{ } = { } MATEMÁTICA. QUESTÃO 01 Sabe-se que:

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2 QUESTÃO Sbe-se ue: MATEMÁTICA = + { },, onde é prte inteir de + + { } =, + + { } =,, com, e + + { } = Determine o vlor de +. Somndo s três euções, membro membro, temos: + [ ] + { } + + [ ] + { } + + [ ] + { } =, +, + = 9,8 Como = + { } : ( + + ) = 9,8 + + =,9 Subtrindo sucessivmente est eução d primeir, d segund e d terceir e lembrndo de ue = + { }, vem ue: = + { } =,7 { } + =,7 { } = { },7 = + { } =, { } + =, { } = { }, = + { } =, 9 { } + =, 9 { } = { }, 9 Assim, determinmos, e : = + { } = +,9 =,9 = + { } = +,7 =,7 = + { } = +, =, Conseüentemente: + =, 9,7 +, + =,5 QUESTÃO Um triângulo isósceles possui seus vértices d bse sobre o eio ds bscisss e o terceiro vértice, B, sobre o eio positivo ds ordends. Sbe-se ue bse mede b e seu ângulo oposto B = º. Considere o lugr geométrico dos pontos cujo udrdo d distânci à ret suporte d bse do triângulo é igul o produto ds distâncis s outrs dus rets ue suportm os dois outros ldos. Determine (s) eução(ões) do lugr geométrico e identifiue (s) curv(s) descrit(s). Por hipótese, podemos construir o seguinte plno crtesino: B º º º º b b A, C, Pr determinr s rets AB e BC, sbemos ue: P (, ) (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS ) o coeficiente ngulr é ddo por tg α, onde α é o ângulo ue ret form com o eio no sentido nti-horário; b) usndo tg o, temos ue intersecção ds rets com o eio é dd por n, onde: o n b b tg = n =. n =. b Com isso, temos s seguintes rets: b b (AB) = + + = b b (BC) = + = O lugr geométrico dos pontos P(,) pedido é ddo por: (d P, eio ) = d P,AB.d P,BC. Assim: b b. + = + b b = = b ± = Com isso, temos s seguintes possibiliddes: ) pr o sinl de + : b 7 b = + b = b b 7 b + b = b b b b 7 b = = = 8 8 b b 7 b = =, ue é um 7 b b 7 7 hipérbole de centro b,, semi-eio rel em medindo semi-eio imginário medindo 7 b. ) Pr o sinl de : b = + + b e 7 b b = b b + + b = + + b = b b b b + + b + = + = b + + = b, ue é um circunferênci de centro b, e rio b.

3 (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS QUESTÃO Sbe-se ue = e + =, sendo,, e números compleos diferentes de ero. Prove ue e são ortogonis. Obs.: números compleos ortogonis são ueles cujs representções gráfics são perpendiculres entre si e é o número compleo conjugdo de. Inicilmente, temos: + = + = Dividindo por em mbos os ldos ( ) Como =, temos: + = + = Chmndo = + bi e tirndo o módulo: Logo: + = ( + ) + bi = ( ) + bi ( + ) + b = ( ) + b b b = + + = = Desse modo fic clro ue é um imginário puro. Chmndo gor = ρ (cos α + isenα) e = ρ (cos β + isenβ) (form trigonométric dos números compleos) temos: = ρ(cos( β) + isen( β)) = ρρ(cos( α β) + isen( α β)) Re( ) = ρρ cos( α β) = Como ρ e ρ são diferentes de ero: cos( α β) = α = β + +, k k Considerndo representção geométric, e levndo em considerção primeir volt, relção entre os rgumentos de (α) e (β) é dd por ( i sen ) = ρ cosα + α α = β ±, o ue prov ortogonlidde. Im ( i sen ) = ρ cos β + β QUESTÃO Dd função F : IN F (,) = ; IN com s seguintes crcterístics: Fnm (, + ) = Fnm (, ), onde é um número rel diferente de ero; Fn ( +,) = r+ Fn (,), onde r é um número rel diferente de ero. Determine o vlor de 9 Fii (,), i IN. i = Pelo enuncido, temos: F(,) = r + F(,) = r + F(,) = r + F(,) = r + F(,) = r + F(,) = r + Por indução, temos ue F(n,) = nr +. D mesm mneir: F(n,) =.F(n,) =.(nr + ) F(n,) =.F(n,) =.(nr + ) F(n,) =.F(n,) =.(nr + ) Aplicndo novmente indução temos F(n,m) = m.(nr+). Assim: i i i F(i,i) = (i.r + ) = + r. i. 9 i= i= i= i= i= 9 9 F(i,i) = r.( ) progressão geométric Clculndo seprdmente os termos, temos, n primeir som, os termos de um progressão geométric: = N segund som, temos: 9 S = S = S.S = ( ).( ) 9. S.S = 9. S = () Substituindo, temos: 9 i= F(i,i) =.( ) 9. + r. () S 9 QUESTÃO 5 Sej G o ponto de interseção ds medins de um triângulo ABC com áre S. Considere os pontos A, B e C obtidos por um rotção de 8 dos pontos A, B e C, respectivmente, em torno de G. Determine, em função de S, áre formd pel união ds regiões delimitds pelos triângulos ABC e A B C. α = β + β Re α' = β ' = ρ( cos α' + i senα' )

