CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR AULAS 9 e 10 TRIGONOMETRIA BÁSICA

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1 CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR AULAS 9 e 10 TRIGONOMETRIA BÁSICA ALUNO(A): PROFESSOR: FIDELIS ZANETTI DE CASTRO DATA: / / 01 - A figur dinte represent o perfil de um escd cujos degrus têm todos mesm extensão, lém de mesm ltur. Se AB = m e B ĈA = 0 cd degru é:, então medid d extensão de ) m b) c ) 6 m d ) m e ) m 0 - Determine os vlores de θ, 0 θ π, de mneir que o determinnte sej nulo. cosθ senθ cosθ 0 0 senθ senθ cosθ senθ 0 - Do qudrilátero ABCD d figur seguir, sbe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos C Dˆ B e A Dˆ B medem, respectivmente, 45 e 0 ; o ldo CD mede dm. Então, os ldos AD e AB medem, respectivmente, em dm:

2 ) 6 e. b) 5 e. c) 6 e. d) 6 e 5. e) e π ) Demonstre identidde: sen x = senx cos x. 4 b) Determine os vlores de m R pr os quis equção: ( senx cos x ) = m dmite soluções Determine todos os vlores de x, 0 x π, pr os quis se verific iguldde ( + cos x) = 1 senx Sbe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 10. Se os outros dois ângulos, x e y, são tis que ) 5 b) 15 c) 0 d) 5 e) 0 cos x cos y 1+ =, diferenç entre s medids de x e y é

3 07 - Sbe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 10. Se os outros dois ângulos, x e y, são tis que ) 5 b) 15 c) 0 d) 5 e) 0 cos x cos y 1+ =, diferenç entre s medids de x e y é 08 - Pr clculr distânci entre dus árvores situds ns mrgens oposts de um rio, nos pontos A e B, um observdor que se encontr junto A fst-se 0m d mrgem, n direção d ret AB, té o ponto C e depois cminh em linh ret té o ponto D, 40m de C, do qul ind pode ver s árvores. Tendo verificdo que os ângulos D ĈB e B Dˆ C medem, respectivmente, cerc de 15 e 10, que vlor ele encontrou pr distânci entre s árvores, se usou proximção 6 =,4? 09 - Sbe-se que h é o menor número positivo pr o qul o gráfico de y = sen( x h) é h Então, cos é igul :

4 ) - /. b) - /. c) -1/. d) 1/. e) / O seno do ângulo d bse de um triângulo isósceles é igul 1/4. Então, tngente do ângulo do vértice desse triângulo é igul ) - 1/ b) 1/5 c) - 15/ d) 14/7 e) - 15/ Se (cos x). (sen x) = / e tg x =, com 0<x<π/, determine o único vlor de ) cos x; b) sen x + sec x. 1 - Considere s funções f( y ) = 1 y, pr y IR, -1 y 1, e g(x) = cos x, pr x IR. O número de soluções d equção (f o g)(x) = 1, pr 0 x π, é ) 0. b) 1. c). d). e) 4.

5 1 - Dus rodovis retilínes A e B se cruzm formndo um ângulo de 45. Um posto de gsolin se encontr n rodovi A, 4 km do cruzmento. Pelo posto pss um rodovi retilíne C, perpendiculr à rodovi B. A distânci do posto de gsolin à rodovi B, indo trvés de C, em quilômetros, é ) ()/8. b) ()/4. c) ()/. d). e) 14 - Ao chegr de vigem, um pesso tomou um táxi no eroporto pr se dirigir o hotel. O percurso feito pelo táxi, representdo pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçdo n figur, onde o ponto A indic o eroporto, o ponto H indic o hotel, BCF é um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60 e DE é prlelo BC. Assumindo o vlor =1,7 e sbendo-se que AB=km, BC=km, DE=1km e FH=,km, determine ) s medids dos segmentos BD e EF em quilômetros; b) o preço que pesso pgou pel corrid (em reis), sbendo-se que o vlor d corrid do táxi é ddo pel função y=4+0,8x sendo x distânci percorrid em quilômetros e y o vlor d corrid em reis Se x é medid de um ângulo em rdinos e π/<x<π/4, então ) cos x > 0.

