J x é um cobertur bert de [, b] D, pois [, b] D x J x. Dest form, [, b] ( x J x) ( k I k) é um cobertur bert de [, b] que, pelo Teorem de Borel-Lebesgue (Anexo A.3), possui um subcobertur finit, sej el [, b] I 1... I m J x1... J xn. Agor, considere um prtição de [, b] formd pelos pontos, b e pelos extremos de cd I k e J xi dest subcobertur finit que pertençm o intervlo [, b]. E sejm os intervlos que pertencem prtição P tis que [t α 1, t α ] Īk pr lgum I k, isto é, são formdos por pontos que pertencem D, e [t β 1, t β ] J xi, que são formdos por pontos de [, b] onde f é contínu. Assim, (t α t α 1 ) < α k ω β < ε 2(b ) pois tommos I k e J xi dess form. Então, I k < ε 2ω e S(f; P ) s(f; P ) = α ω α (t α t α 1 ) + β ω β (t β t β 1 ) < ω(t α t α 1 ) + α β ε 2(b ) (t β t β 1 ) < ωε ε(b ) + 2ω 2(b ) = ε Portnto, pelo Teorem 1.2, se o conjunto dos pontos de descontinuidde de f tem medid nul, então f é integrável.

51 1.3. INTEGRAL DE RIEMANN 49 Pr demonstrr o próximo teorem, é necessário definir oscilção de f em um ponto x. Definição 1.8. Sej f : [, b] R um função limitd. Chmmos de oscilção de f em um ponto x, o vlor ω(f; x) que é ddo d seguinte form: Pr cd δ > 0, sej ω δ = M δ m δ, com M δ e m δ supremo e ínfimo de f em [, b] [x δ, x + δ]. Note que, i. ω δ é não negtiv, pois M δ m δ ; ii. ω δ é limitd, pois f é limitd; iii. ω δ é não descrescente, pois medid que diminuimos o vlor de δ o supremo e ínfimo se proximm. Dest form, definimos ω(f; x) = lim δ 0 ω δ, pois, pelo Anexo A.8, este limite existe. Observção 1.4. A função f é descontínu em x se, e somente se, ω(f; x) > 0. Isso equivle dizer que, se f é contínu em x, então ω(f; x) = 0. Isto é intuitivo, pois se um função é contínu em um ponto x, o supremo e ínfimo de f neste ponto são o próprio vlor f(x). Observção 1.5. Se x pertence o interior de um intervlo I [, b], então ω(f; x) ω(f; I) = supf(x) inf f(x). x I x I Teorem 1.8. O conjunto D dos pontos de descontinuidde de um função integrável f : [, b] R tem medid nul. Demonstrção: Suponh f integrável e sej D o conjunto dos pontos { de descontinuidde de f em [, b]. Pr cd k N, tome D k = x [, b]; ω(f; x) 1 }, ou sej, pel Observção 1.4, cd D k k

52 50 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN contém pens pontos em que f é descontínu. Logo, D = k D k, então D = k D k = k D k e pr provr que D possui medid nul, bst provr que cd D k é tl que D k = 0. Como f é integrável, então pelo Teorem 1.2, existe um prtição P = {t 0, t 1,..., t n } de [, b] tl que ω i (t i t i 1 ) < ε k i=1 Sejm [t α 1, t α ] os intervlos d prtição P que contenhm pontos de D k em seu interior e, pel Observção 1.5 e pelo modo como definimos cd D k, temos ω α 1. Além disso, note que temos um cobertur k pr D k ( α [t α 1, t α ] F), onde F é o conjuntos dos pontos em que f é descontinu, ms que são extremos dos intervlos d prtição. Assim, 0 D k α (t α t α 1 ) + F Ms F é um conjunto de intervlos degenerdos, então F = 0. Assim, 1 k (t α t α 1 ) α α ω α (t α t α 1 ) ω i (t i t i 1 ) < ε k i=1 Portnto, α t α t α 1 < ε e D tem medid nul. Com esses dois últimos teorems podemos dizer que é necessário e suficiente que um função sej contínu em quse todo ponto (Vej Observção 3.2) de [, b] pr que sej integrável, ou sej, função não precis ser contínu pr todo x [, b] pr que sej integrável, bst que só não sej contínu em um conjunto cuj medid sej nul. 1.4 CÁLCULO COM INTEGRAIS No primeiro contto que tivemos com integris este conceito nos foi presentdo totlmente relciondo com derivd. Porém, n Definição 1.5, percebemos que não há relção diret entre eles. No entnto, nos teorems que seguem, vmos ver que, de fto, esses dois conceitos se relcionm, em decorrênci do estudo que fizemos té gor.

