Propriedades. n m a. n m a. 1. Calcule: a) 2 4 d) 1 7 g) 3-2 b) 2 4 e) 0 3 h) c) ( 2) 4 f) 214 0

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1 UNIDDE POTENCIÇÃO E RDICIÇÃO POTENCIÇÃO Nomenclatura Em n a = b, temos: n é o índice a é o radicando b é a raiz Matemática Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: Casos Particulares a 0 = para a 0 a = a a -n = a n Propriedades a m = a. a. a. a. a... a. m fatores Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se: a m.a n = a m + n a a m n a mn (a m ) n = a m.n (a.b) n = a n.b n n n a a n b b Potência de base 0 Sabe-se que: 0 0 = 0 = 0 0 = 00 0 = 000 Então 0 n = n zeros Observe ainda que: 0 - = = 0, = = 0, = = 0,00 0 Então 0 n = 0, n casas decimais Definição RDICIÇÃO b é a raiz n-ésima de a, se b n = a. Representação n a = b b n = a Condição de eistência Em n a, se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. Se n for ímpar então n a sempre eiste. Propriedades n a. n b n a.b n a a n n b b n m n m a a n m a n.p m.p a n m a n.m a n m a a m n Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto, com o radical no denominador. º CSO: O denominador é do tipo n a m Neste caso, multiplica-se numerador e denominador pelo fator: n a n m. º CSO: O denominador é do tipo a b Neste caso, multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator: a b Eercícios de Sala. Calcule: a) 4 d) 7 g) - b) 4 e) 0 h) c) ( ) 4 f) Transforme cada epressão em uma única potência de base. a) = c) ( 4 ) = 5 b). 4 = d) =. Calcule: a) 0, 5 d) 64 b) 0, 0 e) 4 9 Pré-Vestibular da UFSC

2 Matemática c) 5 f) Racionalize: a) b) 5 5 Tarefa Mínima c) d) 5. Determine o valor das epressões: a) 4 g) b) 4 h) c) ( ) 4 i) d) 0 j) 4 ( ) ( ) 4 e) 0 80 k) f) Transforme cada epressão em uma única potência de base. a) b) ( ). 4. Sendo = 00, obtenha: a) sucessor de d) quadrado de b) o dobro de e) metade de c) quádruplo de f) raiz quadrada de 4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes: a) 4 65 c) 5 0 e) 8 6 b) 5 d) f) 0, 5 5. Racionalize: a) 5 b) 6 c) 5 Tarefa Complementar 6. O valor da epressão 00.(0,) 0,0 d) 5 é equivalente a: a) 0 b) 0 c) 0 4 d) 0 5 e) 0 7. ssinale a soma dos números associados às proposições corretas: 0. O número 57 é equivalente a 5, O valor da epressão é Se n é par, então a epressão ( ) n + ( ) n + é zero. 08. metade de é 7. Inclusão para a Vida 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 8 a) b) c) d) e) (FGV-SP) Qual o valor da epressão 4 a. b. a. b...., a b a b a. b. quando a = 0 e b = 0 a. b a) 0 6 b) 0 c) 0 d) 0 9 e) (FGV-SP) Simplificando a n4 n n epressão temos: n n a ) 87 b) 8 c) 4 d) 4 4. (Cesgranrio) Se a = 99 6, b = 99 7 e c 4 = 99 8, então (abc) vale: a) 99 d) b) 99 / e) c) Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 0. epressão é 5 equivalente a 5 0. O valor de 4 é 8 6 é O valor de 08. Racionalizando 6. epressão. Calculando 4 obtém-se 5 é igual a 5, acha-se: : a) c) 6 e) n.d.a. b) 4 d) 8 4. (UEL-PR) epressão a) d) b) e) + c) + é equivalente 5. (UEL-PR) Seja o número real = b c, tem-se que a + b + c é igual a: a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8 5. Escrevendo na forma = a Pré-Vestibular da UFSC

