Análise numérica para solução de integrais não elementares

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA CAMPUS CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA ESPECIALIZACAO EM MATEMÁTICA PURA E APLICADA Análise numéric pr solução de integris não elementres por BALDOINO SONILDO DA NÓBREGA sob orientção d Professor Dr. KÁTIA ELIZABETE GALDINO CAMPINA GRANDE-PB 212

2 BALDOINO SONILDO DA NÓBREGA Análise numéric pr solução de integris não elementres Monogrfi presentd o curso de Especilizção em Mtemátic Pur e Aplicd d Universidde Estdul d Príb em cumprimento s exigêncis legis pr obtenção do título de Especilist. sob orientção d Professor: Dr. KÁTIA ELIZABETE GALDINO CAMPINA GRANDE-PB 212

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4 Análise numéric pr solução de integris não elementres por Bldoino Sonildo d Nóbreg Monogrfi presentd o curso de Especilizção em Mtemátic Pur e Aplicd do Deprtmento de Mtemátic, Centro de Ciêncis e Tecnologi d Universidde Estdul d Príb em cumprimento s exigêncis legis pr obtenção do título de Especilist em Mtemátic Pur e Aplicd. Áre de Concentrção: Mtemátic Aplicd Aprovd por: Junho/212 ii

5 Agrdecimentos Primeirmente, Deus por está sempre presente em todos os momentos de minh vid brindo s ports pr que eu lcnce meus objetivos. Aos meus pis Antonio Sonldo e Mri Selm, os meus irmãos Sonldo Junior, Lucielm, Sidelâni e Synti por terem me ddo muit forç e incetivo que form fundmentis e minh nmord Vlm Rvnny pelo poio e crinho. Aos meus migos e compnheiros de estudo Jiro, Vnlex e Rivnildo que muits vezes me judrm e derm forç pr não desistir. A Professor e Orientdor Dr. Káti Elizbete Gldino pel tenção, compreensão e dedicção no desenvolvimento deste trblho. A Professor Dr. Rosn Mrques por sempre ter tendido tão bem os meus pedidos durnte tod grdução. A todos Professores do Curso de Especilizção em Mtemátic Pur e Aplicd. Enfim, todos queles que contribuirm pr relizção deste trblho. iii

6 Dedictóri A tod minh fmíli. iv

7 Resumo Neste trblho é presentdo um estudo sobre como resolver integris definids de funções contínus que não podem ser clculds utilizndo o Teorem Fundmentl do Cálculo, ou sej, funções que não possuem primitivs ou que sej de difícil obtenção. A integrção numéric oferece um cminho prático pr estimr os vlores desss integris, trvés de métodos numéricos, como Regr do Trpézio, e s Regrs Simpson. Será feit um proximção d função f integrr por um polinômio P que é um função simples de integrr. Tmbém será estimdo o erro em que se incorre o usr tis métodos de proximção.

8 Abstrct This pper presents study on how to solve definite integrls of continuous functions tht cn not be clculted with the Fundmentl Theorem of Clculus, their functions which re not primitive or elementry formultions it is difficult to obtin. The numericl integrtion offers prcticl wy to estimte the integrl by numericl methods, such s the Trpezium Rule nd Simpson s Rules. There will be n pproch to integrte the function F by polynomil P which is simple function to integrte. Also the error is estimted to be incurred when using such methods of pproximtion.

9 Conteúdo Introdução Conceitos Básicos Preliminres Integrl Relção entre Integrção e Derivção Interpolção Polinomil Polinômios de Lgrnge Fórmul de Lgrnge Polinômios de Newton Fórmul de Newton Polinômios de Gregory-Newton Fórmul de Gregory-Newton Erro de truncmento d interpolção polinomil Integrção Numéric Motivção Fórmuls de Newton-Cotes Regr do Trpézio Primeir Regr de Simpson Segund Regr de Simpson Aplicções ds Regrs de Newton-Cotes tipo Fechd Aplicção

10 ii 4.2 Aplicção Aplicção Considerções Finis 58 Bibliogrfi 6

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12 Introdução O cálculo é mtemátic d vrição. No cerne do cálculo estão os conceitos mtemáticos relciondos de derivção (ou diferencição) e integrção. A importânci do cálculo integrl reside ns sus inúmers plicções em vários domínios d engenhri, ms tmbém em físic, em teori ds probbiliddes, em economi, em gestão, ou sej, existe um grnde número de plicções. O processo inverso d derivção no cálculo é integrção. De cordo com definição do dicionário, integrr signific "juntr s prtes em um todo; unir; indicr quntidde totl". Um relção de grnde importânci entre derivção e integrção é ddo no Teorem Fundmentl do Cálculo, que é peç chve de todo Cálculo Diferencil e Integrl, pois estbelece ligção entre s operções de derivção e integrção. Ao colocr em prátic esse teorem num integrl definid é necessário encontrr um fórmul F(x) pr ums ds primitivs de f(x) e fzer o devido cálculo do número, porém lgums primitivs são muito difíceis de se encontrr e outrs não podem ser clculds, pois sus primitivs não têm fórmuls elementres. Sej qul for rzão, qundo não se pode clculr um integrl definid com um primitiv, um solução é recorrer integrção numéric. A idéi básic dos métodos de integrção numéric é proximr função ser integrd f(x), x [, b], por um polinômio, chmdo polinômio interpoldor e integrr esse polinômio, ou sej, b = n w i f(x i ) + Erro, i= onde w i são chmdos de pesos e dependem do polinômio escolhido e os pontos x [, b], i =,..., n, são chmdos de pontos de integrção. A escolh do polinômio interpoldor e dos pontos de integrção define Fórmul

13 8 de integrção usd. Neste trblho vmos considerr s fórmuls de Newton-Cotes fechds, com n = 1, 2, e 3, chmds de fórmuls ou regrs do Trpézio e de Simpson, usndo o polinômio interpoldor de Gregory-Newton como polinômio interpoldor. Apresentremos lguns resultdos e feito comprções entre s regrs supr-citds buscndo qul melhor se plicr e qundo poderá ser utilizd, ssim como tmbém os seus erros cometidos, já que os resultdos são proximções. A seguir um pequeno resumo de cd cpítulo deste trblho. No cpítulo 1 trtremos de lguns conceitos importntes do cálculo, bem como idéi básic d integrção. Introduziremos lguns conceitos tis como, continuidde e de diferencibilidde de um função. Em prticulr, será mostrdo que se f for diferenciável, então f é contínu. Em seguid bordremos definição de integrl usndo soms de Riemnn e um breve comentário sobre o seguinte teorem: se f é contínu em um intervlo fechdo, então f é integrável. A prte finl do cpítulo trtremos d relção entre derivção e integrção com demonstrção do Teorems Fundmentl do Cálculo, ssim como tmbém definição de primitivs. O cpítulo 2, é um breve presentção sobre conceitos básicos de interpolção polinomil. Apresentremos lguns métodos pr construir um polinômio interpoldor de um conjunto de pres ordendos. Alguns desses polinômios são: Polinômio de Lgrnge, Polinômio de Newton e Polinômio de Gregory-Newton. No cpítulo 3 trtremos de integrção numéric, mis precismente de técnics de integrção. Inicilmente presentremos motivção com lguns exemplos de funções não elemetres, mis dinte é feit escolh do polinômio interpoldor ser utilizdo n construção ds técnics, esse é chmdo Polinômio de Gregory-Newton, que é um cso prticulr do Polinômio de Newton pr pontos igulmentes espçdos. N sequênci, bordremos cd técnic de integrção numéric seprdemente, se resumindo às fórmuls de Newton Cotes tipo Fechd que são s Regrs do Trpézio e Primeir e Segund Regr de Simpson. O cpítulo 4 é formdo por váris plicções ns mis diverss áres, como por exemplo, n engenhri cívil, n mtemátic e n esttístic, mostrndo grnde importânci do ssunto citdo no cpítulo 3. No cpítulo 5 trtremos de lgums poderções e comprções entre s devids técnics citds neste trblho.

