( ) Resolução: Seja e a excentricidade da hipérbole dada: + + = = 8, que é a equação de uma circunferência de centro ( 0, 2)

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1 010 IME "A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo" Glileu Glilei Questão 01 Sejm os conjuntos P1, P, S1 e S tis que ( P S1 ) P1, ( P1 S ) P e ( S1 S ) ( P1 P ). Demonstre que ( S1 S ) ( P1 P ). ( P S1 ) P1 (1) ( P1 S ) P ( ) ( S1 S ) ( P1 P ) ( ) Se S1 S =, então segue que ( S1 S ) ( P1 P ). Se S1 S, então eiste S1 S e neste cso, por ( ), segue que P1 P, ou sej, P1 ou P. Se P1, então P1 S, por ( ) segue que P, logo P1 P. Se P, então P S1, por (1) segue que P1, logo P1 P. Destes resultdos conclui-se que S1 S, implic que P1 P, ou sej, ( S1 S ) ( P1 P ). Questão 0 Três ddos iguis, honestos e com seis fces numerds de um seis são lnçdos simultnemente. Determine probbilidde de que som dos resultdos de dois quisquer deles ser igul o resultdo do terceiro ddo. Sendo Ω o espço mostrl e A Ω o evento som dos resultdos de dois ddos quisquer ser igul o resultdo do terceiro ddo. Dest form, temos n ( Ω ) = 6 = 16. Contndo os elementos do evento, temos:! Pr os resultdos 1, 1 e temos = csos! Pr os resultdos 1, e temos! = 6 csos Pr os resultdos 1, e 4 temos! = 6 csos Pr os resultdos 1, 4 e 5 temos! = 6 csos Pr os resultdos 1, 5 e 6 temos! = 6 csos! = csos! Pr os resultdos, e 5 temos! = 6 csos Pr os resultdos, e 4 temos Pr os resultdos, 4 e 6 temos! = 6 csos Pr os resultdos, e 6 temos! = csos! Portnto n ( A ) = = 45 P ( A) = n ( A ) = = n ( Ω ) 16 4

2 Questão 0 Considere s hipérboles que pssm pelos pontos ( 4,) e ( 1, 1) e presentm diretriz n ret y = 4. Determine equção do lugr geométrico formdo pelos focos desss hipérboles, ssocidos est diretriz, e represente o mesmo no plno crtesino. Sej e ecentricidde d hipérbole dd: d = e d y = e 6 AF Ad d = e d y+ 1 = e BF Bd ( 4) ( y ) ( 1) ( y 1) + + = ( ) ( + 4) + ( y ) = 4 ( + 1) + ( y+ 1) + y + 1y 1 = 0 y y = 0 y y = 0 + ( y+ ) = 8, que é equção de um circunferênci de centro ( 0, ) C e rio R =, cuj representção está bio: Lembrndo que e > 1: ( ) ( y ) ( ) ( y ) > > 6 ( + 1) + ( y+ 1) > ( + 1) + ( y+ 1) > Como s circunferêncis ( + 4) + ( y ) = 6, ( + 1) + ( y+ 1) = e ( y ) + + = 8 se interceptm nos pontos P + +, e Q, 4 4 o lugr geométrico procurdo se reduziri-se um rco d circunferênci de equção ( ) + y+ = 8. Por fim, como um foco não deve pertencer à diretriz:

3 Questão 04 Sej o vlor do mior ldo de um prlelogrmo ABCD. A digonl AC divide A em dois ângulos, iguis 0 e 15. A projeção de cd um dos qutro vértices sobre ret suporte d digonl que não o contém form o qudrilátero A B C D. Clcule o perímetro de A B C D. Considere figur bio: D A' 0 C 0 15 B' D' A 0 15 C' B 15 Como AD' D = AA' D = 90º, o qudrilátero AD' AD ' é cíclico, então DA' D' = 150º. Dí DAC ' ' ' = 0º. Anlogmente, o qudrilátero DD' C' C é cíclico e então BAC ' ' ' = 15º Não é difícil perceber que A' BCD ' ' ' será um prlelogrmo, semelhnte o inicil. D lei dos senos no triângulo ABC vem: AC = AC = sen15º sen0º BC = BC = sen15º sen15º sen0º Do triângulo retângulo AD D obtemos: AD' = AD cos0º = sen15º = sen15º = B' C. Assim: B' D' = AC AD' = sen15º = ( ) = = = 4 4 = 1 Pel lei dos cossenos no triângulo ABD : = sen15º + sen15º cos 45º = DB 6 6 = = + + = = Assim: BD = ( ) 1. De onde rzão de semelhnç entre os prlelogrmos é: = + 4

4 BD ' ' BD = Portnto, o perímetro de A' BCD ' ' ' será: 6 p = ( + 4sen15º ) = + = Questão 05 A áre d superfície lterl de um pirâmide qudrngulr regulr SABCD é dus vezes mior do que áre de su bse ABCD. Ns fces SAD e SDC trçm-se s medins AQ e DP. Clcule o ângulo entre ests medins. z S Q P b M b D N C y A B b 4 = b= O ΔMNS é equilátero Adotndo o sistem de coordends d figur: A,0,0 ( ) (,,0) ( 0,,0) ( 0,0,0) B C D S,, Q é o ponto médio de DS e P de CS: Q,, P,, As direções ds medins são dds pelos vetores AQ e DP :, 0, 0,, AQ = = DP = 0, 0, 0,, = Sej α o ângulo entre s medins, que são rets reverss: AQ DP cosα= = AQ DP cosα= α = rccos

5 Questão 06 y + z y z Demonstre que mtriz y + z yz, onde yz,, IN, pode ser escrit como o qudrdo de um mtriz z yz + y simétric, com trço igul zero, cujos elementos pertencem o conjunto dos números nturis. Obs: Trço de um mtriz é som dos elementos de su digonl principl. Sendo A= ( ij ) mtriz procurd com s crcterístics do teto, temos = 0, como ii IN, i = 1,,, segue que ii = 0, i = 1,,. y + z y z Como A = y + z yz, segue que: z yz + y + = y + z + = y + z (1) = + z + = + z () = + y + = + y () 1 1 De (1), () e (), temos: ( ) De (4) e (1), segue que De (4) e (), segue que 1 De (4) e (), segue que 1 Portnto: 0 z y A = z 0 y = + y + z (4) = = y = z Questão 07 Considere o conjunto de números compleos E = { + bω}, onde e b são inteiros e ω = cis( π /). Sej o subconjunto U = { α E / β E no qul αβ= 1}. Determine: A) Os elementos do conjunto U. B) Dois elementos pertencente o conjunto Y = E U tis que o produto sej um número primo. ) Mrcndo lguns elementos do conjunto E, temos: Im () Re Note que todo elemento não nulo de E tem módulo mior que ou igul 1. Pr que α U, devemos ter um β E, tl que α β= 1. Logo α β= 1, ou sej, α =β= 1. Como temos pens 6 elementos de E com módulo 1, podemos testr s 6 possibiliddes e verificr que s seis pertencem U e são els: ω, 1, ω 1, ω,1e ω+ 1. { } U = ω, 1, ω 1, ω,1, ω+ 1. b) Os dois elementos podem ser ω + e ω + 1, pois 1 1 i ω+ ω+ 1 = ω ω+ =+ + + i+ = 5

