Aplicações da Integral Simples

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1 Chpter Aplicções d Integrl Simples. Áre de regiões plnres Sej R região limitd pelo gráfico d função = f(), s rets =, = b e o eio, sendo f() pr todo [, b]. A áre d região R é ddo pel fórmul: A = f()d. = f() = f() O R b O i i+ b = n DEMONSTRAÇÃO Tomemos números,,,, n [, b] tis que = < < < < n = b e,,,, n tis que i [ i, i ]. Então A = ( ) } {{ } f( ) + ( ) } {{ } f( ) + + ( n n ) } {{ } n f( n ) = n i f( i ) i=

2 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Áre de regiões plnres Resumindo: A = lim m i n i f( i) = i= f() d Sej R região delimitd pel curv = f(), f contínu em [, b], pels rets verticis = e = b, e eio, então áre A de R é ddo por A = f() d. Em prticulr se R é região delimitd pel curv = f(), pels rets verticis = e = b, e eio, tis que f contínu em [, b], f() pr < < c e f() pr c < < b então áre A de R é ddo por A = c f() d = f()d + c f()d. Sej R região delimitd pel curv = g(), g contínu em [c, d], pels rets horizontis = c e = d, e eio, então áre A de R é ddo por A = d c g() d. Sej R região delimitd pels curvs = f (), = f () interceptndo nos pontos com bscisss = e = b, então áre A de R é ddo por A = f () f () d. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

3 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Áre de regiões plnres Sej R região delimitd pels curvs = g (), = g () interceptndo nos pontos com ordends = c e = d, então áre A de R é ddo por A = d c g () g () d. Eemplo.. Clculr áre d figur do plno limitd pel curv = tg e o eio e tl que π/3 π/4. Solução π/4 A = tg() d = tg()d + π/3 π/3 π/4 tg()d π/3 π/4 A = [ ln( cos )] π/3 + [ ln( cos )]π/4 A = 3 ln(). Eemplo.. Clculr áre d figur do plno limitd pel curv = log () e o eio e tl que / 4. Solução A = 4 / log () d = / Usndo integrção por prtes 5 ln() 5 A =. ln() log ()d + 4 log ()d / 4 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

4 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Áre de regiões plnres Eemplo.3. Clculr áre d figur do plno limitd pels curvs f() = + e g() = de modo que 5. Solução Pr determinr os limites de integrção fzemos interseção ds curvs: = + e = = =, A = A = 4 3. [( +) (4 6)]d+ 3 [(4+6) ( +)]d+ 5 3 [( +) (4+6)]d. Observção. Se f e g são funções contínus em R, pr clculr áre d região entre s curvs = f() e = g() necessitmos pens conhecer os pontos de interseção entre s curvs e o sinl de f() g(). Não há necessidde de mis detlhes sobre o gráfico de f ou de g. Eemplo.4. Clculr áre d figur do plno limitd pels curvs = e = Solução Interseções: = = 3 ( ) = 3 ( + )( ) = = ou = ou =. Sinl de = 3 ( + )( ) : Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

5 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Logo, A = ( )d ( )d = ( )d Sec.: Áre de regiões plnres ( )d = 6 3. Eemplo.5. Clculr áre d figur do plno limitd pels curvs + = e =. Solução Neste eemplo convém tomr como vriável independente e s funções = f() = + e = g() = As interseções d prábol e d ret = + e = são os pontos (, ) e (, ). A = A = 4 3. ( + ) d = ( + )d Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6

6 Cp.: Aplicções d Integrl Simples. Eercícios Sec.: Eercícios [] Determine áre d região do plno limitd simultnemente pels seguintes curvs: (.) = ln, = e o eio O (.) = 8 +, =, = 3 e = (.3) = 4 e + = 5 (.4) =, =, = e = (.5) =, = e = (.6) = 4 e = (.7) = 3 3 e = (.8) = 9, = 9 e = (.9) f() = e g() = 3 (.) = e = 6 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 7