6 b) cos x < 0. c) tgx > 0. d) sen x < 0. e) sen x > Um pequeno vião deveri prtir de um cidde A rumo um cidde B o norte, distnte 60 quilômetros de A. Por um problem de orientção, o piloto seguiu errdmente rumo o oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu rot, fzendo um giro de 10 à direit em um ponto C, de modo que o seu trjeto, juntmente com o trjeto que deveri ter sido seguido, formrm, proximdmente, um triângulo retângulo ABC, como mostr figur. Com bse n figur, distânci em quilômetros que o vião voou prtindo de A té chegr B é ) 0. b) 40. c) 60. d) 80. e) Um equipe de grônomos coletou ddos d tempertur (em C) do solo em um determind região, durnte três dis, intervlos de 1 hor. A medição d tempertur começou ser feit às hors d mnhã do primeiro di (t=0) e terminou 7 hors depois

7 (t=7). Os ddos puderm ser proximdos pel função H(t) = sen [(π/1)t + π/], onde t indic o tempo (em hors) decorrido pós o início d observção de H(t) tempertur (em C) no instnte t. ) Resolv equção sen[(π/1)t + π/] = 1, pr t [0,4]. b) Determine tempertur máxim tingid e o horário em que ess tempertur ocorreu no primeiro di de observção Um equipe de mergulhdores, dentre eles um estudnte de ciêncis exts, observou o fenômeno ds mrés em determindo ponto d cost brsileir e concluiu que o mesmo er periódico e podi ser proximdo pel expressão: P(t) = 1/ + cos [(π/6)t + 5π/4], onde t é o tempo (em hors) decorrido pós o início d observção (t = 0) e P(t) é profundidde d águ (em metros) no instnte t. ) Resolv equção, cos [(π/6)t + 5π/4] = 1, pr t>0. b) Determine qunts hors pós o início d observção ocorreu primeir mré lt (Vunesp 0) Três ciddes, A, B e C, são interligds por estrds, conforme mostr figur. As estrds AC e AB são sfltds. A estrd CB é de terr e será sfltd. Sbendo-se que AC tem 0 km, que o ângulo entre AC e AB é de 0, e que o triângulo ABC é retângulo em C, quntidde de quilômetros d estrd que será sfltd é ) 0 b) 10 c) (10 )/

8 d) 8 e) ( )/. 0 - Pr medir lrgur AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: loclizou um ponto B de onde podi ver n mrgem opost o coqueiro C, de form que o ângulo ABC fosse 60 ; determinou o ponto D no prolongmento de CA de form que o ângulo CBD fosse de 90. Medindo AD=40 metros, chou lrgur do rio. Determine ess lrgur e explique o rciocínio. 1 - Clcule áre de um triângulo em função de um ldo l e dos dois ângulos α e β ele djcentes. - Cminhndo em linh ret o longo de um pri, um bnhist vi de um ponto A um ponto B, cobrindo distnci AB=1.00 metros. Qundo em A ele vist um nvio prdo em N de tl mneir que o ângulo NAB é de 60 ; e qundo em B, verific que o ângulo NBA é de 45. ) Fç um figur ilustrtiv d situção descrit. b) Clcule distânci que se encontr o nvio d pri. ) Utilize fórmul sen α+cos α=1 e formul do cosseno d som de dois ângulos pr deduzir s seguintes fórmuls do rco metde: α sen = ± 1 cosα e α cos = ± 1+ cosα b) Especifique os intervlos de vrição de α nos quis se deve usr o sinl "mis" e nos quis se deve usr o sinl "menos" em cd um ds fórmuls seguir.

9 sen( x + y ) = Encontre tods s soluções do sistem sen( x y ) = 0 π. que stisfçm 0 x π e 0 y 5 - Ache todos os vlores de x, no intervlo [0, π], pr os quis + senx + cos x =. 6 - A hipotenus de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos gudos é o triplo do outro. ) Clcule os comprimentos dos ctetos. b) Mostre que o comprimento do cteto mior está entre 9 e 9 centímetros. 7 - Considere função S(x) = 1 + sen x + 4(sen x) + 8(sen x) pr x R. ) Clcule S(π/). b) Resolv equção: S(x) = 0, pr x [-π,π]. 8 - Sejm A, B e C pontos de um circunferênci tis que, AB=km, BC=1km e medid do ângulo ABC sej de 15. ) Clcule o rio dess circunferênci. b) Clcule áre do triângulo ABC. 9 - Os ldos de um triângulo têm, como medids, números inteiros ímpres consecutivos cuj som é 15. ) Quis são esses números? b) Clcule medid do mior ângulo desse triângulo. c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β>α, mostre que 1 sen β sen α <. 4

