Integral de Kurzweil para funções a valores em um espaço de Riesz - uma introdução. Giselle Antunes Monteiro

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1 Integrl de Kurzweil pr funções vlores em um espço de Riesz - um introdução Giselle Antunes Monteiro DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM CIÊNCIAS Áre de concentrção: Mtemátic Orientdor: Prof. Dr. Roseli Fernndez Durnte prte d elborção deste trblho utor recebeu uxílio finnceiro d CAPES. São Pulo, gosto de 2007.

2 Integrl de Kurzweil pr funções vlores em um espço de Riesz - um introdução Este exemplr corresponde à redção finl d dissertção devidmente corrigid e defendid por Giselle Antunes Monteiro e provd pel Comissão Julgdor. Bnc Exmindor: Prof. Dr. Roseli Fernndez orientdor - IME-USP. Prof. Dr. Severino Toscno do Rego Melo - IME-USP. Prof. Dr. Rymundo Luiz Alencr - IEFM-ITA.

3 Às minhs mães Dor, Delmin, Crolin e Gonçlin, e às minhs irmãs Vivin e Ivn.

4 Resumo Neste trblho estudmos integrl de Kurzweil pr funções definids em um intervlo fechdo limitdo d ret e vlores em um espço de Riesz. Apresentmos lgums proprieddes básics dess integrl e teorems que relcionm convergênci uniforme de um seqüênci de funções Kurzweil integráveis com convergênci d seqüênci formd pels respectivs integris. Plvrs-chve: integrl de Kurzweil, espço de Riesz, D-seqüênci. Abstrct In this work we study the Kurzweil integrl for functions defined in compct intervl nd with vlues in Riesz spce. We present some elementry properties for this integrl nd we prove theorems tht relte the uniform convergence of sequence of Kurzweil integrble functions to the convergence of the sequence of their integrls. Keywords: Kurzweil integrl, Riesz spce, D-sequence.

5 Agrdecimentos Agrdeço, primeirmente, Prof. Roseli Fernndez por su pciênci, dedicção, confinç; por seus conselhos, orientndo-me não pens n relizção deste trblho ms tmbém em minh cminhd pr vid profissionl. Agrdeço bnc exmindor pels sugestões que permitirm melhorr est dissertção. Agrdeço Prof. Cláudi Cuev Cndido pelo poio e crinho. Agrdeço o Ivo Mchdo d Cost, professor do DM-UFSCr, pel mizde e incentivo n jornd té qui. Agrdeço o Crlos Aguir, pelo compnheirismo em todos os momentos difíceis destes nos e por creditr sempre no meu potencil. Agrdeço s pessos que qui conheci e estiverm o meu ldo, em especil, An Crolin Boero, Estel Mr, Frncisco Medeiros, Heily Wgner, Mri Simone Kugertski e Rodrigo Lucs. Agrdeço ind os migos que, mesmo longe em distânci, de lgum form mnifestrm seu incentivo nesse momento tão importnte em minh vid, em especil, Andr Sr de Lim, Alessndr Noeli e Fernndo Cotinguib. Por fim, grdeço s minhs mães, Dor, Delmin, Crolin, Gonçlin e s minhs irmãs Vivin e Ivn, pelo mor, incentivo e pciênci desde sempre. São Pulo, gosto de Giselle Antunes Monteiro

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7 Sumário Introdução i 1 Espço de Riesz Espço de Riesz: definição e lgums proprieddes Seqüêncis de elementos de um espço de Riesz Integrl de Kurzweil Integrl de Kurzweil: definição e exemplos Algums proprieddes d integrl de Kurzweil Seqüêncis de funções Convergênci simples e uniforme Convergênci uniforme e integrl de Kurzweil Índice de Símbolos e Notções Referêncis Bibliográfics

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9 Introdução O objetivo deste trblho é presentr extensão d integrl de Kurzweil, pr funções definids em um intervlo fechdo e limitdo d ret e vlores em um espço de Riesz, introduzid por B. Riečn em [R]. Visto que, pr construção dess integrl, é importnte ter um conhecimento sobre espços de Riesz, inicimos o nosso trblho com um estudo de lgums de sus proprieddes. Ao invés de nos restringirmos enuncir o necessário pr o nosso objetivo, optmos por presentr, no primeiro cpítulo, um estudo um pouco mis profundo sobre esses espços. Dentre os conceitos estuddos destcmos o de ser Arquimedino, de ser Dedekind σ-completo, de ser Dedekind completo, de ser frcmente σ-distributivo e os conceitos de o-convergênci e o de D-convergênci. O segundo cpítulo é dedicdo o principl objeto de estudo dest Dissertção, ou sej, integrl de Kurzweil pr funções definids em um intervlo fechdo e limitdo d ret e vlores em um espço de Riesz Dedekind σ-completo frcmente σ-distributivo. Nesse cpítulo presentmos definição, exemplos, lgums proprieddes básics dess integrl e provmos que ess integrl coincide com integrl de Riemnn generlizd, no cso em que o espço de Riesz é o conjunto dos números reis. Pr os espços de Riesz Dedekind completo frcmente σ-distributivo presentmos um Critério de Cuchy. Esse critério permite concluir que um função é Kurzweil integrável sem conhecer o vlor d i

10 ii integrl. Finlizmos o trblho com um breve estudo de seqüêncis de funções definids em um intervlo fechdo e limitdo d ret e vlores em um espço de Riesz. Apresentmos os conceitos de convergênci simples, convergênci uniforme, seqüênci uniformemente de Cuchy e seqüênci uniformemente limitd, dndo ênfse à convergênci uniforme. Qunto os teorems que relcionm seqüêncis de funções Riemnn generlizd integráveis e convergênci d seqüênci formd pels respectivs integris, presentmos um teorem semelhnte o existente pr seqüêncis de funções que convergem uniformemente Teorem d Convergênci Uniforme. Contudo, no nosso contexto função limite precis ser limitd. Isso nos trouxe um cert preocupção, pois no cso de funções Riemnn generlizd integráveis não há ess condição pr função limite. Estudndo técnic introduzid por B. Riečn nos foi possível presentr um outr versão desse teorem. A prtir desse resultdo lcnçmos nosso objetivo, isto é, obtivemos, como corolário, o Teorem d Convergênci Uniforme no contexto ds funções Riemnn generlizds integráveis ver [B]; p No finl dest Dissertção há um índice de símbolos e notções e s referêncis bibliográfics. Ness últim, lém dos rtigos que servirm de poio e motivção pr o nosso trblho, listmos outros relciondos com integris de Kurzweil. Ressltmos que, lém d integrl qui presentd, há extensões d integrl de Kurzweil pr funções vlores em um espço de Riesz e definids em um intervlo não limitdo d ret, ou em espços topológicos com certs proprieddes. Esss extensões podem ser encontrds, por exemplo, em [Bo-R-1], [R-V-2] e [Bo-R-2]. São Pulo, gosto de Giselle Antunes Monteiro