7 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.3 Volume de sólidos Sec.3: Volume de sólidos Introdução Volume de um cilindro reto Admitiremos inicilmente definição de volume pr cilindros retos: Tomemos um plno α e um região R deste plno, com áre A limitd por um curv fechd C. Consideremos um ret r perpendiculr o plno α e tomemos superfície cilíndric tl que C sej su diretriz e r um gertriz (isto é, obtid pel reunião de tods s rets prlels r pssndo por lgum ponto de C). Consideremos um plno, β, prlelo α. A região do espço limitd pel superfície cilíndric e pelos dois plnos é um cilindro de bse R e ltur h, sendo h distânci entre os dois plnos. O volume do cilindro é, V = A.h. Ddo um sólido, tomemos um eio orientdo OX e, pr todo número rel, o plno perpendiculr OX em (isto é pssndo pelo ponto de bsciss do eio). Suponhmos que: Pr todo R, o plno em intercept o sólido se, e somente, se [, b]. Se [, b] intersecção é um região desse plno com áre que indicremos por A(). Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 8

8 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Se função A(), definid em [, b], é contínu então o volume do sólido é: V = A() d Dedução d fórmul: Tomemos números,,,..., n [, b] tis que = < < <... < n = b e números,,..., n tis que i [ i, i ]. O cilindro cuj bse é intersecção do plno perpendiculr o eio OX em i com o sólido e cuj ltur é ( i i ) tem volume igul A( i )( i i ) e então V n = ( ) A( } {{ } ) + ( ) A( } {{ } ) + + ( n n ) A( } {{ } n ) = i A( i ) i= n V = lim m i n i A( i ) = i= A() d Chmremos s intersecções do sólido com os plnos perpendiculres o eio de seções plns do sólido trnsversis o eio OX ou de seções plns. Eemplo.6. Clculr o volume de um pirâmide cuj bse é um qudrdo de ldo e cuj ltur é 3. Solução Tomemos o eio OY perpendiculr o plno d bse d pirâmide, ortogonl um dos ldos d bse e su origem e orientção como indicdos n figur o ldo. Pr todo [, 3] seção pln trnsversl OY é um qudrdo cujo ldo vri com e que indicremos por L. Então seção pln tem áre A = L e o volume d pirâmide é ddo por V = 3 L d. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 9

9 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Pr relcionrmos L e, tomemos: Um plno perpendiculr o plno d bse, prlelo um dos ldos dess bse e contendo o eio. A projeção d pirâmide neste plno (vej figur o ldo). Usndo semelhnç de triângulos temos 3 L = 3 L = 6 3 Logo, V = 3 ( 6 3 ) d = 9 3 ( ) d = 4 Vemos qui um confirmção d proposição presentd no Ensino Médio: O volume d pirâmide de bse A e ltur h é V = Ah 3. Eemplo.7. Clculr o volume de um esfer de rio igul. Solução Podemos escolher um eio OY qulquer. Como indicdo n figur o ldo, escolhemos um eio tl que o plno perpendiculr ele n origem pss pelo centro d esfer. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

10 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Pr todo [, ] seção pln trnsversl OY é um círculo cujo rio vri com e que indicremos por r. Então seção pln tem áre A = πr e o volume d esfer é ddo por V = π r d Ou usndo simetri d esfer Sec.3: Volume de sólidos V = π r d Pr relcionrmos r e, tomemos intersecção d esfer com um plno que contenh o eio e psse pelo seu centro. Pelo Teorem de Pitágors (vej figur o ldo), r + = r = ± 4 Logo, V = π ( 4 ) d = π (4 ) d = 3π 3. Vemos qui um confirmção de outr proposição presentd no Ensino Médio: O volume d esfer de rio R é: V = 4πR3 3. Eemplo.8. Represente grficmente e clcule o volume do sólido limitdo pelo plno z = e superfície de equção z = +. Solução Representção gráfic: Ddo um plno de equção z = c, c constnte, (isto é perpendiculr OZ), pr obtermos su intersecção com superfície, substituímos z = c n equção z = +, obtendo, Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

11 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Logo, intersecção é Sec.3: Volume de sólidos Se c >, um círculo no plno z = c de equção + = c. Portnto com rio c. Se c =, o ponto (, ) Se c <, vzi Logo trt-se de um superfície de revolução em torno de OZ. Pr considerr intersecção d superfície com o plno Y OZ, substituímos = n equção z = + obtendo equção d prábol z =. Portnto superfície é gerd pel rotção dest prábol em torno de OZ (é um prbolóide de revolução). N figur o ldo temos um esboço do sólido limitdo pel superfície e pelo plno z =. Cálculo do volume: Pr todo z [, ] seção pln trnsversl OZ é um circulo cujo rio é z. Então seção pln tem áre A = π( z) = πz e o volume do sólido é ddo por V = π z dz = π [ z ] = π. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