53 1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS 51 Além de provrmos ess relção entre integrl e derivd, tmbém serão provdos os métodos utilizdos pr fcilitr o cálculo de integris. Definição 1.9 (Função Primitiv). Sej f : I R um função contínu em I. Dizemos que F : I R é um primitiv de f se F (x) = f(x) pr todo x I. Definição 1.10 (Integrl Indefinid). Sej f : I R um função contínu em I. Dizemos que F : I R é um integrl indefinid se existe I tl que pr todo x I. F(x) = F() + x f(t)dt Teorem 1.9 (Teorem fundmentl do Cálculo). Sej f : I R um função contínu em I, então F é um integrl indefinid de f se, e somente se, F é um primitiv de f. Demonstrção: ( ) Suponh F(x) = F() + x f(t)dt pr todo x I. E sej = x 0 I e x = x 0 +h I, com h > 0, ssim temos F(x 0 + h) = F(x 0 ) + x0+h x 0 f(t)dt então dividindo expressão cim por h obtemos 1 h [F(x 0 + h) F(x 0 )] = 1 x0+h f(t)dt (1.4) h x 0 Além disso, sbemos que f(x 0 ) é um função constnte, ssim inf[f(x 0 )] = f(x 0 ) = sup[f(x 0 )], então Logo, x0+h x 0 f(x 0 )dt = f(x 0 )(x 0 + h x 0 ) f(x 0 ) = 1 h x0+h x 0 f(x 0 )dt (1.5)

54 52 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Subtrindo 1.5 de 1.4, temos F(x 0 + h) F(x 0 ) f(x 0 ) h = 1 h Ms, pelo Teorem 1.4, temos que F(x 0 + h) F(x 0 ) f(x 0 ) h 1 h x0+h x 0 x0+h (f(t) f(x 0 )) dt x 0 f(t) f(x 0 ) dt (1.6) Além disso, como f é contínu em I, em prticulr é contínu em x 0, pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que se t I e t x 0 < δ f(t) f(x 0 ) < ε, logo, pel equção 1.6, F(x 0 + h) F(x 0 ) f(x 0 ) h < 1 x0+h ε = ε h x 0 Portnto, F(x 0 + h) F(x 0 ) f(x 0 ) h < ε e pel Definição de Derivd F (x 0 ) = f(x 0 ), logo F é primitiv de f. ( ) Suponh que F sej um primitiv de f, isto é, F (x) = f(x) pr todo x I. Sej I, tome ϕ(x) = x f(t)dt integrl indefinid de f. Pelo que cbmos de provr, sbemos que se ϕ(x) é um integrl indefinid de f, então é um primitiv de f, ou sej, ϕ (x) = f(x). D hipótese segue que F (x) = f(x) = ϕ (x) pr todo x I. Desse modo, existe k R tl que F(x) = ϕ(x) + k, pelo Anexo A.4. Assim, F(x) = x f(t)dt + k (1.7) E plicndo x = n expressão 1.7, temos k = F() f(t)dt = F(). Portnto, F(x) = F() + x f(t)dt pr todo x I e F é um integrl indefinid de f. Este teorem nos prov relção entre Integrl e Derivd de um função contínu e grnte que, relmente, fim de clculrmos

