AULA 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. a = b b n = a. 1 a n. a a 2 = 0, Radiciação. 1. Potenciação Definição. 1.1.

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1 Inclusão para a vida Matemática UL 0 POTENCIÇÃO E RDICIÇÃO. Potenciação.. Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: a m = a. a. a. a. a... a. m fatores Casos Particulares a 0 = para a 0 a = a a -n = a n.. Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se: a m.a n = a m + n a a m n a mn (a m ) n = a m.n (a.b) n = a n.b n n a a b b.. Potência de base 0 Sabe-se que: 0 0 = 0 = 0 0 = 00 0 = 000 Então 0 n = n zeros Observe ainda que: 0 - = 0 = 0, n n 0 - = 0 - = = 0,0 0 = 0,00 0 Então 0 n = 0, n casas decimais. Radiciação.. Definição b é a raiz n-ésima de a, se b n = a... Representação n a = b b n = a.. Nomenclatura Em n a = b, temos: n é o índice a é o radicando b é a raiz.4. Condição de eistência Em n a, se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. Se n for ímpar então n a sempre eiste... Propriedades n a. n b n a.b n a a n n b b m n n a n m n.p a m a m.p a n m a n.m a n m a a m n.6. Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem no entanto com o radical no denominador. º CSO: O denominador é do tipo n a m Neste caso multiplica-se numerador e denominador pelo fator: n a n m. º CSO: O denominador é do tipo a b Neste caso multiplica-se numerador e denominador Pelo fator: a b PRÉ-VESTIULR D UFSC

2 Matemática Eercícios de Sala 0) Calcule: a) 4 b) 4 c) ( ) 4 d) 7 e) 0 f) g) - h) 0) Transforme cada epressão em uma única potência de base.. a) = b) = c) ( 4 ) = d) 0) Calcule: a) 0, b) 0, 0 c) d) 64 e) 4 = 4 9 f) ) Racionalize: a) 4 6 b) c) 0 8 d) e) 6 0) Racionalize: a) b) 6 Inclusão para a Vida c) Tarefa Complementar 06) O valor da epressão f) 0, d) 00.(0,) é equivalente a: 0,0 a) 0 b) 0 c) 0 4 d) 0 e) 0 07) ssinale a soma dos números associados às proposições VERDDEIRS: 0. O número 7 é equivalente a, O valor da epressão é Se n é par, então a epressão ( ) n + ( ) n + é zero. 08. metade de é 7. 08) (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 8 a) b) c) d) e) a) b) Tarefa Mínima c) 0) Determine o valor das epressões: j) a) 4 b) 4 c) ( ) 4 d) 0 e) 0 80 f) 00 0 g) 4 - h) i) ( ) ( ) 4 k) d) 09) ( FGV-SP ) Qual o valor da epressão ab a b 4 ab quando a = 0 a ba b a b e b = 0 a) 0 6 b) 0 c) 0 d) 0 9 e) 0 7 0) ( FGV-SP ) Simplificando a epressão n4 n n n n temos: a ) b) c) d) 4 4 ) ( Cesgranrio ) Se a = 99 6, b = 99 7 e c 4 = 99 8, então (abc) vale: 0) Transforme cada epressão em uma única potência de base. a).. 7 b) 0) Sendo = 00, obtenha: ( ). 4 a) sucessor de b) o dobro de c) quádruplo de d) quadrado de e) metade de f) raiz quadrada de 04) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes: a) 99 b) 99 / c) 99 8 d) e) ) Determine a soma dos números associados às proposições VERDDEIRS: é equivalente a 0. epressão 0. O valor de 4 é PRÉ-VESTIULR D UFSC

3 Inclusão para a vida 04. O valor de 08. Racionalizando 6. epressão 8 6 é 4 4 obtém-se 8 é igual a RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS: Matemática SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TNGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que: ) Calculando :, acha-se: a) b) 4 c) 6 d) 8 e) n.d.a. 4) ( UEL-PR ) epressão é equivalente a: a) b) c) + d) e) + ) ( UEL-PR ) Seja o número real = Escrevendo na forma = a + b c, tem-se que a + b + c é igual a: sen = a b Observação: cos = a c Se + = 90 tem-se que sen = cos Tabela de arcos notáveis tg = c b Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se a) b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 UL 0 dois triângulos retângulo isósceles TRIGONOMETRI NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo C Em resumo, temos: Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: C e são os catetos C é a hipotenusa e C são os ângulos agudos Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos são complementares, ou seja, C = 90º PRÉ-VESTIULR D UFSC