14 Cpítulo 1 Conceitos Básicos Pr presentção deste trblho, precismos de um breve revisão bibliográfic de lguns conceitos básicos do cálculo como continuidde, derivds, integris, entre outros. 1.1 Preliminres Definição 1.1 Sej f : I R R um função definid no intervlo I. Dizemos que f é contínu no ponto I se, pr todo ɛ > ddo rbitrrimente, é possível encontrr um δ > de tl form que pr todo x I com x < δ implic que f(x) f() < ɛ, isto é, um função f é contínu em um número se: lim f(x) = f() x ou sej, é possível tornr f(x) rbitrrimente tão próximo de f() qunto desejmos, desde que se tomemos um x suficientemente próximo de. Dizemos que um função f é contínu, se est função for contínu em todo pertencente o seu domínio. [2] Definição 1.2. Sej f : I R R um função definid num intervlo berto I. Dizemos que f é derivável em um ponto x I se o seguinte limite existir lim h f(x + h) f(x). h Neste cso, este limite é denomindo derivd de f no ponto x denotdo por f (x). Dizemos que f é derivável, se el for derivável em todos os pontos do seu domínio. [6]

15 Chmremos de derivd lterl de f pel direit do ponto x denotdo por f (x + ): f (x + ) = lim x x + f(x) f(x ) x x, se o limite existe, onde x x + signific que x > x. Chmremos de derivd lterl de f pel esquerd do ponto x denotdo por f (x ) f (x ) = lim x x f(x) f(x ) x x, se o limite existe, onde x x signific que x < x. Observção 1. Cso um ds derivds lteris não exist em x ou os seus vlores sejm diferentes, dizemos que f não é derivável em x. Proposição 1.3. contínu em. Se função f :I R é derivável no ponto I, então f é Prov: Sej I fixo. Bst mostrr que lim f(x) = f(). x Por hipótese temos que f é derivável no ponto, ssim su derivd neste ponto é dd por: f f( + h) f() f(x) f() () = lim, fzeno x = + h, temos lim. h h x x Podemos escrever f(x) de form que contenh f(x) f(),como se segue: x [ ] f(x) f() f(x) = (x ) + f(). x Aplicndo o limite em mbos os ldos d expressão cim e como existem os limites de f(x) f(), (x ) qundo x, temos: x f(x) f() lim f(x) = lim lim(x ) + lim f(). x x x x x 1 Logo, lim f(x) = f () + f() lim f(x) = f(). x x Portnto, se um função f é derivável no intervlo I, então f é contínu em I. A reciproc dest proposição não é verddeir, isto é, nem tod função contínu é derivável. Um exemplo clro deste fto é função f(x) = x qul é contínu,

16 porém no ponto x = não possui derivd, já que s derivds lteris neste ponto são diferentes. Pois derivd lterl pel direit é 1 e derivd lterl pel esquerd é -1. Exemplo 1.1. Dd f(x) = 1, encontre função derivd de f.[6] x Solução: f (x) = lim h f(x + h) f(x) h = lim h 1 x + h 1 x h = lim h x (x + h) (x + h)x h 11 = lim h h (x + h)x h = lim h h (x + h) 1 h = lim h 1 (x + h)x = 1 (x + )x = 1 x. 2 f (x) = 1, x. x2 1.2 Integrl Um dos grndes vnços d geometri clássic foi obter fórmuls pr determinr áre e volume ds mis vrids forms geometrics. Nest seção bordremos o conceito de Integrl definid utilizndo idei de Soms de Riemnn. Sej f : [, b] R um função, com e b números reis e < b, sendo f um função contínu no intervlo fechdo [, b] e f(x), x [, b] e sej R região limitd pel curv y = f(x), s rets x = e x n = b e o eixo x, conforme ilustr figur 1.1.

17 12 Figur 1.1: Região R Um prtição do intervlo [, b] com n subintervlos, é definid escolhendo n 1 pontos entre e b, seguinte form, = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b Sejm k x = x k x k 1, o comprimento do subintervlo [x k 1, x k ] k = 1, 2,..., n, t k um ponto em [x k 1, x k ] e R k o retângulo com ltur f(t k ) e lrgur k x. Dess form, encontrmos um vlor proximdo pr áre que se desej clculr, somndo s áres dos retângulos R k, ou sej, n Áre de R f(t 1 ) 1 x + f(t 2 ) 2 x f(t n 1 ) n 1 x + f(t n ) n x = f(t k ) k x k=1 Figur 1.2: Aproximção d região R Observe n Figur 1.2, que qunto mior for o vlor de n n prtição considerd, mis próximo d região R estrá som ds áres dos retângulos. Sej P o comprimento do mior subintervlo d prtição, isto é,

18 13 P = mx{ k x, 1 k n}. Qunto mis próximo P estiver de, mis próxim estrá som ds áres dos retângulos d áre d região R. Logo, Áre de R = lim P n f(t k ) k x Definição 1.4. Dd um função f limitd num intervlo [, b], e um prtição P = { = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b} desse intervlo, um Som de Riemnn é ddo por: k=1 n f(t k ) k x, onde t k [x k 1, x k ] e k x = x k x k 1. k=1 Definição 1.5. Sej f(x) um função definid em um intervlo fechdo [, b]. Dizemos que um número I = b f(x)dx é integrl definid de f em [, b] e que I é o limite ds soms de Riemnn n k=1 f(t k) k x, se seguinte condição é stisfeit: Ddo qulquer número ɛ >, existe um número correspondente δ >, tl que, pr qulquer prtição P = {x, x 1,..., x n 1, x n } de [, b] com P < δ e qulquer escolh de t k em [x k 1, x k ], temos [6] n f(t k ) k x I < ɛ. k=1 Portnto, áre d região R é dd por: I = b f(x)dx Exemplo 1.2. Sej R região entre o eixo x e curv y = x 2, x [, 1] (vej Figur 1.3). Figur 1.3: Região R

19 Devemos encontrr um vlor proximdo d áre dest região trvés de um Som de Riemnn. é, Pr isto, fremos prtições do subintervlo [, 1] em n subintervlos iguis, isto O comprimento de cd subintervlo é [ k 1 [x k 1, x k ] = n, k ], k = 1, 2, 3,..., n. n k x = k n k 1 n Escolhendo t k como o ponto médio do subintervlo = 1, k = 1, 2, 3,..., n n [ ] k 1, k, isto é, n n 14 t k = k = 2k 2+1 n 2n 2n = 2k 1 2n, k = 1, 2, 3,..., n. Neste cso, Som de Riemnn é n t 2 k k x = k=1 n ( ) 2 2k 1 1 2n n = k=1 n k=1 (2k 1) 2 4n 3 = 1 4n 3 n (2k 1) 2. k=1 Sej A(R) áre d região R, A(R) = Portnto, áre d região R é, A(R) = 1 1 x 2 1 dx = lim n 4n 3 x 2 dx = n 3 n (2k 1) 2. k=1 n (2k 1) 2. Aumentndo n, Som de Riemnn dest prtição fic mis próximo do vlor d áre d região R. k=1 Figur 1.4: Subdivisão do intervlo

20 15 Tomndo n = 2, temos Tomndo n = 4, A(R) = A(R) = k=1 2 (2k 1) 2 = ( ) = 1 =, k=1 (2k 1) 2 = ( ) = 84 =, A seguir um importnte teorem, cuj demonstrção encontrmos em livros de Análise Rel. Teorem 1.1 Tod função contínu em um intervlo fechdo é integrável. [2] Vle slientr que recíproc deste teorem é fls, isto é, nem tod função integrável é contínu. 1.3 Relção entre Integrção e Derivção Derivr e integrr são operções inverss. Por exemplo, se f(x) = x 2, então integrl indefinid de f é fmíli de funções A(x) = x c f(t)dt = x C t 2 dt = x3 3 C3 3, sendo C um constnte. Derivndo obtemos A (x) = x 2 = f(x). Este exemplo muito simples ilustr um resultdo gerl, chmdo o Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo. Nest seção bordremos o Teorem Fundmentl do Cálculo. [5] Sej f : [, b] R um função integrável. Logo fixdo qulquer x [, b] existe x f(t)dt, ssim podemos definir um função G : [, b] R, isto é, G(x) = x f(t)dt. Note que G() = e se f é positiv e contínu, G(x) é o vlor d áre limitd pelo eixo x e o gráfico de f, entre s rets t = e t = x, conforme figur seguir: Figur 1.5: y=f(t)