3 Matemática UNIDDE TRIGONOMETRI NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo C Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: C e são os catetos C é a hipotenusa e C são os ângulos agudos Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos são complementares, ou seja, C = 90º RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS: SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TNGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que: Eercícios de Sala. (FUVEST) Obter o valor de na figura: sen = a b cos = a c tg = c b Observação: Se + = 90 tem-se que sen = cos Tabela de arcos notáveis. No triângulo C, o valor do ângulo, em graus, é: Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e obtemos dois triângulos retângulos isósceles. Em resumo, temos: a) 60 b) 45 c) 0 d) 90 e) n.d.a.. (UFSC) Dois pescadores P e P estão na beira de m rio de margens paralelas e conseguem ver um bote na outra margem. Sabendo que P P = 6 m, os ângulos P P = e P P = e que tg = e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é: Pré-Vestibular da UFSC

4 Matemática Tarefa Mínima. Nas figuras abaio, determinar o valor de : a) Tarefa Complementar Inclusão para a Vida 5. Com base na figura abaio é correto afirmar: X 0 b) 0. h = m c) 45 X Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. tualmente a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 5 m de comprimento. que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,8 tg74º =,4) a) 55 metros d) 4 metros c) 45 metros b) 5 metros e) 5 metros. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 m e o vão entre elas é de m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 0. h = m 04. a = ( + ) m 08. O triângulo CD é isósceles 6. O lado C mede 6m 6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 0º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 0º = 0,4; cos 0 = 0,9; tg 0º = 0,6) 7. Determine o valor de e na figura abaio: 8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaio. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar,65m a: 4. Na figura abaio, determinar o valor de e. a) b cos c) a sen e) b sen b) a cos d) b tg 9. (UEPG-PR) Na figura abaio, em que o ponto localiza-se a leste de, a distância = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de, e Pré-Vestibular da UFSC 4

5 Matemática leva meia hora para atingir o ponto D. partir destes dados, assinale o que for correto. Eercícios de Sala C = 0km D =,5 km C = 5 km 08. O ângulo ˆ D mede velocidade média do barco é de 5km/h 0. (UFSC) Na figura, abaio, determine o valor de. Determine o valor de na figura abaio:. (FUVEST) Em um triângulo C, = 4 e o ângulo C oposto ao lado mede 45. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo. Determine o valor de na figura abaio: 0 60 D D = DC= - 8 D = C UNIDDE TEOREM DOS CO-SENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo co-seno do ângulo formado por eles. 4. Determine o valor da diagonal D do paralelogramo abaio, é: Tarefa Mínima. Determine o valor de na figura abaio: TEOREM DOS SENOS Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.. (UFSC) Na figura, a medida do lado C é 75 cm. medida, em cm, do lado será: Pré-Vestibular da UFSC 5

6 Matemática Inclusão para a Vida 45 0 C. O triângulo C está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que C = cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 75 a) c) b) d) e) 4 9. Num triângulo C, = 5cm, C = 7cm e C = cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado C. 0. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, C = CD = cm, = cm, Dˆ C = 60 e ˆ C = 90. D C 60 O C 0. O triângulo C é equilátero 0. o raio da circunferência vale cm 04. = cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm 4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem cm e 5cm e formam um ângulo de 45. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: a) 4 c) e) 4 b) d) O perímetro do quadrilátero, em cm, é: a) c) e) 5 b) d) 4 UNIDDE 4 e 5 INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCI TRIGONOMÉTRIC RCO DE UM CIRCUNFERÊNCI 5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6 c) ¾ e) /8 b) 4/5 d) / Tarefa Complementar 6. (CESGRNRIO) No triângulo C, os lados C e C medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo vale 0. O seno do ângulo vale: a) ½ c) ¾ e) 5/6 b) / d) 4/5 rco de uma circunferência é cada uma das partes que ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos. 7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um triângulo C; seu lado C é igual ao raio da circunferência. O ângulo  C mede: a) 5 c) 6 e) 60 b) 0 d) (IT-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos, e C. O comandante, quando o navio está em, observa o farol L e mede o ângulo L  C = 0. pós navegar 4 milhas até, verifica o ângulo L ˆ C = 75. Quantas milhas separam o farol do ponto? cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência). Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. Graus: Um arco de um grau (º) é aquele cujo comprimento é igual a do comprimento da 60 circunferência. Pré-Vestibular da UFSC 6

