Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

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1 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd f por um polinômio. A escolh deste polinômio e dos pontos usdos n su determinção vi resultr nos diversos métodos numéricos de integrção. As fórmuls de integrção numérics são somtórios cujs prcels são vlores de f(x) clculdos em pontos escolhidos e multiplicdos por pesos convenientes: f(x)dx ω i f(x i ), (.) onde < x <... < x n b são pontos de integrção e os ω i são os pesos. i= Fórmuls de Newton-Cotes Nest secção vmos considerr pens s chmds fórmuls fechds, isto é, os extremos de integrção coincidem com e x n. Ns fórmuls berts não há est exigênci, portnto se um dos extremos não coincide com estes pontos, fórmul de integrção é chmd bert. Dd f : [, b] R, sej n um número nturl e h = b n. Os pontos x j = + jh, j =,,..., n são igulmente espçdos. Sej P n (x) o polinômio de gru n que interpol os pontos (x i, f(x i )), i =,,..., n. Por Lgrnge, sbemos que P n (x) = f(x i )L i (x), e o erro Integrndo em (, b), obtemos doherty@uem.br f(x)dx = i= f(x) P n (x) = f (n+) (α) (n + )! (x )(x x )... (x x n ). f(x i ) i= L i (x)dx + f (n+) (α) (n + )! (x )(x x )... (x x n )dx,

2 onde α = α(x) é um ponto em (, b). Chmndo obtemos um expressão pr f(x)dx = ω i = L i (x)dx f(x)dx do tipo (.) ( menos do erro): ω i f(x i ) + i= f (n+) (α) (n + )! (x )(x x )... (x x n )dx. Como cso prticulr, ns seções 3 e 4, obtemos s fórmuls dos Trpézios e de Simpson, que são estbelecids com polinômios de grus bixos, gru e gru, respectivmente. 3 Regr dos Trpézios Est fórmul corresponde à interpolção d função ser integrd por um polinômio de gru. A interpolção liner necessit de dois pontos, vmos usr os extremos do intervlo de integrção, isto é, = e b = x. Logo, o polinômio liner interpoldor é ddo por p (x) = y x x x + y x x e os pesos são ddos por Segue que onde o erro é ddo por x ω = ω = x x x dx = h x, x x dx = h x. f(x)dx = h f() + h f(x ) + erro, Logo, x E T rp = f (α)(x )(x x )dx (3.) = f (β) x (x )(x x )dx (3.) x = f (β)h 3. (3.3) f(x)dx = h [f() + f(x )] f (β)h 3, (3.4) onde β (, b) não é conhecido. N secção 5 veremos como fic regr dos trpézios se for plicd repetids vezes sobre subintervlos de um intervlo [, b].

3 4 Regr de Simpson Neste cso vmos interpolr f(x) usndo um polinômio de gru que coincid com est função em =, x = + b e b = x. O polinônmio interpoldor de gru é ddo por (x x )(x x ) p (x) = y ( x )( x ) + y (x )(x x ) (x )(x x ) + y (x )(x x ) ( )(x x ). Integrndo os polinômios de Lgrnge de gru, obtemos os pesos d fórmul de Simpson, Segue que x ω = ω = ω = x (x x )(x x ) ( x )( x ) dx = h 3, x (x )(x x ) (x )(x x ) dx = 4h 3, x (x )(x x ) (x )(x x ) dx = h 3. f(x)dx = h 3 [f() + 4f(x ) + f(x )] + erro, onde o erro é ddo por (qui os rgumentos não são simples) E Simp = 3! x pr lgum β (, x ) Logo, fórmul de Simpson é x [ ] h f (3) 5 (α)(x )(x x )(x x )dx = f (4) (β), (4.) 9 f(x)dx = h [ ] h 5 3 [f() + 4f(x ) + f(x )] f (4) (β). (4.) 9 N secção 5 veremos como fic regr de Simpson se for plicd repetids vezes sobre subintervlos de um intervlo [, b]. Pr informção, presentmos s fórmuls obtids qundo n = 3 e n = 4, obtids usndo polinômios de gru 3 e 4, respectivmente. Observe que els são mis preciss que s nteriores, embor exijm mis cálculos. x3 f(x)dx = 3h ( ) 3h 5 8 [f() + 3f(x ) + 3f(x ) + f(x 3 )] f (4) (β), β [, x 3 ]. 8 x4 f(x)dx = h 45 [7f() + 3f(x ) + f(x ) + 3f(x 3 ) + 7f(x 4 )] ( 8h ) f (6) (β), β [, x 4 ]. 3

