Questão 02 Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real. 2 x 3 6x x + 2 <

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1 08 IME "A mtemátic é o lfbeto com ue Deus escreveu o mundo" Glileu Glilei Questão 0 Sej o número complexo z ue stisfz relção (z i) = ( i )(iz ). Determine z, sbendo-se ue z z i iz z i iz i i Aplicndo módulo: z i iz z i iz z i iz. Sej y = x+ yi, segue: x yi i i x yi x i y y ix. Por definição de módulo, x y y x x y y y y x y 0. Assim, z é um número rel. Como z, tem-se z. Porém z i não convém, pois: i i i 7 7 cos i sen 6 6 Ao psso ue z i cos i 7 7 i i sen 6 6 convém, pois: i Assim, z i. cos i sen 6 6 i.

2 Questão 0 Resolv ineução bixo, onde x é um vriável rel. x 6x + x + < 0 Vmos nlisr o comportmento d seguinte função: cujs rízes são solução d eução: f() = = 0 Por inspeção obtemos ue é riz, sendo possível reduzir seu gru: Dess form s outrs dus rízes são soluções de = 0 Logo: Grficmente temos f () Como = x e procurmos pens os vlores menores ue zero, somente o intervlo Assim: S : x x ou x S : x x O conjunto solução é intersecção desses resultdos x é solução. S S S S Logo: S x / x ou x.

3 Questão 0 Sbendo ue x 6 e ue x stisfz eução bixo Determine os possíveis vlores de x. cos x(4 cos x sen x) 0 sen x8senxcos x 68cos xsenxcosx0sen x8senxcosx 66sen cos 8sen sen 8cos x x x x x x x x 6 6sen cos sen 8 x x x 6sen cos ( sen ) senxcosxsen x. Elevdo o udrdo, x x x x 4 9sen cos sen sen 4 9 sen x( sen x) sen xsen x x x y x 4 0sen 7sen. Sej sen, y y Cujssoluçõessãoy` ey``. 5 Regressndo à vriável x, segue: sen x= senx Cujos vlores ssocidos de xnos udrntes e 4 são, e não obedecem x. Não convém sen x= senx Como sen,senx e senx obedecem à restrição do módulo. Porém senx não pode obedecer à eução senxcosx sen xporue, nos udrntes delimitdos, cosx Assim, senx e xrcsen 5 5 Sejm,, e números reis positivos diferentes de. Temos ue log, log b e log c são termos consecutivos de um progressão geométric e ue, e formm um progressão ritmétic em ue < <. log Sbendo-se ue b b b, determine: ) Os vlores de, e. b) As rzões ds progressões ritmétic e geométric, e, respectivmente. Questão 04 ) log log b log c,, é P.G. d d d Assim, log e log d d blog b d clog b cb c. Logo, b c d,,,,. log b Como bb, log bb, bb bc bc Então c c e b b Assim (, b, c) = (,, ).

4 log b Substituindo (,, ) n eução bb log log log log log log log log. Por definição, log log 4 log 4 log log4 log 4 log 4 log 4 Assim,, b, c,, b) A rzão d progressão ritmétic é r =, já clculdo nteriormente. Qunto à rzão d progressão geométric: b log log log log log 4 log 4 log 4 log 4 log log No entnto, est é rzão d progressão utilizd momentnemente n lterntiv, ue é: log d,log db,logdc. A progressão do enuncido é feit pelos inversos destes termos, motivo pelo ul su rzão tmbém é invers. Denominndo rzão d progressão perguntd: ' log Um ônibus escolr trnsport n crinçs. Sejm A o evento em ue dentro do ônibus tenhm crinçs de mbos os sexos e B o evento em ue há no máximo um menin dentro do ônibus. Determine o vlor de n pr ue os eventos A e B sejm independentes. A probbilidde de todos s crinçs serem meninos é. A probbilidde de tods serem menins tmbém é. Com isso, n n ou, ind, Questão 05 pa ( ), n n n pa ( ). n A probbilidde de tods s crinçs serem meninos é n. A probbilidde de extmente um crinç ser menin é n. Com isso, n ou, ind, n pb ( ), n n n pb ( ). A probbilidde de ocorrer o evento A e o evento B euivle à probbilidde de hver extmente um menin no ônibus. Com isso, n pa ( B). Pr ue A e B sejm independentes, pa ( ). pb ( ) = pa ( B). Assim, n n n, n n n ou ind, n n. Considerndo ue iguldde só ocorre pr n =, pr ue os eventos A e B sejm independentes, n =. 4 n n

