Resolução: Questão 03

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1 005 IME MTEMÁTIC mtemátic é o lfeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei uestão 01 Dd função f ( x) = (156 x x ), demonstre que: f(x + y) + f(x - y) = f(x). f(y) Escrevendo f(x+y) e f(x-y) temos: f ( x + y) = f ( x y) = (156 (156 x+ y x y x y x+ y ) (I) ) (II) Sendo que de (I) e (II) encontrmos: f(x + y)+ f(x y)= 156 x+ y x y x y x+ y =. (156 x x ). (156 y y ) = f ( x ) f ( y ) c.q.d. uestão 0 O sistem de segurnç de um cs utiliz um tecldo numérico, conforme ilustrdo n figur. Um ldrão oserv de longe e percee que: senh utilizd possui 4 dígitos; o primeiro e o último dígitos encontrm-se num mesm linh; o segundo e o terceiro dígitos encontrm-se n linh imeditmente superior. Clcule o número de senhs que deverão ser experimentds pelo ldrão pr que com certez ele consig entrr n cs Tecldo numérico

2 nlisemos cd cso usndo o princípio fundmentl d contgem: Cso 1: O primeiro e último dígitos iguis e iguis zero = 9 csos 0 7, 8 ou 9 7, 8 ou 9 0 Cso : O primeiro e último dígitos escolhidos n 3ª linh: = 81 csos 7, 8 ou 9 4, 5 ou 5 4, 5 ou 6 7, 8 ou 9 Cso 3: O primeiro e último dígitos escolhidos n ª linh: 81 csos, nlogmente o cso. Totl de csos = = 171. Sejm,, c e d números reis positivos e diferentes de 1. Sendo que log d, log d e log c d são termos consecutivos de um progressão ritmétic, demonstre que: uestão 03 Com os termos d (log d, log d e log c d) podemos escrever: c = ( c) log d log d = log d + log c d, e fzendo um mudnç de se: ssim, relção c = d log logd logd = + log 1 log c 1 logc+ 1 logc+ log = 1 + = =, que result : log log c log c log c log c =, e dí: log log c log c = log. (log c), ou ind: log c log = log ( c ), que lev c log = ( c ).. No entnto, foi pedido que c = log ( c ) d, pr isso devemos ter =d: log d (c) não é verddeir pr,, c e d reis positivos e diferentes de 1.

3 uestão 04 Determine o vlor ds rízes comuns ds equções x 4 x 3 11x + 18x + 18 = 0 e x 4 1x 3 44x 3x 5 = 0. Testndo rízes inteirs n primeir equção: (x) = x 4 x 3 11x + 18x + 18 = 0 (3) 4 (3) 3 11(3) + 18(3) + 18 = 0 3 é riz. Ftorndo pelo dispositivo de riot-riffini: (x) = (x-3).(x 3 + x 8x 6) (-3) 3 + (-3) 8(-3) 6 = 0-3 é riz de x 3 + x 8x 6. E, ftorndo novmente: (x) = (x-3).(x+3).(x x ) Clculndo s rízes de x x = 0, vem: x = 1 ± 3 or fim, sustituindo s rízes encontrds cim em x 4 1x 3 44x 3x 5 = 0 (3) 4 1.(3) 3 44.(3) 3.(3) 5 0 (-3) 4 1.( 3) 3 44.( 3) 3.( 3) 5 0 (1 + 3 ) 4 1.(1+ 3 ) 3 44.(1+ 3 ) 3.(1+ 3 ) 5 0 (1 3 ) 4 1.(1 3 ) 3 44.(1 3 ) 3.(1 3 ) 5 0 Nenhum ds rízes d 1ª equção é tmém riz d ª, logo não existe riz comum. Resolv equção sen 11x + cos 3x + 3 sen 3x = 0. uestão 05. sen 11x + cos 3 x + 3 sen 3 x = 0 sen 11 x + 1 cos 3 x + 3 sen 3 x = 0 sen 11 x + sen 6 π cos 3 x + sen 3 x cos 6 π = 0 π sen 11x + sen 3x + = 0, e ftorndo: 6 3

4 π. sen 7x + 1. cos x π 4 = 0. De onde vem: 1 π π π π kπ 7x + =k π ou 4x = + kπ S= x R/ x = + ou π kπ x = +, k Z 48 4 uestão 06 Considere um triângulo C de áre S. Mrc-se o ponto sore o ldo C tl que / C = q, e o ponto sore o ldo C de mneir que / C = r. s cevins e encontrm-se em T, conforme ilustrdo n figur. Determine áre do triângulo T em função de S, q e r. T C x.q K T K/q W W/r r.y y x C Sej K áre pedid e W áre do Δ T : SC 1 = S 1+ r e SC 1 = S 1+ q Logo: K W S K + + = q r 1+ r K W S + W + = q r 1+ q e 1+ q 1 S. K +. W = q r 1+ r 1 1+ r S K +. W = q r 1+ q K = q. S ( 1 + q).( q+ r+ qr. ) 4

5 uestão 07 Considere um elipse de focos F e F, e M um ponto qulquer dess curv. Trç-se por M dus secntes MF e interceptm elipse em e, respectivmente. Demonstre que som ( MF/ F) + ( MF'/ F' ') é constnte. Sugestão: clcule inicilmente som (1/ MF) + (1/ F). MF ' que Oserve figur d elipse, M F F c c pós rotção introduz-se um mudnç dos eixos coordendos, ou sej: Elipse: x + y = 1 x + y = Fzendo x = xey= ytemos x + y = (circunferênci de rio ) Fzendo rotção d elipse té que su projeção sej um circunferênci de rio : Y M( x,y) F c R F c X pós rotção introduz-se um mudnç dos eixos coordendos, ou sej: Elipse: x + y = 1 x + y = Fzendo X = x e Y = y, temos: X + Y =, circunferênci de rio. 5