11 Cpítulo 1 Espço de Riesz Esse cpítulo é dedicdo o estudo de um espço de Riesz, isto é, um espço vetoril sobre IR, provido de um relção de ordem prcil comptível com su estrutur de espço vetoril Definição O conjunto dos números reis, com s operções de som, produto e relção de ordem usuis, é um prticulr espço de Riesz. O cpítulo tem dus seções. N primeir dels encontrm-se lgums proprieddes de um espço de Riesz. Dentre os conceitos presentdos destcmos o de completude Definição e o de ser Arquimedino Definição , conceitos esses nálgos os encontrdos em IR. Finlizmos o cpítulo com um estudo d convergênci de seqüêncis de elementos de um espço de Riesz. Inicilmente, presentmos um conceito de convergênci, que considermos ser o mis nturl, denomindo o-convergênci Definição A prtir desse conceito presentmos lguns resultdos sobre convergênci de séries em um espço de Riesz. B. Riečn, em [R], o introduzir integrl de Kurzweil pr funções vlores em um espço de Riesz, integrl ess presentd no Cpítulo 2, coment sobre um técnic que consiste em utilizr seqüêncis dupls pr substituir o epsilon que prece, no cso rel, qundo queremos trnsmitir um idéi de proximidde. Isso nos levou estudr 1

12 2 1. Espço de Riesz o conceito de D-convergênci Definição pr seqüêncis de elementos de um espço de Riesz Dedekind σ-completo. Ess convergênci nos prece, de cert form, mis flexível que o-convergênci. Provmos que, sob certs condições, esses dois conceitos de convergênci são equivlentes Corolário Espço de Riesz: definição e lgums proprieddes Nest seção definimos espço de Riesz e presentmos lgums de sus proprieddes, úteis neste trblho. Antes porém lembremos o conceito de reticuldo. Mis precismente: Um conjunto X prcilmente ordendo pel relção é um reticuldo se, ddos quisquer x, y X, existem z, w X stisfzendo: w x z e w y z ; se u X é tl que x u e y u, então z u ; se v X é tl que v x e v y, então v w. Convém observr que z e w são únicos e escreveremos z := x y ou z := y x e w := x y ou w := y x. Definição Sej X um IR-espço vetoril, prcilmente ordendo pel relção. Dizemos que X, é um espço de Riesz ou simplesmente X é um espço de Riesz, se: i X, é um reticuldo; ii ddos quisquer x, y, z X tis que x y, tem-se x + z y + z ; iii ddos quisquer x, y X e α IR tis que x y e α 0, tem-se α x α y.

13 1. Espço de Riesz 3 Se X é um espço de Riesz, denotmos por X + o conjunto {x X 0 x}, e pr cd x X, definimos: x + := x 0, x := x 0 e x := x x Algums proprieddes d função. : x X x serão presentds n Proposição Note que, prtir d Definição 1.1.1, não é difícil verificr o seguinte: Se X é um espço de Riesz e x, y, z, w X, então são verddeirs s seguintes firmções: se x y e z w, então x + z y + w ; 1.1 se x y e α IR, α 0, então α y α x ; 1.2 se x y, então x z y z e x z y z ; 1.3 se x y e z w, então x z y w e x z y w. 1.4 Exemplo Considere o espço IR n, com n N, munido com s operções de som e produto por esclr usuis. Ddos quisquer x = x 1,..., x n e y = y 1,..., y n elementos de IR n, defin x y, se x i y i, pr todo 1 i n. Então IR n, com ess relção de ordem prcil, é um espço de Riesz, lém disso, x y = z 1,..., z n e x y = w 1,..., w n, onde z i := mx{x i, y i } e w i := min{x i, y i }, pr todo 1 i n. 2. Sejm X, um espço de Riesz qulquer e n N. Considere em X n := n X relção de ordem prcil definid de modo nálogo à de IR n, isto é, ddos quisquer x = x 1,..., x n e y = y 1,..., y n elementos de X n, defin x y, se x i y i, pr todo 1 i n. Então X n, com ess relção de ordem prcil, é um espço de Riesz, onde x y := x 1 y 1,..., x n y n e x y := x 1 y 1,..., x n y n.

14 4 1. Espço de Riesz 3. Considere IR 2 munido com s operções de som e produto por esclr usuis e d ordem lexicográfic, ou sej, x 1, x 2 y 1, y 2 se x 1 < y 1 ou, se x 1 = y 1 e x 2 y 2. Então IR 2, com ess relção de ordem prcil, é um espço de Riesz e x 1, mx{x 2, y 2 } se x 1 = y 1 x 1, x 2 y 1, y 2 = x 1, x 2 se x 1 > y 1 ; y 1, y 2 se x 1 < y 1 x 1, min{x 2, y 2 } se x 1 = y 1 x 1, x 2 y 1, y 2 = y 1, y 2 se x 1 > y 1. x 1, x 2 se x 1 < y 1 4. Sejm n N, n 2, e M n IR o IR-espço vetoril ds mtrizes de ordem n e elementos em IR, munido com s operções de som e produto por esclr usuis. Pr quisquer A, B M n IR, A := ij 1 i,j n e B := b ij 1 i,j n, defin A B se ij b ij, pr quisquer 1 i, j n. Então M n IR, com ess relção de ordem prcil, é um espço de Riesz, lém disso, A B = c ij 1 i,j n e A B = d ij 1 i,j n, onde c ij := mx{ ij, b ij } e d ij := min{ ij, b ij }, pr quisquer 1 i, j n. Note que substituindo IR por um espço de Riesz X, qulquer e considerndo em M n X IR-espço vetoril ds mtrizes de ordem n e elementos em X relção de ordem dd em 4. substituindo IR por X, tem-se que M n X é um espço de Riesz, onde c ij := ij b ij e d ij := ij b ij, pr quisquer 1 i, j n. 5. Sejm Y um conjunto qulquer e IR Y o IR-espço vetoril ds funções definids em Y e vlores em IR, munido com s operções de som e produto por esclr usuis. Considere sobre IR Y relção de ordem prcil usul, isto é, dds quisquer f, g IR Y

15 1. Espço de Riesz 5 tem-se f g, se fx gx, pr todo x Y. Então IR Y, com ess relção de ordem prcil, é um espço de Riesz, onde f g e f g são s funções f gx := mx{fx, gx} e f gx := min{fx, gx}, pr todo x Y. Note que, substituindo IR por um espço de Riesz X, qulquer e considerndo em X Y relção de ordem prcil dd em 5. substituindo IR por X, tem-se que X Y é um espço de Riesz e, pr tod f, g X Y, f gx := fx gx e f gx := fx gx, pr todo x Y. 6. Sejm Y IR, um espço topológico com topologi induzid pel usul de IR, e CY ; IR IR Y o IR-espço vetoril ds funções contínus definids em Y vlores em IR, munido com s operções de som e produto por esclr usuis. Considere sobre CY ; IR relção de ordem prcil induzid pel usul de IR Y. Então CY ; IR é um espço de Riesz. De fto, segue de 5. observndo que, se f e g são contínus em Y, então s funções mx{f, g} e min{f, g} são contínus em Y. 7. Sej EIR IR IR o IR-espço vetoril ds funções diferenciáveis em IR, munido com s operções de som e produto por esclr usuis. Considere sobre EIR relção de ordem prcil induzid pel usul de IR IR. Então EIR não é um espço de Riesz pois EIR, não é um reticuldo. De fto, suponh, por bsurdo, que EIR sej um reticuldo. Considere f, g EIR, definids por fx = x e gx = x 2, pr x IR, e sej h EIR tl que h = f g. É clro que hx 0, pr todo x IR. Além disso, se h0 > 0, então função ϕ IR IR { } dd por ϕx := x 2 + h0, pr x IR, com := mx 1 1,, é um 2 2 h0 elemento de EIR stisfzendo f ϕ, g ϕ e ϕ0 < h0. Ms isso implic que h0 = f g0 ϕ0 < h0, o que é um contrdição. Logo h0 = 0. Desse fto e observndo que x 2 hx e x hx, pr todo x IR, segue que derivd à esquerd