4 5 Fórmuls composts: Trpézios e Simpson Qundo o intervlo de integrção é grnde, pode não ser conveniente umentr o gru do polinômio interpoldor pr obter fórmuls mis preciss. A lterntiv mis usd é subdividir o intervlo de integrção e plicr fórmuls simples repetids vezes, obtendo-se s fórmuls composts. No cso d REGRA DOS TRAPÉZIOS, ddo o intervlo [, b] dividindo-o em n subintervlos de comprimento h = b e portnto =, x i = + ih, i =,,..., n e x n = b, temos que n xi f(x)dx = f(x)dx x i = i= x f(x)dx + x x f(x)dx + + xn x n f(x)dx h [f() + f(x )] + h [f(x ) + f(x )] + + h [f(x n ) + f(x n )] = h {f() + [f(x ) + f(x ) + + f(x n )] + f(x n )}. O erro finl de um fórmul repetid pode ser obtido pel som dos erros prciis. trpézios, cd um dos subintervlos [x i, x i ] contribui com um erro prcil ddo por N regr dos Somndo os erros prciis obtemos h3 f () (β i ). E T rp = h3 [ f () (β ) + f () (β ) + + f () (β n ) ]. Supondo que f possu derivd segund contínu em [, b], existem constntes m, M tis que Assim, obtemos um estimtiv pr o erro totl m f () (x) M. E T rp n h3 M = (b ) h M. (5.) No cso d REGRA DE SIMPSON, ddo o intervlo [, b] dividindo-o em n (pr, pois prábol necessit de 3 pontos) subintervlos de comprimento h = b e portnto =, x i = + ih, i = n,,..., n e x n = b, temos que x x4 xn f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx x x n h 3 [f() + 4f(x ) + f(x )] + h 3 [f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 )] + + h 3 [f(x n ) + 4f(x n ) + f(x n ))] = h 3 {f() + 4 [f(x ) + f(x 3 ) + + f(x n )]} + h 3 { [f(x ) + f(x 4 ) + + f(x n )] + f(x n )}. 4

5 O erro finl pode ser obtido pel som dos erros prciis. N regr de Simpson, cd um dos subintervlos contribui com um erro prcil ddo por (qui usmos n prábols e portnto n prcels de erro): h5 9 f (4) (β i ). Somndo os erros prciis obtemos um estimtiv pr o erro totl E Simp (b ) h4 8 mx{ f (4) (x) ; x [, b]}. (5.) Note que se f(x) é um polinômio de gru 3 então o erro E Simp é nulo, isto é, regr de Simpson é ext pr polinômios de gru 3. Exercício 5. Quntos intervlos devemos usr pr clculr integrl exp( x )dx usndo Regr dos Trpézios e Regr de Simpson, com erro menor do que 4? Primeirmente, regr dos trpézios. O erro totl é ddo por E T rp b h mx f () (x) h 4. Segue que h.44 e portnto n 4.8. Assim, tommos 4 intervlos. Pr regr de Simpson, Segue que h.96 e ssim n = h 6 Qudrturs de Guss E Simp b 8 h4 mx f (4) (x) = h Assim, tommos n = 6 intervlos. A integrção numéric bsed ns fórmuls de Newton-Cotes consider pontos fixos igulmente espçdos. Guss observou que precisão poderi ser melhord se s bscisss e os pesos não tiverem restrição. Assim, f(x)dx ω i f(x i ), onde gor os pesos ω, ω,..., ω n e os rgumentos, x,..., x n são determindos pr obter melhor precisão possível. Melhor precisão possível signific que fórmul é ext pr polinômios de gru tão grnde qunto possível. Observe que existem (n + ) prâmetros: (n + ) pesos e (n + ) bscisss, logo é de esperr que fórmul deve ser ext pr polinômios de gru menor do que ou igul (n + ). Pr simplificr, vmos considerr pens integris sobre o intervlo [, ]. Pr clculr fzemos mudnç de vriáveis x = Assim, f(x)dx = b (b ) t + i= (b + ), t [, ]. (b ) (b + ) f( t + ) dt = b } {{ } =F (t) F (t)dt. f(x)dx Como o método de qudrtur de Guss é bsedo em polinômios ortogonis, vmos precisr de lgum teori sobre estes polinômios. 5

