Função de onda e Equação de Schrödinger

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1 Função de ond e Equção de Schrödinger A U L A 4 Met d ul Introduzir função de ond e Equção de Schrödinger. objetivos interpretr fisicmente função de ond; obter informção sobre um sistem microscópico, prtir d função de ond. Pré-requisito Pr um melhor compreensão dest ul, é preciso que você revej o conceito de equções em derivds prciis, tis como equção de onds, vist n Aul 11 de Físic B.

2 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger FUNÇÃO DE ONDA E EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER Vimos, ns uls do Módulo 1 dest disciplin, que s prtículs microscópics, como os elétrons, não se movem seguindo s leis clássics do movimento, dds pel Mecânic Newtonin. Esss prtículs, porém, seguem outrs leis que precem ser mis proprids pr propgção de onds. Isso ficou clro, de form qulittiv, n Aul, n qul vimos surgir um pdrão de interferênci, qundo um feixe de elétrons pss trvés de um fend dupl. Neste módulo, iniciremos um estudo quntittivo d dinâmic ds prtículs quântics, por meio de seus postuldos e de su formulção mtemátic precis. Afinl, quis são s leis que regem o movimento ds prtículs microscópics? Vmos considerr um prtícul microscópic (por exemplo, um elétron) que se moviment em três dimensões. Vmos ceitr, como postuldo, que o estdo dess prtícul, em um instnte de tempo t, é completmente definido por um quntidde complex chmd função de ond, e indicd pelo símbolo Ψ(x,y,z,t), em que (x,y,z) são s coordends espciis. O que queremos dizer com expressão estdo de um prtícul? N mecânic clássic, o estdo de um prtícul é conhecido por meio de su posição e de su velocidde em um determindo instnte. Este conhecimento, somdo o conhecimento d forç (ou, se preferirem, d energi potencil) que tu sobre est prtícul, permite descrição complet d su trjetóri subsequente trvés d integrção d ª Lei de Newton. Já um movimento ondultório, como vimos no Módulo 1, será totlmente conhecido, se soubermos dependênci espcil e temporl d função de ond. Por exemplo, no cso de onds n superfície d águ, vimos que um função de ond proprid er ltur do nível d águ. Note que, no cso ds prtículs quântics, descrição mtemátic é muito mis precid com ds onds do que com ds prtículs clássics. Como vimos n Aul 11 de Físic B, no cso de onds clássics, função de ond é solução de um equção em derivds prciis conhecid como equção d ond. Então, é rzoável supor que função de ond de um prtícul quântic deve tmbém stisfzer um equção de ond. Que equção é est? Veremos seguir. Suponh que prtícul quântic tenh mss m e se mov sob influênci de um energi potencil V(x,y,z,t). Postul-se, então, que função de ond stisfç à seguinte equção em derivds prciis: h ih V x,y,z,t = + + Ψ Ψ Ψ Ψ m x y z + ( ) Ψ t (4.1) 40 C E D E R J

3 em que h = h / π, sendo h constnte de Plnck. Est é fmos Equção de Schrödinger, propost pelo físico ustríco Erwin Schrödinger (Figur 4.1), em 196. Note que ess equção prece um pouco mis complicd que equção d ond clássic que conhecemos. Ms não se preocupe, em breve você estrá bstnte fmilirizdo com el. AULA 4 MÓDULO 1 Notem que estmos postulndo que o estudo de um sistem microscópico consiste em encontrr função de ond ψ, qul stisfz Equção de Schrödinger. A únic justifictiv pr descrição d Físic Quântic ser bsed nesss suposições é que els funcionm. Em outrs plvrs, Físic Quântic bsed nesss suposições descreve corretmente todos os fenômenos os quis tem sido plicd. Existem, n litertur, presentções d Equção de Schrödinger como sendo derivd d equção de ond, fzendo, com isso, diverss considerções que tentm mostrr su plusibilidde. Nós preferimos, entretnto, trtá-l como de fto el é: um postuldo. Não é possível chegr à Físic Quântic prtir d Físic Clássic pens por um rgumentção lógic! Figur 4.1: O físico ustríco Erwin Schrödinger ( ), que, por seu trblho de 196, no qul propôs equção que gnhou seu nome pr descrição d dinâmic ds prtículs quântics, foi grcido, juntmente com o físico inglês Pul Dirc, com o Prêmio Nobel de Físic de A prtir de gor, vmos nos restringir o cso unidimensionl, em que x é únic coordend. Além de levr um mior simplicidde, esse cso será suficiente pr estudr miori ds plicções que considerremos neste curso. No cso unidimensionl, Equção (4.1) se escreve: ih Ψ ( x,t) h = t m Ψ ( x,t) x + V( x,t) Ψ ( x,t). (4.) Vemos imeditmente que, pelo fto de ser solução de um equção complex em derivds prciis, função de ond será necessrimente um função complex. Este fto será discutido no próximo item. A função de ond Ψ(x,t) é um função contínu e, sempre que o potencil V(x,t) for finito, com derivd tmbém contínu. C E D E R J 41

