Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

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1 Integrção Numéric Métodos Numéricos e Esttísticos Prte I-Métodos Numéricos Integrção numéric Luís Morgdo Lic. Eng. Biomédic e Bioengenhri-009/010 Luís Morgdo Integrção numéric

2 Integrção Numéric Recorrendo à teori d interpolção, sbemos que se f C n+1 [, b] e x 0 < x 1 < < x n 1 < x n b, sendo p n(x) o polinómio interpoldor de f nos pontos (x i, f (x i )), i = 0, 1,..., n então x [, b], ξ(x) (, b) tl que f (x) = p n(x) + f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! n (x x j ) (1) Assim sendo, podemos proximr o integrl definido de f em [, b] por: cometendo o erro E(f ) = j=0 I (f ) = f (x)dx p n(x)dx, f (n+1) (ξ(x)) (f (x) p n(x)) dx = (n + 1)! n (x x j ). Se em (1) fizermos n = 1 (s bcisss de interpolção são então x 0 = e x 1 = b) obtemos: f (x) = f () x b b + f (b) x b + f (ξ(x)) (x )(x b), x [, b], ξ (, b) j=0 Luís Morgdo Integrção numéric

3 Integrção Numéric e portnto f (x)dx = f () Verifique que: f () + ξ(x) (, b). x b b x dx + f (b) b b dx + f (ξ(x)) (x )(x b)dx, x [, b], x b b x dx + f (b) b b dx = b (f () + f (b)). Luís Morgdo Integrção numéric

4 Integrção Numéric Por outro ldo, usndo o Teorem do Vlor Médio pr integris: Conclui-se então que f (ξ(x)) (x )(x b)dx = f (b )3 (ξ), ξ (, b). 1 I (f ) = f (x)dx b (f () + f (b)). Est é designd fórmul dos trpézios, e tem o erro ssocido: f (ξ) (b )3, ξ (, b) 1 Luís Morgdo Integrção numéric

5 Integrção Numéric Resumindo Regr dos trpézios Se f tem segund derivd contínu em [, b], então existe ξ (, b) tl que I (f ) = f (x)dx = b (f () + f (b)) f (ξ) (b )3. 1 Luís Morgdo Integrção numéric

6 Integrção Numéric Se fizermos o mesmo rciocínio com n =, considerndo os pontos de interpolção, x 0 =, x 1 = c = + b e x = b, vmos obter: f (x) = p (x) + f (3) (ξ(x)) (x )(x c)(x b), ξ (, b), (3)! f (3) (ξ(x)) I (f ) = f (x)dx = p (x)dx + (x )(x c)(x b)dx, (3)! ou sej: I (f ) = f (x)dx h (f () + 4f (c) + f (b)) 3 com h = b, e est proximção é designd fórmul de Simpson. Est fórmul tem erro de ordem O(h 4 ). Luís Morgdo Integrção numéric

7 Integrção Numéric Pode contudo mostrr-se que se f C 4 ([, b]) fórmul de Simpson tem um erro d ordem de O(h 5 ): Regr de Simpson Se f dmite derivds contínus em [, b] té à ordem 4, então existe ξ (, b) tl que I (f ) = onde h = b. f (x)dx = h 3 (f () + 4f (c) + f (b)) h5 90 f (4) (ξ) Note que est fórmul é exct pr polinómios de gru inferior ou igul 3. Luís Morgdo Integrção numéric

8 Integrção Numéric Exemplo Pretende-se clculr um proximção de I (f ) = 0 f (x)dx, utilizndo fórmul dos trpézios: f (x)dx f (0) + f () 0 e de Simpson: considerndo diferentes tipos de funções: f (x)dx 1 (f (0) + 4f (1) + f ()) 0 3 f (x) x x 4 1 x x sin x e x v. excto f. trpezoidl f. Simpson Luís Morgdo Integrção numéric

9 Integrção Numéric Designmos por fórmuls de Newton-Cotes, s fórmuls de integrção de gru n, i.e., s que resultm d substituição d função integrnd pelo seu polinómio interpoldor de gru n sobre os pontos x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n, igulmente espçdos. Pr obter outrs fórmuls de Newton-Cotes proximmos f (x) p n (x), n 3, i.e. f (x)dx = n i=0 f (x i ) l i (x)dx + E(f ) Luís Morgdo Integrção numéric