16 6 1. Espço de Riesz de h em 0 é menor ou igul 0 e derivd à direit de h em 0 é mior ou igul 1, o que é bsurdo. Portnto f g não existe em EIR, donde concluímos que EIR, não é um reticuldo. A menos de menção em contrário, qundo nos referirmos o espço de Riesz IR n estremos considerndo em IR n, lém ds operções de som e produto por esclr usuis, ordem definid no Exemplo Ns dus próxims proposições presentremos lgums identiddes que relcionm estrutur de IR-espço vetoril de um espço de Riesz com o fto dele ser um reticuldo. Proposição Sej X um espço de Riesz. Se x, y, z X tem-se 1. x y = x y ; 2. x y + z = x + z y + z ; 3. x y + z = x + z y + z ; 4. α x y = α x α y, pr todo α IR, α 0 ; 5. α x y = α x α y, pr todo α IR, α 0 ; 6. x + y = x y + x y. Demonstrção. 1. De x y x e x y y, temos, por 1.2, que x x y e y x y. Logo x y x y, e ssim, por 1.2, x y x y. Por outro ldo, observndo que x x y e y x y,

17 1. Espço de Riesz 7 segue, de 1.2, que x y x e x y y. Com isso, x y x y. Portnto 1. é verddeir. 2. D Definição ii, temos que x + z x y + z e y + z x y + z. Logo x + z y + z x y + z. Por outro ldo, x + z x + z y + z e y + z x + z y + z, e ssim, d Definição ii, temos x = x+z z x+z y +z z e y = y +z z Portnto x y x + z y + z z, ou sej, Assim concluímos que 2. é verddeir. x y + z x + z y + z. x+z y +z z. 3. Usndo s firmções 1. e 2. temos x y + z = x y + z [ ] = x y + z [ ] = x + z y + z = x + z y + z, e ssim provmos A iguldde é imedit no cso em que α = 0. Suponhmos α > 0. D Definição iii, temos que α x α x y e α y α x y, e ssim α x α y α x y.

18 8 1. Espço de Riesz Portnto, pr concluir 4. bst provr que α x y α x α y. Pr isto, note que, d Definição iii, tem-se x = 1 α α x 1 α Com isso, x y 1 α α x α y α x α y, ou sej, α x y e y = 1 α α y 1 α α x α y. α x α y. 5. Usndo s firmções 1. e 4. temos que o que prov 5. α x y = α x y = α x α y = α x α y, 6. Ds firmções 1. e 2. segue que Portnto x + y = x y + x y. x + y x y = x + y + x y = x + y x x + y y = y x = x y. Proposição Sej X um espço de Riesz. Se x, y X tem-se 1. x + y + x y = 2 x y ; 2. x + y x y = 2 x y ; 3. x = x + x ; 4. x = x + + x ;

19 1. Espço de Riesz 9 5. x + x = 0. Demonstrção. 1. Pel Proposição e 4, tem-se que x + y + x y = x + y + x y x y = x + y + x y x + y + y x = 2 x 2 y = 2 x y, o que prov Usndo Proposição , 3 e 5, obtem-se x + y x y = x + y x y x y = x + y + x y x y = x + y + y x x + y + x y = 2 y 2 x = 2 y x, ou sej, x + y x y = 2 x y. 3. Pel Proposição , temos e ssim x = x + x. x + x = x + x 0 = x x x + 0 = 0 x = x +, 4. Pel firmção 3. e pel Proposição e 4 temos x + + x = x + x + x = x + 2 x = x + 2 x 0 = x + 2 x 0 = x 2 x x + 0, ou sej, x + + x = x x = x. 5. Pel Proposição e d firmção 4., temos que x + x = x + + x x + x = x x + x.

20 10 1. Espço de Riesz Portnto, pr concluir 5., bst mostrr que x + x = x. Observndo que 0 x + e 0 x segue, d firmção 4., que x + x e x x. Logo x + x x. Por outro ldo, x x + x, pois, x x 0, x x 0 e por 1.4, tem-se que x = x x x 0 x 0 = x + x. Com isso concluímos que x = x + x, o que prov 5. N próxim proposição presentremos lgums proprieddes pertinentes o módulo definido neste contexto. Veremos que ele se comport de modo semelhnte o vlor bsoluto de um número rel. Note que é de se esperr esse comportmento, pois no cso em que o espço de Riesz é IR tem-se, d Proposição , que x se x 0 x = x + + x = mx{x, 0} + mx{ x, 0} =, x se x < 0 ou sej, o módulo de um número rel coincide com seu vlor bsoluto. Por esse motivo representremos por x tnto o módulo qunto o vlor bsoluto do número rel x. Proposição Sej X um espço de Riesz. Se x, y, z X tem-se 1. 0 x ; 2. x x x ; 3. se 0 x, então x = x ; 4. x = 0 se, e somente se, x = 0 ; 5. α x = α x, pr todo α IR ; 6. x z se, e somente se, z x z ;

21 1. Espço de Riesz x + y x + y ; 8. x y x y. Demonstrção. 1. Bst observr que 0 x + e 0 x, donde, por 1.1 e d Proposição , temos 0 x + + x = x. 2. Note que x x x = x e x x x = x. Dess form, x x x, onde primeir desiguldde decorre de D firmção 2. segue que x x. Portnto, pr concluir 3., bst mostrr que, se 0 x, então x x. Note que, se 0 x então, por 1.2, temos que x 0 x e ssim, plicndo 1.3, x = x x x x = x, donde concluímos que 3. é verddeir. 4. É clro que x = 0 implic que x = 0. Por outro ldo, se x = 0, então, d firmção 2., obtem-se que x = No cso em que α 0 temos, pel Proposição , que α x = α x α x = α x x = α x = α x, e no cso em que α < 0, novmente pel proposição , temos α x = α x α x = α x α x = α x x = α x = α x. Portnto α x = α x, pr todo α IR.

22 12 1. Espço de Riesz 6. Supondo que x z temos, por 1.2, que z x e ssim, d firmção 2., segue que z x x x z. Por outro ldo, se z x z, então, por 1.2, temos que x z. x x z, ou sej, x z. Logo 7. D firmção 2., tem-se que x x x e y y y. Dess form, por 1.1, obtem-se que x + y = x y x + y x + y, e ssim, pel firmção 6., conclui-se que x + y x + y. 8. Usndo s firmções 5. e 7. temos x = x y + y x y + y e y = y x + x y x + x = x y + x, donde x y x y e x y = y x x y. Logo x y x y x y isto é, x y x y, o que prov 8. Pr elementos não-negtivos de um espço de Riesz temos o seguinte resultdo. Proposição Sej X um espço de Riesz. Pr todo n N, tem-se que, pr quisquer z, x k X +, 1 k n, são verddeirs s seguintes relções: 1. z 2. z n n x k z x k ; k=1 k=1 n n x k = z z x k. k=1 k=1

23 1. Espço de Riesz 13 Demonstrção. 1. Mostrremos por indução sobre n. É clro que o resultdo vle se n = 1. Suponhmos válido pr soms de n 1 prcels. Mostrremos que o resultdo é verddeiro pr um som com n prcels. D Proposição , temos z n x k = k=1 = z z + n x k + k=1 n x k k=1 z z n x k k=1 n k=1 x k. Notemos que, de x k X +, pr 1 k n, segue que x n 1.3, temos que z n x k z x n. Logo z n x k k=1 k=1 z + z n k=1 n x k k=1 x k, e ssim, por 1.2 e n n 1 x k z x n = z + x n + x k z x n, k=1 e pelo fto de z + x n = z x n + z x n Proposição concluímos que k=1 ou sej, z z n n 1 x k z x n + x k, k=1 k=1 n n 1 x k z x n x k. 1.5 k=1 k=1 Como z, x n X + temos que 0 z x n, e portnto n n z x k z x n z x k z. 1.6 k=1 De 1.5 e 1.6 concluímos que ou sej, z z k=1 n n 1 x k z x n z x k, k=1 n x k z x n + k=1 k=1 n 1 z k=1 x k,