4 Matemática Eercícios de Sala 0) ( FUVEST ) Obter o valor de na figura: a) metros b) metros c) 4 metros d) 4 metros e) metros Inclusão para a Vida 0) ( UFSC ) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 m e o vão entre elas é de m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 04) Na figura abaio, determinar o valor de e. 0) No triângulo C, o valor do ângulo, em graus, é: a) 60 b) 4 c) 0 d) 90 e) n.d.a. 0) ( UFSC ) Dois pescadores P e P estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote na outra margem. Sabendo que P P = 6 m, os ângulos P P = e P P = e que tg = e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é: Tarefa Mínima 0) Nas figuras abaio, determinar o valor de a) Tarefa Complementar 0) Com base na figura abaio é correto afirmar: 0. h = m 0. h = m X a = ( + ) m 08. O triângulo CD é isósceles 6. O lado C mede 6m b) X ) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 0º com sua trajetória. Navegando mais 00 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 0º = 0,4; cos 0 = 0,9; tg 0º = 0,6) c) 07) Determine o valor de e na figura abaio: 4 0) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. tualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de m de comprimento. que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,8 tg74º =,4) 08) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de,6 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaio. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar,6m a: PRÉ-VESTIULR D UFSC 4

5 Inclusão para a vida Matemática TEOREM DOS SENOS Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. a) b cos b) a cos c) a sen d) b tg e) b sen 09) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaio, em que o ponto localiza-se a leste de, a distância = km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de, e leva meia hora para atingir o ponto D. partir destes dados, assinale o que for correto. 0. C = 0km 0. D =, km 04. C = km ˆ mede O ângulo D 6. velocidade média do barco é de km/h Eercícios de Sala 0) Determine o valor de na figura abaio: 0) ( FUVEST ) Em um triângulo C, = 4 e o ângulo C oposto ao lado mede 4. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo 0) Determine o valor de na figura abaio 0) ( UFSC ) Na figura, abaio, determine o valor de 0 60 D C 04) Determine o valor da diagonal D do paralelogramo abaio, é: D = DC= - 8 D = UL 0 TEOREM DOS CO-SENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo coseno do ângulo formado por eles. Tarefa Mínima 0) Determine o valor de na figura abaio: 0) ( UFSC ) Na figura, a medida do lado C é 7 cm. medida, em cm, do lado será: PRÉ-VESTIULR D UFSC

6 Matemática Inclusão para a Vida 4 0 C 0) O triângulo C está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que C = cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 7 O 60 C ângulo L  C = 0. pós navegar 4 milhas até, verifica o ângulo L ˆ C = 7. Quantas milhas separam o farol do ponto? a) b) c) d) e) 4 09) Num triângulo C, = cm, C = 7cm e C = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado C. 0) ( FUVEST ) No quadrilátero dado a seguir, C = CD = cm, = cm, Dˆ C = 60 e ˆ C = 90. D C 0. O triângulo C é equilátero 0. o raio da circunferência vale cm 04. = cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm 04) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem cm e cm e formam um ângulo de 4. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: a) 4 b) c) d) e) 4 0) ( FUVEST ) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) /6 b) 4/ c) /4 d) / e) /8 Tarefa Complementar O perímetro do quadrilátero, em cm, é: a) b) c) d) 4 e) UL 04 e 0 INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCI TRIGONOMÉTRIC. RCO DE UM CIRCUNFERÊNCI 06) ( CESGRNRIO ) No triângulo C, os lados C e C medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo vale 0. O seno do ângulo vale: a) ½ b) / c) /4 d) 4/ e) /6 07) ( FUVEST-SP ) Numa circunferência está inscrito um triângulo C; seu lado C é igual ao raio da circunferência. O ângulo  C mede: rco de uma circunferência é cada uma das partes que fica dividida uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos. a) b) 0 c) 6 d) 4 e) 60 08) ( IT-SP ) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos, e C. O comandante, quando o navio está em, observa o farol L e mede o PRÉ-VESTIULR D UFSC 6