6 7 Polinômios Ortogonis Dizemos que um fmíli de polinômios não nulos p (x), p (x),..., p n (x),... é um fmíli de polinômios ortogonis, reltivmente o produto interno,, se verific o seguinte {, i j p i (x), p j (x) = C i, i = j. No estudo dos polinômios, utiliz-se produtos internos d form f, g = ω(x)f(x)g(x)dx, onde ω(x) integrável em [, b] é chmd de função peso. Os seguintes produtos internos são os mis comumente utilizdos n determinção de polinômios ortogonis. Exemplo 7. (Polinômios de Legendre) Tomndo ω(x) =, = e b =, os polinômios ortogonis construídos usndo o Teorem?? são P (x) =, P (x) = x, P (x) = x 3, P 3(x) = x x, P 4 (x) = x x , P 5(x) = x 5 9 x3 + 5 x. Exemplo 7. (Polinômios de Tchebycheff) Os polinômios de Tchebycheff {T n (x)} são ortogonis em (, ) com relção o produto interno f, g = ω(x)f(x)g(x)dx, onde função peso é ω(x) = ( x ). Eles podem ser deduzidos pelo método de ortogonlizção ddo pelo Teorem??, ms est não é mneir mis simples de obtê-los. Vejmos os primeiros polinômios de Tchebycheff: T (x) =, T (x) = x, T (x) = x, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x +. Exemplo 7.3 (Polinômios de Lguerre) Os polinômios de Lguerre L (x), L (x), L (x),..., são obtidos usndo o Teorem??, com o produto interno f, g = e x f(x)g(x)dx, onde função peso é ω(x) = e x, = e b = +. Vejmos os primeiros polinômios de Lguerre L (x) =, L (x) = x, L (x) = x + x, L 3 (x) = 3x + 3 x 6 x3. Exemplo 7.4 (Polinômios de Hermite) Os polinômios de Hermite são obtidos usndo o Teorem??, com o produto interno f, g = onde função peso é ω(x) = e x, = e b = +. Vejmos lguns polinômios de Hermite e x f(x)g(x)dx, H (x) =, H (x) = x, H (x) = 4x, H 3 (x) = 8x 3 x, H 4 (x) = 6x 4 48x +. 6

