RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

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1 RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F (x) + C NOTA MENTAL: Não esquecer constnte pr integris indefinids. Fórmuls de Integrção d x = x + C c ossec x cotg x dx = c ossec x + C x r x dx = r+1 r+1 + C (r 1 ) e x dx = e x + C c os x dx = s en x + C b x dx = bx ln b + C (0 < b, b 1) s en x dx = c os x + C 1 x dx = l n x + C s ec²x dx = t g x + C 1 1+x² dx = rctg x + C c ossec² x dx = c otg x + C 1 1 x² dx = rc sen x + C s ec x tg x dx = s ec x + C 1 x x² 1 dx = rcsec x + C Proprieddes d integrl indefinid!

2 c f(x)dx = c f (x)dx Qundo se multiplic por um constnte, el pode estr dentro ou for d integrl, que dá n mesm! [f(x) + g (x)]dx = f (x)dx + g (x)dx A integrl de um som é som ds integris [f(x) g (x)]dx = f(x)dx g (x)dx A integrl de um diferenç é diferenç ds integris INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO U O método de substituição é utilizdo pr simplificr integrção, gerndo um integrl que sbemos como resolver. Considerndo u = g(x) e colocndo du/dx = g (x) n form diferencil du = g (x) dx: f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C f (u)du = F (u) + C Exemplo: INTEGRAL DEFINIDA A integrl definid possui limites de integrção [,b]. Assim, o resultdo será um número e não um equção, ou sej, não precismos mis d constnte de integrção. A integrl definid utiliz conceitos de áre, comprimento e volume.

3 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Bsicmente, s proprieddes são s mesms ds integris indefinids. Ms há proprieddes extrs devido os limites de integrção, conforme tbel: Proprieddes extrs d integrl definid! f (x)dx = 0 Qundo os limites de integrção forem iguis b f (x)dx = b f (x)dx Qundo os limites estão invertidos b f (x)dx = c f (x)dx + b f (x)dx c Um integrl pode ser reescrit como som de dus integris, reescrevendo os limites TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARTE 1 Como clculr um integrl definid: clculndo ntiderivd do limite

4 de cim, subtrindo est do limite de bixo! Sendo f um função contínu em [,b] e F ntiderivd de f : Exemplo: b f (x)dx = F (b) F () ou f (x)dx = F (x)] b b TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARTE 2 Qundo um integrl definid tiver um limite de integrção superior vriável (x, por exemplo): Exemplo: F (x) = x f (t)dt dx [ x f (t)dt] = f (x) d

5 CALCULANDO INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO Deve-se levr em cont os efeitos d substituição nos limites de cim e de bixo. Dess form, há dois métodos pr fzer isso: Método 1: Determinr integrl indefinid por substituição e depois voltr pr definid. Método 2 : Usr u = g(x) pr substituir os vlores dos limites de integrção. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS A = b g (x)]dx [f(x) NOTA MENTAL: relembrndo s proprieddes d integrl definid (subtrção de integris), qui nd mis é do que integrl de um função menos outr!

6 ÁREA INTEGRANDO EM Y A = b g (y)]dy [f(y) VOLUME POR DISCOS E ARRUELAS EM X E Y O volume do sólido de revolução gerdo pel rotção d função f em torno do eixo x é: V = b π [f(x)]²dx O mesmo pode ser feito qundo um função f é gird em torno do eixo y.

7 V = b π [f(y)]²dy NOTA MENTAL: tlvez sej preciso, em lgum momento, clculr o volume de um sólido prtir d diferenç do volume de outros dois. Pr isso, bst seguir o mesmo esquem d áre entre dus curvs. INTEGRAÇÃO POR PARTES u dv = uv v du O objetivo d integrção por prtes é escolher um u e dv pr obter um nov integrl, mis fácil de resolver que originl. Exemplo: NOTA MENTAL : Pode-se escolher u d seguinte list: P otênci, I nvers trigonométric, T rigonométric, E xponencil, L ogrítmic (PITEL)!!

8 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS PRODUTOS DE SENOS E COSSENOS Se m e n forem números inteiros e positivos, integrl cim pode ser clculd trvés relções trigonométrics! Seprr c os x n ímpr Aplicr c os²x = 1 s en²x u = s enx Seprr s en x m ímpr Aplicr s en²x = 1 c os²x u = c os x Reduzir potêncis de sen x e c os x m e n pres 1 s en²x = 2 (1 c os 2x) 1 c os²x = 2 (1 + c os 2x) A prtir dqui, nós utilizmos o método de substituição u.du, sendo u = 2 x e

9 d u = 2 dx : INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS PRODUTOS DE TANGENTES E SECANTES tg m x secn x dx Seprr s ec²x n pr Aplicr s ec²x = t g²x + 1 Seprr s ec x tg x u = t g x m ímpr Aplicr t g²x = sec²x 1 u = s ec x m pr e n ímpr Reduzir potêncis de s ec x tg 2 x = sec2x 1 SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O método de substituições trigonométrics pode ser relizdo em três pssos: escolher substituição corret, resolver integrl e retornr vriável inicil. Expressão 2 x 2 x² + ² Substituição x = sen θ x = tg θ

10 x² ² x = sec θ Exemplo: Então, deve-se expressr cotngente em função de x! Substituindo n integrl já resolvid, temos que: INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS É um método utilizdo pr decompor divisões de polinômios em frções prciis, obtendo constntes que devem ser determinds pr, então, resolver integrl. Exemplo:

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