7 Inclusão para a vida Matemática Eemplo: ) 0º, 90º, 70º, 0... Veja que esses arcos possuem a mesma etremidade e diferem apenas no número de voltas. epressão = 0º + 60º. k, com k Z, é denominada epressão geral do arco de 0º, onde 0º é a primeira determinação positiva. epressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k. 60º, com k Z. cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência). Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. Graus: Um arco de um grau (º) é aquele cujo comprimento é igual a do comprimento da circunferência. 60 Logo a circunferência tem 60º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: º = 60' '= 60'' Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Uma circunferência de raio unitário possui radianos. Se um arco mede radianos, a epressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k., com k Z. SENO e CO-SENO DE UM RCO. Definição Considere o arco que possui etremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M ao qual corresponde o ângulo central. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. 60º rad Portanto: 80º rad. CICLO TRIGONOMÉTRICO Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico. Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela etremidade M do arco sobre o eio. Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eio Os eios e dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes. ORIENTÇÃO nti Horario Positivo Horario Negativo. Sinais. RCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 60º. PRÉ-VESTIULR D UFSC 7

8 Matemática Inclusão para a Vida. Tabela cos = cos a a k (congruos) ak (suplementares) Eercícios de Sala 0) Epressar em radianos os seguintes arcos: a) 00º b) 60º c) º 0) Um arco de 00 equivale em radianos a: Note que: sen e cos OSERVÇÃO: Com o auílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do º, º e 4º quadrantes 4. Equações trigonométricas num intervalo dado Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São eemplos de equações trigonométricas: ) sen = ) cos + cos - = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas equações trigonométricas, pois eiste uma infinidade, para isso apresentaremos alguns tipos básicos. a k (congruos) sen = sen a a k (suplementares) a) b) c) 4 d) 0 9 e) 6 0) Calcule a ª determinação positiva e escreva a epressão geral dos arcos côngruos a: a) 90º b) 6 rad 04) Determine o valor de: a) sen 0 b) cos 0 c) sen 0 d) cos 0 e) sen 0 f) cos 0 0) Para que valores de m a equação cos = m admite solução. a) - m b) - m c) m d) < m < e) < m < PRÉ-VESTIULR D UFSC 8

9 Inclusão para a vida Tarefa Mínima Tarefa Complementar Matemática 0) Obter a medida em graus dos seguintes arcos: a) b) 6 0) ( UFMG ) Transformando 7º0' em radianos, teremos: a) /4 b) / c) /0 d) / e) / 0) Determine o valor da epressão sen90.cos0 sen cos80.sen 70 0 cos 80 04) Se sen > 0 e cos < 0, então é um arco do: a) º quadrante b) º quadrante c) º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a. 0) equação sen = m admite solução para: a) m b) m 4 c) - m d) < m < e) 0 m 06) Resolver, no intervalo 0 <, as seguintes equações: a) sen = b) cos = 0 c) sen = d) cos = 07) Sabendo que 0 <, o conjunto solução da equação: sen sen 4 = 0 é: a) {90º} b) {-90º} c) {70º} d) {80º} e) {0º} 08) ( Mack-SP ) menor determinação positiva de 4900º é: a) 00 b) 40º c) 40º d) 80º e) n.d.a. 09) ( UFP ) Qual a ª determinação positiva de um arco de 000º? a) 70º b) 80º c) 90º d) 00º e) 0º 0) ( SNTO MRO-SP ) Às 9 horas e 0 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: a) º b) 40º c) 4º d) 0º e) n.d.a. ) ( UFPR ) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às h4min, vale: a) 89º0' b) 77º0' c) 70º d) 4º4' e) 77º0' ) ( UFSC ) O maior valor numérico que pode assumir quando 7 sen, é: ) ( UFP ) O menor valor positivo que satisfaz a equação sen = é: a) /6 b) /4 c) / d) / e) n.d.a. 4) ( UM-SP ) O menor valor positivo de para o qual 9 - cos = é: a) b) c) d) e) 6 4 ) Determinar o número de soluções da equação sen cos = sen no intervalo 0 <. UL 06 RELÇÕES FUNDMENTL D TRIGONOMETRI sen + cos = (Relação Fundamental) relação vista também vale para arcos com etremidades fora do primeiro quadrante. Eemplos: sen 0 + cos 0 = sen 0 + cos 0 = Vale lembrar que se + = 90, sen = cos. Logo vale também relações do tipo: sen 0 + sen 40 = sen 0 + sen 80 = PRÉ-VESTIULR D UFSC 9