21 Teorem 1.2 (Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo). Sej f : [, b] R um função contínu e definimos G : [, b] R como sendo função: G(x) = x f(t)dt, Então G é um função diferenciável e vle: [ ] G (x) = d x f(t)dt = f(x). dx Prov: Se x e x + h [; b] temos: ou sej: G(x + h) G(x) = G(x + h) G(x) = x+h x+h f(t)dt Fzendo f(t) = f(x) + [f(t) f(x)] em (1.1), obtemos: donde se conclui G(x + h) G(x) = x+h x x = hf(x) + x f(t)dt, f(t)dt. (1.1) f(x)dt + x+h x x+h x [f(t) f(x)]dt [f(t) f(x)]dt, 16 G(x + h) G(x) h = f(x) + 1 h x+h Pr completr demonstrção vmos provr que 1 lim h h x+h x x [f(t) f(x)]dt. (1.2) [f(t) f(x)]dt =. Nest fse de demonstrção fremos o uso de continuidde de f em x. Representndo o segundo termo do segundo membro de (1.2) por A(h), provremos que A(h) qundo h. Logo, pel definição de limite, temos que pr todo ɛ > existe um δ > tl que A(h) < ɛ sempre que < h < δ. (1.3) Em virtude d continuidde de f em x, ddo um ɛ > existe um δ positivo tl que: f(t) f(x) < 1 2 ɛ (1.4). sempre que x δ < t < x + δ (1.5)

22 Se escolhermos h de mneir que < h < δ, então cd t do intervlo [x, x + h] stisfz (1.5) e por isso (1.4) é válid pr cd t desse intervlo. Logo, x+h x+h x+h [f(t) f(x)]dt 1 f(t) f(x) dt 2 ɛdt = 1 2 h < hɛ. x x Dividindo por h, é visto que (1.3) é válid pr < h < δ. Se h <, um rciocínio nálogo prov que (1.3) é válid sempre que < h < δ, estndo ssim complet demosntrção. [5] Definição 1.6. Dizemos que um função F é um Primitiv (ou ntiderivd) de f em um intervvo I, se F (x) = f(x) pr todo x de I. [5] x 17 Por exemplo, função seno é um primitiv d função cosseno em todo intervlo, porque derivd d função seno é o cosseno. Fl-se de um primitiv, em vez de primitiv, porque se F é primitiv de f, então tmbém F + k o é, qulquer que sej constnte k. [5] Proposição 1.7. Dus primitivs diferem por um constnte. Prov: Sejm F e G dus primitivs d função f e H função definid por: H(x) = F (x) G(x), x Então, pr todo x I, temos: H (x) = F (x) G (x) = f f = H (x) =. Portnto, H é um constnte, logo temos: F (x) G(x) = C pr todo x, donde: F (x) = G(x) + C pr todo x.

23 18 Teorem 1.3 (Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo). Sej f : [, b] R um função contínu. Se F : [, b] R é um primitiv de f, implic que b f(t)dt = F (b) F (). Prov: Por hipótese temos que F é Primitiv de f, ou sej, F = f. Definimos G(x) = x f(t)dt, do teorem 1.2 temos que G (x) = f(x), ou sej, G tmbém é um primitiv de f. D proposição 2, sbemos que dus primitivs diferem por um constnte, logo: G(x) = F (x) + C. Dí temos que: G() = F () + C, ms G() = Assim, C = F () Portnto temos: G(x) = Consequentemente: x x f(t)dt e G(x) = F (x) F (). f(t)dt = F (x) F (). E como o ponto x está no intervlo [, b], podemos substituir x por b e obteremos: b f(t)dt = F (b) F ().

24 Cpítulo 2 Interpolção Polinomil Métodos de interpolção polinomil são utilizdos pr proximr um função f(x), principlmente ns seguintes situções: Conhecemos pens vlores de f(x) em pens pontos discretos x, x 1, x 2,..., x n f(x) é extremmente complicd e de difícil mnejo e f(x) não é conhecid explicitmente. Polinômios Interpoldores Considerndo que os Polinômios são s funções mis simples, no sentido que derivd ou um primitiv de um função polinomil é um função polinomil, e portnto, são os mis utilizdos. Um polinômio construído com o intuito de proximr um função é denomindo Polinômio Interpoldor, estes são fundmentis em diversos ssuntos como, por exemplo, integrção numéric que será bordd no próximo cpítulo. [3]

25 2.1 Polinômios de Lgrnge 2 Sejm ddos n+1 pontos (x, y ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), sendo x i x j, i, j = 1, 2, 3,..., n, tis que y i = f(x i ) e x i (x, x n ). Desej-se construir um polinômio L n (x) de gru não superior n e possuindo nos pontos x i o mesmo vlor d função f(x), isto é, L n = y i, i =, 1, 2,..., n. (2.1) Fórmul de Lgrnge Inicilmente, sejm os polinômios de gru n, P i (x), i =, 1, 2,...n, tis que P i (x i ) = e P i (x j ), i j. Assim, P (x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )...(x x n ), P 1 (x) = (x x )(x x 2 )(x x 3 )...(x x n ), P 2 (x) = (x x )(x x 1 )(x x 3 )...(x x n ),. P k (x) = (x x )...(x x k 1 )(x x k+1 )...(x x n ),. P n (x) = (x x )(x x 1 )(x x 2 )...(x x n 1 ), ou sej, n P i (x) = (x x j ), j i, i =, 1, 2,...n. (2.2) j= Considerndo que L n (x) é de gru não superior n, ele pode ser escrito como um combinção liner dos polinômios P i (x), isto é, L n (x) = c P (x) + c 1 P 1 (x) + c 2 P 2 (x) c n P n (x) ou n L n (x) = c i P i (x). (2.3) i= Comprndo (2.1) e (2.3) e em vist de (2.2) L n (x i ) = y i = c i P i (x i ),

26 21 de onde c i = y i P i (x i ). (2.4) Substituindo (2.4) em (2.3), temos L n (x) = n i= y i P i (x i ) P i(x i ). Em vist de (2.2), tem-se, finlmente, fórmul do polinômio interpoldor de Lgrnge de gru n seguir. L n (x) = n i= y i n j= x x j x i x j, i j (2.5) Pr fcilitr o entendimento construiremos um polinômio com n = 2, no exemplo Exemplo 2.1: Encontre o polinômio que interpol os pontos d tbel seguir: x -1 2 y L 2 (x) = y x x 1 x x 1 x x 2 x x 2 + y 1 x x x 1 x x x 2 x 1 x 2 + y 2 x x x 2 x x x 1 x 2 x 1 (x ) (x 2) L 2 (x) = 4 ( 1 ) ( 1 2) (x + 1) (x 2) + ( + 1) ( 2) (x + 1) (x ) (2 + 1) (2 ) Dí, ( ) ( ) ( ) x 2 2x x 2 x 2 x 2 + x P 2 (x) = P 2 (x) = x x2 2.2 Polinômios de Newton Diferençs dividids Sej f função que pss pelos pontos (x i, y i ), i=,1,2,...,n. Definimos Diferençs Dividids

27 22 ) ordem : f[x i ] = f(x i ), b) ordem 1: f[x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i c) ordem 2: f[x i, x i+1, x i+2 ] = f[x i+1, x i+2 ] f[x i, x i+1 ] x i+2 x i d) ordem n: f[x i, x i+1,..., x i+n ] = f[x i+1, x i+2,..., x i+n ] f[x i, x i+1,..., x i+n 1 ] x i+n x i Exemplo 2.2 Verificr tbel de diferençs dividids de y = 5x 3 2x 2 x + 3 pr lguns pontos x i no intervlo [;, 9]. i x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+2 ] f[x i,..., x i+3 ] f[x i,..., x i+4 ], 3, -1,2,5 5 1,2 2,76-1,5 2,5 5 2,3 2,655 -,55 5, 5 3,4 2,6 1,45 8, 4,7 3,35 5,45 5,9 4, Fórmul de Newton Sejm os n+1 pontos (x i, y i ), i=,1,2,...,n, com x i distintos, tis que y i = P (x i ), sendo P(x) um polinômio de gru n. De cordo com o que foi definido sobre diferenç dividid, fzendo y i = f(x i ) e f(x i ) = P (x i ) temos, ou f[x, x ] = P (x) P (x ) x x P (x) = P (x) + f[x, x ](x x ). (2.7) No entnto, f[x, x, x 1 ] = f[x,x ] f[x,x 1 ] x x 1, logo, f[x, x ] = f[x, x 1 ] + f[x, x, x 1 ](x x 1 ) Substituindo equção cim em (2.7), tem-se Como, P (x) = P (x ) + f[x, x 1 ](x x ) + f[x, x, x 1 ](x x )(x x 1 ). (2.8) f[x, x, x 1, x 2 ] = f[x,x,x 1 ] f[x,x 1,x 2 ] x x 2, temos f[x, x, x 1 ] = f[x, x 1, x 2 ] + f[x, x, x 1, x 2 ](x x 2 ).

