Integral indefinida ou integral imprópria

Transcrição

1 Integrl indefinid ou integrl imprópri Prcino-Pereir, Trcisio 13 de julho de 217 preprints d Sobrl Mtemátic no Editor Trcisio Prcino-Pereir trcisio@member.ms.org Resumo Neste rtigo defendo idei que o símbolo f(x)dx, comumente chmdo de integrl indefinid, não tem sentido e é conflitnte dentro do conceito de integrl estuddo no Cálculo e ssim deve ser evitdo. Apresento, tmbém, síds pr est substituição plvrs chve: Cálculo integrl, integrl indefinid, integrl como áre In this pper I m fighting ginst the use of the term indefinite integrl ssocited with the symbol f(x)dx is in poignnt conflict with integrl understood s re nd should be dropped out. I m giving some wys out of this problem. keywords: Integrl Clculus, indefinite integrl, integrl s re. trcisio@member.ms.org 1

2 1 Introdução O símbolo x 2 dx (1) é um integrl indefinid n verdde quer dizer, procure F(x) tl que F (x) = x 2 e então F é um primitiv de f. A expressão integrl indefinid contr qul estou me levntndo neste rtigo, tem um históri e merece ser dicutid em detlhe o que frei em um seção mis frente, ms de imedito o meu objetivo é mostrr que el é insconsistente com o ensino do Cálculo e porisso deve ser evitd, e estou mostrndo o porque: você não pode colocr um som de Riemnn pr descobrir qul é est primitiv - porque não existe ponto inicil e nem finl. As soms de Riemnn são o lgoritmo universl pr o cálculo de integris, embor não sejm o melhor lgoritmo do ponto d eficiênci computcionl, els representm prticmente únic form que temos pr descobrir formlmente expressão ds primitivs. Obvimente, depois que se dquirir um estoque considerável de funções cujs primitivs sejm conhecids é então possível desenvolver outrs técnics pr descobrir novs primmitivs com lgum eficienci. Ms isto é um outr históri e o ponto de prtid é mesmo som de Riemnn. O Cálculo inici presentção d integrl usndo um ds sus interpretção, como áre lgébric delimitd entre o gráfico dum função e o eixo OX e mostr que est interpretção corresponde lguns conceitos importntes, como trblho, distânci. Em todos estes csos, e em prticulr como áre, é preciso háver dois pontos, dus condições, um condição inicil e outr condição finl, entre os quisáresejclculdentãoosímbolonequção(eq.1)está, no mínimo, em contrdição com definição que foi dd inicilmente. É isto que desejo que sej evitdo sendo o propósito deste rtigo.

3 2 Defes d tese b Como preâmbulo pr defender um ponto de vist vou clculr explicitmente um integrl o que deve deixr clro que preciso escrever sempre f(t)dt pr nos referirmos integrl e que o símbolo f(t)dt é impreciso. As integris que são fáceis de se clculr são s integris ds funções polinomiis, e vi ser um dels o exemplo básico deste rtigo. x x t 2 dt = f(t)dt t x f(t)dt n f(k t) t; (2) n f(k t) = t n (k t) 2 ; (3) N equção (eq.2)escrevi f(t) pr substituir t 2 o que vi me permitir n equção (eq.3) expressr som de Riemnn. Tmbém, n equção (eq.3) estou usndo propriedde distributiv d multiplicção reltivmente à som - colocndo t em evidênci, porque estou usndo um tipo prticulr de som de Riemnn, uniforme, qundo todos os subintervlos tem mesm medid t. Em lugr d iguldde escrevo o símbolo de proximção porque s soms de Riemnn são soms de retângulos então produzem um áre mior ou menor do que efetiv áre d função, confir o gráfico n figur (fig 1), págin 3. No cso ds funções polinomiis é fácil descobrir um primitiv porque som de Riemnn se trnsform num som de potêncis, confir continução n próxim equção x t 2 dt = x n f(t)dt ( t) 3 k 2 ; (4)