24 14 1. Espço de Riesz donde, pel hipótese de indução, obtemos n n 1 z x k z x n + z x k = k=1 k=1 n z x k. k=1 Portnto 1. é verddeir. 2. De z n x k z e de 1., segue que k=1 n n z x k z z x k. k=1 k=1 Como z x k x k, pr todo 1 k n, temos, por 1.3, que z Logo firmção 2 é verddeir. n n z x k z x k. k=1 k=1 Ddo um subconjunto não vzio de um espço Riesz, é nturl se perguntr qundo existem o supremo e o ínfimo desse conjunto, ou sej, qundo se pode flr em um conceito de completude Definição Antes porém, lembremos os conceitos de supremo e ínfimo de um subconjunto de um conjunto prcilmente ordendo. Sejm X um conjunto prcilmente ordendo pel relção e A X, não vzio. Dizemos que i x X é um cot superior [ respectivmente, cot inferior ] de A se, pr todo y A, tem-se que y x [ resp. x y ]; ii A dmite máximo [ resp. mínimo ], se existe x A tl que x é um cot superior [ resp. cot inferior ] de A. Esse elemento x é único e será denotdo por mx A [ resp. min A ] ;

25 1. Espço de Riesz 15 iii A é limitdo superiormente [ resp. limitdo inferiormente ] se existe x X que é um cot superior [ resp. cot inferior ] de A ; iv A é limitdo se é limitdo superiormente e inferiormente; v A dmite supremo se A for limitdo superiormente e existir z X tl que z é menor ds cots superiores de A, isto é, z é um cot superior de A e se x X é um cot superior de A, então z x. Esse elemento z é único e será denotdo por sup A ; vi A dmite ínfimo se A for limitdo inferiormente e existir w X tl que w é mior ds cots inferiores de A, isto é, w é um cot inferior de A e se x X é um cot inferior de A, então x w. Esse elemento w é único e será denotdo por inf A. De ii, v e vi tem-se que A dmite máximo z se, e somente se, A dmite supremo z e z A ; 1.7 A dmite minimo w se, e somente se, A dmite ínfimo w e w A. 1.8 Se X é um reticuldo e A X, não vzio, é finito, então sempre existe sup A e inf A, ms A pode não dmitir máximo nem mínimo. Por exemplo, se X = IR 2 Exemplo e A := {1, 1, 2, 0}, então A não dmite máximo, não dmite mínimo, sup A = 2, 1 e inf A = 1, 0. Notemos ind que, pr quisquer x, y, z X tem-se que x y = inf{x, y} ; x y = sup{x, y} ; x y z = sup{x, y, z} = x y z ; x y z = inf{x, y, z} = x y z. Convém observr que, se X é um espço de Riesz, x X e A, B X, não vzios, tem-se, com prov nálog o cso rel, s seguintes firmções:

26 16 1. Espço de Riesz se existe o ínfimo de A [ respectivmente, supremo de A ], então existe o supremo de A [ resp. ínfimo de A ] e inf A = sup A ; 1.9 se existe o supremo de A, então existe o supremo de x + A e supx + A = x + sup A ; 1.10 se existe o ínfimo de A, então existe o ínfimo de x + A e infx + A = x + inf A ; 1.11 se existem os supremos de A e B, então existe o supremo de A + B e supa + B = sup A + sup B ; 1.12 se existem os ínfimos de A e B, então existe o ínfimo de A + B e infa + B = inf A + inf B ; 1.13 se α IR, α 0 e existe o supremo de A, então existe o supremo de α A e supα A = α sup A ; 1.14 se α IR, α 0 e existe o ínfimo de A, então existe o ínfimo de α A e infα A = α inf A Do fto de X ser um IR-espço vetoril, lém ds relções 1.14 e 1.15, pode-se trblhr com conjuntos d form x A, onde x X e A IR, não vzio. Pr esses conjuntos tem-se o seguinte:

27 1. Espço de Riesz 17 Proposição Sejm X um espço de Riesz e A IR, não vzio. São verddeirs s seguintes firmções: 1. se x X + e existe o máximo de A, então existe o máximo de x A e mxx A = x mx A. 2. se x X + e existe o mínimo de A, então existe o mínimo de x A e minx A = x min A. Demonstrção. Pr provr 2. bst plicr 1., observndo que, por 1.7, 1.8 e 1.9, tem-se que, se B X e existe o mínimo de B [ respectivmente, máximo de B ], então existe o máximo de B [ resp. mínimo de B ] e min B = mx B. Provremos que 1. é verddeir. Sej M IR tl que M = mx A. Dess form, M, pr todo A, ou sej, 0 M, pr todo A. Com isso, um vez que x X +, temos que 0 x M e portnto x x M, pr todo A. Observndo que x M x A, pois M A, segue que mxx A = x M = x mx A, o que prov 1. Note que n Proposição não podemos substituir máximo [ respectivmente, mínimo ] por supremo [ resp. ínfimo ]. De fto, se X = IR 2 com ordem lexicográfic Exemplo , A := [0, 1[ e x := 1, 0, então x X + e x A = {, 0 [0, 1[ } não dmite supremo visto que 1, c é cot superior de x A, pr todo c IR.

28 18 1. Espço de Riesz Se X é um espço de Riesz, x X e A X, não vzio, veremos o que se pode firmr sobre existênci do supremo e/ou do ínfimo dos conjuntos {x y y A} e {x y y A} qundo o conjunto A dmite supremo e/ou ínfimo. Proposição Sejm X um espço de Riesz, x X e A X, não vzio. verddeirs s seguintes firmções: São 1. se existe o supremo de A, então existem os supremos dos conjuntos {x y y A}, {x y y A} e tem-se que sup{x y y A} = x sup A ; 1.16 sup{x y y A} = x sup A ; se existe o ínfimo de A, então existem os ínfimos dos conjuntos {x y y A}, {x y y A} e tem-se que inf{x y y A} = x inf A ; 1.18 inf{x y y A} = x inf A Demonstrção. 1. Pr provr 1.16, note que, de 1.3, tem-se que x sup A é um cot superior de {x y y A}. Sej z X tl que x y z, pr todo y A. Dess form, y z, pr todo y A, e portnto sup A z. Como x z e sup A z segue que x sup A z. Logo 1.16 é verddeir. Defin B := {x y y A}. Por 1.3, é clro que x sup A é cot superior de B. Sej z X um cot superior qulquer de B. Note que, pel Proposição , temos x sup A = x sup A 0 + sup A.