28 23 Substituindo equção cim em (2.8), obtém-se P (x) = P (x ) + f[x, x 1 ](x x ) + f[x, x 1, x 2 ](x x )(x x 1 )+ +f[x, x, x 1, x 2 ](x x )(x x 1 )(x x 2 ). (2.9) Continundo o desenvolvimento de f[x, x, x 1, x 2 ], cheg-se P (x) = P (x ) + f[x, x 1 ](x x ) + f[x, x 1, x 2 ](x x )(x x 1 )+ +f[x, x 1, x 2, x 3 ](x x )(x x 1 )(x x 2 ) f[x, x 1, x 2,..., x n ](x x )(x x 1 )...(x x n 1 )+ +f[x, x, x 1,..., x n ](x x )(x x 1 )...(x x n ). Como P(x) é um polinômio de gru n, diferenç dividid f[x, x, x 1,..., x n ] =, x. Fzendo y = P (x ) temos o polinômio de Newton de gru n P n (x) = y + f[x, x 1 ](x x ) f[x, x 1,..., x n ](x x )...(x x n 1 ) (2.1) Exemplo 2.2 [3] : Determinr P 2 (1, 2), usndo tbel de diferenç dividid seguir: i x i f(x i ) f[x i, x i+1 ] f[x i, x i+1, x i+2 ],9 3,211-2,1,62 1 1,1 2,89-1, , 1,614 - Por (4) com n = 2, tem-se que P 2 (x) = y + f[x, x 1 ](x x ) + f[x, x 1, x 2 ](x x )(x x 1 ), P (1, 2) = 3, ( 2, 1)(1, 2, 9) + (, 62)(1, 2, 9)(1, 2 1, 1) P (1, 2) = 2, Polinômios de Gregory-Newton Qundo os vlores ds bscisss x i forem igulmente espçdos, fórmul de Newton pode ser simplificd, resultndo n fórmul de Gregory-Newton. Logo o Polinômio de Gregory-Newton é um cso prticulr do polinômio de Newton pr pontos igulmente espçdos. [3]

29 24 Diferenç finit scendente Sej função y = f(x) que pss pelos pontos (x i, y i ), i=,1,2,...,n, sendo x i+1 x i = h, i. O operdor de diferenç finit scedente é definido como sendo: ) ordem : y i = y i, b) ordem 1: y i = y i+1 y i = y i+1 y i, c) ordem 2: 2 y i = y i+1 y i, d) ordem 3: n y i = n 1 y i+1 n 1 y i Exemplo 2.3 [3] Construir tbel ds diferençs finits pr função dd pel tbel seguir: x i y i 3,5 9,82 4, 1,91 4,5 12,5 5, 13,14 5,5 16,19 A tbel ds diferençs finits ficrá d seguinte form: x i y i y i 2 y i 3 y i 4 y i 3,5 9,82 1,9,5 -,1 2,11 4, 1,91 1,14 -,5 2,1 4,5 12,5 1,9 1,96 5, 13,14 3,5 5,5 16,19 Usndo indução finit, mostr-se que diferençs finits scendentes e dividids é dd pel expressão, f[x, x 1,..., x n ] = n y i n!h n (2.11) Fórmul de Gregory-Newton Sej fórmul do polinômio interpoldor de Newton (2.1) n form P n (x) = y + f[x, x 1 ](x x ) f[x, x 1,..., x n ](x x )...(x x n 1 )

30 25 e um vriável uxilir z = x x, d qul verific-se que h x = x + hz, x x 1 = x (x + h) = x x h = zh h = h(z 1) x x 2 = x (x + 2h) = x x 2h = zh 2h = h(z 2). x x n 1 = x (x + (n 1)h) = x x (n 1)h = h(z n + 1). Substituindo estes vlores n fórmul de Newton e plicndo relção (2.11) entre operdores, tem-se: [3] P n (x) = y + y 1!h hz + 2 y 2!h 2 hzh(z 1) n y n!h n hzh(z 1)...h(z n + 1). Assim temos fórmul do polinômio interpoldor de Gregory-Newton de gru n, P n (x) = y + y z + n y 2! z(z 1) n y n! z(z 1)...(z n + 1). (2.12) Exemplo 2.3: Clculr P 2 (115), prti d tbel: A vriável z = x x h i x i y i y i 2 y i 11 2,41,38 -, ,79, ,114 - = =, 5. usndo (2.12) com n = 2, tem-se P 2 (x) = y + y z + 2 y 2! z(z 1), P 2 (115) = 2, 41 + (, 38)(, 5) + (,3) 2 (, 5)(, 5 1) P 2 (115) = 2, Erro de truncmento d interpolção polinomil Pr estimr diferenç f(x) P n (x), isto é, o erro com que o polinômio interpoldor P n (x) proxim f(x) em x I, com I o menor intervlo que contém x, x,..., x n, não é suficiente conhecer o domínio de f(x) e os nós de interpolção x,..., x n. Bst lembrr que qulquer função que ssum os mesmos vlores tbeldos está ssocido

31 o mesmo polinômio interpoldor, podendo diferenç f(x) P n (x) tornr-se rbitrrimente diferente em qulquer x I. 26 Todvi o conhecimento d derivd de ordem n+1 de f(x) pode levr-nos um estimtiv do erro. No seguinte teorem é presentd um fórmul explícit pr o cálculo do erro de interpolção. Teorem 2.1 Sej P n (x) o polinômio de gru menor ou igul n interpoldor d função f(x) nos nós de interpolção distintos x,..., x n [, b]. Se f(x) tiver derivds contínus té ordem n + 1 em [, b] então, pr cd x [, b] existe x i I (com I o menor intervlo que contém x, x,..., x n ), tl que f(x) P n (x) = n (x x j ) f n+1 (ξ) (n + 1)!. j= Prov: O resultdo é imedito se x = x i, i =,..., n, e nesse cso o erro óbvimente nulo. Sej então x x i, i =,..., n. Considerndo Defin-se função onde, θ(t) = n (x x j ) j= F (t) = f(t) P n (t) cθ(t), (2.13) c = f(x) P n(x). (2.14) θ(x) A função F (t) está definid em I e é tl que F (x) = e F (x i ) =, i =, 1,..., n, isto é, F (t) = tem pelo menos n + 2 zeros em I. Pelo teorem de Rolle, F (t) tem pelo menos n + 1 zeros em I, F (t) tem pelo menos n zeros em I, F (n+1) (t) tem pelo menos 1 zero em I. Sendo ξ esse zero de F (n+1) (t), derivndo (2.13) n + 1 vezes obtemos F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) P (n+1) n (ξ) cθ (n+1) (ξ) =. Ms P n (n+1) (ξ) =, pois o polinômio P n (t) é de gru menor ou igul n. Como o coeficiente do termo de mior gru do produto θ(t) é igul 1 temos θ (n+1) (ξ) = (n+1)!. Então

32 27 e, tendendo (2.14), vem c = f (n+1) (ξ) θ (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! f(x) p n (x) = θ(x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! = n (x x j ) f (n+1) (ξ) (n + 1)!. j= sendo f(x) definid no intervlo [, b] que contém os pontos x, x 1,..., x n, e supondo que derivd f n+1 (x) existe e é contínu no intervlo (, b), então devido dificuldde de loclizr ξ, n prátic ele é tomdo como o ponto no intervlo [x o, x] (, b), onde f n+1 (x) present o mior vlor em módulo. Qulquer um dos polinômios citdos neste cpítulo, poderão ser utilizdos n construção ds técnics de integrção numéric que serão conceituds no cpítulo seguir.