7 8 Proprieddes dos Polinômios Ortogonis Propriedde : Se p (x), p (x),..., p n (x) são polinômios ortogonis segundo um produto interno, então qulquer polinômio de gru n pode ser escrito como combinção liner destes polinômios. Além disso, p n (x) é ortogonl todo polinômio de gru menor do que n. Propriedde : Se p (x), p (x),..., p n (x) são polinômios ortogonis segundo o produto interno f, g = ω(x)f(x)g(x)dx, onde ω(x) é contínu em [, b], então p n (x) possuin rízes reis distints. As fórmuls de qudrtur de Guss são bseds no seguinte Teorem, que é propriedde mis importnte dos polinômios ortogonis. Teorem 8. Sejm p (x), p (x), p (x),..., p n (x), p n+ (x)... polinômios não nulos e ortogonis, segundo o produto interno f, g = ω(x)f(x)g(x)dx, onde ω(x) é contínu em [, b]. Sejm, x, x,..., x n s rízes de p n+ (x). Se f(x) é um polinômio de gru menor do que ou igul n +, então ω(x)f(x)dx = ω k f(x k ), k= onde ω k = ω(x)l k (x)dx com P n (x) = n k= f(x k)l k (x) é o polinômio interpoldor de Lgrnge que interpol f nos pontos x k, k =,,..., n. Demonstrção: Sejm, x,..., x n s rízes de p n+ (x). Segue que podemos escrever p n+ (x) = (x )(x x ) (x x n ). Sej P n (x) o polinômio interpoldor de f(x) nos pontos, x,..., x n em [, b]. Como R n (x) = f(x) P n (x) é o erro n interpolção, então f(x) P n (x) = R n (x) = (x )(x x ) (x x n ) f (n+) (ξ) (n + )!, onde ξ (, b) depende de x. Como f(x) é um polinômio de gru n +, temos que o termo q(x) = f (n+) (x) (n + )! é um polinômio de gru menor do que ou igul n. Logo, podemos escrever f(x) P n (x) = b p n+ (x)q(x). 7

8 Segue que ω(x) [f(x) P n (x)] dx = b ω(x)p n+ (x)q(x)dx. Como p n+ (x) e q(x) são ortogonis, vle iguldde Isto é, ω(x) [f(x) P n (x)] dx =. ω(x)f(x)dx = = = = ω(x)p n (x)dx [ ] ω(x) L k (x)f(x k ) dx f(x k ) k= k= ω k f(x k ). k= ω(x)l k (x)dx Isto conclui prov do teorem. 9 Qudrtur de Guss-Legendre Consideremos o produto interno ddo por f, g = f(x)g(x)dx. Os polinômios ortogonis reltivmente este produto interno são os polinômios de Legendre. Lembrmos que os polinômios de Legendre são ddos por em gerl P (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x), P m+ (x) = m + {(m + )xp m(x) mp m (x)}, m =,,.... Vmos clculr os pesos ω, ω,..., ω n e os rgumentos t, t,..., t n no intervlo [, ] pel fórmul F (t)dt ω i F (t i ). i= Est fórmul é ext pr polinômios de gru menor do que ou igul n +, vej o Teorem 8.. Se n =, então fórmul é ext pr polinômios de gru menor do que ou igul 3. Assim, F (t)dt = ω F (t ) + ω F (t ) 8

9 pr os polinômios F (t) =, t, t, t 3, respectivmente. Obtemos o seguinte sistem ω + ω = ω t + ω t = ω t + ω t = 3 ω t 3 + ω t 3 =. Resolvendo este sistem não-liner, t = t e t = 3 e ω 3 = ω =. Logo, 3 3 F (t)dt =.F ( 3 ) +.F ( 3 ), que é ext pr polinômios de gru menor do que ou igul 3. Este procedimento pode ser usdo pr deduzir fórmuls mis geris. Tomndo F (t) = t k, k =,,..., n + e observndo que {, se k é ímpr, F (t)dt = obtemos o seguinte sistem de n + equções:, se k é pr, k+ ω + ω + + ω n = ω t + ω t + + ω n t n = ω t + ω t + + ω n t n = 3... =... ω t n+ + ω t n+ + + ω n t n+ n = Este sistem tem um únic solução. As soluções t k, k =,,..., n são s rízes do polinômio P n+ (x) de gru (n + ) pertencente o conjunto de polinômios ortogonis de Legendre. Estes polinômios dão nome est técnic de integrção: Qudrtur de Guss-Legendre. Assim, pr o cálculo d integrl usndo qudrtur de Guss-Legendre precismos conhecer s rízes dos polinômios de Legendre, que podem ser encontrds com qulquer gru de precisão em tbels e pcotes de Mtemátic. Tmbém, precismos conhecer os pesos ω i, que podem ser encontrdos resolvendo um sistem de equções lineres pós s rízes serem encontrds, ou determinmos os pesos ω i pelos polinômios de Lgrnge que interpol os pontos ddos pels rízes. Existem tbels listndo s rízes e os pesos pr serem utilizdos n integrção de Guss-Legendre. A seguir um tbel contendo s rízes e os pesos dos primeiros polinômios de Legendre. Os ddos dest tbel form clculdos usndo Mple. n t k - Rízes ω k - Pesos t =. ω =. t = t = ω = ω =. t =, ω = t = t = ω = ω = t = t = ω = ω = t 3 = t = ω 3 = ω = t 4 = t = ω 4 = ω = , t 3 = t = ω 3 = ω = t =. ω =