10 Matemática. Definição TNGENTE DE UM RCO 4. Equação trigonométrica tg = tg a a k Inclusão para a Vida ssocia-se ao circunferência trigonométrica mais um eio, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (,0). Define-se como tangente do arco PM, ao segmento PQ determinado sobre o eio das tangentes. Eercícios de Sala. Sinais 0) Sabendo que sen = e que cos :, calcule 0) ( F.C.Chagas- ) s sentenças sen = a e cos = e somente se: a são verdadeiras para todo real, se. Tabela a) a = ou a = b) a = - ou a = - c) a = ou a = d) a = e) n.d.a. 0) Resolver no intervalo 0 <, a equação cos = sen 04) Determina o valor de: a) tg 0 b) tg 0 c) tg 0 0) Resolva no intervalo 0 < as seguintes equações: a) tg = Tarefa Mínima b) tg = 0 0) No intervalo se sen = cos., calcule 0) ( UFSC ) O valor, em graus, do arco 0 equação: cos + sen = 0 é: na 0) O valor de tg + tg é 04) ( UFSC ) Considere o ângulo =. Determine tg 0) Resolva as seguintes equações no intervalo 0 < PRÉ-VESTIULR D UFSC 0

11 Inclusão para a vida a) tg = b) tg + tg = 0 Tarefa Complementar 06) Determine m de modo que se obtenham simultaneamente, sen = m e cos = m 07) No intervalo 0 <, determine o número de soluções para a equação cos = sen 08) ( FURG-RS ) O valor numérico da função f() = sen tg + cos para = é: 09) ( PUC-RS ) O valor numérico de sen tg 4 para = é: cos a) / b) / c) / d) / e) 0 0) No intervalo 0 <, a equação tg + tg = 0 possui quantas soluções? a) b) c) d) 4 e) UL 07 RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS sen + cos = (Relação Fundamental) s Demais Relações Trigonométricas, com as condições de eistência obedecidas são: tg = sen cos sec = cos cotg = tg cossec = 4 sen partir da relação sen + cos = podemos estabelecer duas relações Derivadas. Dividindo a Relação Fundamental por sen tem-se: + cotg = cossec E dividindo a Relação Fundamental por cos tem-se: tg + = sec Sinais das Funções Trigonométricas Matemática Q Q Q 4 Q seno e cossecante + + cosseno e secante + + tangente e cotangente + + Eercícios de Sala 0) Determine o valor de: a) cossec 0 b) sec 0 c) cotg 0 d) cossec 0 e) sec f) cotg 00 0) Sendo sen = 4 e a) cos b) tg c) cotg d) sec e) cosec Tarefa Mínima 0) Determine o valor de:, calcular: a) sec 60 o b) cossec 0 o c) cotg o 0) ( Faap-SP )Se sen = /, com 4º quadrante, então tg é: a) /4 b) / c) 4/ d) /4 e) 4/ 0) ( UFSC ) Dados sen = e o valor de: tg + 04) ( FGV-SP ) Simplificando-se a epressão senatgacoseca, obtém-se: cosacotgaseca a) 0 b) sec a c) sen a d) e) tg a Tarefa Complementar, determine 0) ( UFSC )Sabendo que cossec = /4 e é do primeiro quadrante, então o valor da epressão 9.(sec + tg ) é: 06) ( UFSC ) Calcule o valor numérico da epressão: sen0 cos0 cosec0 cotg0 sec00 tg60 cotg PRÉ-VESTIULR D UFSC

12 Matemática Inclusão para a Vida 07) ( UFCE ) Para todo º quadrante, a epressão (sec - tg )(sec + tg ) sen é igual a: a) cos b) + sen c) cos - sen d) sec + cos e) n.d.a. 08) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDDEIR(S). 0. medida em radianos de um arco de º é π rad menor determinação positiva de um arco de 000 é Os valores de m, de modo que a epressão sen = m eista, estão no intervalo [,]. 08. sen > cos para Se tg = 4 e, então o valor de cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (, ). sen cos é igual a.. Se sen 0, então cosec solução da equação sen + sen = para 0 é = ou = ) ( UFSC ) Dado sen = e 0 valor numérico da epressão: sec cotg cosectg 6sencosec 0) ( FTEC ) Se e são números reais tais que = 4 e e tg sec tg.sec, então: a) = e b) = e ( + tg ) c) = e) n.d.a. e cos d) = e sec, calcule o Dizemos que ( p, p ) são as coordenadas do ponto P, onde o número real p é chamado abscissa do ponto e o número real p é chamado ordenada do ponto. OSERVÇÕES Se um ponto pertence ao eio das abscissas, então sua ordenada é nula. P ( p, 0) Se um ponto pertence ao eio das ordenadas, então sua abscissa é nula. P (0, p ) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais p = p Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. p = - p. Distância entre dois pontos Dados dois pontos (, ) e (, ) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaio: ULS 08 e 09 GEOMETRI NLÍTIC ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal como já vimos em funções, é composto por duas retas e perpendiculares entre si, no ponto O (origem). reta é denominada eio das abscissas e a reta é denominada eio das ordenadas. Os dois eios dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário. O triângulo C é retângulo em C, então: C C PRÉ-VESTIULR D UFSC