33 Cpítulo 3 Integrção Numéric 3.1 Motivção Vimos no cápitulo 1, um form de obter o vlor exto de um integrl definid, b f(x)dx, é encontrr um fórmul F (x) pr um ds primitivs de f(x) e clcu- lr o número F (b) F () utilizndo o Teorem Fundmentl do Cálculo. Antes de trtr de métodos numéricos pr o cálculo de integris definids, é relevnte tentr pr s rzões d importânci dos mesmos. Sendo ssim, seguir, presentremos lguns exemplos nos quis utilizção de métodos numéricos pr o cálculo de integris definids, por lgum motivo, se fz necessári. As plicções mis imedits ds integris definids se encontrm no cálculo de comprimentos, áres, volumes, mss, centro de mss, distânci percorrid, tempo decorrido, etc. Por exemplo o problem de clculr o comprimento de um curv f de equção y = f(x), com x de té b, se função f for diferenciável, esse problem remete um integrl do tipo b 1 + f(x)dx que, gerlmente é um integrl de difícil resolução e em muitos csos pr resolve-ls se fz necessário o uso de métodos numéricos. Sej, por exemplo, clculr o perímetro de um região elíptic, que exige vlição d expressão, P = 4 b π 2 1 k2 sen 2 (t)dt. Ocorre que integrl 1 k2 sen 2 (t)dt

34 é conhecid como integrl elíptic do primeiro tipo, e não dmite um primitiv que resulte d combinção finit de funções elementres. Em outrs plvrs, não há um fórmul fechd pr o perímetro de um região elíptic. 29 Outro exemplo vem d Teori ds Probbiliddes, onde pr determinr probbilidde de que um evento ocorr dentro de um intervlo [, b] é necessário clculr integrl β = 1 σ 2π b e (x µ)2 2σ 2 dx Acontece que f(x) = e x2 2 é um função cuj primitiv não pode ser express como um combinção finit de funções elementres. Mis um exemplo é encontrdo no cso em que há necessidde de se trblhr com ddos experimentis. Nest situção, não há funções mtemátics que descrevem um determindo fenômeno físico, ms pens tbels de ddos que devem ser integrdos pr se nlisr o problem. O trtmento é feito, essencilmente, de form numéric. Os exemplos presentdos ilustrm necessidde de conhecermos métodos numéricos pr o cálculo de integris definids. Por rzões histórics, s fórmuls de integrção numéric tmbém são denominds qudrtur numéric, pois foi com o problem d qudrtur do círculo que Arquimedes fez os primeiros cálculos usndo noção de integrl. Conforme ilustrdo nos exemplos presentdos nteriormente, n resolução de um integrl definid váris situções podem ocorrer: (i) determinção d primitiv F pode ser difícil; (ii) função integrr pode não dmitir um primitiv F que poss ser escrit como um combinção finit de funções elementres; (iii) função ser integrd pode não ser conhecid n su form nlític, ms pens, em um conjunto de pontos (x i, y i ), i =, 1,...n. A chve pr solução do problem é, essencilmente, proximr função ser integrd f, por outr função cuj integrl sej fácil de clculr, ou sej, um polinômio. Este objetivo pode ser lcnçdo subdividindo o intervlo [, b] em n subintervlos de mesmo comprimento, h = b, substituindo f pelo polinômio interpoldor de Gregoryn Newton de gru n. Poderi se usr qulquer um dos polinômio citdos no cpítulo nterior, ms devido fcilidde de mnipulção neste trblho utilizremos pens o Polinômio de Gregory-Newton. Ou sej,

35 P n (z) = y + z y + z(z 1) 2 y 2! + + z(z 1)...(z (n 1)) n y n! em que z = x x h (3.1) A Figur 3.1, ilustr o comportmento do polinômio interpoldor p n. 3 Figur 3.1: Polinômio interpoldor P n (x) de um função f Pr clculr o erro cometido n integrção (E i ) bst integrr o erro d interpolção E(x). De fto, como E(x) = f(x) P n (x) então f(x) = P n (x) + E(x), dess form: b f(x)dx = b P n (x)dx + b Logo, o erro cometido n integrção é ddo por: E i = b E(x)dx E(x)dx O erro de truncmento de um polinômio de Gregory-Newton de gru n, é ddo por: E(x + nz) = h n+1 z(z 1)(z 2)... (z n) f n+1 (ξ) n+1. pr z = x x n (3.2) 3.2 Fórmuls de Newton-Cotes As fórmuls de Newton-Cotes podem ser: () Do tipo Fechdo: tis fórmuls são quels em que todos os pontos estão no intervlo de integrção [, b], x = e x n = b são os extremos.

36 31 (b) Do tipo Aberto: nests fórmuls todos os pontos estão no intervlo [, b] de integrção, porém função integrnd y = f(x), não é vlid em mbs extremiddes do intervlo, ms em pontos próximos. Utilizmos qundo função integrnd present descontinuiddes nos extremos do intervlo de integrção, têm utilidde n nálise de integris imprópris. Serão nlisds pens s Fórmuls de Newton-Cotes do tipo fechdo (Regr do Trpézio e s Regrs de Simpson) devido fcilidde de interpretção e plicção ds fórmuls. Ests permitem clculr, por proximção, um integrl definid substituindo função ser integrd pelo polinômio interpoldor de Gregory-Newton. [3] Regr do Trpézio Fórmul Simples A idei desse procedimento é substituir função f integrr em [, b] pelo polinômio interpoldor de Gregory-Newton de gru n = 1, nos pontos, x = e x 1 = b logo, P 1 (x) = y + x x h y. T = Fzendo mudnç e vriável: z = x x h b f(x)dx b P 1 (x)dx dz = 1 dx, isto é, dx = hdz e dequndo os limites de integrção em z temos: h Pr x = x = z = Pr x = x 1 = z = x 1 x h = h h = 1. Dí, T s = b f(x)dx = x1 x 1 P 1 (x)dx (y + z y )hdz = h(y z + z2 2 y ) 1 = h(y y ) = h[y (y 1 y )] = h 2 (y + y 1 ). Portnto, o se substituir f(x) por P 1 (x), em [, b], obtemos proximção: T s = b f(x)dx h 2 (y + y 1 ). (3.3)

37 32 Figur 3.2: Aproximção de f pelo polinômio P 1 Geometricmente, fórmul (3.3) indic áre d Figur (3.2) compreendid entre s rets = x, b = x 1, o eixo OX e o polinômio interpoldor P 1 (x), isto é, áre de um Trpézio. Como sbemos áre de um trpézio vle metde do produto d ltur pel som d bse menor (no nosso cso, y 1 ) com bse mior (no nosso cso, y ). [4] 4 1 Exemplo 3.1 Clculr dx pel regr do trpézio. 1 x O polinômio de gru 1 pss pelos pontos com bscisss = x = 1 e b = x 1 = 4, ssim h = 4 1 = 3 T 1 = 3 2 ( ) = 1, Erro d fórmul Simples Fzendo n = 1 n fórmul do erro dd por (3.2), temos b b E T = E(x)dx = h 2 z(z 1) f (ξ) dx = 2! 1 = h 2 z(z 1) f (ξ) hdz = h 3 f (ξ) 1 (z 2 z)dz = 2! 2 [ ] = h 3 f 1 [ ] (ξ) z z2 = h 3 f (ξ) = h 3 f (ξ) Logo, o erro cometido o substituir f por um polinômio interpoldor de gru 1 é