29 1. Espço de Riesz 19 Portnto, pr obter 1.17, bst provr que pois ssim x sup A z. sup A z x sup A 0, 1.20 Sej y A. Então, por 1.2 e pel Definição ii, temos que x sup A x y, donde, por 1.3, segue que x sup A 0 x y 0. Ms, pel Proposição , temos que x y 0 + y = x y, e ssim ou sej, y z x sup A 0 + y x y 0 + y = x y z, x sup A 0. Como y A é rbitrário, segue que o que prov sup A z x sup A 0, 2. Aplicndo 1.9, Proposição e firmção 1., temos que x inf A = x inf A = x sup A = sup{ x y y A} = sup{ x y y A} = inf{x y y A} ; x inf A = x sup A = x sup A = sup{ x y y A} = sup{ x y y A} = inf{x y y A} ;

30 20 1. Espço de Riesz e com isso concluímos que 2. é verddeir. Os resultdos 1.17 e 1.18 são conhecidos n litertur como Leis Distributivs. Decorre d prov d Proposição que, se 1.17 for verddeir, então 1.18 tmbém o será. D Proposição 1.1.8, temos o seguinte fto. Corolário Sej X um espço de Riesz. Então X é um reticuldo distributivo, isto é, ddos quisquer x, y, z X tem-se que x y z = x y x z. Demonstrção. Bst plicr 1.17 pr A = {y, z}. Um dos conceitos importntes em Análise é o conceito de completude. Definiremos seguir esse conceito no contexto de espços de Riesz. Definição Sej X um espço de Riesz. Dizemos que i X é um espço de Riesz Dedekind σ-completo se todo subconjunto não vzio, enumerável e limitdo superiormente dmite supremo; ii X é um espço de Riesz Dedekind completo se todo subconjunto não vzio e limitdo superiormente dmite supremo. É clro que o conjunto dos números reis é um espço de Riesz Dedekind completo. A prtir desse fto, tem-se que os espços de Riesz IR n, M n IR e IR Y definidos no Exemplo são espços de Riesz Dedekind completos. De modo gerl, se X, é um espço de Riesz Dedekind σ-completo qulquer [ respectivmente, Dedekind completo ], então os espços de Riesz X n, M n X e X Y definidos no Exemplo são espços de Riesz Dedekind σ-completos [ resp. Dedekind completos ].

31 1. Espço de Riesz 21 Convém destcr que num contexto mis gerl, isto é, se X é somente um conjunto prcilmente ordendo, diz-se que X é Dedekind σ-completo se todo subconjunto não vzio, enumerável, limitdo superiormente dmite supremo e todo subconjunto não vzio, enumerável, limitdo inferiormente dmite ínfimo. Contudo, tl definição, no cso em que X é um espço de Riesz, é equivlente à Definição i como veremos n proposição seguir. Proposição Sej X um espço de Riesz. Tem-se que 1. X é um espço de Riesz Dedekind σ-completo se, e somente se, todo subconjunto enumerável, não vzio e limitdo inferiormente dmite ínfimo; 2. X é um espço de Riesz Dedekind completo se, e somente se, todo subconjunto não vzio e limitdo inferiormente dmite ínfimo. Demonstrção. Bst observr que, se Y X, então Y é limitdo inferiormente se, e somente se, Y é limitdo superiormente, e plicr 1.9. Pr um espço de Riesz define-se, de modo nálogo o cso dos números reis, o conceito de espço de Riesz Arquimedino, isto é: Definição Sej X um espço de Riesz. Dizemos que X é um espço de Riesz Arquimedino se, pr quisquer x, y X tis que n y x, pr todo n N, tem-se que y 0. Como conseqüênci de IR ser um espço de Riesz Arquimedino, tem-se que os espços de Riesz IR n, M n IR, IR Y e CY ; IR definidos no Exemplo são espços de Riesz Arquimedinos. No entnto, IR 2 com ordem lexicográfic Exemplo não é um

32 22 1. Espço de Riesz espço de Riesz Arquimedino. De fto, se x = 1, 0 e y = 0, 1, então n y x, pr todo n N, ms 0, 0 y e y 0, 0. De modo gerl, se X, é um espço de Riesz Arquimedino, então os espços de Riesz X n, M n X e X Y definidos no Exemplo são espços de Riesz Arquimedinos. No Teorem presentremos um relção entre os conceitos de completude e de Arquimedino em um espço de Riesz. Teorem Se X é um espço de Riesz Dedekind σ-completo, então X é um espço de Riesz Arquimedino. Demonstrção. Sejm x, y X, tis que n y x, pr todo n N. Como o conjunto A := {n y n N} é enumerável, X é um espço de Riesz Dedekind σ-completo e x é um cot superior de A, existe z X, tl que z = sup A. Do fto de X ser um espço de Riesz Dedekind σ-completo e z ser um cot superior do conjunto enumerável y + A = {n + 1 y n N} A, tem-se que existe supy + A. Além disso, supy + A z. Dess form, por 1.10, obtem-se y + sup A = supy + A z = sup A. Logo y 0, e portnto X é um espço de Riesz Arquimedino. O Teorem é um ferrment útil pr concluir que um espço de Riesz não é um espço de Riesz Dedekind σ-completo. Por exemplo, vimos que IR 2 munido com s operções de som e produto por esclr usuis e com ordem lexicográfic não é um espço de Riesz Arquimedino, logo ele não pode ser um espço de Riesz Dedekind σ-completo. N próxim seção trtremos de seqüêncis de elementos de um espço de Riesz e

33 1. Espço de Riesz 23 prtir desse estudo presentremos crcterizções pr espços de Riesz Dedekind σ-completos e espços de Riesz Arquimedinos. Dentre os resultdos que presentremos, veremos que recíproc do Teorem , em gerl, é fls Exemplo Seqüêncis de elementos de um espço de Riesz Iniciremos est seção com um estudo de seqüêncis não-crescentes e, com uxílio desss, presentremos um conceito de convergênci pr um seqüênci qulquer de elementos de um espço de Riesz, que é denotdo n litertur por o-convergênci Definição No cso de seqüêncis de números reis, veremos como tl conceito de convergênci se relcion com convergênci usul de IR. Fremos tmbém um breve estudo d convergênci de séries em um espço de Riesz. Além do conceito de o-convergênci estudremos um outro conceito de convergênci, chmdo de D-convergênci Definição , que nos prece, de cert form, mis flexível que o nterior. Provremos que, sob certs condições, esses dois conceitos de convergênci são equivlentes Corolário Como no cso de seqüêncis de números reis, se x n n N é um seqüênci de elementos de um espço de Riesz X, dizemos que i x n n N é não-decrescente se x n x n+1, pr todo n N ; ii x n n N é não-crescente se x n+1 x n, pr todo n N ; iii x n n N é monóton se x n n N é não-crescente ou não-decrescente; iv x n n N é limitd inferiormente se existe z X tl que z x n, pr todo n N ; v x n n N é limitd superiormente se existe w X tl que x n w, pr todo n N ; vi x n n N é limitd se x n n N é limitd inferiormente e superiormente.