4 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA FUNÇÃO DE ONDA Figur 4.: O físico lemão Mx Born ( ), que formulou interpretção probbilístic d função de ond e, por isso, foi grcido com o Prêmio Nobel de Físic de Antes de começrmos resolver Equção de Schrödinger em situções específics, o que será feito ns próxims uls, vmos entender melhor o significdo d função de ond. Até o momento, el prece pens como um quntidde bstrt. Será mesmo ssim? Bem, vemos que, pelo fto de função de ond ser um quntidde complex, el não pode ser medid diretmente por nenhum instrumento físico. Isso signific que não há um sentido físico imedito pr ess função! Portnto, vmos deixr bem estbelecido que, de fto, função de ond de um sistem nd mis é do que um representção mtemátic bstrt do estdo do sistem. El somente tem significdo no contexto d teori quântic. Então, de que nos serve est função? Podemos utilizá-l, de lgum form, pr descrever o mundo físico? Mx Born, em 196, postulou que densidde de probbilidde p(x,t) de se encontrr prtícul n posição x, no instnte t, poderi ser obtid prtir d função de ond pel relção: p( x,t) = Ψ( x,t), (4.3) um região de modo que probbilidde de encontrrmos prtícul em x b no instnte t é dd por: b P[,b] = ( x,t) dx. (4.4) Ψ Note que est é pens um versão mtemticmente mis precis do que encontrmos em nossos experimentos de fend dupl descritos n Aul. Esse resultdo é conhecido como interpretção probbilístic d função de ond. Como tod probbilidde que se prez, P[,b] deve ser rel e positiv, qulquer que sej o intervlo considerdo. Isto é grntido pelo fto de que * Ψ( x,t) = Ψ ( x,t) Ψ( x,t) é rel e positivo. Lembre-se: é o módulo o qudrdo de um número complexo! Além disso, probbilidde deve ser normlizd, ou sej, probbilidde de se encontrr prtícul em qulquer região do espço, num ddo instnte de tempo, deve ser igul 1: + Ψ( x,t ) dx = 1. (4.5) 4 C E D E R J

5 Est condição é conhecid como normlizção d função de ond. Tod função de ond que se prez deve estr devidmente normlizd. Em três dimensões, relção correspondente é dx dy dz x,y,z,t. Ψ( ) = 1 V AULA 4 MÓDULO 1 ψ(x,0) / / x Figur 4.3: Energi potencil e função de ond em t = 0 do estdo de mis bix energi do poço infinito. ATIVIDADE 1. Vmos exercitr lguns conceitos ssocidos à interpretção probbilístic d função de ond? A Figur 4.3 mostr, em t = 0, função de ond do chmdo estdo fundmentl (o estdo de energi mis bix) do poço de potencil infinito. O poço infinito é quele em que energi potencil é zero num cert região (no cso mostrdo n Figur 4.3, em / < x < / ) e infinit em todo o resto do espço. Trt-se de um idelizção, ms é muito útil pr estudr os poços de potencil encontrdos n nturez. Veremos, ns próxims uls, como resolver Equção de Schrödinger pr o poço infinito, ms este não é o nosso foco no momento. Conhecemos solução e vmos trblhr um pouco com el. A função de ond do estdo fundmentl é seguinte: πx / Acos e iet h, < x < Ψ( x,t) = 0, x ou x. em que E é energi d prtícul no referido estdo e A é um número rel chmdo de constnte de normlizção, ser determindo. C E D E R J 43

6 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger. Usndo o postuldo de Born, obtenh densidde de probbilidde p(x,t) de se encontrr prtícul em um ponto qulquer do eixo x, no instnte t. Verifique que est densidde é rel e positiv. b. Imponh condição de normlizção e encontre constnte A. c. Ache probbilidde de se encontrr prtícul n metde direit do poço (x > 0). RESPOSTA COMENTADA. Pr clculr densidde de probbilidde, bst usr o postuldo de Born. Assim, obtemos πx. Ψ * ( ) Ψ ( ) Acos cos cos, x,t x,t e iet/ h A πx e -iet/ h A πx = < x < = 0, x ou x Como um cosseno o qudrdo é sempre rel e positivo, densidde de probbilidde tmbém é rel e positiv. Note ind que densidde é máxim n origem. b. A condição de normlizção é impost d seguinte form:. Ψ( x,t ) dx = 1 Assim, podemos obter constnte A: x Ψ( x,t) dx A cos. dx A π 1 A 1 = = = = c. A probbilidde de encontrrmos prtícul n metde direit do poço é dd pel Equção (4.5): πx P[ 0, ] ( x,t) dx cos dx 1 = Ψ = = = 50%. 0 Ou sej, prtícul pode estr com igul probbilidde do ldo direito e do ldo esquerdo do poço. Isto é esperdo, visto que o potencil é simétrico com relção à origem! 0 OPERADORES E VALORES ESPERADOS A est ltur, você já deve estr convencido d nturez probbilístic do mundo quântico (ou, o menos, deve ter se conformdo com el). Vimos, n experiênci de fend dupl (Aul ), que não podemos prever o resultdo de um único evento (como posição do impcto de um elétron no ntepro). Podemos, porém, fzer um nálise esttístic 44 C E D E R J