10 Exercício 9. Clculr integrl exp( x )dx usndo qudrtur de Guss-Legendre com 5 pontos. Antes de inicirmos o cálculo d integrl devemos mudr su vriável pr integrrmos no intervlo [, ]. Fzendo x = (b ) t + (b+), t [, ], obtemos ssim F (t) = exp( (t+) 4 ). Logo, exp( x )dx = exp( x )dx = exp( F (t)dt (t + ) )dt, 4 4 ω k F (t k ), onde ω k são os pesos e t k são s rízes do polinômio P 5 (x) de Legendre. Vej Tbel com n = 4. Donde, F (t)dt k= 4 ω k F (t k ) = k= Exercício 9. Clculr integrl sin (t + ) dt usndo qudrtur de Guss-Legendre com 3 pontos. t + Os pesos ω k e s bscisss t k estão n tbel (n=3). As bscisss t k são s rízes do polinômio P 4 (x) de Legendre, ssim integrl é sin (t + ) dt t + 3 ω k F (t k ) = Qudrtur de Guss-Tchebycheff k= Nest secção vmos clculr integrl Considerndo o produto interno f(x)dx. f, g = x f(x)g(x)dx, obtemos os polinômios de Tchebycheff não nulos e ortogonis segundo este produto interno. Lembrmos que os polinômios de Tchebycheff são ddos por Vejmos os primeiros polinômios de Tchebycheff: T n (x) = cos [n rccos(x)], n. T (x) =, T (x) = x, T (x) = x, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x +.

11 De cordo com o Teorem 8. s bscisss pr clculr numericmente integrl são rízes dos polinômios de Tchebycheff. As rízes são dds em (.). Observe mis bixo que os pesos serão constntes, vej (.). Note que pr o cálculo do produto interno vmos precisr d função peso, neste cso, é o ftor. x As fórmuls de Guss-Tchebycheff tmbém fornecem vlor exto d integrl pr polinômios de gru menor do que ou igul n +, vej Teorem 8.: F (t) = ω k F (t k ), k= onde s bscisss t k são s rízes do polinômio T n+ (x) de Tchebycheff de gru (n + ) e clculds por [ ] (k + )π t k = cos, k =,,,..., n. (.) n + Os pesos são constntes e iguis Logo, Exemplo. Clcule integrl pontos (portnto n = 3.). ω i = π, i =,,,..., n. (.) n + F (t)dt = π n + F (t k ). k= exp( x)dx usndo qudrtur de Guss-Tchebycheff com qutro Primeirmente, devemos fzer um mudnç de vriável pr pssr integrl pr o intervlo [, ]. Assim, I = exp( x)dx = 5 exp( (5t + 5))dt = 5 t exp( (5t + 5)) dt. t Note que função F (t) é dd por Assim, F (t) = t exp( (5t + 5)). I 5. π 4 [F (t ) + F (t ) + F (t ) + F (t 3 )] = Aprend usr tbel: Nest tbel s rízes são simétrics com relção origem, ssim devemos considerr ±t i. Os ddos dest tbel form clculdos usndo o Mple. N = n +, N número de pontos ±t i ω i N = N = N = N = Tbel Guss-Tchebycheff

