Matemática. Capítulo

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1 Mtemáti pítulo

2 5 O teorem de Pitágors O que voê vi estudr neste pítulo 1. Semelnç de triângulos retângulos 2. Relções métris no triângulo retângulo 3. O teorem de Pitágors Toldos são muito usdos pr proteger entrd de ss ou lojs do eesso de sol ou de uvs. oertur que pode ser vist n foto im é md de toldo. Oservndo imgem é possível verifir que o toldo form om prede um ângulo reto. Olndo lterl do toldo podemos identifir um figur que lemr um triângulo retângulo, em que prte d quin d prede represent um dos tetos, prte d eird do toldo represent o outro teto, e ste de metl que sustent oertur represent ipotenus. Imgine um toldo omo o presentdo im, em que lterl d oertur tem 1,5 metro de omprimento. Se ste metáli tiver 2,5 metros de omprimento, quntos metros deverá ter distâni entre o ponto de fição d ste n prede e oertur? Mrk Winfrey/Sutterstok/I/R 90

3 1. Semelnç de triângulos retângulos Os triângulos e EFG são retângulos, e medid do ângulo é igul à do ângulo E. F G E Voê pode onluir que esses triângulos são semelntes? Por quê? Revendo lguns ftos que voê estudou 1. Oserve figur e verifique se os pres de triângulos em d item são semelntes. Justifique su respost. ) n e nef. ) n e ngi. ) nef e ngi. 2. Fç o que se pede. ) Todos os triângulos seguir são triângulos retângulos isóseles. Eplique, por esrito, por que eles são semelntes. E F ) Esrev s rzões entre s medids dos ldos orrespondentes dos pres de triângulos semelntes. 3. N figur eistem três pres de triângulos semelntes. ) Quis são eles? Justifique su respost. ) Em d so, esrev s rzões entre s medids dos ldos orrespondentes. M N P F I Lemre-se de que mrs iguis indim ângulos ou ldos de medids iguis. G E Multimídi Usndo semelnç de triângulos retângulos Em um situção otidin, pode onteer de preisrmos medir ojetos de grnde dimensão vertil, uj ltur nos impeç de usr um instrumento de medid omum. Nesss ors, o oneito de semelnç de triângulos pode ser muito útil. No site presentdo seguir, é possível fzer uso desse oneito pr medir oiss em três ontetos diferentes. isponível em: <ttp://rived.me.gov.r/ tividdes/mtemti/ medindo_ojetos/inde2. tml>. esso em: 19 mr Oserve omo os meninos d nimção enontrd no site onseguem s medids nos três ontetos e eperimente usr o mesmo proedimento pr medir lgum ois em lt, omo um poste de luz elétri, um árvore, um prédio, et. Não se esqueç de desenr um esquem representndo os ojetos, s somrs e os triângulos. Em seguid, respond: ) No esquem que voê fez, os triângulos são retângulos? Por quê? ) Por que os dois triângulos retângulos formdos om os ojetos e su somr são semelntes? 91

4 4. Oserve s figurs seguir. qui voê vê os mesmos triângulos desendos seprdmente pr filitr o estudo d semelnç. ) Mostre que: n, n, n, n e n, n ) Em d so, esrev s rzões entre s medids dos ldos orrespondentes. ) lule, e. d) Verifique que e) Verifique que Relções métris no triângulo retângulo Voê já viu que, no estudo d semelnç, os triângulos retângulos são espeiis. Ns próims tividdes, voê vi oneer outrs proprieddes elusivs desses triângulos, em omo lgums fórmuls relionds om esss proprieddes. N figur seguir, qul é medid do segmento? 8 m 16 m Estudndo s relções métris em um triângulo retângulo Voê se lemr? Os ldos de um triângulo retângulo têm nomes. Vej: 5. Oserve o diálogo. Em seguid, fç o que se pede. No triângulo, é ltur reltiv à ipotenus. Vej mis lguns nomes pr os ldos desse triângulo. teto teto ipotenus Giz de er/i/r 92