13 Inclusão para a vida Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: d. Ponto Médio de um Segmento Considere um segmento de etremidades (, ) e (, ). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M( M, M ) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de e. Observe a figura: OSERVÇÕES: O determinante C C a área é indicada por um número positivo. Se o determinante C os pontos estão alinhados. Matemática foi tomado em módulo, pois C for nulo, dizemos que Eercícios de Sala 0) Dados os pontos (, 6) e (8, 8), determine: Pelo teorema de Tales temos que M = M, logo no eio tem-se: M = M M no eio tem-se: M = M M Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terá as seguintes coordenadas M. Área de um Triângulo conhecendo as coordenadas do vértice Considere o triângulo abaio: C C C Quando se conhece as coordenadas dos vértices, e C pode-se demonstrar que a área desse triângulo é dada por: a) distância entre e b) Ponto Médio do segmento 0) Sabe-se que o ponto P(a,) é eqüidistante dos pontos (,) e (,4). Calcular a abscissa a do ponto P. 0) Considere o triângulo de vértices (6,8); (,); C(4,). O valor da medida da mediana M do triângulo C é: a) b) 4 c) d) 6 c) 7 04) Os pontos (, 4), (-6, ) e C(0, -) são os vértices de um triângulo C. Calcular a área desse triângulo. Tarefa Mínima 0) ( Mack-SP ) Identifique a sentença falsa: a) o ponto (0,) pertence ao eio. b) o ponto (4,0) pertence ao eio. c) o ponto (00,00) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) o ponto ( +, + ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 0) ( Cesgranrio ) distância entre os pontos M(4,-) e N(-,7) do plano 0 vale: 0) ( UFRGS ) distância entre os pontos (-,) e (6,7) é 0. O valor de é: =. C C a) - b) 0 c) ou d) - ou 0 e) ou 04) ( Cescea-SP ) O ponto do eio das abscissas, eqüidistantes dos pontos P(-,) e Q(,6), é: a) (,0) b) (,0) c) C(,0) d) D(0,) e) E(4,0) PRÉ-VESTIULR D UFSC

14 Matemática Inclusão para a Vida 0) Calcular a área do triângulo C. Dados: (8, ); (4, 7) e C(, ) Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Dados os pontos (-,-); (,-7) e C(,), determine sabendo que o ponto C é eqüidistante dos pontos e., e P estão alinhados se e só se: Desenvolvendo 0 temos: 0 07) ( FCC- ) O triângulo cujos vértices são os pontos (,), (-,-) e (, -) é: a) eqüilátero b) escaleno c) isósceles d) retângulo e) n.d.a. 08) ( PUC-SP ) Dados (4,), (,) e C(,4), o valor em módulo de para que o triângulo C seja retângulo em é: 09) ( UFJF-MG ) Se (,), (,) e (6,) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) (-,), (,0), (7,4) b) (,), (,0), (4,4) c) (,), (,), (,) d) (,), (,), (,) 0) ( UCP-RJ ) distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de etremos (-,-7) e (-4,) é: a) b) c) - d) e) ) ( Mack-SP ) área de um triângulo é / e os seus vértices são (0,), (,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: a) b), c) d) 4 e) ) área do polígono, cujos vértices consecutivos são: (0,4), (9,7), C(6,0), D(-,-4) e E(,-) em unidades de área, é: UL 0 ESTUDO D RET Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação pode-se determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: Equação Geral e Equação Reduzida = 0 ( ) + ( ) + = 0 a b c Logo: a + b + c = 0 equação geral da reta.. Equação Reduzida da Reta Pode-se obter a equação reduzida da reta isolando-se na equação geral. Veja: a + b + c = 0 b = a c a c substituindo a b b b por m e c por n temos: b = m + n Equação Reduzida da Reta onde o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta.. Coeficiente ngular e Linear da Reta Vamos considerar a equação = m + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta. Vejamos, agora, o significado geométrico deles. COEFICIENTE LINER O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eio. COEFICIENTE NGULR Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo, onde indica a inclinação da reta em relação ao eio.. Equação Geral da reta Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de pontos. Sejam (, ), (, ) e um ponto genérico P(, ). m = tg ou m PRÉ-VESTIULR D UFSC 4