7 Logo, a circunferência tem 60º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: Matemática ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o ângulo central. º = 60' '= 60'' Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Uma circunferência de raio unitário possui radianos. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. Portanto: 60º rad 80º rad Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela etremidade M do arco sobre o eio. Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eio. CICLO TRIGONOMÉTRICO Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico. Os eios e dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes. ORIENTÇÃO nti Horário Positivo Horário Negativo. Sinais RCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 60º. Eemplo: ) 0º, 90º, 750º, 0... Veja que esses arcos possuem a mesma etremidade e diferem apenas no número de voltas. TEL epressão = 0º + 60º. k, com k Z, é denominada epressão geral do arco de 0º, onde 0º é a primeira determinação positiva. epressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k. 60º, com k Z. Se um arco mede radianos, a epressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k., com k Z. SENO e CO-SENO DE UM RCO DEFINIÇÃO Considere o arco que possui etremidades na origem do Pré-Vestibular da UFSC 7

8 Matemática Inclusão para a Vida. Epresse em radianos os seguintes arcos: a) 00º b) 60º c) º. Um arco de 00 equivale em radianos a: a) b) 5 c) 4 d) 0 9 e) 6. Calcule a ª determinação positiva e escreva a epressão geral dos arcos côngruos a: a) 90º b) 6 rad Note que: sen e cos OSERVÇÃO: Com o auílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do º, º e 4º quadrantes. Equações trigonométricas num intervalo dado: Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São eemplos de equações trigonométricas: ) sen = ) cos + cos - = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas as equações trigonométricas, pois, eiste uma infinidade delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: 4. Determine o valor de: a) sen 50 b) cos 50 c) sen 0 d) cos 0 e) sen 0 f) cos 0 5. Para que valores de m a equação cos = m 5 admite solução. a) - m b) - m 5 c) m d) < m < e) < m < Tarefa Mínima sen = sen a cos = cos a a k (congruos) a k (suplementares) a k (congruos) a k (suplementares). Obter a medida em graus dos seguintes arcos: a) b) 6. (UFMG) Transformando 7º0' em radianos, teremos: a) /4 c) /0 e) 5/ b) /5 d)/5. Determine o valor da epressão sen90.cos0 cos80.sen 70 sen 0 cos Se sen > 0 e cos < 0, então é um arco do: a) º quadrante b) º quadrante c) º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a. Eercícios de Sala 5. equação sen = m 5 admite solução para: a) m b) m 4 c) - m d) < m < e) 0 m Pré-Vestibular da UFSC 8

9 Matemática 6. Resolver, no intervalo 0 <, as seguintes equações: a) sen = b) cos = 0 c) sen = d) cos = 7. Sabendo que 0 <, o conjunto solução da equação: sen sen 4 = 0 é: a) {90º} b) {-90º} c) {70º} d) {80º} e) {0º} Tarefa Complementar 8. (Mack-SP) menor determinação positiva de 4900º é: a) 00 c) 40º e) n.d.a. b) 40º d) 80º 9. (UFP) Qual a ª determinação positiva de um arco de 000º? a) 70º c) 90º e) 0º b) 80º d) 00º UNIDDE 6 RELÇÕES FUNDMENTL D TRIGONOMETRI sen + cos = (Relação Fundamental) relação acima também vale para arcos com etremidades fora do primeiro quadrante. Eemplos: sen 0 + cos 0 = sen 0 + cos 0 = Convém lembrar que se + = 90, sen = cos. Logo, vale também relações do tipo: sen 50 + sen 40 = sen 0 + sen 80 = DEFINIÇÃO TNGENTE DE UM RCO ssocia-se a circunferência trigonométrica mais um eio, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (,0). Define-se como tangente do arco PM ao segmento PQ determinado sobre o eio das tangentes. 0. (SNTO MRO-SP) Às 9 horas e 0 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: a) 5º c) 45º e) n.d.a. b) 40º d) 50º. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às h45min, vale: SINIS a) 89º0' c) 70º e) 77º50' b) 77º0' d) 54º45'. (UFSC) O maior valor numérico que pode assumir, é: quando 7 sen. (UFP) O menor valor positivo que satisfaz a equação sen = é: TEL a) /6 c) / e) n.d.a. b) /4 d) / 4. (UM-SP) O menor valor positivo de para o qual 9 - cos = é: a) b) c) d) e) Determinar o número de soluções da equação sen cos = sen no intervalo 0 <. Pré-Vestibular da UFSC 9