6 Questão 08 n Sej equção p = q, onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine os possíveis vlores de n, p e q. n n p q 1 p q 1 q 1 = = ( + )( ) e q 1 p ( q 1) q p = p = 1 +. q 1 q 1 + = com * e < n Como p * então q 1 { 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 }. Sendo S ( p, q, n) n i) q 1 = 1 q = 1. Logo p = 5 1 = 5 S1 = ( 1, 5, ) ou S = ( 1, 5, ) n ii) q 1 = q = 15. Logo p = 7 = 4 S = ( 15,, 4) ou S 4 = ( 15,, 4) n iii) q 1 = 8 q = 0. Logo p = 8 = 8 S = ( 0,, 8) ou S = ( ) = e lembrndo que p é primo verific-se que: 5 6 0,, 8 Questão 09 ( ) tg( ) ( ) tg ( ) ( ) tg( ) tg y z = Sej o sistem tg y z = b, onde, b, c,, y, z R. Determine s condições que, b e c devem tg z y = c stisfzer pr que o sistem dmit pelo menos um solução. Desenvolvendo: tg y tg z tg = 1+ tgy tgz tg tg y tg tg z = + tg y tg z Anlogmente: tg y tg z tg y tg = b+ b tg tg z tg z tg tg z tg y = c+ c tg tg y Cheg-se o sistem: tg tg y tg tg z tg y tg z = tg tg y b tg tg z + tg y tg z = b c tg tg y + tg tg z tg y tg z = c De incógnits α= tg tg y, β= tg tg z e γ = tg y tg z Not-se que α=β=γ= 1 é sempre solução, ms est solução não convém se bc 0, pois tg tg y= 1 tg tg z = 1, se nenhum pode ser nulo, implic tg = tg y = tg z. tg y tg z = 1 tg = tg = tg = 0. Assim, o determinnte do sistem deve ser nulo pr que ele poss ser indetermindo. 1 1 D = 1 b 1 = b + c + + bc 1+ 1 c 1 1 D= 0 + b+ c= bc De form que o ldo esquerdo de tods s equções se reduz zero, já que ( y z) ( z ) ( y) condição Anlisemos o cso em que D = 0, ou sej, bc = b c 1 1 ( c) 1 b 1 b c 1 1 c b 1 b (1 c) 0 1c 1 c cc (1 b) b 1 b b c bc + b + c + bc 6

7 b 1 b +, que é um sistem possível e indetermindo, dmite solução Do eposto, concluímos que + b + c = bc. Questão Considere sequênci: 1 = +, = + +, = + + +,. Determine o produto dos 0 primeiros termos dest sequênci. Notemos que: + 1 = = cos0, = = cos15 4 Isto sugere um sequênci com = cos7,5 etc. Notndo que cos = cos sen, cos = 1 cos, pr cos > 0, 1 cos cos = + Como recorrênci dd no eercício é: 1 1 = n+ 1 n + Podemos notr que se = cos, então n 1 1 = n 1 cos cos + + = Dest form tem-se: = cos0, = cos, n = cos n 1 0 termos Assim, o produto buscdo é P = cos0 cos cos cos Notndo que cos sen = sen, cos sen = sen etc. Teremos: P sen = cos0 cos cos cos sen P sen = cos0 cos cos cos sen P sen = cos0 cos cos cos sen P sen = cos0 sen P sen = sen P = 1 0 sen 19 7

8 Professores Bruno Frg Lfyette Luís Antônio Mnim Mrcelo Mores Ney Mrcondes Colbordores Aline Alkmin Henrique José Diogo Pul Esperidião Digitção e Digrmção Érik Resende Lendro Bess Márci Sntn Vldivin Pinheiro Vinícius Ribeiro Desenhists Arthur Vitorino Mrin Fius Rodrigo Rmos Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Supervisão Editoril João Neto Mrcelo Mores Copyright Olimpo009 A Resolução Comentd ds provs do IME poderá ser obtid diretmente no OLIMPO Pré-Vestibulr, ou pelo telefone (6) As escolhs que você fez ness prov, ssim como outrs escolhs n vid, dependem de conhecimentos, competêncis, conhecimentos e hbiliddes específicos. Estej preprdo. 8