15 Inclusão para a vida CSOS PRTICULRES Quando a reta é paralela ao eio o ângulo é igual a 0, logo o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. Matemática 0) Determine a equação da reta representada pela figura abaio: Quando a reta é paralela ao eio o ângulo é igual a 90º, logo o coeficiente angular não eiste, pois tg 90º não é definido. Tarefa Mínima 0) Em relação à reta r que passa pelos pontos (, ) e (, - ), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta 0) Considere a reta r indicada pela figura abaio 4. Equação do Feie de Retas Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q( o, o ) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso usase a relação: o = m( o ) ssinale a soma dos números associados às proposições VERDDEIRS: Eercícios de Sala 0) Em relação à reta r que passa pelos pontos (, ) e (4, 9), determine: 0. equação da reta r é = 0. o coeficiente linear da reta r é 04. o menor ângulo que a reta r determina no eio é 4 o 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (, ) 6. a reta r intercepta o eio no ponto de coordenadas (,0) 0) Determine a equação da reta r indicada abaio a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta 0) Determine o coeficiente angular das retas abaio: a) r: + + = 0 b) 04) ( FGV-SP ) Os pontos (-, m) e (n, ) pertencem à reta - = 4. distância entre e é: a) b), c) d) e) 9 c) 0) ( Fac. Moema-SP ) O coeficiente linear e angular da reta + = 0 são, respectivamente: a) e b) / e c) / e / d) / e / e) n.d.a. PRÉ-VESTIULR D UFSC

16 Matemática Tarefa Complementar 06) equação da reta que passa pelo ponto (, 4) e tem coeficiente angular. Considere as retas r e s de equações: r = m + n e s = m + n ssim, podemos ter as seguintes situações: Inclusão para a Vida 07) Considere as retas r e s indicadas abaio: PRLELS DISTINTS: m = m PRLELS COINCIDENTES: m = m e n = n CONCORRENTES m m CONCORRENTES E PERPENDICULRES: m. m = Determine a soma dos números associados às proposições VERDDEIRS: 0. equação da reta r é + 4 = 0 0. equação da reta s é = o ponto de interseccão das retas r e s possui coordenadas (, ) 08. reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,). Distância de ponto à reta Considere um ponto P( 0, 0 ) e uma reta r: a + b + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela epressão: 08) ( UFSC ) s retas r, dada pela equação = 0, e s, dada pela equação = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é: 09) Calcular a área da região limitada pelas retas =, = 0, = 0 e = 0. 0) ( UFPR ) No plano cartesiano os pontos (, -), (,), C(,) e D(-, ) são os vértices de um quadrado. É correto afirmar que: 0. a origen do sistema de coordenadas está no interior do quadrado. 0. a reta r que passa por e tem coeficiente angular / 04. a reta cuja equação é + 4 = 0 contém a diagonal D do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eio no ponto (0, -4) 6. o centro do quadrado é o ponto (,) UL Eemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, ) e a reta r de equação + 6 = Resolução: d d d 4 Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades Eercícios de Sala 0) Considere a reta r indicada pela figura abaio: ESTUDO D RET. Posição relativa entre retas No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: Concorrentes Paralelas Coincidentes PRÉ-VESTIULR D UFSC 6

