TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1 Arcos e ângulos
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- Natan Marques Penha
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1 Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: rofessor: Márcio esumo TIGNMETI/GEMETI rcos e ângulos. Elementos: C: centro d circunferênci CB = C = : rio d circunferênci CB ˆ : ângulo centrl B : rco. Medid do rco: medid de um rco é igul à medid do seu ângulo centrl. B. Comprimento do rco: medid comprimento comp B comp B 60 comp B. Medid do rco em rdinos: DEFINIÇÃ rco em que o comprimento é igul o rio tem medid igul rdino medid comprimento rd 80 rd Ciclo trigonométrico DEFINIÇÃ Em um sistem de eios perpendiculres construímos um circunferênci de rio unitário e com centro n interseção (origem) desses eios. II B I + ponto é origem dos rcos e prtir dele são feits s medids desses rcos. circunferênci intersect os eios nos pontos, B, C e D e fic dividid em qutro setores. C III o D IV -
2 o esumo TIGNMETI/GEMETI s setores indicdos por I, II, III e IV são respectivmente denomindos º, º, º e 4º qudrntes. e um rco for medido no sentido horário, então ess medid será tribuído o sinl negtivo ( ). e um rco for medido no sentido nti-horário, então ess medid será tribuído o sinl positivo ( ). EXEML rco com etremos em e B no sentido nti-horário mede 90º. rco com etremos em e C no sentido horário mede 80º. rco com etremos em e D no sentido nti-horário mede 70º. rco com etremo em e dá um volt no sentido nti-horário mede 60º. rco com etremo em e dá um volt no sentido nti-horário e continu té o ponto B mede 450º. rco com etremo em e dá dus volts no sentido horário e continu té o ponto C mede -900º.. rcos notáveis no ciclo trigonométrico: 90º rd 90º rd 5 50º 6 rd 0º 6 rd 5º 4 rd 45º 4 rd 80º rd o 0º 0 rd 60º rd 80º rd o 0º 0 rd 60º rd 7 0º 6 rd 0º 6 rd 5 5º 4 rd 7 5º 4 rd 70º rd 70º rd 0º rd 90º rd 60º rd 80º rd 0º 0 rd 60º rd 4 40º rd 5 00º rd 70º rd
3 TIGNMETI/GEMETI Funções trigonométrics. Função eno DEFINIÇÃ Considere no ciclo trigonométrico d figur bio o rco, de comprimento e ordend do ponto. eio dos senos comp eno do rco é rzão entre ordend do ponto e o rio d circunferênci, ssim: sen. N função seno, ssocimos cd rco do ciclo trigonométrico um número rel. ssim: f : I I tl que f sen... Vrição d função seno. 0 ou I I III sen 0 sen 0 crescente sen o sen o decrescente II IV sen máimo sen o decrescente sen mínimo sen o crescente
4 TIGNMETI/GEMETI.. Gráfico Conjunto imgem: Imf ; Vlor máimo que f ssume: Vlor mínimo que f ssume: - eríodo: p. Função Cosseno Considere no ciclo trigonométrico d figur bio o rco, de comprimento e bsciss do ponto. comp eio dos cossenos Cossseno do rco é rzão entre bsciss do ponto e o rio d circunferênci, ssim: cos. N função cosseno, ssocimos cd rco do ciclo trigonométrico um número rel. ssim: f : I I tl que f cos... Vrição d função cosseno. 0 ou I III cos cos 0 decrescente cos mínimo cos 0 crescente
5 TIGNMETI/GEMETI II IV cos 0 cos 0 decrescente cos 0 cos 0 crescente.. Gráfico Conjunto imgem: Imf ; Vlor máimo que f ssume: Vlor mínimo que f ssume: - eríodo: p. Função Tngente DEFINIÇÃ Considere no ciclo trigonométrico d figur bio o rco com B e D e sendo intersecção d ret com o eio ds tngentes. B C eio ds tngentes D Tngente do rco é rzão entre medid do segmento e o rio d circunferênci, ssim: tg. N função tngente, ssocimos cd rco do ciclo trigonométrico, com eceção de n; n, um número rel. ssim: : ; f tg. f I n n I tl que
6 TIGNMETI/GEMETI.. Vrição d função tngente. 0 ou I III tg 0 tg 0 crescente tg 0 tg 0 crescente II IV tg tg 0 crescente tg tg 0 crescente.. Gráfico Conjunto imgem: Imf I Não tem vlor máimo e nem mínimo. eríodo: p
7 TIGNMETI/GEMETI. esumo tg sen 0º 5º 50º 80º / / / 60º 45º 0º 80º - 0º 60º cos 0º 5º 40º / / / - 70º 00º 0º 5º 4 elções trigonométrics fundmentis 4. elções trigonométrics fundmentis sen θ + cos θ = sen θ = - cos θ cos θ = - sen θ senθ tgθ = cosθ secθ = cosθ cossecθ = senθ cosθ cotgθ = = tgθ senθ
8 TIGNMETI/GEMETI 4. elções trigonométrics uilires sec θ = + tg θ cossec θ = + cotg θ 5 elções trigonométrics em um triângulo qulquer 5. Lei dos senos b c sen  sen Bˆ sen Cˆ 5. Lei dos cossenos b c b c cos  b c c cos B c b b cos C ˆ ˆ 6 Trnsformções 6. dição e ubtrção de rcos sen b sen.cos b sen b.cos sen b sen.cos b sen b.cos cos b cos.cos b sen. sen b cos b cos.cos b sen. sen b tg tg b tg b tg. tg b tg tg b tg b tg. tg b, com, b, b n n