34 24 1. Espço de Riesz É fácil verificr, prtir d Proposição , que x n n N é limitd se, e somente se, existe u X tl que x n u, pr todo n N. Convencionremos que, se x n n N é um seqüênci de elementos de um espço de Riesz X tl que x n n N é limitd inferiormente e existe z := inf{x n n N}, então z será denotdo por inf x n ou x n. Por outro ldo, se seqüênci x n n N é limitd n N n=1 superiormente e existe w := sup{x n n N}, então w será denotdo por sup x n ou x n. n N n=1 Notção Sejm X um espço de Riesz e x n n N um seqüênci monóton de elementos de X. i Se x n n N é não-decrescente, então escreveremos x n z qundo n ou simplesmente x n z pr dizer que existe e z = x n. x n n=1 ii Se x n n N é não-crescente, então escreveremos x n z qundo n ou simplesmente x n z pr dizer que existe e z = x n. x n n=1 n=1 n=1 As proprieddes que presentremos seguir são nálogs às proprieddes de seqüêncis monótons de números reis. Proposição Sejm X um espço de Riesz, x n n N e y n n N seqüêncis nãocrescentes de elementos de X e x, y X. São verddeirs s seguintes firmções: 1. se x n x qundo n e x nk k N é um subseqüênci de x n n N, então x nk k N é não-crescente e x nk x qundo k ; 2. se x n x e α IR, α 0, então α x n n N é não-crescente e α x n α x ;

35 1. Espço de Riesz se x n x e y n y, então x n + y n n N é não-crescente e x n + y n x + y ; 4. se x n x e y n y, então x n y n n N é não-crescente e x n y n x y ; 5. se x n x e y n y, então x n y n n N é não-crescente e x n y n x y. Demonstrção. 1. Observndo que x n n N é não-crescente e x nk k N é um subseqüênci de x n n N, é clro que x nk k N é não-crescente. Além disso, x x nk, pr todo k N, pois {x nk k N} {x m m N} e x m = x. m=1 Sej z X tl que z x nk, pr todo k N. Provremos que z x. Ddo m N existe k = km N de modo que n k m. Dess form, z x nk x m, pois x n n N é não-crescente. Como m N é rbitrário, temos que z x m, pr todo m N, donde segue que z x. Portnto x nk = x, o que conclui 1. k=1 2. Por hipótese, x n+1 x n, pr todo n N. Como α 0 e X é um espço de Riesz temos que α x n+1 α x n, pr todo n N, e portnto α x n n N é não-crescente. Além disso, por 1.15, donde concluímos que α x n α x. α x = α inf n N x n = inf n N α x n, 3. Segue d hipótese que x x n+1 x n e y y n+1 y n, pr todo n N. Dess form, por 1.1, temos x + y x n+1 + y n+1 x n + y n, pr todo n N. Logo x n + y n n N é não-crescente e x + y é um cot inferior de {x n + y n n N}. Sej z X tl que z x n + y n, pr todo n N. Provremos que z x + y e ssim 3. é verddeir.

36 26 1. Espço de Riesz Fixe m N. Note que, pr k N, z x m+k + y m+k x m + y m+k, ou sej, z x m y m+k, pr todo k N. Observndo que y m+k k N é um subseqüênci de y n n N segue, d firmção 1., que y m+k k N é não-crescente e y m+k y qundo k. Com isso, z x m y m+k = y, e ssim temos que z x m + y. k=1 Como m N é rbitrário, temos que z y x m, pr todo m N, e portnto z y x m = x. Logo z x + y. m=1 4. Por hipótese, x x n+1 x n e y y n+1 y n, pr todo n N, e ssim, de 1.4, x y x n+1 y n+1 x n y n, pr todo n N, ou sej, x n y n n N é não-crescente e x y é um cot inferior de {x n y n n N}. Sej z X tl que z x n y n, pr todo n N. Fixdo m N, por 1.4, temos z x m+k y m+k x m y m+k, pr todo k N. Dess form, z x m y m+k = x m y m+k, k=1 k=1 onde iguldde decorre de Observndo que y m+k k N é um subseqüênci de y n n N segue, d firmção 1., que y m+k = y, e ssim z x m y. k=1 Como m N é rbitrário, plicndo novmente 1.18, tem-se que z x m y = y x m = y x m = y x = x y. m=1 m=1 m=1 Portnto x n y n = x y, o que conclui 4. n=1

37 1. Espço de Riesz Do fto de x n n N e y n n N serem não-crescentes e d propriedde 1.4, segue que x n+1 y n+1 x n y n, pr todo n N, e portnto x n y n n N é não-crescente. Além disso, novmente por 1.4, é clro que x y x n y n, pr todo n N. Sej z X um cot inferior de {x n y n n N}. Provremos que z x y e com isso concluímos que 5. é verddeir. Fixe m N. Pr todo k N tem-se, por 1.4, que z x m+k y m+k x m y m+k. Dess form, observndo que y m+k k N é um subseqüênci de y n n N segue, de 1.19 e d firmção 1., que z x m y m+k = x m y m+k = x m y. k=1 k=1 Como m N é rbitrário, plicndo novmente 1.19, tem-se que z x m y = y x m = y x = x y. m=1 m=1 Proposição Sejm X um espço de Riesz, x n n N, y n n N seqüêncis nãodecrescentes de elementos de X e x, y X. São verddeirs s seguintes firmções: 1. se x n x qundo n e x nk k N é um subseqüênci de x n n N, então x nk k N é não-decrescente e x nk x qundo k ; 2. se x n x e α IR, α 0, então α x n n N é não-decrescente e α x n α x ; 3. se x n x e y n y, então x n + y n n N é não-decrescente e x n + y n x + y ; 4. se x n x e y n y, então x n y n n N é não-decrescente e x n y n x y ; 5. se x n x e y n y, então x n y n n N é não-decrescente e x n y n x y.

38 28 1. Espço de Riesz Demonstrção. Sejm, pr todo n N, n := x n e b n := y n. Pr concluir prov bst plicr Proposição às seqüêncis não-crescentes n n N, b n n N e usr 1.9 e Proposição Um crcterizção pr um espço de Riesz Arquimedino pode ser obtid, como nos mostr o Teorem 1.2.4, prtir de seqüêncis monótons. Teorem Sej X um espço de Riesz. São equivlentes s seguintes firmções: 1. X é um espço de Riesz Arquimedino; 2. pr todo x X + tem-se que seqüênci x n n N é não-crescente e x n 0. Demonstrção. Suponh que X é um espço de Riesz Arquimedino e sej x X +. Pr n N tem-se que 1 n 1 1 n e ssim 0 n 1 x = x n + 1 n x n + 1. Logo x é não-crescente. n n N Note que 0 x n, pr todo n N. Além disso, se y X é tl que y x, pr todo n n N, então n y x, pr todo n N. Como X é um espço de Riesz Arquimedino segue que y 0. Portnto x n = 0, e ssim x n 0. n=1 Provemos que 2. implic 1. Sejm x, y X tis que n y x, pr todo n N. Como x X + Proposição , segue, de 2., que x n Proposição , tem-se que x x e ssim 0. Note que, pel Logo y n=1 x n y x n x n, pr todo n N. = 0, donde conclui-se que 1. é verddeir.

39 1. Espço de Riesz 29 No cso em que X é um espço de Riesz Arquimedino pode-se substituir firmção 2. do Teorem pelo seguinte resultdo: Proposição Sejm X um espço de Riesz Arquimedino e x X +. Se ε n n N é um seqüênci não-crescente de números reis tl que inf n N ε n = 0, então x ε n n N é um seqüênci não-crescente de elementos de X e x ε n 0. Demonstrção. Por hipótese, x X + e ε n n N é não-crescente, ou sej, ε n ε n+1 0, pr todo n N. Logo 0 x ε n ε n+1, pr todo n N, e ssim x ε n n N é um seqüênci não-crescente de elementos de X. Note que 0 x ε n, pr todo n N, pois x X + e ε n 0, pr todo n N. Sej y X um cot inferior de {x ε n n N}. Pr concluir prov, bst mostrr que y 0. Pr todo k N, como inf n N ε n = 0, existe n k N tl que ε nk x ε nk x k. Logo y x, pr todo k N. k < 1. Dess form, k De X ser um espço de Riesz Arquimedino e x X + tem-se, pelo Teorem 1.2.4, x que é não-crescente e x k k N k 0. Logo y x = 0, o que finliz prov. k k=1 A prtir de seqüêncis monótons, presentremos um crcterizção pr os espços de Riesz Dedekind σ-completos. Teorem Sej X um espço de Riesz. São equivlentes s seguintes firmções: 1. X é um espço de Riesz Dedekind σ-completo; 2. pr tod seqüênci x n n N não-decrescente e limitd superiormente de elementos de X, existe x X tl que x n x ;

