Elementos de Matemática

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1 Elementos de Mtemátic Trigonometri do Triângulo Retângulo Roteiro no.5 - Atividdes didátics de 2007 Versão compild no di 9 de Mio de Deprtmento de Mtemátic - UEL Prof. Ulysses Sodré E-mil: ulysses@mtemtic.uel.br Mtemátic Essencil: Resumo: Nots de uls construíds com mteriis utilizdos em nosss uls n Universidde Estdul de Londrin. Desejo que els sejm um roteiro pr s uls e não espero que ests nots venhm substituir qulquer livro sobre o ssunto. Alguns conceitos form obtidos em livros citdos n Bibliogrfi, ms os ssuntos form bstnte modificdos. Em português, há pouco mteril de domínio público, ms em inglês existem diversos mteriis que podem ser obtidos n Rede Internet. Sugerimos que o leitor fç pesquiss pr obter mteriis grtuitos pr os seus estudos. Mensgem: No princípio er o Verbo, e o Verbo estv com Deus, e o Verbo er Deus. Ele estv no princípio com Deus. Tods s coiss form feits por intermédio dele, e sem ele nd do que foi feito se fez. Nele estv vid, e vid er luz dos homens; luz resplndece ns trevs, e s trevs não prevlecerm contr el.... Estv ele no mundo, e o mundo foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio pr o que er seu, e os seus não o receberm. Ms, todos quntos o receberm, os que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornrem filhos de Deus; os quis não nscerm do sngue, nem d vontde d crne, nem d vontde do vrão, ms de Deus. E o Verbo se fez crne, e hbitou entre nós, cheio de grç e de verdde... A Bíbli Sgrd, João 1:1-5,10-14

2 CONTEÚDO 1 Trigonometri do triângulo retângulo Trigonometri e plicções Triângulo Retângulo Ldos de um triângulo retângulo Nomencltur dos ctetos Proprieddes do triângulo retângulo A hipotenus como bse de um triângulo retângulo Projeções de segmentos Projeções no triângulo retângulo Relções Métrics no triângulo retângulo Funções trigonométrics básics

3 CAPÍTULO 1 Trigonometri do triângulo retângulo 1.1 Trigonometri e plicções Trtmos qui sobre lguns conceitos relciondos com Trigonometri no triângulo retângulo, ssunto comum n oitv série do Ensino Fundmentl. Tmbém dispomos de um págin mis profundd sobre o ssunto trtdo no âmbito do Ensino Médio. A trigonometri possui um infinidde de plicções prátics. Desde ntigüidde já se usv d trigonometri pr obter distâncis impossíveis de serem clculds por métodos comuns. Algums plicções d trigonometri são: 1. Determinção d ltur de um certo prédio.

4 1.2. TRIÂNGULO RETÂNGULO 2 2. Os gregos determinrm medid do rio de terr, por um processo muito simples. 3. Seri impossível se medir distânci d Terr à Lu, porém com trigonometri se torn simples. 4. Um engenheiro precis sber lrgur de um rio pr construir um ponte, o trblho dele é fcilitdo com o uso de recursos trigonométricos. 5. Um crtógrfo (desenhist de mps) precis sber ltur de um montnh, o comprimento de um rio, etc. Sem trigonometri ele demorri nos pr desenhr um mp. Tudo isto é possível clculr com o uso d trigonometri do triângulo retângulo. 1.2 Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede novent grus, dí o nome triângulo retângulo. Como som ds medids dos ângulos internos de um triângulo é igul 180 0, então os outros dois ângulos medirão Observção: Se som de dois ângulos mede 90 0, estes ângulos são denomindos complementres, portnto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementres. Ver mis detlhes em triângulos 1.3 Ldos de um triângulo retângulo Os ldos de um triângulo retângulo recebem nomes especiis. Estes nomes são ddos de cordo com posição em relção o ângulo reto. O ldo oposto o ângulo reto é hipotenus. Os ldos que formm o ângulo reto (djcentes ele) são os ctetos. Termo Cteto Hipotenus Origem d plvr Cthetós: (perpendiculr) Hypoteinus: Hypó (por bixo) + teino (eu estendo)