10 Matemática Inclusão para a Vida. (UFSC) O valor, em graus, do arco 0 equação: cos + sen = 0 é: na. O valor de tg 5 + tg 5 é 4. (UFSC) Considere o ângulo = 5. Determine tg 5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 < a) tg = b) tg + tg = 0 Tarefa Complementar EQUÇÃO TRIGONOMÉTRIC tg = tg a a k 6. Determine m de modo que se obtenham simultaneamente, sen = m e cos = m 7. No intervalo 0 <, determine o número de soluções para a equação cos = 5 5sen. 8. (FURG-RS) O valor numérico da função f() = sen tg + cos para = é: 4 Eercícios de Sala. Sabendo que sen = e que cos :, calcule. (FCChagas-) s sentenças sen = a e cos = a são verdadeiras para todo real, se e somente se: a) a = 5 ou a = d) a = b) a = -5 ou a = - e) n.d.a. c) a = 5 ou a =. Resolver no intervalo 0 <, a equação cos = sen 4. Determina o valor de: a) tg 0 b) tg 0 c) tg 0 5. Resolva no intervalo 0 < as seguintes equações: a) tg = b) tg = 0 9. (PUC-RS) O valor numérico de sen tg 4 para = é: cos a) 5/ b) 5/ c) / d) /5 e) 0 0. No intervalo 0 <, a equação tg + tg = 0 possui quantas soluções? a) c) e) 5 b) d) 4 UNIDDE 7 RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS sen + cos = (Relação Fundamental) s demais Relações Trigonométricas com as condições de eistência obedecidas são: tg = sen cos sec = cos cotg = tg cossec = sen Tarefa Mínima. No intervalo cos. se sen =, calcule partir da relação sen + cos = podemos estabelecer duas relações derivadas. Dividindo a Relação Fundamental por sen temos: + cotg = cossec Pré-Vestibular da UFSC 0