4 (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS G é bricentro do ABC, logo CG = MG. Arbitrndo MG =, temos CG = Com rotção G tmbém é bricentro do A B C e C G=, seguindo ue C M = Deste modo temos ue os triângulos ABG e A B G são congruentes (LLL). Como GÂB = GÂ B temos ue A B e AB são prlelos. Assim ABC RSC e rão de semelhnç é MC/TC = / =. Assim sendo áre do RSC é (/) d áre do ABC. S RSC = S/9 Por nlogi, s áres dos peuenos triângulos d figur tmbém vlem S/9. Além disso, áre solicitd é áre do triângulo originl somd vees áre dos triângulos peuenos: Rerrnjndo os termos do numerdor, temos: (sen + cos sen cos ) +.( sen. sen cos + cos ) > sen sencos + cos Logo temos: sen + cos sen cos + > sen sen cos + cos sen + cos sen cos sen sen cos + cos sen + sen cos sen cos cos Portnto, ( ) ( ) ( cos ) sen sen ( sen )( cos) sen sen cos sen cos sen sen sen cos sen sen sen cos sen sen Anlisndo o sinl de f( ) = sen cos 5 7 sen sen sen Assim, áre pedid vle S S A = S + = 9 cos Logo o conjunto de vlores de no ul f() é positiv é: 5 7, U, U, QUESTÃO Resolv seguinte ineução, pr < : sen sen sen + cos + (+ ) cos + cos ( + ) sen sen cos + cos > QUESTÃO 7 Sej um cubo de bse ABCD com rest. No interior do cubo, sobre digonl principl, mrc-se o ponto V, formndo-se pirâmide VABCD. Determine os possíveis vlores d ltur d pirâmide VABCD, em função de, sbendo ue som dos udrdos ds rests lteris d pirâmide é igul um número primo. Obs.: s rests lteris d pirâmide são VA, VB, VC e VD. k, sendo k