40 30 1. Espço de Riesz 3. pr tod seqüênci x n n N não-crescente e limitd inferiormente de elementos de X, existe x X tl que x n x. Demonstrção. De 1.9, observndo que um seqüênci n n N é não-crescente e limitd inferiormente se, e somente se n n N é não-decrescente e limitd superiormente, segue que 2. e 3. são equivlentes. Além disso, pel Proposição e d definição de espço de Riesz Dedekind σ-completo temos que 1. implic 2. e que 1. implic 3. Portnto pr concluir demonstrção bst provr que 3. implic 1. Pr isso utilizremos Proposição Sej A um subconjunto não vzio de X, enumerável e limitdo inferiomente. Considere um enumerção rbitrári de A, isto é, escrev A = { k k N}. Pr n N, defin x n := inf{ i 1 i n}. Note que x n+1 x n, pr todo n N, pois { i 1 i n} { j 1 j n + 1}. Logo x n n N é não-crescente em X. Como A é limitdo inferiormente, existe z X tl que z k, pr todo k N. Em prticulr, pr todo n N, tem-se que z k, 1 k n, e com isso z x n. Portnto x n n N é limitd inferiormente e ssim, por 3., existe x X tl que x n x, ou sej, x = x n = k = inf A. n=1 k=1 Logo, pel Proposição , concluímos que 1. é verddeir. O Teorem nos diz que todo espço de Riesz Dedekind σ-completo é um espço de Riesz Arquimedino. Utilizndo o Teorem presentremos, no exemplo seguir, um espço de Riesz Arquimedino que não é um espço de Riesz Dedekind σ-completo. Exemplo O espço de Riesz C[0, 1]; IR definido no Exemplo , substituindo Y por [0, 1], é um espço de Riesz Arquimedino ms não é um espço de Riesz Dedekind σ-completo.

41 1. Espço de Riesz 31 De fto, como conseqüênci de IR ser um espço de Riesz Arquimedino, segue que C[0, 1]; IR tmbém o é. Suponh, por bsurdo, que C[0, 1]; IR sej um espço de Riesz Dedekind σ-completo. Considere seqüênci não-crescente f n n N de elementos de C[0, 1]; IR definid por 1 se 0 x 1 2 f n x := n x + 1 se 1 < x < n+1 0 se x 1 2 n+1. Observndo que f n n N é limitd inferiormente pel função identicmente nul existe, pelo Teorem 1.2.6, g C[0, 1]; IR tl que f n g. Note que, 0 g 1 e gx = 0, pr todo x ] 1 2, 1]. Além disso, se pr lgum [ 0, 1 2[ tivermos g < 1, então função h IR [0,1], dd por hx := g g+1 se 0 x x 1 se se 1 2 x < x < 1 2 será um elemento de C[0, 1]; IR stisfzendo g < h e h f n, pr todo n N. Dess form, teremos h f n = g < h, o que é um contrdição. Logo n=1 gx = 1, se x ] ] 0, 2[ 1, e gx = 0, se x 1, 1], o que é um bsurdo visto que g é 2 contínu no ponto 1. Com isso, C[0, 1]; IR não stisfz condição 3 do Teorem e portnto não é um espço de Riesz Dedekind σ-completo. A prtir dqui iremos estudr dois conceitos de convergênci pr um seqüênci de elementos de um espço de Riesz. O primeiro, que presentremos seguir, é conhecido n litertur como convergênci d ordem ou, resumidmente, o-convergênci. Definição Sejm X um espço de Riesz, x n n N um seqüênci de elementos de X e x X. Dizemos que x n n N converge pr x ou x n n N o-converge pr x, e

42 32 1. Espço de Riesz escrevemos x n o x qundo n ou simplesmente x n o x, se existe um seqüênci não-crescente n n N de elementos de X tl que n 0 e x k x k, pr todo k N O próximo resultdo nos diz que notção x n o x fz sentido, isto é, um seqüênci de elementos de um espço de Riesz não pode convergir pr dois elementos distintos. Proposição Sejm X um espço de Riesz, x n n N um seqüênci de elementos de X e x, y X. Se x n o x e x n o y, então x = y. Demonstrção. Segue d hipótese que existem seqüêncis não-crescentes n n N b n n N de elementos de X tis que n 0, b n 0, e e x k x k e x k y b k, pr todo k N. Dess form, pel Proposição , temos que x y = x x n + x n y x x n + x n y n + b n, pr todo n N, ou sej, x y é um cot inferior de { n + b n n N}. Pel Proposição , n + b n n N é não-crescente e n + b n 0. Dess form, x y n + b n = 0. Como 0 x y Proposição , segue que x y = 0. n=1 Portnto, pel Proposição , x = y. Convém observr que, dd um seqüênci x n n N de elementos de um espço de Riesz X e x X, usndo que x n = x n x + x x n x + x, pr todo n N, Proposição , tem-se o seguinte resultdo: se x n o x, então x n n N é limitd. 1.22

43 1. Espço de Riesz 33 A equivlênci que presentremos nos permite reescrever Definição substituindo 1.21 pel firmção 2. d Proposição Proposição Sejm X um espço de Riesz, x n n N um seqüênci de elementos de X e x X. São equivlentes s seguintes firmções: 1. x n o x ; 2. existem n 0 N e n n N seqüênci não-crescente de elementos de X, tis que n 0 e x k x k, pr todo k n 0. Demonstrção. Pr mostrr que 1. implic 2. bst tomr n 0 = 1 e um seqüênci n n N não-crescente de elementos de X stisfzendo Provemos que 2. implic 1. Sejm n 0 N e n n N um seqüênci não-crescente de elementos de X tis que n 0 e x k x k, pr todo k n 0. Defin u := sup { } x i x 1 i n 0 e considere seqüênci b n n N de elementos de X dd por u 1 se 1 n n 0 b n :=, pr cd n N. n se n > n 0 Observe que, pr n N, tem-se que b n+1 = u 1 = b n, se 1 n < n 0 ; b n+1 = n+1 n = b n, se n > n 0 ; b n+1 = n+1 1 u 1 = b n, se n = n 0 ; ou sej, b n n N é não-crescente. Note tmbém que x n x b n, pr todo n N, pois x n x n = b n, se n > n 0 ; x n x u u 1 = b n, se 1 n n 0.