38 33 ddo pel seguinte fórmul: pr lgum ξ [, b]. E T = h 3 f (ξ) 12, (3.4) A fórmul (3.4) tem plicbilidde prátic restrit, um vez que determinção de ξ não é tref trivil. Em virtude disso, n prátic é comum obtermos um limitnte pr o erro d integrção, isto é: h E i = 3 f (ξ) 12 h3 M (3.5) 12 f sendo M = mx x b (ξ). Observmos que se o intervlo [, b] é pequeno, proximção é rzoável, ms se [, b] é grnde, o erro tmbém pode ser grnde. N Figur 3.3, áre hchurd é o erro cometido o clculrmos integrl de té b usndo (3.3). [4] Figur 3.3: Gráfico slientndo o erro cometido Fórmul Compost A idei desse procedimento é dividir o intervlo [, b] em n subintervlos de mesmo espçmento h = (b ) n e plicr cd subintervlo [x i, x i+1 ] pr todo i =, 1, 2, 3,, n 1 Fórmul Simples d Regr do Trpézio. Dí fórmul compost consiste num mneir de obter proximções com menor erro. obtemos Considerndo fórmul (3.3) em cd subintervlo [x i, x i+1 ], i =,..., n 1, T c = b f(x)dx h 2 [y + y 1 ] + h 2 [y 1 + y 2 ] + + h 2 [y n 1 + y n ]

39 34 Figur 3.4: Aproximção de f usndo fómul compost d Regr do Trpézio A fórmul compost d Regr dos Trpézios é, portnto: T c = b f(x)dx h ] [y + 2y 1 + 2y 2 + 2y y n 1 + y n 2 (3.6) Erro d Fórmul Compost O erro E T c d fórmul compost d Regr do Trpézios é som dos erros E i cometidos em cd um dos subintervlos [x i, x i+1 ], isto é: E T c = E 1 + E 2 + E n, onde E i = h 3 f (ξ) 12, ξ i [x i, x i+1 ], com i = 1,, n. Um limitnte do erro pode ser determindo considerndo que: ET c E1 + E2 + En, sendo E i h 3 M i e M 12 i = mx x [xi,x i+1 ] f (x). Sej M = mx x b f (x). Logo Ei h 3 M i 12 h 3 M 12 Como h = b n, temos: ET (b ) 3 M c = n. 12n 3 e ET c = n h 3 M Finlmente, tem-se fórmul pr o erro máximo cometido pel plicção d fórmul compost d Regr dos Trpézios: ET c (b ) 3 M 12n 2, (3.7) 12.

40 sendo M = mx x b f (x). Exemplo 3.2 Determine um limitnte superior pr o erro cometido n estimtiv π x senx dx o usr fórmul compost d regr do trpézio com n = 1 pssos. Solução: Com =, b = π e n = 1, estimtiv de erro E T, é dd por 35 E T M(b )3 12n 2 = π3 12 M. O número M pode ser qulquer limitnte superior pr mgnitude d segund derivd de f(x) = x senx o longo de [, π]. Clculndo f (x) obtemos f (x) = 2cosx xsenx Portnto, f (x) = 2cosx xsenx 2 cosx + x senx π 1 = 2 + π Podemos com segurnç considerr M = 2 + π. Portnto, E T π3 12 M = π3 (2+π) 12 <.133 O erro bsoluto não é mior que,133. Pr melhorr proximção podemos umentr o número de pssos do método, ou sej, umentr n. [6] Exemplo 3.3 Clculr, usndo Regr do Trpézio, Solução: Temos que, 1,2 e x cos xdx. x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x,2,4,6,8 1, 1,2 e x cosx e x cosx

41 36 Aplicndo, (3.6) T c = 1,2 e x cosxdx h ] [y + 2y 1 + 2y 2 + 2y 3 + 2y 4 + 2y 5 + y 6 2 =.2 [1 + 2( ) ] 2 =.1[1 + 2(7.94) ] =.1[ ] =.1[16.39] = Primeir Regr de Simpson Fórmul Simples Pr obtenção dest Regr bst substituir função f integrr em [, b] pelo polinômio interpoldor de Gregory-Newton de gru n = 2, ou sej, proximr função por um polinômio qudrático (prábol). Portnto, precismos de três pontos, x =, x 1 = +b 2 e x 2 = b pr construir fórmul simples d Primeir Regr de Simpson onde o polinômio se comport d seguinte mneir: P 2 (x) = y + x x y + (x x )(x x 1 ) 2 y. h h 2 2! Logo, S 1 = Fzendo mudnç e vriável: z = x x h b f(x)dx b P 2 (x)dx. dz = 1 dx, isto é, dx = hdz e dequndo os limites de integrção em z temos: h Pr x = x = z = Pr x = x 2 = z = x 2 x h = 2h h = 2.

42 37 Dí, S 1 = b f(x)dx x2 2 P 2 (x)dx = (y + z y + (z 2 z) 2 y )hdz = x 2! = h [ y z + z2 2 y + ( z3 3 z2 y ] 2 2 ) 2 2 = = h [2y + 2 y + ( 8 ] 3 2) 2 y = [ = h 2y + 2(y 1 y ) + 1 ] 3 (y 2 2y 1 + y ) = = h ] [y + 4y 1 + y 2. 3 Dí, o se substituir f por P 2 (x) obtemos pr integrl seguinte expressão: S 1 = b f(x)dx h 3 [y + 4y 1 + y 2 ]. (3.8) A interpretção geométric dest regr é presentd n Figur 3.5. Figur 3.5: Aproximção de f pelo polinômio P 2 Erro d Fórmul Simples Fzendo n = 2 n fórmul do erro ddo por (3.2), temos: E i = b E(x)dx = = 2 2 h 3 z(z 1)(z 2) f (3) (ξ) dz = 3! h 3 (z 3 3z 2 + 2z) f (3) (ξ) hdz = h 4 f (3) 3! 6 = h 4 f (3) 6 =. [ z 4 ] 2 4 z3 + z 2 =

43 38 Portnto, o vlor do erro de truncmento pr Primeir Regr de Simpson em su fórmul simples não depende de E(x) qundo n = 2. Assim, tomndo n = 3, E 1S = 2 = h 5 f (4) (ξ) 24 = h 5 f (4) (ξ) 24 Logo, fórmul simples do erro será: pr lgum ξ [, b]. h 4 z(z 1)(z 2)(z 3) f (4) (ξ) hdz = 4! [ z 5 ] 5 3z z3 2 3z 2 = 3 [ 4 15 ] = h5 9 f (4) (ξ). E 1S = h5 f (4) (ξ), (3.9) 9 Fórmul Compost Pr obter fórmul compost d Primeir Regr de Simpson, deve-se dividir o intervlo [, b] em n subintervlos de espçmento h = b, n pr, e plicr cd pr n de subintervlos [x i 1, x i ], [x i, x i+1 ] pr todo i = 1, 2,, n 1, fórmul simples d Primeir Regr de Simpson. A figur seguir ilustr o procedimento. [4] Figur 3.6: Regr de Simpson - Fórmul compost S c = Dí, S c = b b f(x)dx h 3 f(x)dx h 3 ] [y + 4y 1 + y 2 + h ] [y 2 + 4y 3 + y h ] [y n 2 + 4y n 1 + y n. 3 3 [y + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 2 + 4y n 1 + y n ] (3.1)

44 39 sendo n um número pr de subintervlos. Erro d fórmul compost O erro d fórmul é som dos erros cometidos em cd um dos n 2 pres de subintervlos, um pr cd conjunto de 3 pontos, isto é: E 1S = E 1 + E 2 + E n 2, sendo E i = h5 f (4) (ξ) pr ξ 9 i [x 2(i 1), x 2i ] i =,..., n. 2 f Determinndo um limitnte pr o erro, sej M 1 = mx (4) x b (x). Então E i h 5 M 1 9 E 1S n E1S 2 E i n Como h = b, então E1S n n ( ) b 5M1 = (b )5 M 18 n 18n 4 1. h5 M O limitnte pr o erro d fórmul compost d Primeir Regr de Simpson é, ( ) 5 E b 1Sc M 18n 4 1, (3.11) f sendo M 1 = mx (4) x b (x). Um vez que Primeir Regr de Simpson foi obtid pel proximção d função integrnd por um polinômio de segundo gru, seri de esperr que tivesse gru de extidão dois. No entnto, expressão obtid pr o erro mostr que est regr tem gru de extidão três, ou sej, é ext sempre que função integrr é um polinômio de gru menor ou igul três. [3] 1,2 Exemplo 3.4 Usndo Primeir Regr de Simpson, clculr integrl e x cos x dx prtir d tbel dd no exemplo 3.3.