6 Lemrndo que rzão entre medids lineres permnece constnte e fzendo potênci de ponto n circunferênci temos: 4 c. c. MF. F =. + = 4 c. c. MF '. F ' ' = +. = MF MF ' MF MF' + = + = 4 ( MF + MF ' ) = F F ' ' MF. F MF'. F'. c c x+ + y + x + y = 4 c + + = 4 x y ( + ) c c + + = 4 x y c + = 4 (ue é constnte). c.q.d. uestão 08 Sejm, e c s rízes do polinômio p(x) = x 3 + rx t, onde r e t são números reis não nulos. ) Determine o vlor d expressão c 3 em função de r e t. ) Demonstre que S n+1 + r.s n-1 t.s n = 0 pr todo número nturl n, onde S k = k + k + c k pr qulquer número nturl k.. Ddo o polinômio (x) = x 3 + 0x + rx t, vmos escrever s Relções de Girrd: c = = 0 1 r + c + c = = r 1 ( t) c = = t 1 E dels temos, ( + + c) 3 =0 3, que pode ser escrito d form: c 3 + 3( + + c + c + c + c ) + 6c = 0 Ou, ftorndo: c 3 +3[(+) + c(+c) + c(+c)] + 6c = 0 E, sustituindo conforme primeir relção: c 3 + [( c) + c( ) + c( )] + 6c = c 3 = 3c = 3t. ind ds relções de Girrd em p(x) temos: + c +c = r c = t (I) (II) Sendo S k = k + k + c k, podemos fzer k = n, e com isso, sustituindo devidmente temos: 6

7 S n+1 + rs n 1 ts n = S k+1 + rs k 1 ts k- = k. + k. + c k k k k k k k c c.c + r + + t + + c c E, gor, sustituindo (I) e (II), temos: k + k + cc k k k k c k k k k c k k c + + c + c + c + + c c c k c k k + + c = ( k + k + c k )( + + c) = 0 c c.q.d. uestão 09 Clcule o determinnte d mtriz n x n em função de, onde é um número rel tl que n coluns n linhs Sej D o determinnte pedido, D = Sustituindo linh pel su som com o produto d linh 1 por + 1 : D = E, gor, sustituindo linh 3 pel su som com o produto d linh por ( 1) + : D =

8 E, procedendo d mesm form té n-ésim linh, temos: D = n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n ( ) n ( ) = = n+ 1 (( ) ) n+ n n = = 1... Sendo ssim: D = n+ 1 1 uestão 10 Considere os pontos e sore fces djcentes de um cuo. Um formig percorre, sore superfície do cuo, menor distânci entre e, cruzndo rest C em M e rest CD em N, conforme ilustrdo n figur ixo. É ddo que os pontos,, M e N são coplnres. ) Demonstre que MN é perpendiculr C.. ) Clcule áre d seção do cuo determind pelo plno que contém, e M em função de C = e M =. M N C D. I. Como formig percorre o cminho mínimo, qundo figur está plnificd temos M = θ e ND = 90 - θ. Se, M, N e são coplnres, então M e N encontrm-se em R. ind no ΔRMC temos MC=x e no ΔRNC temos CN = y. Sendo ssim, RC = x. tg θ e y = RC.tg θ, ou sej, y = x.tg θ. De onde só vle x = y se θ = II. or outro ldo, no ΔMNC temos, Tg θ = CN/CM = RC. Tg θ/rc. Tg (90 - θ). Então, tg (90 - θ) = 1 θ = Logo, de I e II concluímos que x = y. 8

9 M R x C y N 90 0 D. Considerndo MN perpendiculr C, terímos os seguintes cortes d figur: F G M C G N D H T F G M C N ( ) T S ( ) O E D H O M ( ) N Deles tirmos, 3 S = ( + ) 3 ( ) 3 S = + ( ) 9

10 Comentários O IME mnteve su trdição. prov possui conteúdos distriuídos de form homogêne, com questões em dois níveis: médio e difícil. Um prov em que o cndidto tem que demonstrr sus hiliddes com os cálculos e cpcidde de inter-relcionr conteúdos diferentes. prov é long, como de costume, em que o cndidto deve selecionr s questões que ele fz em pouco tempo, deixndo s miores e de mesmo peso, pr o finl. Todo o conteúdo cordo nels foi trlhdo em sl com nossos lunos, de form que só coue eles orgnizção dos ddos e dissertção e/ou escolh do cminho correto. Incidênci de ssuntos: rogressões otêncis/logrítmos Trigonometri Conjuntos/Funções nálise Comintóri olinômios 18% Determinntes Geometri 8% rofessores : Mrcelo Mores Mnim erndelli Colorres: Mnfredo Rodrigo Lcerd Digitção e Digrmção Diego erndelli Márci Smper rojeto Gráfico Frederico ueno ssistente Editoril Diego erndelli Supervisão Editoril Rodrigo erndelli Copyright Olimpo004 Resolução Comentd ds provs do IME poderá ser otid diretmente no OLIMO ré-vestiulr, ou pelo telefone (6)