4 Como estou clculndo integrl dum função do segundo gru, mis extmente d função x 2, som de Riemnn vir um som de qudrdos. Aqui uso subdivisão do intervlo [, b] em subintervlos todos com mesm medid, t = b n, em que n é o número de subdivisões. Est form de fzer é legl qundo se sbe que integrl existe, do contrário temos que trblhr com subdivisões letóris e provr que o lgoritmo, som de Riemnn, converge. No cso ds funções polinomiis posso provr indiretmente que som de Riemnn converge então estou usndo prtição uniforme, leglmente, qundo medid de todos os subintervlos é igul t = b n. f E olhe que ind com- b f(t) dt = t f(+k t) Figur 1: b pliquei muito históri, poderi e deveri ter clculdo integrl no intervlo[, x] produzindo um expressão mis simples, porque o que nos interess é descobrir um primitiv, um csoprticulr, éoquefreiseguircom t = x n = x n. Mscontinundo, som de Riemnn depende do vlordsomdoscubos. Posso provrquessoms de qudrdos dos termos dum progressão ritmétic, são dds por um polinômio do gru 3, soms de cubos dos termos dum progressão ritmétic por um polinômio do gru 4, etc... soms ds potêncis n dos termos dum progressão ritmétic são dds por um polinômio do gru n+1 e você pode ver por i rzão de que primitiv dum função do gru n vi ser um função do gru n+1. Estes resultdos são todos consequênci dum resultdo que interessnte introduzir qui té mesmo porque ele está conectdo com relção

5 entre primitiv e derivd. Vou omitir su demonstrção porque el um simples cálculo lgébrico: Teorem 1 (relção) entre grus de polinômios Se P for um polinômio do gru n+1;n > então Q(x) = P(x+) P(x) é um polinômio do gru n. Vle recíproc. Vou descobrir qul é o polinômio do terceiro gru que clcul som dos qudrdos. O método é semelhnte pr qulquer potênci, pens ument dimensão d mtriz. Agor tenho que descobrir os qutro coeficientes dum polinômio do gru três. No cso d integrl dum função do terceiro gru eu precisri descobrir um polinômio do gru qutro, logo cinco coeficientes e portnto teri que resolver um sistem com cinco equções. Anlise os pssos n seguinte sucessão de equções, depois ds quis frei os comentários. x x t 2 dt = f(t)dt ( t) 3 n k 2 ; (5) n k 2 = P(n); gru( P) é 3; (6) 1 = 1 k 2 = P(1); (7) 1+4 = 5 = 2 k 2 = P(2); (8) = 14 = 3 k 2 = P(3); (9) = 3 = 4 k 2 = P(4); (1) Pr encontrr um polinômio do gru 3 preciso de 4 vlores, como pr determinr um polinômio do primeiro gru, um ret, preciso

6 de dois vlores, ou pr encontrr equção dum prábol preciso de três vlores. Então escrevi qutro equções, d equção (eq.7) té equção (eq.1). Tenho ssim os vlores de P(1),P(2),P(3),P(4) e posso montr um sistem de equções usndo expressão gerl dum polinômio do terceiro gru; Escrevendo o sistem de equções e resolvendo-o, vem: P(x) = +bx+cx 2 +dx 3 ; (11) 1 = P(1) = +b+c+d = 1; (12) 1+4 = 5 = P(2) = +2b+4c+8d = 5; (13) = 14 = P(3) = +3b+9c+27d = 14; (14) = 3 = P(4) = +4b+16c+64d = 3; (15) b c = 5 14 ; (16) d 3 det(a) = 12; (17) Colocndo est mtriz num folh de cálculos do clc tenho A = mt[4,4] = { 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 4, 16, 64 } det(a) = 12 A = mt[4,4] = { 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 4, 16, 64 }; print det(a); 12; A = mt[4,4] = {1, 1, 1, 1,