5 gor, no triângulo OPQ io, identifique os elementos indidos, ssoindo os segmentos s sus respetivs medids. 4 m P 2,4 m 3,2 m 1,8 m Roteiro Esrevendo um poem Utilizndo s plvrs deste pítulo omo ldos e ângulos; tetos e ipotenuss; ângulos gudos, retos e otusos, elore um estrofe de um poem. E não se esqueç de olor um título! O 3 m Q ) o teto mior; ) o teto menor; ) ipotenus; d) ltur reltiv à ipotenus; e) o segmento mior determindo pel ltur sore ipotenus; f) o segmento menor determindo pel ltur sore ipotenus; g) o ângulo oposto o teto menor; ) o ângulo oposto o teto mior; i) o ângulo oposto à ipotenus. 6. No triângulo retângulo, é ltur reltiv à ipotenus. s letrs minúsuls indim s medids dos segmentos, em um mesm unidde de medid. ssim: 5, 5, 5, 5, 5 m e 5 n. m n Nesse triângulo, identifique pels letrs minúsuls s medids dos seguintes elementos: ) o teto mior; ) o teto menor; ) ipotenus; d) ltur reltiv à ipotenus; e) o segmento mior determindo pel ltur sore ipotenus; f) o segmento menor determindo pel ltur sore ipotenus. 93

6 Tome not Oserve novmente o triângulo seguir. m Voê já se que: n, n e: 5 5 Sustituindo por n, por e por m em 5, tem-se n 5 m. e n 5 m vem que 2 5 mn. fórmul 2 5 mn epress o seguinte fto: em um triângulo retângulo, ltur reltiv à ipotenus determin sore ess ipotenus dois segmentos tis que o produto de sus medids é igul o qudrdo d medid d ltur. n 7. Oserve os triângulos d figur e respond às questões. Tome not m ) Quis são os triângulos uj semelnç dá origem à relção 5? ) Sustituindo os segmentos d proporção do item pels letrs que representm sus medids, voê pode onluir que? 5?? Por quê? ) Esrev om sus plvrs o resultdo epresso pel fórmul Usndo mesm figur d tividde 7, esrev os triângulos uj semelnç o levrá onluir que 2 5 n e 2 5 m. Vej no qudro um resumo dos resultdos otidos té gor. Esses resultdos são mdos relções métris no triângulo retângulo. m n n Se o triângulo é retângulo e é ltur reltiv à ipotenus, então: 2 5 mn n 2 5 m 94

7 9. Em d so seguir, lule e y. s figurs não estão em esl e todos os números se referem à mesm unidde de medid. ) 12 ) 4,5 6 9 y y 15 7,5 3. O teorem de Pitágors Voê já onee o teorem de Pitágors. Vej omo ele pode ser resumido por meio de um figur e de um fórmul. Vej tmém o ojeto eduionl digitl Teorem de Pitágors Voê notou? O teorem de Pitágors diz que áre do qudrdo onstruído sore ipotenus de um triângulo retângulo é igul à som ds áres dos qudrdos onstruídos sore os tetos. 2 2 Os tetos de um triângulo retângulo medem 1,5 m e 2 m. Qunto mede su ipotenus? Usndo o teorem de Pitágors pr lulr lgums medids em triângulos retângulos ompne, gor, omo deduzir o teorem de Pitágors usndo semelnç de triângulos e um pouquino de Álger. Ns tividdes nteriores voê viu que pr os triângulos d figur temos: m e 2 5 n N estnte O livro Os peregrinos, de Egídio Trmiolli Neto (oleção O ontdor de istóris e outrs istóris d Mtemáti, FT, 1998), ord o teorem de Pitágors, o teorem de Tles e s relções métris do triângulo retângulo. F-símile/FT m n p do livro Os peregrinos. 95

8 diionndo memro memro s igulddes 2 5 m e 2 5 n, otém-se: m 1 n 5 (m 1 n) om isso fi demonstrdo que Os tetos de um triângulo retângulo medem, respetivmente, 1,5 m e 2 m. lule medid d ipotenus e medid d ltur reltiv à ipotenus. Tome not Um form resumid de esrever o teorem de Pitágors é: Em um triângulo retângulo, o qudrdo d ipotenus é igul à som dos qudrdos dos tetos. 11. e ordo om s medids indids n figur, lule e y. 12 m y 13 m Pr ser mis 12. Oserve figur io e lule e y. Verifindo se um triângulo é retângulo. oneendo-se medid dos ldos, e de um triângulo, já ordendos de modo que < <, omo ser se o triângulo é ou não retângulo? respost ess pergunt é em simples: st verifir se epressão numéri é verddeir ou fls. Por eemplo, o triângulo de ldos de medids 2, 3 e 4 não é retângulo, pois iguldde é fls. Por outro ldo, o triângulo de ldos de medids 31, 480 e 481 é retângulo, pois iguldde é verddeir (verifique!). 13. Oserve s medids indids por letrs minúsuls n figur. epois, fç o que se pede. ) onsiderndo m 5 7 e n 5 21, lule,, e. ) onsiderndo 5 12 e m 5 3, lule,, e n. ) onsiderndo 5 2 XX 3 e m 5 3 XX 2, lule,, e n y 13 m n 96