55 1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS 53 áre, qundo função for não negtiv, d região delimitd por ess função não é necessário clculr o supremo ds soms inferiores ou o ínfimo ds soms superiores reltivs tods s prtições pr o intervlo no qul função está definid, bst clculr su Função Primitiv e plicrmos o Teorem Fundmentl do Cálculo. No cso gerl, em que função tmbém tinge vlores negtivos, bst usr o Teorem 1.3, tomndo s restrições d função no intervlos em que tinge pens vlores negtivos e trocr o sinl do vlor obtido com o Teorem Fundmentl do Cálculo, pens nesse intervlo. Algums vezes, é conveniente fzermos um mudnç de vriável pr clculr integrl de um função, o teorem que segue nos grnte que isso é possível e nos diz de que form esse procedimento deve ser feito. Teorem 1.10 (Mudnç de Vriável). Sejm f : [, b] R contínu e g : [c, d] R, com g C 1 e g([c, d]) [, b]. Então g(d) f(x)dx = d g(c) c f(g(t))g (t)dt Demonstrção: Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, temos g(d) g(c) f(x)dx = F(g(d)) F(g(c)) = (F g)(d) (F g)(c) (1.8) Desse modo, F g é primitiv de f(x) em [g(c), g(d)]. Ms pel Regr d Cdei, (F g) (t) = F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t) Logo, (F g) tmbém é primitiv de f(g(t))g (t), plicndo o Teorem Fundmentl do Cálculo, temos d c f(g(t))g (t) = (F g)(d) (F g)(c) (1.9)

56 54 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Igulndo s expressões 1.8 e 1.9, temos g(d) f(x)dx = d g(c) c f(g(t))g (t)dt. De fto, fzendo um mudnç de vriável encontrmos o mesmo vlor pr integrl de um função. Porém é necessário que função escolhid pr fzer ess mudnç de vriável sej contínu e com derivd contínu. E lém disso, qundo fzemos esse procedimento é necessário utilizr um ftor que equilibr ess mudnç de vriável, que qui prece como o diferencil dx = g (t)dt, ms que em dimensões miores ou iguis dois é chmdo de Determinnte Jcobino d mudnç de vriável. Teorem 1.11 (Integrção por Prtes). Sejm f, g : [, b] R que pertençm clsse C 1 então b b f(x) g (x)dx = (f g)(x) b f (x) g(x)dx Demonstrção: Suponh f, g C 1 e tome função f g : [, b] R, (f g)(x) b = (f g)(b) (f g)() Isso signific que f g é primitiv de (f g), pelo Teorem Fundmentl do Cálculo. Ms pel Regr do Produto pr derivds, temos (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Dess form, b (f g) (x)dx = b Portnto, b [f (x) g(x) + f(x) g (x)]dx = (f g)(x) b f(x) g (x)dx = (f g)(x) b b f (x) g(x)dx

57 1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS 55 Teorem 1.12 (Fórmul do Vlor Médio pr Integris). Sejm f, p : [, b] R tis que f é contínu e p(x) 0 pr todo x [, b] e integrável. Então existe c [, b] tl que b f(x)p(x)dx = f(c) b p(x)dx Demonstrção: Pelo Teorem de Weierstrss (A.1), como f é contínu em um intervlo compcto, então temos que m f(x) M pr todo x [, b], com m e M ínfimo e supremo de f em [, b], respectivmente, e como p(x) 0 pr todo x [, b], temos m p(x) f(x) p(x) M p(x) Além disso, pelo Teorem 1.5 f é integrável e os itens (ii) e (iv) do Teorem 1.4 nos grntem que m b p(x) b f(x)p(x) M b p(x) Observe que f(x) b p(x)dx é contínu em [, b], pois f e função b p(x)dx tmbém são. E como f é contínu em [, b], pelo Anexo A.9, existe lgum c [, b] tl que b f(x)p(x)dx = f(c) b p(x)dx Teorem Sej f : [, b] R contínu. Existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ) Demonstrção: Pelo Teorem 1.12, bst tomr p(x) = 1 pr todo x [, b]. b f(x)dx = f(c) b 1dx = f(c) x b = f(c)(b )