45 Solução: Temos, usndo (2.1), que: 1,2 e x cos xdx h 3 [y + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + 4y 5 + y 6 ] =.2 [1 + 4( ) + +2( ) ] 3 =.2 [1 + 4(4.168) + 2(2.926) ] 3 =.2 [ ] 3 =.2 [24.726] = Segund Regr de Simpson Fórmul Simples A idei desse procedimento é substituir função f integrr, pelo polinômio interpoldor de Gregory-Newton de gru n = 3, isto é, por 4 P 2 (x) = y + x x y + (x x )(x x 1 ) 2 y h h 2 2! + (x x )(x x 1 )(x x 2 ) 3 y. h 3 3! S 2 = b f(x)dx b P 3 (x)dx. De form nlog Primeir Regr de Simpson, fzendo = x, b = x 3 z = x x, z 3, temos h e S 2 = b 3 f(x)dx x3 x P 3 (x)dx = = (y + z y + z(z 1) 2 y + z(z 1)(z 2) 3 y )hdz 2! 3! [ ] 3 = h y z + z2 y + ( z3 2 3 z2 y 2 ) 2 + ( z z 2 ) 3 y 6 [ = h 3y + 9 y + ( y 2 ) 2 + ( 81 ] y 9) 3 6 [ = h 3y (y 1 y ) (y 2 2y 1 + y ) + 3 ] 8 (y 3 3y 2 + 3y 1 y ) [ 3 = h 8 y y y ] 8 y 3 = 3h ] [y + 3y 1 + 3y 2 + y 3. 8 Sendo ssim, fórmul simples d Segund Regr de Simpson, b S 2 = f(x)dx 3h ] [y + 3y 1 + 3y 2 + y 3 (3.12) 8

46 41 Figur 3.7: Representção gráfic d Segund Regr de Simpson Erro d Fórmul de Simples E S2 = 3 = h 5 f (4) (ξ) 24 Logo, fórmul simples do erro será: pr lgum ξ [, b]. h 4 z(z 1)(z 2)(z 3) f (4) (ξ) hdz = 4! [ ] z z z3 3z 2 3 E S2 = 3h5 f 4 (ξ), (2.13) 8 = 3h5 f (4) (ξ). 8 Fórmul Compost Pr obter fórmul compost d Segund Regr de Simpson, devemos dividir o intervlo [, b] em n subintervlos de espçmento h = b, com n multiplo de 3, cd n conjunto de 4 pontos, isto é, cd três subintervlos [x i 1, x i ], [x i, x i+1 ], [x i+1, x i+2 ] i = 1, 2,, n 2, plicr fórmul simples. [3] Dest form, obtemos: b S 2c = f(x)dx 3h ] [y + 3y 1 + 3y 2 + y 3 + 8

47 [y 3 + 3y 4 + 3y 5 + y 6 ] [y n 3 + 3y n 2 + 3y n 1 + y n ] h 8 Assim, S 2c = b f(x)dx 3h h 8 [y + 3y 1 + 3y 2 + 2y y n 3 + 3y n 2 + 3y n 1 + y n ] (3.14) com n multiplo de 3, é fórmul compost d Segund Regr de Simpson. Erro d Fórmul Compost De form similr o plicdo n derterminção do erro d fórmul compost d Primeir Regr de Simpson, obtemos: sendo M 2 = mx x b f (4) (x). E S2 (b )5 M 2 8n 4, (3.15) Este resultdo mostr que Segund Regr de Simpson tem gru de extidão igul três. [3] Exemplo 3.5 Usndo Segund Regr de Simpson, clculr integrl prtir d tbel dd no exemplo 3.3. Solução: Usndo 3.14, temos que: 1.2 e x cosxdx 3h 8 [y + 3(y 1 + y 2 ) + 2y 3 + 3(y 4 + y 5 ) + y 6 ] 1.2 =.6 [1 + 3( ) + 2(1.53) + 3( ) ] 8 =.6 [1 + 3(2.571) (3.2) ] 8 =.6 [ ] 8 =.6 [21.981] = e x cosxdx

48 Cpítulo 4 Aplicções ds Regrs de Newton-Cotes tipo Fechd Neste Cpítulo presentremos lguns exemplos do uso de Fórmuls de Integrção Numéric n resolução de problems envolvendo Físic, Geometri e Teori ds Probbiliddes. 4.1 Aplicção 1 Forç efetiv no mstro de um Veleiro de corrid [7] Fundmentos. Um seção trnsversl de um veleiro de corrid é mostrdo n figur 4.1. A forç do vento (f) exercid pelo pé do mstro d vel vri como um função d distânci cim do convés do brco (z), como n Figur 4.1b. Clculr forç de tenção T no cbo de suporte esquerdo do mstro supondo que o cbo de suporte direito está completmente frouxo e que o mstro está ligdo o convés de modo que trnsmite forçs horizontis e verticis ms não trnsmite torques. Suponh que o mstro permneç verticl. Solução: Pr prosseguir com esse problem, é necessário que forç distribuíd f sej convertid em um forç totl equivlente F e que su posição efetiv d cim do convés sej clculd (Figur 4.2). Esse cálculo é complicdo pelo fto de que forç exercid pelo pé do mstro vri com distânci cim do mstro. A forç totl exercid no mstro pode ser express como integrl de um função contínu: [7]

49 f(z) = ( 3 z ) 2 e 2z 3 dz (4.1) 5 + z 44 Ess integrl não-liner é difícil de clculr nliticmente. Portnto, é conveniente empregr bordgens numérics como Regr de Simpson e Regr do Trpézio pr esse problem. Pode-se fzê-lo clculndo f(z) pr diversos vlores de z e então usr equção (3.6) ou (3.1). Por exemplo, tbel 4.1 tem vlores de f(z) pr um tmnho de psso de 3 pés fornecendo ddos pr Primeir Regr de Simpson ou pr Regr do Trpézio. Resultdos pr diversos tmnhos de psso são ddos n Tbel 4.2. Observ-se que mbos os métodos dão um vlor de F = 1.48, 6Ib qundo o tmnho do psso se torn pequeno. Nesse cso, tmnhos de psso de,5 pé pr Regr do Trpézio e,5 pé pr Primeir Regr de Simpsom fornecem bons resultdos. Figur 4.1: () Seção trnsversl de um veleiro de corrid. (b) forç do vento f exercid por pé do mstro como um função d distânci z cim do convés do brco

50 45 Tbel 4.1 Vlores de f(z) pr um tmnho de psso de 3 pés. z, pés f(z), Ib/pés 3 61,4 6 73,13 9 7, , , , , , , ,2 Tbel 4.2 Vlores de F clculdos com bse em diverss versões d Regr do Trpézio e d Primeir Regr de Simpson. Técnic tmnho do psso, pés Segmentos F, Ib Regr do Trpézio , , , , ,1, ,7, ,3, ,5, ,6 Primeiri Regr de Simpson , , , ,5, ,6

51 46 integrl [7] A posição de ção efetiv de F (Figur 4.2) pode ser obtid pelo cálculo d ou d = d = 3 zf(z)dz 3 f(z)dz. (4.2) 3 2z[z/(5 + z)]e 2z/3 dz 1.48, 6 (4.3) Ess integrl pode ser clculd usndo métodos similres os usdos cim. exemplo, Primeir Regr de Simpson com um tmnho de psso de, 5 fornece d = ,9 1.48,6 = 13, 5 pés. Com F e d determindos prtir de métodos numéricos, é usdo um digrm de corpo livre pr desenvolver s equções de blnço de forç e blnço de torque. Esse digrm de corpo livre é mostrdo n Figur 4.2. Por Figur 4.2: Digrm de corpo livre ds forçs exercids no mstro de um veleiro Somndo s forçs n direção horizontl e n verticl e tomndo os torques em relção o ponto, obtemos FH = = F T senθ H (4.4) FV = = V T cosθ (4.5)