5 Por hipótese, podemos construir o seguinte cubo: A E D V F H Usndo Pitágors nos triângulos retângulos FAV, FBV, FCV e FDV, temos: (VA) = +H (VB) = +H (VC) =w +H (VD) = +H. Somndo s utro euções, temos: (VA) + (VB) + (VC) + (VD) = + + w + + H. Do enuncido, (VA) + (VB) + (VC) + (VD) = k, e ssim: + + w + + H = k (*). No udrdo ABCD, temos:. = w, já ue F é um ponto d digonl BD;. += ;. Considerndo semelhnç entre os triângulos BDE e BFV, temos: = = H. H De e, temos: = H = ( H). Usndo relção de Stewrt no triângulo ABD, temos: + = (+) + (+) = + = Substituindo e em, temos: = ( H). H = (H H ). Logo, substituindo, e, eução (*) fic: + + w + + H = k H = k ( H) + H + ( H + H ) + H k = H 8H + k =. Resolvendo eução em H, temos: 8 ± 8k 8 ± k 8 H = H =. Como k é primo, e H é um número entre e, temos: i) k 8 k 8/; ± k 8 ± k 8 ii) < < < < < ± k 8 <. Anlisndo segund desiguldde, temos: ± k 8 < k 8 < k < 8 ; Verificndo s possibiliddes, temos: i) k=: < ± < < ± < (verddeiro) ii) k=5: < ± 7 < < 7 <, ssim, pr k = 5, somente podemos usr o sinl de + em H; B w C (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS iii) k=7 : < ± < < <. Pr k = 7, somente podemos usr o sinl de + em H. Portnto, temos: ± k=: H = H = ou H = + 7 k=5: H = ; + k=7: H =. QUESTÃO 8 Dd um mtri udrd A de ordem n, definid d seguinte form: os elementos d linh i d colun n são d form n in = n i + ; os elementos imeditmente bio d digonl principl são unitários, isto é, ij = pr i j = ; todos os demis elementos são nulos. Sendo I mtri identidde de ordem n e det( M ) o determinnte de um mtri M, encontre s ríes d eução det( I A) =. Pel form como estão definids s mtries, podemos escrever: n n n n n ( I A) nn = n n n + Então, epndindo o determinnte pelo teorem de Lplce n últim colun, temos: + n n + n n det ( I A) = ( ) + ( ) + n n i+ n n n n + + ( ) + + ( ) + n i + Observe gor ue s mtries cim (com eceção d últim) são tringulres inferiores e, por isso, o determinnte dels é o produto dos elementos d digonl principl. A últim mtri é tringulr superior, de modo ue seu determinnte tmbém é o produto dos elementos de su digonl principl. Note tmbém ue o número de elementos iguis ns digonis vri de n té, o mesmo tempo ue o número de elementos iguis vri de té n. Assim: + n n n + n n n det( I A) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + n n i+ n n i ni n n n + ( ) ( ) + + ( ) + n i +

6 (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS n n n i n n n det( I A) = n n n i + det n n j ( ) ( ) n I A = = + j = j A eução pedid é det( I A) =, então: n det( I A) = ( + ) = = Logo, eução present um únic ri ( = ) de multiplicidde n. QUESTÃO 9 A figur bio é compost de udrdos menores. De unts forms é possível preencher estes udrdos com os números,, e, de modo ue um número não pode precer vees em: um mesm linh. um mesm colun. cd um dos utro udrdos demrcdos pels linhs contínus. QUESTÃO Sej um constnte rel positiv. Resolv eução =, pr e. Desenvolvendo eução dd, temos: + + = + + = + + = + + = + + = + + = Há! = mneirs de preencher o udrdo A com os números,,,. Feito isso, vmos gor preencher o udrdo D. Colocmos o número em uluer posição do udrdo D ( mneirs). Depois disso, teremos um situção como seguinte: c b Agor, o número não pode ser, pois ficrímos sem opção pr, e o número b não pode ser, pois ficrímos sem opção pr. Assim, nosso próimo psso é escolher o vlor de c entre os números, e, o ue determin imeditmente e b devido às restrições ue cbmos de observr. É fácil ver ue, pr s demis posições do número em D, obtemos um situção nálog. Logo há = mneirs de completr o udrdo D depois de preenchido o A. Feito isso, todos os espços ue sobrrm têm um únic mneir de serem preenchidos. Assim, o número totl de mneirs de preencher os udrdos é = 88. Agor, como, dividindo tod ess desiguldde por temos. Assim, pr cd, eiste um único θ, com θ, pr o ul = senθ. Como θ, vle ue cosθ. Portnto: = sen = cos = cos = cos θ θ θ θ A eução fic reduid : + cosθ + cosθ = senθ Utilindo s relções de rco duplo, temos: θ + cosθ = cos θ θ cosθ = cos = sen θ cosθ = sen θ sen θ Como θ, de modo ue: θ cos θ θ cos + sen = senθ θ θ cos + sen = senθ θ θ cos + sen = senθ θ θ sen cos + cos sen = senθ θ sen + = senθ 5

7 (9) 5- O ELITE RESOLVE IME 9 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS θ θ Como θ θ 5 + θ Logo + pertence o primeiro udrnte. θ Assim, sendo θ e + dois ângulos do primeiro udrnte, tis θ ue sen + = senθ, únic possibilidde é ue eles sejm iguis. Logo: θ = θ + θ = Temos então: = sen = =