10 Integrção Numéric Sej f um função definid em [, b] onde considermos os pontos x i = x i 1 + h, i = 1,..., n, com x 0 = e h = (b )/n e sej i = l i (x)dx, i = 0,..., n. 1 Se n é ímpr e f tem derivd de ordem n + 1 contínu em [, b] então existe ξ [, b] tl que I (f ) = n i=0 i f (x i ) + h n+ f (n+1) (ξ) (n + 1)! t t(t 1)... (t n)dt 0 Se n é pr e f tem derivd de ordem n + contínu em [, b] então existe ξ [, b] tl que I (f ) = n i=0 i f (x i ) + h n+3 f (n+) (ξ) (n + )! t t (t 1)... (t n)dt 0 Concluímos ssim que se n é ímpr s fórmuls de Newton-Cotes são excts pr polinómios de gru menor ou igul n, e se n é pr s fórmuls de Newton-Cotes são excts pr polinómios de gru menor ou igul n + 1. Luís Morgdo Integrção numéric

11 Integrção Numéric Um fórmul de qudrtur diz-se de ordem de exctidão (ou precisão ) k se é exct pr polinómios de gru menor ou igul k. A fórmul dos trpézios tem ordem de precisão um enqunto que fórmul de Simpson tem ordem de precisão três. Luís Morgdo Integrção numéric

12 Integrção Numéric Fórmuls de Newton-Cotes composts Encorjdos por estes resultdos, Luís podemos Morgdo ind Integrção tentr numéric melhorr: Exemplo Vmos nlisr o cálculo do integrl 4 0 ex dx. 4 e x dx = e 4 e 0 = v. excto 0 4 e x dx 0 3 (e0 + 4e + e 4 ) = R. Simpson Erro = O erro não é ceitável!!! Vmos experimentr um bordgem diferente: 4 e x dx = 0 4 e x dx + e x dx (e0 + 4e + e ) (e + 4e 3 + e 4 ) 1 3 (e0 + 4e + e + 4e 3 + e 4 ) Erro =

13 Integrção Numéric Regr dos trpézios compost Sej f um função definid em [, b] e neste intervlo consideremos prtição uniforme x 0 < x 1 < < x n b e h = (b )/n. Se f tem derivd de segund ordem contínu em [, b], então existe ξ [, b] tl que ( ) I (f ) = h n 1 f () + f (x i ) + f (b) h 1 (b )f (ξ) Dem.: xi n I (f ) = f (x)dx = f (x)dx x i 1 Por plicção d fórmul dos trpézios cd subintervlo, vem: n h I (f ) = f (x)dx = (f (x i 1) + f (x i )) h3 1 D últim iguldde temos ind: n f (ξ i ), ξ i (x i 1, x i ), i = 1,..., n. ( ) I (f ) h n 1 f () + f (x i ) + f (b) Luís Morgdo Integrção numéric

14 Integrção Numéric e Notemos que: e consequentemente E T (f ) = h3 1 n f (ξ i ). min f (x) f (ξ i ) mx f (x) x [,b] x [,b] min x [,b] f (x) 1 n n f (ξ i ) mx x [,b] f (x). Logo, pelo Teorem do Vlor Intermédio, existe ξ (, b) tl que n f (ξ i ) = nf (ξ). E tendendo que nh = b, concluímos que: E T (f ) = h 1 (b )f (ξ). Luís Morgdo Integrção numéric

15 Integrção Numéric Regr de Simpson compost Sej f um função definid em [, b] e neste intervlo consideremos prtição uniforme x 0 < x 1 < < x n b e h = (b )/n e n = m. Se f tem derivd de qurt ordem contínu em [, b], então existe ξ [, b] tl que I (f ) = h 3 ( f () + 4 m m 1 f (x i 1 ) + f (x i ) + f (b) ) h4 180 (b )f (4) (ξ) Dem.: m xi I (f ) = f (x)dx = f (x)dx x i Por plicção d fórmul de Simpson cd subintervlo, vem: I (f ) = f (x)dx = m h m 3 (f (x i ) + 4f (x i 1 ) + f (x i )) h5 f (4) (ξ i ), 90 ξ i (x i, x i ), i = 1,..., m. D últim iguldde temos ind: ( ) I (f ) h m m f () + f (x i ) + 4 f (x i 1 ) + f (b) 3 i= Luís Morgdo Integrção numéric

16 Integrção Numéric e Notemos que: e portnto E S (f ) = h5 90 m f (4) (ξ i ). min f (4) (x) f (4) (ξ i ) mx f (4) (x) x [,b] x [,b] min x [,b] f (4) (x) 1 m m f (4) (ξ i ) mx x [,b] f (4) (x). Pelo Teorem do Vlor Intermédio, existe ξ (, b) tl que m f (4) (ξ i ) = mf (4) (ξ). Atendendo que mh = b, concluímos que: E S (f ) = h4 180 (b )f (4) (ξ). Luís Morgdo Integrção numéric