10 0 - Considere equção trigonométric sen θ - cos θ + 1/ sen(θ) = 0. ) Mostre que NÃO são soluções dess equção os vlores de θ pr os quis cos θ = 0. b) Encontre todos os vlores de cos θ que são soluções d equção. 1 - No qudrilátero ABCD onde os ângulos A e C são retos e os ldos têm s medids indicds, o vlor de senb é: ) 5/5 b) 5/5 c) 4/5 d) /5 e) 1/ - Um losngo está circunscrito um circunferênci de rio cm. Clcule áre deste losngo sbendo que um de seus ângulos mede N figur seguir, ret r pss pelo ponto T=(0,1) e é prlel o eixo Ox. A semi-ret Ot form um ângulo α com o semi-eixo Ox (0 <α <90 ) e intercept circunferênci trigonométric e ret r nos pontos A e B, respectivmente. A áre do triângulo TAB, como função de α, é dd por:

11 ) (1 - senα ). (cosα )/. b) (1 - cosα ). (senα )/. c) (1 - senα ). (tgα )/. d) (1 - senα ). (cotgα )/. e) (1 - senα ). (senα )/. 4 - (Fuvest 9) O vlor máximo d função f(x)=cosx+sen x pr x rel é: ) / b) c) 5 / d) 1 e) A cord comum de dois círculos que se interceptm é vist de seus centros sob ângulos de 90 e 60, respectivmente, como é mostrdo n figur seguir. Sbendo-se que distânci entre seus centros é igul +1, determine os rios dos círculos. 6 - O vlor de (tg 10 + cotg 10 )sen 0 é:

12 ) 1/ b) 1 c) d) 5/ e) ) Clcule sen15. b) Clcule áre do polígono regulr de 4 ldos inscrito no círculo de rio Dentre os números seguir, o mis próximo de sen50 é: ) 0, b) 0,4. c) 0,6. d) 0,8. e)1, O menor vlor de ) 1/6. b) 1/4. c) 1/ d) 1. e). 1 cos x, com x rel, é: 40 - Os números reis sen (π/1), sen, sen (5π/1) formm, nest ordem, um progressão ritmétic. Então o vlor de sen é: ) 1/4 b) /6 c) /4 d) 6/4 e) / 41 - (Fuvest 96) A figur seguir mostr prte do gráfico d função:

13 ) sen x b) sen (x/) c) sen x d) sen x e) sen x 4 - Considere função f(x) = senx.cosx + (1/)(senx-sen5x). ) Resolv equção f(x)=0 no intervlo [0,π]. b) O gráfico de f pode interceptr ret de equção y=8/5? Explique su respost. 4 - ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento CX é bissetriz do ângulo BCA, onde X é ponto do ldo AB. A medid do segmento CX é 4cm e do segmento BC, 4cm. Clcule medid de AC Qul ds firmções seguir é verddeir? ) sen 10 < cos 10 < tg 10 b) cos 10 < sen 10 < tg 10 c) tg 10 < sen 10 < cos 10 d) tg 10 < cos 10 < sen 10 e) sen 10 < tg 10 < cos Nos triângulos d figur, AC = 1cm, BC = 7cm, AD = BD. Sbendo que sen( b) = sen cos b senb cos, o vlor de sen x é

14 ) / b) 7/ 50 c) /5 d) 4/5 e) 1/ No cubo de rest 1, considere s rests AC e BD e o ponto médio, M, de AC ) Determine o cosseno do ângulo BAD. c) Determine o cosseno do ângulo BMD. d) Qul dos ângulos, BAD ou BMD, e o mior? Justifique Ache tods s soluções d equção sen x cos x - senx cos x = O no intervlo [0,π) As rets r e s são prlels e A é um ponto entre els que dist 1 de r e de s. Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos ldos interceptm r e s nos pontos B e C, respectivmente. O ângulo gudo entre o segmento AB e ret r mede α.

15 ) Clcule áre do triângulo ABC em função do ângulo α. b) Pr que vlor de α áre do triângulo ABC é mínim? 49 - O perímetro de um setor circulr de rio R e ângulo centrl medindo α rdinos é igul o perímetro de um qudrdo de ldo R. Então α é igul ) π/ b) c) 1 d) π/ e) π/ 50 - Se α é um ângulo tl que 0 < α < π/ e senα =, então tg(π-α) é igul ) 1 b) 1 c ) 1 d ) 1 1+ e)