58 56 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Embor, neste trblho, não iremos usr s Fórmuls de Tylor pr demonstrrmos outros resultdos d Integrl, els são importntes ferrments pr proximr o vlor de um função em um ponto e s integris de Riemnn podem precer nesss proximções. Em Otimizção, por exemplo, s Fórmuls de Tylor são úteis n demonstrção ds condições de Otimlidde de Segund Ordem e tmbém no Método de Newton (RIBEIRO; KARAS, 2013). Com ess motivção seguem teorems que provm relção ds Integris com Fórmuls de Tylor. Lem 1.5. Sej ϕ : [0, 1] R tl que ϕ C n, então ϕ(1) = n 1 i=0 ϕ (i) (0) i! (1 t) n 1 ϕ (n) (t)dt. (n 1)! Demonstrção: Vmos provr este teorm usndo indução. i. Pelo Teorem fundmentl do Cálculo 1.9, temos que 1 0 ϕ (t)dt = ϕ(1) ϕ(0) ϕ(1) = ϕ(0) + Portnto, o teorem vle pr n = ϕ (t)dt ii. Suponh que o teorem é verddeiro pr lgum n, ou sej, ϕ(1) = n 1 i=0 ϕ (i) (0) i! ou, como iremos usr seguir, (1 t) n 1 ϕ (n) (t)dt (n 1)! (1 t) n 1 n 1 ϕ (n) ϕ (i) (0) (t)dt = ϕ(1) (n 1)! i! i=0 vmos provr que vle pr n + 1. Perceb que, ( ) (1 t) n = n! Por Integrção por prtes, temos 1 0 (1 t) n ϕ (n+1) (t)dt = n! n(1 t)n 1 n(1 t)n 1 (1 t)n 1 ( 1) = = n! n(n 1)! (n 1)! (1 1 t)n ϕ (n) (t) 1 0 n! + 0 (1 t) n 1 ϕ (n) (t)dt (n 1)!

59 1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS 57 Ms usndo hipótese de indução, obtemos 1 0 Observe que, (1 t) n ϕ (n+1) (t)dt = n! (1 t) n n! ϕ (n) (t) 1 0 = (0)n n! n 1 (1 t)n ϕ (n) (t) 1 ϕ (i) (0) 0 + ϕ(1) n! i! i=0 ϕ (n) (1) (1)n ϕ (n) (0) = 1 n! n! ϕ(n) (0). Com isso, podemos reescrever equção nterior como 1 0 Além disso,. Assim, (1 t) n n! n 1 i=0 ϕ(1) = n 1 ϕ (n+1) (t)dt = ϕ(1) ϕ (i) (0) i! i=0 ϕ (i) (0) i! i=0 + 1 n! ϕ(n) (0) = Portnto, o teorem vle pr todo n N. ϕ (i) (0) i! i=1 ϕ (i) (0) i! 1 n! ϕ(n) (0) (1 t) n ϕ (n+1) (t)dt n! Teorem 1.14 (Fómul de Tylor com resto integrl). Sej f : [, + h] R com derivds de ordem n contínus neste intervlo, então f( + h) = f() + f ()h f (n 1) () (n 1)! hn 1 + [ 1 0 (1 t) n 1 f (n) ] ( + th) dt h n (n 1)! Demonstrção: Tome ϕ : [0, 1] R, como ϕ(t) = f( + th), ssim ϕ(0) = f() e ϕ(1) = f( + h), lém disso, como f possui derivds contínus, ϕ tmbém possui, então pelo Lem 1.5, ϕ(1) = n 1 i=1 ϕ (i) (0) i! (1 t) n 1 ϕ (n) (t)dt. (n 1)!

60 58 Cpítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN Observe que, pel Regr d Cdei, ϕ (n) (t) = f (n) (+th) = h n f (n) (+ th), logo ϕ (n) (0) = h n f (n) (). Assim, f( + h) = Portnto, n 1 i=1 h i f (i) (0) i! [ (1 t) n 1 (n 1)! ] h n f (n) ( + th) dt. f( + h) = f() + f ()h f (n 1) () (n 1)! hn 1 + [ 1 0 (1 t) n 1 f (n) ] ( + th) dt h n (n 1)! Corolário 1.6 (Fórmul de Tylor com resto de Lgrnge). Sej f : [, + h] R com derivds de ordem n contínus neste intervlo, então existe θ [0, 1] tl que f( + h) = f() + f ()h f (n 1) () (n 1)! hn 1 + f (n) ( + θh) n! Note que Demonstrção: Pelo Teorem 1.14 temos que f( + h) = f() + f ()h f (n 1) () (n 1)! hn 1 + [ 1 0 (1 t) n 1 (n 1)! (1 t) n 1 f (n) ] ( + th) dt h n (n 1)! 0 pr todo t [0, 1] Então, pelo Teorem 1.12, existe θ [0, 1] tl que 1 0 [ (1 t) n 1 (n 1)! ] 1 f (n) ( + th)dt = f (n) ( + θh) 0 h n (1 t) n 1 dt (n 1)! Além disso, 1 0 (1 t) n 1 (1 t)n dt = 1 0 (n 1)! n! = 1 n!