7 print det(a); ; 5, 2, 4, 8, 14, 3, 9, 27, 3, 4, 16, 64 }; Ab = mt[4,4] = { 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 8, 1, 14, 9, 27, 1, 3, 16, 64 }; print det(ab);2; Ac = mt[4,4] = { 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 8, 1, 3, 14, 27, 1, 4, 3, 64 }; print det(ac);6; Ad = mt[4,4] = { 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 5, 1, 3, 9, 14, 1, 4, 16, 3 }; print det(ad) ; 4; Você pode encontrr progrms, semelhntes este script do clc, n págin [3, progrms]. Usndo regr de Crmer posso clculr os vlores dos coeficientes do polinômio P

8 P(x) = x+3x2 +2x 3 P(x) = +bx+cx 2 +dx 3 ; (18) = det(a) det(a) = 12 = ; (19) b = det(ab) det(a) = 2 12 = 1 6 ; (2) c = det(ac) det(a) = 6 12 = 1 2 ; (21) d = det(ad) det(a) = 4 12 = 1 3 ; (22) n 6 ; k 2 = P(n) = n+3n2 +2n 3 6 ; (23) P(1) = 1 1; P(2) = 5 1+4; P(3) = ; P(4) = ; (24) N últim equção, (eq.24), testei os vlores de P contr equção, então é este o polinômio que som s segunds potêncis dum progressão ritmétic. Posso voltr pr expressão d som de Riemnn e clculr o limite: x x t 2 dt = f(t)dt ( t) 3 n k 2 = ( t) 3 P(n) = (25) x = ( t) 3n+3n2 +2n 3 6 ; t = x n = x n (26) t 2 (nx) dt = lim 3 n= 6n + 3n2 x 3 3 6n + 2n3 x 3 3 6n 3 = x3 3 ++; (27) Vou escrever expressão do Teorem Fundmentl do Cálculo, confir figur (fig 2), págin 8, presentndo intuitivmente diferenç que ele contém. Aqui rremto tese um vez que este teorem não pode ser escrito usndo o símbolo que estou contestndo, d integrl imprópri.

9 f x x x b f(t) dt f(t) dt = f(t) dt b Figur 2: Teorem Fundmentl do Cálculo A interpretção lgébric d figur (fig 2), págin 8 é b t 2 dt = b t 2 dt t 2 dt = b ; (28) A função x x3 3 = F(x) é um primitiv de x x2 = f(x) sendo expressão do Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem 2 (Fundmentel) do Cálculo b f(x)dx = F(x) b = F(b) F()

10 3 Considerções finis As figurs form produzids com xfig e gnuplot, [4], os cálculos computcionis form feitos com clc, [2]. Depois do fmoso livro de Cálculo do Cournt, possivelmente pens o livro de Apostol dotou o ponto de vist de presentr primeiro integrl e somente posteriormente derivd, [1], ms sem priorizr s soms de Riemnn. Em momentos mis vnçdos do estudo do Cálculo encontrmos integris em que pelo menos um dos limites é intingível, como um belo exemplo de integrl que existe é um ds integris chmds de φ(p) 1 dx x 2 (29) que dá exemplo justo e correto pr o conceito de integrl imprópri um vez que el não pode ser clculd diretmente com o Teorem Fundmentl do Cálculo não ser que se decid escrever 1 dx = F( ) F(1) (3) x2 então tem sentido o conceito, tlvez tnto sentido qunto poss hver sentido em se mencionr existênci de frções imprópris...

11 Referêncis [1] Tom M. Apostol. Clculus vol II. Blisdell Publishing Compny, [2] Dvid I. Bell Lndon Curt Noll nd other. Clc - rbitrry precision clcultor. Technicl report, [3] Trcisio Prcino-Pereir. Cálculo Numérico Computcionl. Sobrl Mtemtic, 27. [4] Thoms Willims, Colin Kelley, nd mny others. gnuplot, softwre to mke grphics. Technicl report, 21.