11 E dividindo a Relação Fundamental por cos temos: tg + = sec Sinais das Funções Trigonométricas Q Q Q 4 Q seno e cossecante + + cosseno e secante + + tangente e cotangente + + Eercícios de Sala. Determine o valor de: a) cossec 0 d) cossec 0 b) sec 0 e) sec 5 c) cotg 0 f) cotg 00. Sendo sen = 4 e 5 a) cos c) cotg e) cosec b) tg d) sec Tarefa Mínima. Determine o valor de:, calcular: a) sec 60 o b) cossec 50 o c) cotg 5 o. (Faap-SP)Se sen = /5, com 4º quadrante, então tg é: a) /4 d) /4 b) / e) 4/5 c) 4/5. (UFSC) Dados sen = 5 e valor de: tg +, determine o 4. (FGV-SP) Simplificando-se a epressão sena tga coseca, obtém-se: cosa cotga seca a) 0 d) b) sec a e) tg a c) sen a Tarefa Complementar 5. (UFSC)Sabendo que cossec = 5/4 e é do primeiro quadrante, então o valor da epressão 9.(sec + tg ) é: 6. (UFSC) Calcule o valor numérico da epressão: sen0 cos0 cosec50 cotg0 sec00 tg60 cotg5 7. (UFCE) Para todo º quadrante, a epressão (sec - tg )(sec + tg ) sen é igual a: a) cos d) sec + cos b) + sen e) n.d.a. c) cos - sen Matemática 8. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 0. medida em radianos de um arco de 5º é 0. menor determinação positiva de um arco de 000 é Os valores de m, de modo que a epressão sen = m 5 eista, estão no intervalo [,]. 08. sen > cos para Se tg = 4 e π rad. 6, então o valor de sen cos é igual a. 5. Se sen 0, então cosec solução da equação sen + sen = para 5 0 é = ou = (UFSC) Dado sen = 5 e 0 numérico da epressão:, calcule o valor sec cotg cosec tg 6sen cosec 0. (FTEC) Se e são números reais tais que 4 e e tg =, então: sec tg.sec a) = e d) = sec b) = e ( + tg ) e) n.d.a. c) = e cos UNIDDES 8 e 9 e GEOMETRI NLÍTIC ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em funções, é composto por duas retas e perpendiculares entre si, no ponto O (origem). reta é denominada eio das abscissas, e a reta é denominada eio das ordenadas. Pré-Vestibular da UFSC

12 Matemática Os dois eios dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes numerados no sentido antihorário. d Inclusão para a Vida PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere um segmento de etremidades (, ) e (, ). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M( M, M ) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de e. Observe a figura: cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (, ). Dizemos que ( p, p ) são as coordenadas do ponto P, onde o número real p é chamado abscissa do ponto e o número real p é chamado ordenada do ponto. OSERVÇÕES Se um ponto pertence ao eio das abscissas, então sua ordenada é nula. P ( p, 0) Se um ponto pertence ao eio das ordenadas, então sua abscissa é nula. P (0, p ) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais p = p Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. p = - p DISTÂNCI ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos (, ) e (, ) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaio: Pelo teorema de Tales temos que M = M, logo, no eio tem-se: M = M M no eio tem-se: M = M M Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as seguintes coordenadas: M ÁRE DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO S COORDENDS DO VÉRTICE Considere o triângulo abaio: C Quando conhecemos as coordenadas dos vértices, e C podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: C C = OSERVÇÕES:. C C O triângulo C é retângulo em C, então: C C Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: O determinante C C pois a área é indicada por um número positivo. foi tomado em módulo, Pré-Vestibular da UFSC

13 Se o determinante C C que os pontos estão alinhados. Eercícios de Sala for nulo, dizemos. Dados os pontos (, 6) e (8, 8), determine: a) distância entre e b) Ponto Médio do segmento. Sabe-se que o ponto P(a,) é equidistante dos pontos (,) e (,4). Calcule a abscissa a do ponto P.. Considere o triângulo de vértices (6,8); (,); C(4,5). O valor da medida da mediana M do triângulo C é: a) c) 5 c) 7 b) 4 d) 6 4. Os pontos (, 4), (-6, ) e C(0, -) são os vértices de um triângulo C. Calcule a área desse triângulo. Tarefa Mínima. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: a) o ponto (0,) pertence ao eio. b) o ponto (4,0) pertence ao eio. c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) o ponto ( +, + ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.. (Cesgranrio) distância entre os pontos M(4,-5) e N(-,7) do plano 0 vale:. (UFRGS) distância entre os pontos (-,) e (6,7) é 0. O valor de é: a) - d) - ou 0 b) 0 e) ou c) ou 4. (Cescea-SP) O ponto do eio das abscissas, equidistantes dos pontos P(-,) e Q(,6), é: a) (,0) d) D(0,) b) (5,0) e) E(4,0) c) C(,0) 5. Calcular a área do triângulo C. Dados: (8, ); (4, 7) e C(, ) Tarefa Complementar 6. (UFSC) Dados os pontos (-,-); (5,-7) e C(,), determine sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos e. Matemática 7. (FCC-) O triângulo cujos vértices são os pontos (,), (-,-) e (, -) é: a) equilátero d) retângulo b) escaleno e) n.d.a. c) isósceles 8. (PUC-SP) Dados (4,5), (,) e C(,4), o valor em módulo de para que o triângulo C seja retângulo em é: 9. (UFJF-MG) Se (,), (,) e (6,) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) (-,), (5,0), (7,4) b) (,), (,0), (4,4) c) (,), (,), (5,5) d) (,), (,), (,5) 0. (UCP-RJ) distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de etremos (-,-7) e (-4,) é: a) b) c) - d) e). (Mack-SP) área de um triângulo é 5/ e os seus vértices são (0,), (,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: a) b),5 c) d) 4 e) 5. área do polígono, cujos vértices consecutivos são: (0,4), (9,7), C(6,0), D(-,-4) e E(,-5) em unidades de área, é: UNIDDE 0 ESTUDO D RET Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação podemos determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: Equação Geral Equação Reduzida EQUÇÃO GERL D RET Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de pontos. Sejam (, ), (, ) e um ponto genérico P(, )., e P estão alinhados se e só se: Desenvolvendo 0 temos: = 0 ( ) + ( ) + = 0 a b c Pré-Vestibular da UFSC