7 de um número muito grnde de eventos. Por exemplo, se fizermos váris medids d posição x do elétron no ntepro, que vlor médio ou vlor esperdo d posição x iremos obter? O resultdo importntíssimo descrito no item nterior nos permite fzer este cálculo. Um vez que temos distribuição de probbiliddes, isto se torn simples, bst usr um resultdo bem conhecido de esttístic elementr: x = x Ψ( x,t) dx. (4.6) AULA 4 MÓDULO 1 Seguindo ess receit, podemos clculr outrs quntiddes de interesse, tis como o vlor esperdo f de um função qulquer d posição x, f(x). Ess quntidde é dd pel expressão usul pr o vlor esperdo: ms que escreveremos n form f = f ( x ) Ψ( x,t ) dx, (4.7) f = Ψ * ( x,t) f ( x) Ψ ( x,t) dx. (4.8) A Equção (4.8) é completmente equivlente à Equção (4.7). Ms, então, qul é vntgem de escrevê-l dest form? N verdde, Equção (4.8) é pens um cso prticulr do seguinte resultdo mis gerl: O Ψ * ( x,t) O Ψ ( x,t) dx, = [ ] (4.9) em que O é um operdor quântico e O é seu vlor esperdo. Um operdor quântico oper ou tu sobre um função de ond, e o resultdo é um outr função. Indicmos por O o resultdo d operção do operdor O sobre função de ond Ψ. No cso mis simples, um operdor pode ser um função f(x). Qundo isso contece, o resultdo d operção é simplesmente o produto d função f pel [ ] = [ Ψ( x,t) ] função de ond Ψ, ou sej, O Ψ( x,t) f ( x) Ψ( x,t). Neste cso, expressão (4.9) se reduz à (4.8). Porém, no cso mis gerl, um operdor quântico pode envolver operções mis complicds, como, por exemplo, diferencição. Veremos exemplos desse tipo n Aul 5. C E D E R J 45

8 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger Afinl, pr que servem os operdores quânticos e Equção (4.9)? Certmente não são pens um curiosidde mtemátic, muito pelo contrário. Os operdores desempenhm um ppel centrl no formlismo d Físic Quântic. Este ppel é definido pelo seguinte postuldo: A cd grndez físic corresponde um operdor quântico. E mis: supondo um prtícul no estdo quântico definido pel função de ond Ψ, o vlor esperdo d medid d grndez físic correspondente o operdor O (ou sej, o vlor médio esttístico de muits medids dest grndez) é ddo pel Equção (4.9). Vle pen meditr sobre importânci desse resultdo. N Aul, prendemos que n Físic Quântic é impossível prever, com certez, o resultdo de um únic medid. N ocsião, você pode ter sentido um limitção repentin em sus possibiliddes de conhecer dinâmic de um sistem físico, lgo que não existi n Físic Clássic. Agor, observmos que o menos o vlor médio de um número muito grnde de medids pode ser predito pel teori. Recupermos, ind que prcilmente, nosso poder preditivo. N próxim ul, conheceremos dois operdores bstnte importntes, ssocidos à energi e o momento liner. Veremos que eles não podem ser definidos por um simples função d posição f(x). Ms, ntes, que tl trblhrmos um pouco com lguns operdores mis simples? ATIVIDADE FINAL Considere mis um vez função de ond do estdo fundmentl do poço infinito Equção (4.6).. Clcule o vlor esperdo d posição x e interprete seu resultdo. b. Além do vlor esperdo de um conjunto de muits medids, podemos clculr o desvio-pdrão. O desvio-pdrão mede fix de vlores em que probbilidde de medid é lt. Dess form, ele dá um idéi d incertez d medid. Clcule o desvio-pdrão d posição pr o estdo fundmentl do poço infinito. x = x x 46 C E D E R J

9 RESPOSTA COMENTADA. O vlor esperdo d posição é obtido d seguinte form: x x x,t x,t x x,t dx e iet/h x x = Ψ * Ψ * Ψ π π ( ) ( ) ( ) = cos cos e πx = x cos dx = 0. iet/h dx = AULA 4 MÓDULO 1 Podemos entender este resultdo por simetri: prtícul tem igul probbilidde de ser encontrd do ldo direito e do ldo esquerdo do poço, de modo que o vlor mis provável é x = 0. b. Clculr incertez x = x x x πx x dx π = cos = 1 = 0, 033 π 6 x = x = 0, 18. R E S U M O O estdo quântico de um prtícul é descrito por su função de ond, que stisfz à Equção de Schrödinger. O módulo o qudrdo d função de ond nos dá mplitude de probbilidde de encontrrmos prtícul num cert posição. A cd grndez físic corresponde um operdor quântico. Assim, com o conhecimento d função de ond, é possível obter o vlor esperdo ds medids dess grndez. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA N próxim ul, vmos conhecer os operdores energi e momento liner e descreveremos o Princípio d Incertez de Heisenberg. C E D E R J 47