17 Inclusão para a vida Determinar: a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(, ) e é paralela à reta r b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, ) e é perpendicular à reta r 0) Determinar a distância do ponto (, ) à reta r de equação = + Tarefa Complementar Matemática 06) ( UFSC ) Dados os pontos (, ), (, ) e C(, 7), determine a medida da altura do triângulo C relativa ao lado C. 07) ( UFSC ) De acordo com o gráfico abaio, assinale a(s) proposição(ões) VERDDEIR(S). 0) ( UFSC ) Considere as retas r: k + -7 = 0 e s: 4 + k - = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDDEIR(S). 0. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (, -) é O valor de k para que as retas r e s se interceptam no ponto 0 7 é / s retas r e s são paralelas para k =. 08. equação geral da reta que é perpendicular à reta s no ponto (,) é = Sendo k = 0, então a distância do ponto (-,) à reta r é 0. Tarefa Mínima 0) ( UFRGS ) s retas com equações respectivas = 0 e = 0 a) são paralelas b) são coincidentes c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares. 0) equação da reta que passa pelo ponto P(-, ) e é paralela à reta de equação + = 0 é: a) = 0 b) = 0 c) + 0 = 0 d) 0 = 0 e) + 0 = 0 0) ( Cesgranrio-RJ ) Se as retas (r) + + = 0 e (s) a + + = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: a) b) c) 6 d) 6 e) 04) Considere o triângulo de vértices (0,0), (,4) e C(4,). altura em relação à base C mede: 0. equação da reta s é + 6 = reta s e a reta r são perpendiculares. 04. s retas r e s se interceptam no ponto de 4 abscissa. 08. distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta r é de unidades. 6. área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eio das abscissas é igual a 0 unidades de área. 08) ( UFRGS ) Os pontos (-,) e (,-) são etremidades de uma das diagonais de um quadrado. equação da reta suporte da outra diagonal é: a) - - = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0\ 09) medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos (, ), (6, ), C(, ) e D(4, ) é: 0) ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é =, que os pontos e C são simétricos em relação ao eio das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: 0) ( UEL-PR ) distância entre as retas de equações - + = 0 e - + k = 0 é igual a se, e somente se: a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8 d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8 PRÉ-VESTIULR D UFSC 7

18 Matemática 0. o ponto sobre o eio, interseção de r e t, é (,0). 0. o ponto C é (0, ). 04. a distância entre r e s é. 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente,, e. 6. a equação da reta t é = a equação da reta horizontal que passa por é = a equação da reta vertical que passa por é =. UL GEOMETRI NLÍTIC ESTUDO D CIRCUNFERÊNCI. Definição Denomina-se circunferência ao conjunto de pontos de um plano que eqüidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência. R C. Equação da circunferência Inclusão para a Vida Logo, a equação procurada é: ( ) + ( ) = 9 CSO PRTICULR: Se a circunferência possuir centro na origem então a equação ( ) + ( ) = R fica reduzida a: + = R.. Equação Geral: Equação Geral da circunferência obtém-se desenvolvendo a equação reduzida. Veja: ( a) + ( b) = R a + a + b + b = R + a b + a + b R = C = 0 onde: = a; = b; C = a + b R Eemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio e centro C(, ) Resolução: ( ) + ( ) = R ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = = 0 Logo, a equação geral é = 0. Condição de eistência Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do º grau completa. + + K C = 0 Sendo assim essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se: Os coeficientes de e forem iguais e diferentes de zero. Não eistir termo em, ou seja ter K = C > 0 4. Posições relativas da circunferência 4.. Ponto e Reta Seja C(a, b) o centro da cir cunferência e P(, ) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência. Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas: Dado um ponto P( P, P ) do plano e uma circunferência ( ) + ( ) = R. Em relação a circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições:.. Equação Reduzida: ( a) + ( b) = R Para determinar a posição do ponto P em relação a circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência. ssim, podemos ter: Eemplo: Determinar a equação da circunferência de raio e centro C(, ) ( P ) + ( P ) R < 0 P interior à circunferência Resolução: ( ) + ( ) = R ( P ) + ( P ) R = 0 P pertence à circunferência ( ) + ( ) = ( P ) + ( P ) R > 0 P eterior à circunferência PRÉ-VESTIULR D UFSC 8

