Geometria Plana II - Respostas

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1 Geometri Pln II - Resosts Ensino de qulidde, qunto ntes, melor 01 Sej M o onto médio de DE, então BM é medin reltiv à iotenus do triângulo BDE Logo B DM ME BM Como BM é isóseles, temos que MB ˆ lém disso, elo rlelismo, temos que DC ˆ EB ˆ, ois são lternos internos; e omo BME é isóseles, MEB ˆ MBˆ E B 18º E r D M s C Note que é eterno o triângulo BME, então 18º 18º º z 0 1 w Pelo Teorem de Tles, temos s seguintes roorções: 0 1 m m z m z w m w 0 0 B 0- P C S 0 Pelo Teorem d issetriz intern, temos e elo teorem d issetriz etern, temos rimeir equção temos que 8m Sustituindo n segund, temos 0m 0 D

2 Ensino de qulidde, qunto ntes, melor 0 Ddos os triângulos semelntes BC e B C e sendo k rzão de semelnç, temos: Então: e k rzão entre os erímetros será: k k k k k ) ( 0 Pelo so de semelnç (ângulo ângulo), temos que BC CBD e, ortnto, seu ldos são roorionis Então m Sendo medid d se (r simlifir os álulos) e onsiderndo s medids indids n figur, temos: ) (18 ) ( 18 Resolvendo equção, temos m Logo, se mede 10 m 07 Se-se que Como 8 11 B C B C 10 C B D 1 m n 1

3 Ensino de qulidde, qunto ntes, melor Como 1 m m Como 1 1 n n 08 Sej medid d issetriz S reltiv à iotenus Por S tremos um segmento rlelo um dos tetos, rlelo, or eemlo Note que os triângulos BC e BPS são semelntes Então: 09 Esse eeríio ode ser resolvido de dus mneirs, or isso vmos será-lo em dois sos: CSO 1: onsiderndo E entre s montns P P E CSO : onsiderndo montn menor entre E e mior P P E Note que nos dois sos, e reresentm s mesms medids que odem ser lulds d seguinte form: m m é ossível ver que diferenç de ltur entre s dus montns é de 1100 m, então lulmos e d seguinte form: 1100 ( ) m Portnto, no CSO 1, temos que distâni entre P 1 e P é 1100 ( ) m de roimdmente 78 m, já no CSO, ess distâni é de roimdmente 11 m

4 Ensino de qulidde, qunto ntes, melor 10 Considere o triângulo BC seguir, onde H é su medin e tmém su ltur: B H C Como H é medin, temos que BH HC Como H é ltur, temos que HB ˆ Hˆ C 90º Tome gor os triângulos retângulos BH e CH Podemos dizer que são ongruentes elo so de ongruêni LL (ldo ângulo ldo) ( L) BH HC ( ) HB ˆ HC ˆ 90º ( L) H é ldo omum Então B C BC é isóseles 11 Como EP // BC, mcpe ˆ, nlogmente, mbpd ˆ ssim, os triângulos DPB e EPC são isóseles, e, ortnto, DE PD PE BD EC 7 1 Sej BC o triângulo retângulo om C = e B = Sej D issetriz reltiv o ângulo  ED D Considere E sore C, tl que CD// B No triângulo retângulo isóseles ED, senº ED D ssim, omo os triângulos EDC e BC são semelntes, EC C DE B D D D 1 Sejm D e BE s medins erendiulres e G o rientro do triângulo lindo Pitágors os triângulos GB, BGD e GE, otemos: GD BG G BG G GE GD GE GD GD GE GE GE GE GE GD GE GE GE GE GE 1 GD 1

5 Ensino de qulidde, qunto ntes, melor 1 Trçm-se três rets ssndo or P, rlels os ldos do triângulo BC Os três triângulos menores PFG, PED e PHI, tmém são equiláteros (ver figur) Deste modo, X, Y e Z, são és ds lturs dos triângulos PDE, PGF e PHI Oserve que: ED PX PY PZ FG HI ED FG HI ED FG HI ED ED ED FG FG FG HI HI HI PE PD DE PE PG FG PH PI HI PE FG PH PG HI PD PI ED PF CF FG G H HI IB BD DE EC C B BC B B HI X BY CZ H HX BD DY CF FZ H H HI BI B DE FG PI PE HI H BI HI H BI Logo PX PY PZ X BY CZ

6 1 )Como D é issetriz, BÂD mcâd EB mbâd m, sendo D Ensino de qulidde, qunto ntes, melor BE //, CÊB mcâd m e m ˆ, logo o triângulo BE é isóseles e E = B Sendo ssim, elo teorem de Tlse, E C BD CD B BD C CD ) Oserve que B D BC C ssim, mbc mcd ˆ Intern, BC BP C CD 7 8, ou sej, os triângulos BC e DC são semelntes, elo so LLL ˆ, ou sej, C é issetriz do ângulo BC ˆ D ssim, elo Teorem d Bissetriz DC DP BC DC BP DP BP DP 9