14 Matemática Logo: a + b + c = 0 equação geral da reta.. Equação Reduzida da Reta Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na equação geral. Veja: a + b + c = 0 b = a c Inclusão para a Vida Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q( o, o ) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: o = m( o ) a c b b substituindo a b por m e c b por n temos: = m + n Equação Reduzida da Reta No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta.. Coeficiente ngular e Linear da Reta Vamos considerar a equação = m + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta. Vejamos, agora, o significado geométrico deles. COEFICIENTE LINER O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eio. COEFICIENTE NGULR Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo, onde indica a inclinação da reta em relação ao eio. Eercícios de Sala. Em relação à reta r que passa pelos pontos (, 5) e (4, 9), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta. Determine o coeficiente angular das retas abaio: a) r: + + = 0 b) m = tg ou m c) CSOS PRTICULRES Quando a reta é paralela ao eio o ângulo é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.. Determine a equação da reta representada pela figura abaio: Quando a reta é paralela ao eio o ângulo é igual a 90º, logo, o coeficiente angular não eiste, pois tg 90º não é definido. Tarefa Mínima 4. Equação do Feie de Retas. Em relação à reta r que passa pelos pontos (, ) e (, - ), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta Pré-Vestibular da UFSC 4

15 . Considere a reta r indicada pela figura abaio Matemática 0. equação da reta s é = o ponto de intersecção das retas r e s possui coordenadas (, ) 08. reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,) 8. (UFSC) s retas r, dada pela equação = 0, e s, dada pela equação = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é: ssinale a soma dos números associados às proposições corretas: 0. equação da reta r é = 0. o coeficiente linear da reta r é 04. o menor ângulo que a reta r determina no eio é 45 o 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, ) 6. a reta r intercepta o eio no ponto de coordenadas (,0). Determine a equação da reta r indicada abaio 9. Calcular a área da região limitada pelas retas = 5, = 0, = 0 e = (UFPR) No plano cartesiano os pontos (, -), (,), C(,5) e D(-, 5) são os vértices de um quadrado. É correto afirmar que: 0. a origen do sistema de coordenadas está no interior do quadrado. 0. a reta r que passa por e tem coeficiente angular / 04. a reta cuja equação é + 4 = 0 contém a diagonal D do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eio no ponto (0, -4) 6. o centro do quadrado é o ponto (,) UNIDDE 4. (FGV-SP) Os pontos (-, m) e (n, ) pertencem à reta - = 4. distância entre e é: a) d) b),5 e) 9 c) 5. (Fac.Moema-SP) O coeficiente linear e angular da reta + = 0 são, respectivamente: a) e d) / e / b) / e e) n.d.a. c) / e / Tarefa Complementar 6. equação da reta que passa pelo ponto (, 4) e tem coeficiente angular. 7. Considere as retas r e s indicadas abaio: ESTUDO D RET POSIÇÃO RELTIV ENTRE RETS No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: Concorrentes Paralelas Coincidentes Considere as retas r e s de equações: r = m + n e s = m + n ssim, podemos ter as seguintes situações: PRLELS DISTINTS: m = m PRLELS COINCIDENTES: m = m e n = n CONCORRENTES m m CONCORRENTES E PERPENDICULRES: m. m = DISTÂNCI DE PONTO À RET Considere um ponto P( 0, 0 ) e uma reta r: a + b + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela epressão: Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 0. equação da reta r é + 4 = 0 Pré-Vestibular da UFSC 5