9 lgums plições do teorem de Pitágors 14. Um rmp de mdeir pr esso um pltform de rg está poid sore dus vigs, onforme figur seguir. lule, proimdmente, quntos metros de vig são neessários pr o poio d rmp. vig de metl 15. N figur io, o is de mdeir está um ltur de 3 metros d águ, e o ro está preso o is por um ord de 12 metros. lule distâni proimd d do ro o is sendo que ord que o prende está totlmente estid. 16. ois viões, e, prtem do mesmo eroporto O. Um segue pr o norte, e o outro, pr leste. Um or depois d prtid, posição deles n tel do rdr d torre de N ontrole é que se vê n figur. unidde de medid or- N NO NE NNO NNE ONO ENE respondente o ldo d grde O E OSO ESE do rdr é 1 km. SSO SSE Pelo que se vê no rdr, qul é SO SE S distâni rel, em lin ret, O E entre eles? 5 m 1,5 m Editoril SM/Guilerme sgrndi Giz de er/i/r oneões Triângulo retângulo e onstrução ivil miori ds ss e prédios, qundo vistos de im, present predes que formm um ângulo de 90 grus entre els. Pr fzer onstruções om ess rterísti, ntes de erguer s predes, verifi-se se els serão onstruíds formndo um ângulo reto. Vej um proedimento omumente usdo nesse so: I. N lin que indi onde se pretende levntr um ds predes, mr-se um ponto P 4 metros prtir do seu iníio. II. N lin que indi onde outr prede deverá ser onstruíd, mr-se um ponto Q 3 metros prtir do seu iníio. III. Verifi se distâni entre os pontos P e Q mrdos nos pssos nteriores é de 5 metros. omo voê pode eplir, usndo seus oneimentos mtemátios, que o proedimento presentdo no teto está orreto? 17. O triângulo o ldo é equilátero. lule medid d ltur desse triângulo. 10 m 5 m 97

10 18. Oserve figur o ldo e oten um fómul que permit lulr medid d d digonl de um qudrdo em função d medid l do ldo. d l 19. figur o ldo mostr um triângulo equilátero ujo ldo mede l e uj ltur mede. Fç o que se pede e oten um fórmul que relione medid d ltur e medid do ldo desse triângulo. ) Eplique por que 2 5 l 2 2 ( l 2 ) 2. ) Mostre que 5 l XX 3 2. ) lule, gor, o ldo de um triângulo equilátero uj ltur é 5 XX 3. l l l lule medid d digonl de um qudrdo ujo ldo mede 6 m. 21. Voê vi deduzir fórmul que permite lulr medid d digonl RP de um loo retngulr em função ds medids, e de sus rests. Pr isso, oserve figur io e fç o que se pede. ) Oserve, n se do loo, o triângulo NMP. ele se onlui que Por quê? S T y O P R Q N M ) gor, vej o triângulo mrelo RNP. ele se onlui que y Por quê? ) N iguldde y , sustitu 2 por e etri riz qudrd de mos os memros. 22. Use fórmul que voê ou de deduzir pr lulr medid d digonl de um loo retngulr ujs medids ds rests são 5 1,5 m, 5 2 m e 5 6 m. Tome not Ns últims três tividdes voê oteve três fórmuls importntes relionndo s medids: d ltur e l do ldo do triângulo equilátero: 5 l XX 3 2 d d digonl e l do ldo do qudrdo: d 5 l XX 2 y d digonl e, e ds rests de um loo retngulr: y 5 XXXXXXXXXX