5 Questão 06 k Sej mtriz A =, com k rel. 4 Determine fix de vlores de k pr ue exist um mtriz de números reis P tl ue s condições bixo sejm tendids simultnemente: ) A T P + PA =I em ue A T é trnspost d mtriz A e I é mtriz identidde; b) P sej simétric; c) p > 0, em ue p é o elemento d linh e colun de P; e d) P > 0, em ue P é o determinnte d mtriz P. Como det P > 0, então P é um mtriz udrd. c Sej P um mtriz simétric P c b, devemos ter > 0 e b c > 0 pr cumprir s condições c) e d). Com isso, flt pens cumprir condição ). Eucionndo A T P + PA = I, teremos: k 4 c ck 0. c b c b 4 0 Efetundo s devids operções mtriciis, obteremos: k 8c 4 b( k ) c 0 4 b( k) c 4b6c 0 Fzendo iguldde mtricil: k 8c (* ) 4 b ( k ) c 0 (* ) 4b6c (* ) Fzendo. (* ) + 4. (* ), obtemos: 6k 4c 6k 6b7 (* 5) 6b4c4 Fzendo 6(* ) + (k + ). (* ), obtemos: 84b6 ( k) c0 8 (4 k) bk (* 6) 4( k) b6 ( k) ck Fzendo. (* 5 ) + k. (* 6 ), teremos: 8k 48b k k b 8 k (k 4 k )6k k 4k k48 Substituindo ns euções nteriores, obtemos: 6k k c k 6k4 k 6k4 Pr cumprir condição > 0, temos: 6 k 0 k 6k4 Então, ness condição, 6 < k < 6 ou k >. Pr cumprir condição b c > 0, vmos eucionr e colocr os denomindores ds frções n form n (x r )(x r ): (6 k) ( k k) ( k) 0 ( k)( k6) 4 ( k)( k6) 4 ( k) ( k6) Tirndo o MMC dos denomindores e simplificndo, teremos: k 0k 77k8 0 8( k)( k6) Por inspeção, percebemos ue 6 é riz do numerdor. Dividindo o polinômio do numerdor por k + 6, temos: ( k6) ( k 4k5) 8( k)( k6) 0 k 4k5 8( k )( k 6) 0 5

6 A eução do numerdor é sempre positiv (pois tem < 0 e pr k = é positiv), e 8 (k + ) tmbém é sempre positivo. A solução d ineução é, portnto, k > 6 e k. Unindo s dus condições: 6k6 ou k k k 6ek Conjunto solução: k / k Questão 07 Determine todos os números primos p, e r tis ue 5p + p + r = pr. r pr 5p p r p r 5 Que pode ser dividido em vários csos, considerndo primos em. p r r 5 r r 5 0 r 5 0 r 46 r 46 Dividindo em csos: ) r = = 46 ) r = = 46 ) r = = 4) r = = 5) r = = 6) r = = 7) r = 46 = 8) r = 46 = Nenhum dos uis dmite solução com,r primos. p r r 5 r r 5 0 r 4 r 4. Dividindo em csos: ) r = + = 4 não convém ) r = + = 4 não convém ) r = + = (p,, r) = (,, ) 4) r = + = não convém 5) r = + = 8 não convém 6) r = + = 8 não convém 7) r = 4 + = 6 não convém 8) r = 4 + = 6 (p,, r) = (7, 7, 7) 9) r = 6 + = 4 (p,, r) = (,, 7) 0) r = 6 + = 4 (p,, r) = (5, 5, 5) ) r = 8 + = (p,, r) = (,, 9) ) r = 8 + = não convém ) r = + = não convém 4) r = + = não convém 5) r = 4 + = não convém 6) r = 4 + = (p,, r) = (,, ) 6