16 Matemática Inclusão para a Vida c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares.. equação da reta que passa pelo ponto P(-, 5) e é paralela à reta de equação 5 + = 0 é: a) = 0 d) 5 0 = 0 b) = 0 e) = 0 c) = 0 Eemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, ) e a reta r de equação = Resolução: d d d Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades. Eercícios de Sala. Considere a reta r indicada pela figura abaio:. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) + + = 0 e (s) a + + = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: a) b) c) 6 d) 6 e) 4. Considere o triângulo de vértices (0,0), (,4) e C(4,). altura em relação à base C mede: 5. (UEL-PR) distância entre as retas de equações - + = 0 e - + k = 0 é igual a se, e somente se: a) k = 0 c) k = 8 e) k = -4 ou k = 8 b) k = 4 d) k = 0 ou k = 8 Tarefa Complementar 6. (UFSC) Dados os pontos (, ), (, ) e C(, 7), determine a medida da altura do triângulo C relativa ao lado C. 7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaio, assinale a(s) proposição(ões) verdadeira(s). Determinar: a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(, 5) e é paralela à reta r. b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, ) e é perpendicular à reta r.. Determine a distância do ponto (, ) à reta r de equação = (UFSC) Considere as retas r: k = 0 e s: 4 + k -5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 0. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (, -) é O valor de k para que as retas r e s se interceptam no ponto 0 7 é 5/ s retas r e s são paralelas para k = equação geral da reta que é perpendicular à reta s no ponto (,) é = Sendo k = 0, então a distância do ponto (-,) à reta r é 0. Tarefa Mínima. (UFRGS) s retas com equações respectivas = 0 e = 0: a) são paralelas b) são coincidentes 0. equação da reta s é + 6 = reta s e a reta r são perpendiculares. 04. s retas r e s se interceptam no ponto de 4 abscissa distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta r é de unidades. 6. área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eio das abscissas é igual a unidades de área (UFRGS) Os pontos (-,) e (5,-) são etremidades de uma das diagonais de um quadrado. equação da reta suporte da outra diagonal é: a) - - = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0\ Pré-Vestibular da UFSC 6

17 9. medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos (, ), (6, ), C(, ) e D(4, ) é: 0. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é =, que os pontos e C são simétricos em relação ao eio das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: Matemática Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(, ) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência. Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas: Equação Reduzida: ( a) + ( b) = R Eemplo: Determine equação da circunferência de raio e centro C(, 5): Resolução: ( ) + ( ) = R ( ) + ( 5) = Logo, a equação procurada é: ( ) + ( 5) = 9 0. o ponto sobre o eio, interseção de r e t, é (,0). 0. o ponto C é (0, ). 04. a distância entre r e s é. 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente,, e. 6. a equação da reta t é = a equação da reta horizontal que passa por é = a equação da reta vertical que passa por é =. UNIDDE GEOMETRI NLÍTIC ESTUDO D CIRCUNFERÊNCI DEFINIÇÃO Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de um plano que se equidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência. R C EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI CSO PRTICULR: Se a circunferência possuir centro na origem então a equação ( ) + ( ) = R fica reduzida a: + = R Equação Geral: Equação Geral da circunferência é obtida desenvolvendo a equação reduzida. Veja: ( a) + ( b) = R a + a + b + b = R + a b + a + b R = C = 0 onde: = a; = b; C = a + b R Eemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio e centro C(, 5) Resolução: ( ) + ( ) = R ( ) + ( 5) = ( ) + ( 5) = = 0 Logo, a equação geral é = 0 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCI Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do º grau completa. + + K C = 0 Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se: Os coeficientes de e forem iguais e diferentes de zero. Não eistir termo em, ou seja ter K = C > 0 POSIÇÕES RELTIVS D CIRCUNFERÊNCI Ponto e Reta Dado um ponto P( P, P ) do plano e uma circunferência ( ) + ( ) = R. Em relação a circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições: Pré-Vestibular da UFSC 7

