02. Resolva o sistema de equações, onde x R. x x Solução: (1 3 1) Faça 3x + 1 = y 2, daí: 02. Resolva o sistema de equações, onde x R e y R.

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1 GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv. Sej um mtriz rel. Defin um função n qul element mtriz se eslo pr posição seguinte no sentio horário, sej, se,impli que ( ) f. Enontre tos s mtrizes simétris reis n qul = (). Sej um mtriz form e f um função tl que f Sej = f () = f() IV III II I Sutrino (I) e (IV), temos: Somno (II) e (III), temos: Temos então ois sos nlisr. V VI Anlisno (V), temos: ) ( Temos ois susos nlisr: Anlisno =, temos: = = = Logo será Anlisno, temos: Logo será Anlisno (VI), temos: ) ( ) ( (Cso nterior). esolv o sistem e equções, one. ( ) Fç + =, í: Como + = ( - ), pr, temos: Por tro lo, >. Assim, >. Como, temos >. esolv o sistem e equções, one e. () () ) ( ) ( Eistêni:,> e,, esreveno () temos: () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( eesreveno (), temos:

2 Sustituino em (), temos: Fç z, í: z z z z ízes z = z = - Como z, Dí, Solução,,,. Clssifique o sistem io omo etermino, possível inetermino e impossível e oro om os vlores reis e m. ( m ) z m m z m m ( m ) ( m ) z m L Trono e L, temos: m m z ( m ) z m m ( m ) ( m ) z m Fzeno (m ) L L L e (m) L L Temos: m m z m m m m ( m ) z ( m m ) ( m ) z m Fzeno L L L m m z m m m m m m m m z m eesreveno, temos: m m z m z m m m m m m m m ) Se m,,, então o sistem é possível e etermino. )m= : Sistem inetermino )m= : Sistem impossível )m= : Nesse so s us últims equções são 5 sistem impossível 5. Sejm os ompleos z = + i e w = 7 + i, tis que z + w=. Determine o vlor e, e, seno que esses numers são inteiros e positivos. Z = + i ;,, Z+ w = 7 + i z + w = ( + i) + (7 + i) = + i = i i = 7 (I) 7 (II) Anlisno (I), semos que 7 é primo. Logo, temos us possiilies: 7 e ( III) e 7 ( IV ) Anlisno (III), temos: A = 7 7 = = 7 + = Z Anlisno (IV), temos: = = 7 = 8 = = Assim, plino os vlores e e em (II), temos: = ( ) = ( ) = = 5 Solução : 5. Um triângulo ABC tem seu vértie A n origem o Sistem rtesino, seu rientro é o ponto D(, ) e seu irunentro é o ponto E(55/8, 5/). Determine: ) A equção irunferêni o triângulo ABC; ) As oorens os verties B e C. GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv

3 ) O ponto E é o entro irunferêni e isntâni e A té E é o rio. Logo equção irunferêni irunsrit o trinângulo ABC é: ) Como o rientro é (,) temos que e e E B EC E AC (I) em (II) C (, ) 5 A E 55 8 (,) C(, ) B, B, C, C, + = + =, = - = -,, 5 ( ), E BC o ( ) 55 8 ( I) os sen lule o vlor e S: os sen 7. Se, os os sen sen S os sen os( ) sen( ) os( ) sen() os() sen() os( ) sen( ) sen( ) os( ) sen( ) sen( ) (I) os( ) os( ) sen( ) sen( ) S os( ) sen( ) Semos que: sen( ) sen( ) sen ( ) os( ) os ( ) os( ) S os ( ) sen ( ) os( ) sen( ) GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv

4 S sen () os () os( ) sen () sen() os() S sen( ) os( ) os ( ) os( ) sen( ) sen ( ) sen( ) os( ) S sen( ) os( ) ( sen ( )) os( ) sen( ) ( os ( )) sen( ) os( ) S sen( ) os( ) sen() os() sen ( ) os() sen() os() sen() os ( ) sen( ) os( ) S sen( ) sen() os() sen( ) sen( ) os( ) sen() sen( ) os( ) sen sen s sen os os S S S Logo A 8 Funções Vmos ontr quntie e função onstntes iguis, sej, qunts f o g=. Esse vlor vezes são nossos sos fvoráveis. Os sos totis são 5 5. Cso: Apens um elemento e f tem imgem. Aplino relção (I), temos: os sen s sen sen os Semos que: os sen sen sen sen sen sen sen sen s sen os Função f: 8 funções Função g: função onstnte tl que f(k) = Logo função Totl so : 8 = 8 Cso : ois elementos e f tem imgem. Aplino novmente relção (I), temos: sen sen sen s sen s 8. Sej A = {,,,,}. Qunts funções e A pr A têm etmente elementos em seu onjunto imgem? Entre s 5 funções e A pr A, sortem-se s funções f e g, poeno hver repetição. Qul proilie função ompost f º g ser um função onstnte? Função 5 funções Função g: função que levm nesss imgens = funções Totl so : 5 = 8 funções Cso : elementos e f tem imgem. ) Sej o onjunto e tos s funções. Sej A onjunto s funções que não ontem o {} omo imgem. A o onjunto s funções que não ontém {} omo imgem. A o onjunto s funções que não ontém {} omo imgem. A o onjunto s funções que não ontem o {} omo imgem. Pelo prinípio Inlusão-Elusão, o número e elementos e que pertenem EXATAENTE os onjuntos A, A, A, A são: A k k ( ) S k S S S k k Função f: funções Função g: funções que levm nesses elementos e f. 8 funções Totl so : 8 7 GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv

5 Agor usno Stewert em, verifimos: Cso : elementos e f tem imgem. m m m n Ds relções (I) e (III) Tem-se: De () e () Temos que: Função f: função Função g: Tos s funções: 5 Totl : 5 5 funções Logo eistem = funções one f o g=. Portnto P= Em um triângulo ABC, mei issettriz intern AD é mei geométri entre s meis os segmentos BD e DC, e mei mein A é mei geométri entre os los AB e AC. Os pontos D e estão sore o lo BC e mei. Pee-se eterminer os los AB e AC o triângulo ABC em função e.. Em um one equilátero são insrits us esfers e rios e, oforme figur io. Um plno sent o one é trço e form que este sej tngent às us esfers. Determine em termos e o mior segment possivel que une ois pontos urv form pel interseção o referio plno om o one. m n I Semos que II Aplino relção e Stewrt no triângulo ABC, referente, temos: De II segue se que Pelo teorem e issetriz intern, otemos: m n m n m e n III Consiere seção o one onforme figur. Note que o írulo e rio r está insrito o triângulo ABC, e o írulo e rio é einsrito reltivo o lo BC. Sej AE = e BC = e p o semiperímetro e ABC. Dos segmentos notáveis e um triângulo, semos que p = AD e = p (I). Por tro lo, temos: GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv 5

6 GGE ESPONDE 7 ATEÁTICA Prov Disursiv AE e AD AD AE r tg Sustituino em (I) temos: p