11 Leitur geometri dos egípios e situções do otidino O mior istoridor d ntiguidde foi eródoto (er de 500..), o qul onsider o desenvolvimento d geometri no Egito ser onsequêni diret ds inundções periódis ds terrs ultiváveis às mrgens do rio Nilo. evido às águs ds enentes pgrem s demrções determinds pr os terrenos de plntio, form rids ténis de mensurção, que permitissem um mior gilidde ness demrção. Foi prtir d neessidde d mensurção dos terrenos e d eperiêni om o meio miente, ou sej, d práti d resolução desses prolems d vid otidin dos egípios, que os oneitos e fórmuls geométris form se desenvolvendo e se tornrm oneidos. [...] O esqudro de ords dos egípios Voê seri dizer omo provvelmente os egípios onseguirm trçr, om meios em rudimentres, figur de um triângulo retângulo prtir dos números 3, 4 e 5? Tudo indi que dividim um ord em doze prtes iguis por meio de 13 nós, otendo um rtefto que poderi ser onsiderdo um esqudro de ord. om o uílio de três ests o fivm no terreno ser demrdo. Pr tnto, primeiro, fivm um dos treos d ord ontendo 3, 4 ou 5 prtes. Enqunto im tentndo juntr s ponts d ord té que s dus se enontrssem, estivm os seus outros dois treos. om est téni, otinm form de triângulo retângulo sore o terreno. Giz de er/i/r isponível em: <ttp:// esso em: 17 mr Junte-se dois olegs e fç omo os egípios. Pr filitr, pegue um rnte, mrque om tint de net os pontos de 1 13, igulmente espçdos, e verifique se o triângulo otido é retângulo. ) Use omo unidde de medid distâni entre dus mrs. Quis são, nesse so, s medids de d um dos tetos e d ipotenus? ) Use, gor, um rnte om o doro do omprimento do primeiro, mrque om tint de net os pontos de 1 13, igulmente espçdos, e repit eperiêni. O triângulo ind é retângulo? ) Usndo omo unidde de medid distâni entre os dois nós do primeiro rnte, quis serão s medids do segundo triângulo? d) O segundo triângulo é semelnte o primeiro? Por quê? 99

12 Retomr e onluir O pítulo termin qui. Voê estudou muits oiss! E ontinurá estudndo muito mis! Est seção judrá voê vlir su prendizgem sore os tems orddos neste pítulo. esur o qunto voê prendeu! Suesso em su utovlição! Será que eu sei... Vou onferir fzendo s tividdes identifir triângulos retângulos semelntes?... 26, 27 e identifir os prinipis elementos de um triângulo retângulo?... 34, 35, 36, 37 e usr s relções métris no triângulo retângulo pr lulr s medids de seus prinipis elementos? e plir o teorem de Pitágors n resolução de prolems?... 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36 e 37 TIVIES SORE o PíTULO 24. Verifique se são triângulos retângulos os triângulos ujos ldos medem: ) 3, 4 e 5 ) 48, 55 e 73 ) 10, 12 e 20 d) 7, 10 e lule medid d digonl mior do losngo mostrdo o ldo: 20 m 15 m 26. ds s medids do triângulo io, lule. 28. áre de um trpézio isóseles é 40 m 2 e sus ses medem, respetivmente, 13 m e 7 m. lule o perímetro e medid d digonl desse trpézio. E F 29. figur seguir represent um uo uj rest mede 2 XX 2 m. lule o perímetro do retângulo zul. 8 m 5 m 17 m 27. N figur seguir, o qudrilátero é um retângulo. lule m e. m 6 m 30. Qul é o perímetro do polígono seguir? 30 m 80 m E U 8 m 70 m V 160 m 200 m G 100

13 31. O triângulo que pree no teldo d fd d s é retângulo isóseles. lule medid d ltur d fd. 12 m 8 m 32. N figur seguir estão indids, om ores diferentes, três possiiliddes que um eletriist tem pr pssr um fio do ponto o ponto. Qul ds possiiliddes ele deve esoler pr gstr quntidde mínim de fio? 4,20 m 2,70 m E 8 m 33. o lto de um rmp solt-se um esfer onforme se vê n figur. lule distâni, em metro, perorrid por ess esfer do ponto o ponto. 80 m 60 m 150 m 34. esd uj figur se vê io tem 10 degrus, d um om 17 m de ltur e 26,4 m de lrgur. lule medid do orrimão, representdo pelo segmento E. F E 35. se d pirâmide d figur é um qudrdo de ldo de medid. V rest dess pirâmide mede, ltur mede e E é o ponto médio d digonl. Esrev um fórmul E relionndo, e. 36. Fç o que se pede. ) Esrev s oordends dos pontos e vistos n figur io. ) lule distâni entre eles, isto é, lule medid de y lule distâni entre dois pontos, M e N, ujs oordends são M (12, 9) e N (20, 15). 38. esene dois triângulos retângulos que não sejm semelntes e eplique por esrito por que não eiste semelnç entre eles. Fzendo um resumo Fç o que se pede. Esrev s ondições que devem ser stisfeits pr que dois triângulos, e EF, sejm semelntes. esene um triângulo retângulo e ltur reltiv à ipotenus. Nomeie os vérties om letrs miúsuls e os omprimentos dos segmentos om letrs minúsuls. prtir do seu deseno, esrev s fórmuls otids no pítulo, por meio de semelnç de triângulos retângulos. Esrev om sus plvrs o enunido do teorem de Pitágors. 101

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