18 Matemática Para determinar a posição do ponto P em relação a circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência. ssim, podemos ter: ( P ) + ( P ) R < 0 P interior à circunferência ( P ) + ( P ) R = 0 P pertence à circunferência ( P ) + ( P ) R > 0 P eterior à circunferência Reta e Circunferência Dada uma reta a + b + c = 0 do plano, e uma circunferência ( ) + ( ) = R. Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: Para determinar a posição da reta r em relação à circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. ssim, teremos uma equação do º Grau. Então, se: < 0 reta eterna (não eiste ponto de intersecção) = 0 reta tangente (eiste um ponto de intersecção) > 0 reta secante (eiste dois pontos de intersecção) Caso eista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações. Eercícios de Sala. Determinar a equação da circunferência na forma reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: a) C(4, 7) e R = d) C(0, ) e R = 5 b) C(, -) e R = 5 e) C(0, 0) e R = c) C(, 0) e R = 5. soma das coordenadas do centro da circunferência de equação = 0, é: a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação = 0, e seja r a reta de equação + = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). Inclusão para a Vida 0. circunferência C limita um círculo cuja área é Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes. 08. circunferência de centro no ponto (0,0) e raio é tangente eternamente à circunferência C. 6. Com relação à posição do ponto P(,) e C, podese afirmar que o ponto P é eterior à C. Tarefa Mínima. equação da circunferência de centro C(-,) e tangente aos eios coordenados é: a) ( + ) + ( ) = 4 b) ( ) + ( ) = 4 c) ( + ) + ( + ) = d) ( ) + ( ) = 4 e) ( + ) ( ) = 4. (CFE-SC) circunferência de equação q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: a) d) b) e) c). O centro da circunferência = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante d) quarto quadrante b) segundo quadrante e) eio c) terceiro quadrante 4. (UECE) Sejam M(7,-) e N(5,4). Se C é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C é: a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 5. (PUC-SP) Seja a circunferência, de equação = 0. Determinar a área da região limitada por. a) 4 c) 5 e) n.d.a. b) d) Tarefa Complementar 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a equação k = 0 represente uma circunferência, é: a) 0 c) e) 6 b) d) 5 7. (UFRGS) O eio das abscissas determina no círculo = 0 uma corda de comprimento 8. (FGV-SP) reta = 0 determina na circunferência = 0 uma corda de comprimento igual a: 0. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da a) c) e) circunferência C são (,) e respectivamente. b) d) 6 Pré-Vestibular da UFSC 8

19 9. Calcule a área do círculo de centro (, 5) sabendo que a reta = 0 é tangente a circunferência. a) 6 c) e) n.d.a. b) 4 d) 0. (UFSC) Considere a circunferência C: 4 e a reta r: = 0. 6 Matemática ssinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 0. r C =. 0. O centro de C é o ponto (, 4). 04. circunferência C intercepta o eio das abscissas em (dois) pontos e o das ordenadas em (um) ponto. 08. distância da reta r ao centro de C é menor do que função dada pela equação da reta r é Decrescendo. Pré-Vestibular da UFSC 9