52 47 M = = 3V F d (4.6) em que T é tensão no cbo e H e V são s reções desconhecids no mstro trnsmitids pelo convés. O sentido e o módulo de H e V são desconhecidos. A equção (4.6) pode ser resolvid diretmente pr determinr V, pois F e d são conhecidos. Portnto, d Equção (4.5), e d Equção (4.4), V = F d 3 = (1.48,6)(13,5) 3 = 6.44, 6Ib T = V = 6.44,6 = 6.473Ib cosθ,995 H = F T senθ = 1.48, 6 (6.473)(, 995) = 836, 54Ib O conhecimento desss forçs permitem prosseguir pr outros spectos do projeto estruturl do brco, como os cbos e o sistem de suporte do mstro no convés. Esse problem ilustr bem dus utiliddes d integrção numéric que podem ser encontrds durnte o projeto de estruturs em engenhri. É visto que Regr do Trpézio e Regr de Simpson são fáceis de plicr e que são ferrments prátics pr resolução de problems. A Primeir Regr de Simpson é mis curd do que Regr do Trpézio pr o mesmo tmnho de psso, e ssim, em gerl, é mis indicd. 4.2 Aplicção 2 O Perímetro d região delimitd por um elipse Figur 4.3: Região Elíptic O perímetro de um região elíptic depende de e b, que são os comprimentos dos semi-eixos d elipse que contorn. Como e b são positivos e ssumindo que < b, e ind que o semi-eixo mior d elipse está n verticl, um prmetrizção d

53 equção d elipse é dd por γ(t) = (cost, bsent), t 2π, γ (t) = ( sent, bcost), de form que o perímetro P d região é dd pelo comprimento d elipse por γ(t), com t 2π, ou sej, P = 2π 2 sen 2 t + b 2 cos 2 tdt. Por rzões de simetri, podemos integrr somente de π 2 48 e multiplicr por qutro. Além disso podemos substituir cos 2 t por 1 sen 2 t, e colocr b em evidênci n integrl, obtendo: P = 4b 2π 1 k2 sen 2 tdt, onde k 2 = 1 2, é um número positivo e menor do que 1 (ele vle 1 qundo elipse b2 é um círculo, e qundo elipse degener num segmento de ret verticl). O número k é chmdo de excentricidde d elipse. A integrl 1 k2 sen 2 tdt é conhecid como integrl elíptic do primeiro tipo, e não dmite um expressão vi combinção finit de funções elementres. Em outrs plvrs, não há um fórmul fechd pr o perímetro de um região elíptic. Pr ilustrr plicção, será mostrdo situção problem seguir. Um engenheiro é contrtdo pr construir um cnteiro num prç n Cidde de Cmpin Grnde no formto de um "Elipse"de eixos iguis 4m e 5m. Pr delimitá-lo o engenheiro construirá um cerc com estcs e 3 volts de rme. Quntos metros de rme necessário pr este projeto? Solução: Sbe-se que o cálculo do Perímetro de um região elíptic é feito trvés d integrl seguir: π 2 P = 4 b 1 k2 sen 2 (t) dt Vimos que o Perímetro está em função de b, que é o eixo mior, e k su excentricidde definido como, k 2 = 1 2 b 2. P = 4 25 π 2 1, 36sen2 (t)dt O cálculo do vlor proximdo do Perímetro P e d quntidde Q de rme será relizdo trvés de métodos numericos, mis precismente, utilizndo Regr

54 do Trpézio, Primeir e Segund Regr de Simpson. Em um dos 3 csos, substituindo b = 25 e k =, 36 ( = 2 e k 2 = 1 2 b 2 ) obtemos, A integrl ser proximd será 49 π 2 1, 36sen2 (t)dt 1 o Cso: Regr do Trpézio: ) T = (y h 2 + y 1 e h = π 2 = 1, 57 Logo, P = , 413 = 141, 3 Q = 423, 9m i 1 t i 1,57 y i 1,8 ( ) T = 1,57 1 +, 8 T = 1, Clculndo o Erro de truncmento n fórmul temos que, f sendo M = mx x b (ξ). E T h 3 M 12 Sbendo que M =, 45, o erro cometido n fórmul simples do Trpézio será: temos: E T ( π 2 )3, E T, 145 Subdividindo o intervlo em 6 prtes, ou sej, n = 6, e sbendo que h = b n,

55 T c = h 2 [y + 2y 1 + 2y 2 + 2y 3 + 2y 4 + 2y 5 + y 6 ] e h = π 2 6 =, i t i,2618,5236,7854 1,472 1,39 1,578 y i 1,9878,9539,955,8543,8149,8 T c = [ ], (, 9878) + 2(, 9539) + 2(, 955) + 2(, 8543) + 2(, 8149) +, 8 2 =, 139(1, 8328) = 1, 418 Qundo o intervlo é subdividido em 6 prtes um outro vlor pr o perímetro: P = , 418 = 141, 8 Q = 3 141, 8 = 425, 4m O erro de truncmento cometido é ddo pel fórmul: sendo M = mx x b f (x) ET c (b ) 3 M 12n 2 Com M =, 45 o erro será: ET c ( π 2 )3, 45 12(6) 2 ET c, 4 2 o Cso: Primeir Regr de simpson: ] S = [y h 3 + 4y 1 + y 2 e h = π 2 2 =, 785 i 1 2 t i,785 1,57 y i 1,956,8

56 51 Logo, S = [ ], (, 956) +, 8 3 =, 2616(5, 4224) = 1, 4185 P = , 4185 = 141, 85, Q = 425, 55. O erro de truncmento cometido é ddo pel fórmul: f sendo M 1 = mx (4) x b (x). E 1S h 5 M 1 9 Com M 1 = 178, 82, o erro cometido n fórmul simples d Primeir Regr de Simpson: E 1S (, 785) 5 178, 82 9 E 1S, 59 Agor subdividindo o intervlo em 6 prtes, ou sej, n = 6, e h = b, dí temos: 6 ] S 1c = [y h 3 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + 4y 5 + y 6 h = π 2 =, i t i,2618,5236,7854 1,472 1,39 1,578 y i 1,9878,9539,955,8543,8149,8 S 1c = [ ], (, 9878) + 2(, 9539) + 4(, 955) + 2(, 8543) + 4(, 8149) +, 8 3 =, 872(16, 2492) = 1, 4169

57 52 Com subdivisão do intervlo temos, P = , 4169 = 141, 69, Q = 425, 7. O erro de truncmento cometido é ddo pel fórmul: f sendo M 1 = mx (4) x b (x). E 1Sc ( ) 5 b Com M 1 = 178, 82, o erro d fórmul compost: 18n 4 M 1 E 1Sc ( π 2 )5 178, 82, 18(6) 4 E 1Sc, o Cso: Segund Regr de Simpson: ] S 2 = [y 3h 8 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 e h = b n = π 2 3 =, 5236 i t i,5236 1,472 1,578 y i 1,9539,8544,8 Então, S 2 = [ ] 3, (, 9539) + 3(, 8544) +, 8 8 =, 1963(7, 2349) = 1, 4182 P = , 4182 = 141, 82m, Q = 425, 46m.

58 53 O erro de truncmento cometido é ddo pel fórmul: sendo M 2 = mx x b f (4) (x). E S2 3h5 M 2 8 Com M 2 = 178, 82 o erro cometido n fórmul simples d Segund Regr de Simpson: E S2 3(, 5236)5 178, 82, 8 E S2, 263. Subdividindo o intervlo em 6 prtes, ou sej, n = 6 e h = b. temos: 6 ] S 2 = [y 3h 8 + 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 + 3y 4 + 3y 5 + y 6 e h = π 2 =, i t i,2618,5236,7854 1,472 1,39 1,578 y i 1,9878,9539,955,8543,8149,8 S 2c = [ ] 3, (, 9878) + 3(, 9539) + 2(, 955) + 3(, 8543) + 3(, 8149) +, 8 8 =, 981(14, 4437) = 1, 4169 P = , 4169 = 141, 69, Q = 425, 7. O erro de truncmento cometido é ddo pel fórmul: sendo M 2 = mx x b f (4) (x). E S2 (b )5 M 2 8n 4, Com M 2 = 178, 82 temos que o erro cometido n fórmul compost d Segund Regr de Simpson: