2 A trigonometria no triângulo retângulo

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1 16 A trigonometri no triângulo retângulo A trigonometri foi inventd á mis de dois mil nos. El onsiste, essenilmente, em ssoir d ângulo, definido omo união de um pr de semirrets de mesm origem, não ontids num mesm ret (Rezende; Queiroz, 000, p. 1), ertos números omo o os (o osseno de ) e o sen (o seno de ). Até então, s relções métris nos triângulos se restringim em esteleer fórmuls que relionvm entre si omprimentos de segmentos (lturs, ldos, issetrizes, et.). Já Trigonometri relionv ângulos om segmentos..1 Coneitos e pré-requisitos A se teóri n qul se fundmentou originlmente Trigonometri foi semelnç de triângulos, que grnte que s definições de os e sen são oerentes, isto é, independem de qul ten sido o triângulo retângulo ABC esolido..1.1 Definição de seno e osseno de um ângulo gudo Ddo um ângulo gudo, onstrói-se um triângulo retângulo ABC no qul BÂC sej um dos seus ângulos. Se AC é ipotenus, define-se: AB os e AC sen BC AC Figur : Seno e osseno de um ângulo gudo

2 17 Se tivéssemos onstruído qulquer outro triângulo retângulo AB 'C' de modo nálogo, ele seri semelnte ABC por ter um ângulo gudo omum, logo AB AB' BC B' C e. AC AC' AC AC'' Figur 3: Seno e osseno de um ângulo gudo Assim, terímos os mesmos vlores pr os e sen. Portnto, de ordo om definição im, esses vlores são números ssoidos o ângulo que independem do triângulo retângulo ABC esolido. Veremos seguir que é evidente, prtir d definição, que o osseno de um ângulo gudo é igul o seno do seu omplemento e vie-vers. Dí plvr osseno (seno do omplemento). Pel lei ngulr de Tles: 90 º ( é o omplemento de ) sen e sen e os os Logo: sen os e os sen sen os 90º os sen 90º Figur 4: Seno e osseno do omplemento de um ângulo Logo, onstruíd um tel pr os vlores do seno de um ângulo gudo, podemos onstruir dos ossenos. Como já menionmos, istorimente o seno e o osseno form introduzidos omo rzões entre ldos de um triângulo retângulo, e estvm definids pr ângulos do intervlo (0, 90 ). Entretnto pr que possmos trtr ds ferrments dequds qulquer triângulo é neessário definir seno e osseno pr ângulos té 180º.

3 18.1. Definição de seno e osseno de ângulos reto e otuso No so do ângulo reto, definimos: sen 90º = 1 e os 90º = 0. Sej gor um ângulo otuso. Pr definir s rzões trigonométris de, vmos onsiderr seu suplemento 180 º. Definimos: sen sen e os os As figurs seguir permitem visulizr o seno e o osseno de ângulos gudos ou otusos. Nels tommos AC 1. Figur 5: Seno e osseno de um ângulo gudo Figur 6: Seno e osseno de um ângulo otuso N figur 5, temos sen y e os x N figur 6, temos sen y e os x Assim, temos: sen sen sen sen 180º os os os os 180º

4 Relção fundmentl Ddo um ângulo gudo, onstrói-se um triângulo retângulo ABC no qul ABC ˆ sej um dos ângulos. Com BC, AC e AB, onforme figur seguir: Assim, temos: sen e os Figur 7: Relção fundmentl Aplindo o Teorem de Pitágors no triângulo ABC, temos: Assim, podemos esrever: sen os 1 Logo, sen os 1 Podemos oservr tmém que: sen. sen os. os Figur 8: Ctetos em função do seno ou osseno e d ipotenus Assim, podemos esrever os tetos de um triângulo retângulo em função do seno e do osseno de um ângulo gudo e d ipotenus.

5 0.1.4 Lei dos ossenos Sej ABC um triângulo tl que BC, CA e AB. Sej ind CH ltur ixd de C sore o ldo AB. Há dus possiiliddes, ilustrds ns figurs, onforme o ponto H pertenç o segmento AB ou estej sore seu prolongmento. Figur 9: Lei dos ossenos- Triângulo utângulo Figur 10: Lei dos ossenos - Triângulo otusângulo I) No primeiro so, sej m AH.os. O Teorem de Pitágors plido os triângulos AHC e BHC fornee s igulddes: e m m.. m m Ms omo m.os Temos :...os A m ˆ Comprndo ests igulddes otemos:...os

6 1 ˆ ˆ. II) No segundo so, m AH. os180º A.os A Novmente o Teorem de Pitágors plido os triângulos AHC e BHC nos dá: e m m.. m m Ms omo m.os Temos:...os A m ˆ Dí result, omo ntes, que:...os Anlogmente, tem-se tmém:.os.os Cˆ Oserve que, qundo  é um ângulo reto, Lei dos Cossenos se reduz o Teorem de Pitágors. Um utilizção importnte d Lei dos Cossenos, é de podermos, filmente, oter os ossenos dos ângulos de um triângulo qundo seus ldos são oneidos..1.5 Lei dos senos Mostrremos seguir que, em todo triângulo, rzão entre um ldo e o seno do ângulo oposto é onstnte e igul o diâmetro do írulo irunsrito esse triângulo.

7 Sej ABC um triângulo tl que BC, CA e AB. Sej R o rio d irunferêni irunsrit. Então: R Demonstrção: Há dus possiiliddes, ilustrds ns figurs, onforme o ponto H pertenç o segmento AB ou estej sore seu prolongmento. I) No primeiro so, trçndo ltur 1 do triângulo ABC reltiv o vértie C, temos: Figur 11: Lei dos senos- Triângulo utângulo No triângulo AHC, 1.sen No triângulo BHC, 1.sen Logo,. sen. sen (1)

8 3 Aind no primeiro so, trçndo ltur do triângulo ABC reltiv o vértie A, temos: Figur 1: Lei dos senos- Triângulo utângulo No triângulo AHC, No triângulo AHB,.sen Cˆ.sen Logo,. sen Ĉ.sen () Comprndo (1) e (), temos: II) No segundo so, trçndo ltur 1 do triângulo ABC reltiv o vértie C, temos: Figur 13: Lei dos senos- Triângulo otusângulo No triângulo AHC,.sen (180º ˆ) 1 A Ms omo semos que sen (180º ), Temos: 1.sen No triângulo BHC, 1.sen Logo,..sen (3)

9 4 Aind no segundo so, trçndo ltur do triângulo ABC, reltiv o vértie A, temos: Figur 14: Lei dos senos- Triângulo otusângulo No triângulo AHC, No triângulo AHB,.sen Cˆ.sen Logo,..sen (4) Comprndo (3) e (4), temos: Pr ompletr demonstrção, ind temos um interpretção geométri pr rzão : Cso sej um ângulo gudo, temos: Sej CD um diâmetro. Figur 15: Lei dos senos

10 5 Os ângulos AB ˆ C e AD ˆ C são ongruentes, pois mos são ângulos insritos n mesm irunferêni e ompreendem o mesmo ro AC. Assim, no triângulo ADC, R = diâmetro do írulo irunsrito o triângulo ABC. R Anlogmente, R R R R Finlmente, R Cso sej um ângulo otuso, temos: Sej CD um diâmetro. Figur 16: Lei dos senos

11 6 O ângulo ângulo ABC. Sendo o ângulo AB ˆ C, insrito n irunferêni im, ompreende o ro ADC. O AD ˆ C, tmém insrito n mesm irunferêni, ompreende o ro AB ˆ C igul, temos que o ângulo AD ˆ C é igul 180º, pois os ros que eles ompreendem são replementres (uj som é igul 360º). Assim, no triângulo ADC, sen (180º ) = diâmetro do írulo irunsrito o triângulo ABC. R Ms omo sen (180º ), temos: sen (180º ) R R Anlogmente, R R R R Finlmente, R.1.6 Áre de um triângulo em função de dois ldos e o ângulo formdo por eles Coneemos em fórmul d áre do triângulo omo sendo o semiproduto d se pel ltur. Expressremos est áre omo função de dois ldos e o ângulo formdo por eles.

12 7 Demonstrção: Sej ABC um triângulo tl que BC, CA e AB. Há dus possiiliddes, ilustrds ns figurs, onforme o ponto H pertenç o segmento AC ou estej sore seu prolongmento. Figur 17: Áre de um triângulo utângulo Figur 18: Áre de um triângulo otusângulo Como meniondo iniilmente, semos que áre deste triângulo ABC deve se ltur ser luld pel expressão: Áre Logo, Áre Podemos notr ns dus figurs que o triângulo formdo pelos vérties BCH é um triângulo retângulo, e então podemos usr os oneitos trigonométrios. N figur 17, temos: N figur 18, temos: sen sen sen (180º ) sen sen Como temos gor est expressão pr ltur do triângulo ABC, podemos sustituí-l n noss primeir fórmul pr áre. Assim, teremos: Logo, sen Áre sen Áre Áre Ess fórmul será usd n propost, n demonstrção d fórmul d dição de ros no ontexto d trigonometri no triângulo retângulo.