44 34 1. Espço de Riesz Portnto pr concluir prov bst mostrr que b n 0. É clro que 0 b n, pr todo n N. Além disso, se existe c X tl que c é um cot inferior de {b n n N}, então c n, pr todo n > n 0. Logo c n = n = 0 n=n 0 +1 Proposição , observndo que n0 +k k N é um subseqüênci de n n N, e ssim concluímos que b n 0. n=1 No cso em que x n n N é um seqüênci de números reis e x IR, sbemos que lim x n = x, e escrevemos x n x, se ddo ε > 0 existe n 0 N tl que n x k x < ε, pr todo k n Do fto de IR ser um espço de Riesz é nturl perguntr sobre equivlênci dos conceitos x n x e x n o x. A respost ess pergunt é próxim proposição. Proposição Sejm x n n N um seqüênci de números reis e x IR. São equivlentes s seguintes firmções: 1. x n x ; 2. x n o x. Demonstrção. Suponh que x n x. Então existe um seqüênci n k k N de elementos de N, não limitd, tl que, pr todo k N, tem-se que n k < n k+1 e x m x < 1 k, pr todo m n k Considere seqüênci n n N definid por 1 se 1 n < n 1 n :=, pr n N. 1/k se n k n < n k+1

45 1. Espço de Riesz 35 É clro que n n N é não-crescente e n 0. Além disso, se m N e m n 1, então n k m < n k+1, pr lgum k N, e ssim, por 1.24, x m x 1 k = m, ou sej, x m x m, pr todo m n 1. Logo, pel Proposição , concluímos que x n o x. Provemos que 2. implic 1. Sej n n N um seqüênci não-crescente de números reis tl que n 0 e x k x k, pr todo k N. Ddo ε > 0, como inf n = 0, existe n 0 N tl que 0 n0 n N n n 0 tem-se, do fto de n n N ser não-crescente, que x n x n n0 < ε, < ε. Dess form, se o que conclui prov. Decorre do resultdo nterior que o-convergênci Definição poderi, sem problems, ser considerd como usul em IR. No entnto, técnic de proximção utilizndo epsilon positivo nos proporcion mior flexibilidde. Isto nos lev crer que este sej o motivo pelo qul n litertur encontrmos 1.23 como conceito usul de convergênci em IR. Veremos mis dinte que em um espço de Riesz Dedekind σ- completo tmbém é possível definir um outro conceito de convergênci, utilizndo um técnic de proximção prentemente mis flexível. Dndo continuidde o estudo d o-convergênci, mostrremos que, no cso de seqüêncis monótons, s notções e podem ser substituíds por. o

46 36 1. Espço de Riesz Teorem Sejm X um espço de Riesz, x n n N um seqüênci de elementos de X e x X. São verddeirs s seguintes firmções: 1. se x n n N é não-crescente, tem-se que x n x se, e somente se x n o x ; 2. se x n n N é não-decrescente, tem-se que x n x se, e somente se x n o x. Demonstrção. Note que, pr provr firmção 2., bst plicr 1. à seqüênci não-crescente y n n N, dd por y n := x n, pr n N, e usr 1.9 e Proposição Dess form é suficiente provr 1. Suponh x n n N não-crescente e x n x. Defin n := x n x, pr n N. Do fto de x n n N ser não-crescente segue que n+1 = x n+1 x x n x = n, pr todo n N, e portnto n n N é não-crescente. Como 0 x n x, pr todo n N tem-se, pel Proposição e 3, que 0 x n x = x n x = n, pr todo n N. Considere z X tl que z n, pr todo n N. Isto implic que z + x x n, pr todo n N. Logo z + x x n = x, ou sej, z 0. Portnto n = 0, e ssim x n o x. n=1 Por outro ldo, suponh x n n N não-crescente e x o n x. Dess form, existe um seqüênci n n N não-crescente de elementos de X tl que n 0 e x k x k, pr todo k N. n=1 Provremos que x n x. Fixe m N. Como x n n N é não-crescente temos, pel Proposição e 5, que x x m x x n x x n = x n x n, pr todo n > m,

47 1. Espço de Riesz 37 e ssim x x m n = 0, n=m+1 onde últim iguldde decorre d Proposição observndo que m+k k N é um subseqüênci de n n N. Logo, x x m. Como m N é rbitrário, segue que x é um cot inferior de {x m m N}. Sej z X tl que z x n, pr todo n N. Então, pel Proposição , z x x n x x n x n, pr todo n N. Portnto z x n=1 n = 0, donde z x e com isso concluímos que x n x. Como um plicção do teorem nterior consideremos o seguinte exemplo. Exemplo Sejm X um espço de Riesz Arquimedino e x X +, x 0. Pr n N, sej s n := n k=1 isto é, não existe s X tl que s n o s. x/k. Então seqüênci s n n N de elementos de X não converge, De fto, suponh, por bsurdo, que exist s X tl que s n é não-decrescente tem-se, pelo Teorem , que s n s. Ms e dess form x n 2n 2 x 1 = k k=1 n 2 < 1 + n 2n 2 1, pr todo n N, k 2 n k=1 k=1 x k = s 2 n m=1 o s. Observndo que s n n N s m = s, pr todo n N, ou sej, n x 2 s, pr todo n N. Como X é um espço de Riesz Arquimedino tem-se que x 0, o que é um contrdição. Portnto s n n N não converge. A seguir presentremos lgums proprieddes d o-convergênci.

48 38 1. Espço de Riesz Proposição Sejm X um espço de Riesz, x n n N e y n n N seqüêncis de elementos de X e x, y X. São verddeirs s seguintes firmções: 1. se x o n x qundo n e x nk k N é um subseqüênci de x n n N, então x o nk x qundo k ; 2. se x o n x e α IR, então α x o n α x ; 3. se x o n x e y o n y, então x n + y o n x + y ; 4. se x o n x, então x n o x ; 5. se x o n x e y o n y, então x n y o n x y ; 6. se x o n x e y o n y, então x n y o n x y. Demonstrção. Suponh que x o n x e y o n y. Sejm n n N e b n n N seqüêncis não-crescentes de elementos de X tis que n 0 e x k x k, pr todo k N ; 1.25 b n 0 e y k y b k, pr todo k N Sej x nk k N um subseqüênci de x n n N. De 1.25 segue que x nk x nk, pr todo k N. Como nk k N é um subseqüênci de n n N tem-se, pel Proposição , que nk k N é um seqüênci não-crescente e nk 0 qundo k. Com isso concluímos que 1. é verddeir. Pr provr 2. defin c n := α n, pr todo n N. Como α 0 segue, pel Proposição , que c n n N é seqüênci não-crescente e c n 0. Dess form, de 1.25 e pel Proposição , temos α x n α x = α x n x = α x n x α n = c n, pr todo n N,

49 1. Espço de Riesz 39 e ssim concluímos que α x n o α x, o que prov 2. Pr obter 3. considere seqüênci d n n N dd por d n := n + b n, pr todo n N. Pel Proposição , tem-se que d n n N é um seqüênci não-crescente e d n 0. Além disso, de 1.25, 1.26 e d Proposição , temos x n + y n x + y = x n x + y n y x n x + y n y n + b n = d n, pr todo n N. Portnto x n + y n o x + y, o que prov 3. Aplicndo Proposição e usndo 1.25 temos xn x xn x n, pr todo n N, ou sej, 4. é verddeir. tem-se Finlmente, pr provr 5. e 6. bst observr que, pel Proposição e 2, x n y n = 1 2 xn +y n + x n y n e x n y n = 1 2 xn +y n x n y n, pr todo n N ; x y = 1 2 x + y + x y e x y = 1 2 x + y x y, e plicr s firmções 2., 3. e 4. Sejm α n n N um seqüênci de números reis tl que α n α, pr lgum α IR, e x n n N um seqüênci de elementos de um espço de Riesz X tl que x n o x, pr lgum x X. É nturl perguntr se α n x n o α x. Considere X = IR 2 munido com s operções de som e produto por esclr usuis e com ordem lexicográfic Exemplo Pr n N, sejm α n := 1/n e x n := 1, 0. Então α n 0 e x n o 1, 0, ms seqüênci α n x n n N não converge pr 0, 0, pois, se α n x n o 0, 0, então, do fto de α n x n n N ser um seqüênci não-crescente e do