7 p r r 5 r5 r5 Novmente em csos, ) = 5 r = 7 (p,, r) = (9, 5, 9) ) = 5 r = 7 (p,, r) = (5, 5, 5) ) = 7 r = 5 (p,, r) = (7, 7, 7) 4) = 7 r = 5 (p,, r) = (7, 7, 7) pr r 0 5 r5 r05 Dividindo em csos, ) = 5 r 0 = 7 (p,, r) = ( 7, 5, 7) ) = 5 r 0 = 7 (p,, r) = (, 5, ) ) = 7 r 0 = 5 não convém 4) = 7 r 0 = 5 (p,, r) = ( 5, 7, 5) Que são, ssim, s terns (p,, r) ue stisfzem eução. Obs.: Considerndo primos em, s soluções são pens dus: (9, 5, 9) e (7, 7, 7). Considerndo primos em, s soluções são tods s descrits nteriormente. Questão 08 Considere elipse bixo, onde DD é um cord pssndo pelo seu centro, MM um cord focl e o eixo mior d elipse é. Prove ue: DD` = MM. D M C F D M Temos ue provr ue DD' MM '. MM ' Sej DD' 4 MM '. Que é o ue temos ue provr. ) Clculndo : y ( cos, sen ) cos sen x Como cos, sen está n elipse: x y cos b sen b b Então b sen b cos 7

8 MM ' ) Clculndo. Sbemos ue tod cord focl é dd por: pe MM ' e cos onde p = distânci do foco à diretriz mis próxim. e = excentricidde. b c Ddo ue p,, substituindo: c b c b b MM ' c c c cos c cos cos Então: MM ' b c cos Pr provr ue MM ', bst provr ue sen b cos c cos (sen ) ( b c ) cos cos cos cos cd.. Questão 09 Considere um triângulo ABC onde BC =, AB = c, AC = b, c > b. O círculo inscrito esse triângulo tngenci BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A ret ue tngenci o círculo e ue pss por E intercept AB em P e AC em Q. A ret AE intercept BC no ponto R. Determine os segmentos de ret EQ e DR em função dos ldos do triângulo:, b e c. Considere figur. A Q E P T C D R B O perímetro do triângulo AQP é b + c e o do triângulo ABC é + b + c. Com isso, rzão de semelhnç do triângulo AQP, em relção o triângulo ABC é bc b c. Dess semelhnç, AQ bc, b b c o ue implic b bcb AQ. bc 8

9 Considerndo ue AQQC b, tem-se ue bc Tem-se ue TC. Com isso, ou ind, Ms EQ QT, o ue implic QC b. b c b b QT c, b c ( cb)( bc) QT. ( bc) ( cb)( bc) EQ. ( bc) A rzão de semelhnç do triângulo AQE em relção o triângulo ACR tmbém é dd por bc. b c Assim, EQ b c DR CD b c Levndo-se em cont ue CD TC ou ind,, tem se ue cb( bc) bc, ( bc) bc bc DR DR c b. Questão 0 Sej um cubo regulr, onde os centros de sus fces são vértices de um octedro. Por su vez, os centros ds fces desse octedro formdo são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivmente octedros e cubos infinitmente, determine rzão d som do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicil. Sej rest do º cubo O volume do primeiro cubo será: V. Fzendo um vist superior, temos: C x x onde x é rest d bse udrd ds dus pirâmides ue compõem o octedro. Logo: x O volume do primeiro octedro será: V x h O 6 9

10 Pr o primeiro cubo inscrito nesse octedro, considerremos seu ldo igul y. y y y Note ue os pontos ue determinm o segmento de comprimento y são os bricentros dos triângulos ds fces. Dest form: h h x x y y x O volume do segundo cubo será: y V y 7 D mesm form ue foi feito nteriormente, podemos dizer ue o ldo z do próximo octedro será y z z 6 Seu volume vle portnto: y V 6 6 A rzão entre dois volumes consecutivos será: Pr o cubo: 7 Pr o octedro: A som dos infinitos sólidos será: S 7 CUBO 7 6 Somndo-se todos eles: S Logo: 5 S S OCTAEDRO

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12 Mtemátic Anderson Lfyette Mteus Slvino Colbordores Aline Alkmin Cirillo Sles Digitção e Digrmção Kleuber Humberto Márci Sntn Revisor Celso Fri Desenhist Rodrigo Rmos Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Supervisão Editoril Aline Alkmin Rodrigo Berndelli Copyright Olimpo04 A Resolução Comentd ds provs do IME poderá ser obtid diretmente no OLIMPO Pré-Vestibulr, ou pelo telefone (6) As escolhs ue você fez ness prov, ssim como outrs escolhs n vid, dependem de conhecimentos, competêncis, conhecimentos e hbiliddes específicos. Estej preprdo.