9 TIGNMETI/GEMETI 6. rco Duplo sen. sen.cos cos sen cos sen cos tg tg, com tg n e n n 4 bservção: sen cos sen cos sen.cos sen Logo: sen cos sen
10 TIGNMETI/GEMETI Áres de figurs plns. etângulo h b. h b. Qudrdo. rlelogrmo h b. h b.4 Trpézio b h B b h B.5 Losngo d Dd. D.6 Triângulos.6. Triângulo qulquer h bh. b
11 TIGNMETI/GEMETI.6. Triângulo equilátero 4.6. Triângulo qulquer.. b sen b.6.4 Triângulo qulquer (Fórmul de ierão) b c b c p p p p b p c.6.5 Triângulo qulquer Gerlmente est relção é mis útil pr determinr o rio d circunferênci inscrit no triângulo. b r c b c p p. r.6.6 Triângulo qulquer Gerlmente est relção é mis útil pr determinr o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. b c bc 4.7 eágono egulr
12 TIGNMETI/GEMETI.8 Figurs circulres.8. Círculo.8. Coro circulr r r.8. etor circulr 60º.8.4 egmento circulr setor tringulo risms. Clssificção.. rism blíquo ão os prisms cujs rests lteris são obliqus o plno d bse... rism eto ão os prisms cujs rests lteris são perpendiculres o plno d bse... rism egulr ão os prisms retos em que s bses são polígonos regulres. rism blíquo rism eto rism egulr
13 TIGNMETI/GEMETI. Formulário:.. Áre d bse (b): É áre do polígono d bse... Áre lterl (l): É som ds áres de tods s fces lteris... Áre totl (t): É som ds áres de tods s fces do prism. t l b..4 Volume (V): É um número que eprime rzão eistente entre o espço ocupdo por um sólido e o espço ocupdo por um cubo de rest unitári. V b.. Csos prticulres:.. rlelepípedo reto retângulo ou prlelepípedo retângulo É todo prlelepípedo reto cujs bses são retngulres. Formulário: rlelepípedo eto-retângulo D c b Áre totl (t): t b c bc Volume (V): V bc Digonl (D): D b c
14 TIGNMETI/GEMETI.. Cubo É todo prlelepípedo reto-retângulo cujs fces são qudrds. Formulário: Cubo D Áre totl (t): t 6 Volume (V): V Digonl (D): D irâmides. Clssificção.. irâmide blíqu ão s pirâmides cuj projeção ortogonl do vértice sobre o plno d bse não coincide com o centro do polígono d bse... irâmide et ão s pirâmides cuj projeção ortogonl do vértice sobre o plno d bse coincide com o centro do polígono d bse. Num pirâmide ret, s fces lteris são triângulos isósceles.
15 TIGNMETI/GEMETI.. irâmide egulr ão s pirâmides rets em que s bses são polígonos regulres. Num pirâmide regulr, s fces lteris são triângulos isósceles e congruentes entre si. irâmide oblíqu irâmide ret irâmide regulr irâmide qudrngulr regulr: V D E C B N pirâmide regulr cim, temos: C = é o rio d circunferênci circunscrit à bse. V = VB = VC = VD = L são s rests lteris. V = h é ltur d pirâmide. E = r é o rio d circunferênci inscrit ou o pótem d bse. VE = g é ltur d fce lterl ou o pótem lterl ou pótem d pirâmide. Dí: i) V E VE h r g ii) V C VC h L. Formulário:.. Áre d bse (b): É áre do polígono d bse... Áre lterl (l): É som ds áres de tods s fces lteris... Áre totl (t): É som ds áres de tods s fces do prism. t l b
16 TIGNMETI/GEMETI..4 Volume (V): É um número que eprime rzão eistente entre o espço ocupdo por um sólido e o espço ocupdo por um cubo de rest unitári. V b. Tetredro regulr ão pirâmides tringulres onde tods s fces são triângulos equiláteros... Formulário: Áre totl (t): t ltur (): 6 Volume (V): V Cilindros. ecção meridin do cilindro: É interseção do cilindro com um plno que contém o eio do mesmo... Áre d secção meridin M
17 TIGNMETI/GEMETI. Clssificção:.. Cilindro blíquo ão os cilindros cujo eio são oblíquos s plno d bse... Cilindro eto ou de evolução ão os cilindros cujo eio é perpendiculr o plno d bse. No cilindro circulr reto, gertriz tem mesm medid que ltur... Cilindro Equilátero ão os cilindros retos cuj secção meridin é um qudrdo. ssim,. Cilindro blíquo Cilindro eto ou de evolução Cilindro Eqüilátero. Formulário:.. Áre d bse (b): É áre do círculo d bse. b Eio Gertriz.. Áre lterl (l): É áre d superfície lterl. l ltur Bse.. Áre totl (t): t l b..4 Volume (V): V b. uperfície lterl
18 TIGNMETI/GEMETI 4 Cones 4. ecção meridin do cilindro: É interseção do cone com um plno que contém o eio do mesmo. 4.. Áre d secção meridin M 4. Clssificção: 4.. Cone blíquo ão os cones cujo eio é oblíquo o plno d bse. 4.. Cone eto ão os cones cujo eio é perpendiculr o plno d bse. 4.. Cone Equilátero ão os cones retos cuj secção meridin é um triângulo equilátero. ssim, g. Cone blíquo Cone eto ou de evolução Cone Eqüilátero 4. Formulário: 4.. Áre d bse (b): É áre do círculo d bse. b V Eio Gertriz V 4.. Áre lterl (l): É áre d superfície lterl. l g Bse ltur io uperfície Lterl 4.. Áre totl (t): t l b 4..4 Volume (V): V b.
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