19 Inclusão para a vida 4.. Reta e Circunferência Dada uma reta a + b + c = 0 do plano, e uma circunferência ( ) + ( ) = R. Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: Tarefa Mínima 0) equação da circunferíncia de centro C(-,) e tangente aos eios coordenados é: Matemática a) ( + ) + ( ) = 4 b) ( ) + ( ) = 4 c) ( + ) + ( + ) = d) ( ) + ( ) = 4 e) ( + ) ( ) = 4 0) ( CFE-SC ) circunferência de equação q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: Para determinar a posição da reta r em relação a circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. ssim, teremos uma equação do º Grau. Então, se: < 0 reta eterna (não eiste ponto de intersecção) = 0 reta tangente (eiste um ponto de intersecção) > 0 reta secante (eiste dois pontos de intersecção) Caso eista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações. Eercícios de Sala 0) Determinar a equação da circunferência na forma reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: a) C(4, 7) e R = b) C(, -) e R = c) C(, 0) e R = d) C(0, ) e R = e) C(0, 0) e R = 0) soma das coordenadas do centro da circunferência de equação = 0, é: a) 4 b) c) 6 d) 7 e) 8 0) ( UFSC ) Seja C uma circunferência de equação = 0, e seja r a reta de equação + = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDDEIR(S). 0. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da circunferência C são (,) e respectivamente. 0. circunferência C limita um círculo cuja área é Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes. 08. circunferência de centro no ponto (0,0) e raio é tangente eternamente à circunferência C. 6. Com relação à posição do ponto P(,) e C, podese afirmar que o ponto P é eterior à C. a) b) c) d) e) 0) O centro da circunferência = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante b) segundo quadrante c) terceiro quadrante d) quarto quadrante e) eio 04) ( UECE ) Sejam M(7,-) e N(,4). Se C é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C é: a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 0) ( PUC-SP ) Seja a circunferência, de equação = 0. Determinar a área da região limitada por. a) 4 b) c) d) e) n.d.a. Tarefa Complementar 06) ( Mack-SP ) O maior valor inteiro de k, para que a equação k = 0 represente uma circunferência, é: a) 0 b) c) d) e) 6 07) ( UFRGS ) O eio das abscissas determina no círculo = 0 uma corda de comprimento 08) ( FGV-SP ) reta = 0 determina na circunferência = 0 uma corda de comprimento igual a: a) b) c) d) 6 e) 09) Calcule a área do círculo de centro (, ) sabendo que a reta = 0 é tangente a circunferência. a) 6 b) 4 c) d) e) n.d.a. PRÉ-VESTIULR D UFSC 9

20 Matemática 0) ( UFSC ) Considere a circunferência C: 4 6 e a reta r: = 0. ssinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRET(S). 0. r C =. 0. O centro de C é o ponto (, 4). 04. circunferência C intercepta o eio das abscissas em (dois) pontos e o das ordenadas em (um) ponto. 08. distância da reta r ao centro de C é menor do que função dada pela equação da reta r é decrescente. GRITO MT UL ) a) 8 b) 8 c) 8 d) e) 0 f) g) 6 8 h) i) 8 j) k) / ) a) b) ) a) 00 + b) 0 c) 0 d) 00 e) 99 f) 0 4) a) b) c) 0 d) e) 9/4 f) 0, ) a) b) c) d) ( ) 6) e 7) 8) c 9) d 0) e ) e ) ) c 4) d ) e UL ) a) 6 b) c) ) e ) 0 4) = = ) 4 6) 80 m 7) = 00 = 00 8) e 9) 0) 7 UL 6 ) 4, ) a) 4) Inclusão para a Vida ) 00 ) 00 4) 0 b) 7 0,,, 4 4 6) 0 7) 0 8) 9) b 0) d UL 7 ) a) b) c) ) a ) 4) e ) 4 6) 0 7) a 8) 86 9) 0) c ULS 8 e 9 ) e ) ) e 4) e ) 6 6) 08 7) c 8) 0 9) a 0) e ) a ) 8 UL 0 ) a) + 7 = 0 b) = c) e 7 ) ) = - 4) c ) d 6) = 7) 07 8) 9) 90 0) 0 UL ) c ) a ) c 4) ) d 6) 04 7) 09 8) d 9) 0 0) 90 UL ) a ) c ) a 4) a ) a 6) c 7) 08 8) c 9) a 0) 8 UL ) 4 ) 7 ) 4 4) d ) e 6) b 7) b 8) a 9) 7 0) b ULS 4 e ) a) 0 b) 0 ) a ) 4) b ) a 6) a) S = c) S = 7, 6 8 b) S = d), 7, 4 4 7) c 8) c 9) b 0) c ) b ) ) c 4) c ) 04 PRÉ-VESTIULR D UFSC 0