12 Qudrtur de Guss-Lguerre e Guss-Hermite Nest secção estmos interessdos em clculr numericmente integris imprópris do tipo f(x)dx e f(x)dx. Os dois tipos de integris são proximdos por um som Primeirmente vmos estudr integris um proximção pr esss integris ω k f(x k ). k= f(x)dx. A fórmul de qudrtur de Guss-Lguerre fornece e x f(x)dx. O cso gerl é trtdo vi mudnç de vriáveis: fzendo x = t + obtemos e x f(x)dx = e e t f(t + ) dt. }{{} =F (t) A idéi n qudrtur de Guss-Lguerre é mesm já empregds n qudrtur de Guss-Legendre e Guss-Tchebycheff: usndo os polinômios ortogonis de Lguerre, obtemos os vlores pr os pesos ω k e s bscisss x k. Vej seguir tbel com os pesos e s bscisss, clculdos usndo o Mple. n t k - Rízes- sempre positivos ω k - Pesos Qudrtur de Guss-Lguerre

13 Exemplo. Determine um proximção pr Lguerre com 3 pontos. Tomndo os ddos d tbel obtemos exp( x) sin(x)dx usndo qudrtur de Guss- exp( x) sin(x)dx sin( ) sin(.94836) Exercício. Determine um proximção pr com 3 pontos sin( ) = exp( x)x dx usndo qudrtur de Guss-Lguerre A fórmul de qudrtur de Guss-Hermite é utilizd pr clculr um proximção pr integrl imprópri do tipo e x f(x)dx. Os pesos e s bscisss são determindos utilizndo os polinômios ortogonis de Hermite. Vej tbel com os pesos e s bscisss clculdos utilizndo o Mple. n ±t k - Rízes ω k - Pesos Tbel Guss-Hermite Exemplo.3 Use qudrtur de Guss-Hermite pr determinr um proximção pr integrl e x x dx usndo pontos. Estmos dentro ds condições de integrção de Guss-Hermite, com f(x) = x. Usndo tbel, temos =.77678, x = e ω = ω = , donde Exercício.4 e x x dx ω f( ) + ω f(x ) = Use regr dos trpézios pr clculr numericmente s seguinte integris: ) b) sin( x)dx com erro menor do que. exp( x)dx com erro menor do que. 3

14 . Use regr de Simpson pr clculr numericmente s seguinte integris: ) b) c) sin( x)dx com erro menor do que 4. exp( x)dx com erro menor do que 4. x exp( x )dx usndo h = Determine os vlores de n e de h necessários pr proximr que 4, ) usndo regr dos trpézios b) usndo regr de Simpson 4. Repit o exercício cim com x cos(x). exp(x) sin(3x) com erro menor do 5. Use qudrtur de Guss-Legendre com 5 pontos pr clculr s seguintes integris: ) sin( x)dx. b) exp( x)dx. 6. Use qudrtur de Guss-Tchebycheff com 4 pontos pr clculr s seguintes integris: ) sin( x)dx. b) exp( x)dx. 7. Use Guss-Legendre com 3 pontos pr clculr s seguintes integris e compre com seus vlores extos ) x 3.5 x ln(x)dx. b) dx. c) x 4 3 x 4 dx. TABELAS n t k - Rízes ω k - Pesos t =. ω =. t = t = ω = ω =. t =, ω = t = t = ω = ω = t = t = ω = ω = t 3 = t = ω 3 = ω = t 4 = t = ω 4 = ω = , t 3 = t = ω 3 = ω = t =. ω = Tbel Guss-Legendre 4

15 N = n +, ±t i ω i N = N = N = N = Tbel Guss-Tchebycheff n t k - Rízes- sempre positivos ω k - Pesos Qudrtur de Guss-Lguerre n ±t k - Rízes ω k - Pesos Tbel Guss-Hermite 5

16 Referêncis [] S. D. Conte, Elementry Numericl Anlysis. McGrw-Hill,