5 1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3 Pr pdronizr o estudo d Trigonometri, dotremos s seguintes notções: Letr Nome do ldo Vértice = Ângulo Medid Hipotenus A = Ângulo reto A = 90 0 b Cteto B = Ângulo gudo B < 900 c Cteto C = Ângulo gudo C < 900 Ver mis detlhes em ângulos 1.4 Nomencltur dos ctetos Os ctetos recebem nomes especiis de cordo com su posição em relção o ângulo sob nálise. Se estmos usndo o ângulo C, então o ldo oposto, indicdo por c, é o cteto oposto o ângulo C e o ldo djcente o ângulo C, indicdo por b, é o cteto djcente o ângulo C. Ângulo Ldo oposto Ldo djcente C c cteto oposto b cteto djcente B b cteto oposto c cteto djcente Um dos objetivos d trigonometri é mostrr o uso de conceitos mtemáticos no nosso cotidino. Iniciremos estudndo s proprieddes geométrics e trigonométrics no triângulo retângulo. O estudo d trigonometri é extenso e minucioso.

6 1.5. PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Proprieddes do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos gudos complementres. 2. Ldos: Um triângulo retângulo é formdo por três ldos, um hipotenus (ldo mior) e outros dois ldos que são os ctetos. 3. Altur: A ltur de um triângulo é um segmento que tem um extremidde num vértice e outr extremidde no ldo oposto o vértice, sendo que este segmento é perpendiculr o ldo oposto o vértice. Existem 3 lturs no triângulo retângulo, sendo que dus dels são os ctetos. A outr ltur é obtid tomndo bse como hipotenus, ltur reltiv este ldo será o segmento AD, denotdo por h e perpendiculr à bse. 1.6 A hipotenus como bse de um triângulo retângulo Tomndo informções d mesm figur cim, obtemos: 1. o segmento AD, denotdo por h, é ltur reltiv à hipotenus CB, indicd por. 2. o segmento BD, denotdo por m, é projeção ortogonl do cteto c sobre hipotenus CB, indicd por. 3. o segmento DC, denotdo por n, é projeção ortogonl do cteto b sobre hipotenus CB, indicd por.

7 1.7. PROJEÇÕES DE SEGMENTOS Projeções de segmentos Introduziremos lgums idéis básics sobre projeção. Já mostrmos, no início deste trblho, que luz do Sol o incidir sobre um prédio, determin um sombr que é projeção obĺıqu do prédio sobre o solo. Tomndo lguns segmentos de ret e um ret não coincidentes é possível obter s projeções destes segmentos sobre ret. Ns qutro situções presentds, s projeções dos segmentos AB são indicds por A B, sendo que no último cso A = B é um ponto. 1.8 Projeções no triângulo retângulo Agor iremos indicr s projeções dos ctetos no triângulo retângulo. 1. m = projeção de c sobre hipotenus. 2. n = projeção de b sobre hipotenus. 3. = m + n. 4. h = médi geométric entre m e n. Ver mis detlhes em médi geométric

8 1.9. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Relções Métrics no triângulo retângulo Pr extrir lgums proprieddes, decomporemos o triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dess form, o ângulo A será decomposto n som dos ângulos CAD = B e DAB = C. Os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhntes. Triângulo hipotenus cteto mior cteto menor ABC b c ADC b n h ADB c h m Assim: logo: b = b n = c h c = b h = c m b c = n h = h m c = c m equivle c2 =.m b = b n equivle b2 =.n c = b equivle.h = b.c h h m = n h equivle h2 = m.n

9 1.10. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 7 Existem tmbém outrs relções do triângulo inicil ABC. Como = m + n, somndo c 2 com b 2, obtemos: c 2 + b 2 =.m +.n =.(m + n) =. = 2 que result no Teorem de Pitágors: 2 = b 2 + c 2 Est é um ds váris demonstrções do Teorem de Pitágors Funções trigonométrics básics As Funções trigonométrics básics são relções entre s medids dos ldos do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básics mis importntes d trigonometri são: seno, cosseno e tngente. Indicmos o ângulo pel letr x, o cteto oposto o ângulo x por CO, o cteto djcente o ângulo x por CA, hipotenus do triângulo por H e m(z) medid do segmento Z. Função Notção Definição seno sin(x) m(co) m(h) cosseno cos(x) m(ca) m(h) tngente tn(x) m(co) m(ca) Tomndo um triângulo retângulo ABC, tl que m(h) = 1, o seno do ângulo x sob nálise é medid do cteto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cteto djcente CA. Portnto tngente do ângulo nlisdo será rzão entre o seno e o cosseno desse ângulo. sin(x) = cos(x) = tn(x) = m(co) H m(ca) H m(co) m(ca) = sin(x) cos(x) = m(co) 1 = m(ca) 1 Relção fundmentl: Pr todo ângulo x (medido em rdinos), vle relção: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1