12 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.9. Represente grficmente e clcule o volume do sólido limitdo pelo plno z = e superfície de equção z = Solução Representção gráfic: Como no eemplo nterior, intersecção de um plno de equção z = c, c constnte, com superfície, obtém-se substituímos z = c n equção (*), resultndo = c Logo, intersecção é: ( ) Vzi, se c <. (, ), se c =. Um elipse no plno z = c, de equção semi-eios c e 3 c se c >. ( c) + (3 = e portnto com c) Pr considerr intersecção d superfície com o plno Y OZ e com o plno XOZ, substituímos = e = n equção ( ) obtendo s prábols z = 9 e z = 4. Trt-se de um prbolóide elíptico. Ou sej, representção gráfic é semelhnte à do prbolóide de revolução - bst substituir os círculos por elipses. Cálculo do volume: Pr todo z [, ] seção pln trnsversl OZ é um elipse com semi-eios z e 3 z. Então ess seção pln tem áre A = π( z)(3 z) = 6πz e o volume do sólido é ddo por V = 6π [ ] z dz = 3π z = 3π. Eemplo.. Represente grficmente e clcule o volume do elipsóide de equção Solução Representção gráfic: z = ( ). Como no eemplo nterior, intersecção de um plno de equção z = c, c constnte, com Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

13 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos superfície, obtém-se substituímos z = c n equção ( ) resultndo n equção, { }} { c = = c De cordo com o sinl de c, temos que intersecção é: Vzi, se c > ou c <. (, ), se c = ou c = Um elipse no plno z = c, de equção ( ) + c (3 ) = e c portnto com semi-eios c e 3 c, se < c < As seções trnsversis OX tmbém são elipses, de equções ( z c 4 ) + ( 3 c 4 ) =, obtids fzendo-se = c n equção ( ), pr < c <. De modo nálogo temos que s seções trnsversis OY são elipses. A seguir temos um esboço do sólido Cálculo do volume: Pr todo z [, ] seção pln trnsversl OZ é um elipse com semi-eios c e 3 c. Então ess seção pln tem áre A = π( z )(3 z ) = 6π( z ) e o volume do sólido é ddo por V = 6π ( z ) dz = 6π ] [z z3 = 8π. 3 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

14 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.. Clcule o volume do sólido que é intersecção dos cilindros + = e + z = (figur o ldo) Solução Cálculo do volume: Tomemos o eio OX e s intersecções de cd um dos cilindro com plnos perpendiculres esse eio. Pr o cilindro + =, fzendo = c, c constnte, n equção desse cilindro obtemos c + = = ± c Logo intersecção com o plno = c é: Vzi, se c > ou c <. A ret do plno = c de equção =, se c = ou c = A região do plno = c limitd pels dus rets prlels = ± c se < c <. De modo semelhnte, pr o cilindro + z =, fzendo = c, c constnte, n equção desse cilindro obtemos c + z = z = ± c Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

15 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Logo intersecção com o plno = c é: Vzi, se c > ou c <. A ret do plno = c de equção z =, se c = ou c = A região do plno = c limitd pels dus rets prlels z = ± c se < c < Portnto interseção dos dois cilindros com o plno = c é vzi se c > ou c < e é um qudrdo (vej figur nterior) de ldo L = c e o volume do sólido é V = L d = ( ) d = 4 ( ) d = 6 3. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6

16 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.. Clculr o volume do sólido cuj bse é um círculo de rio 3 e cujs seções trnsversis um diâmetro d bse são qudrdos. Solução Tomemos um eio orientdo cuj origem é o centro do círculo e que contém o diâmetro (figur o ldo). A seção trnsversl em é um qudrdo de ldo L que vri com. Logo, su áre é igul A = L, o volume do sólido é V = 3 3 L d = 3 L d (usndo simetri) ( ) L e + = 3 L = 4(9 ) Portnto, V = 8 3 (9 ) d = 8 ] 3 [9 3 = 44 3 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 7

17 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.3. Clculr o volume do sólido cuj bse é um elipse de semi-eios iguis e 3 e cujs seções trnsversis o eio mior são triângulos equiláteros. Solução Tomemos um sistem de eios crtesinos tl que OX coincid com o eio mior (figur o ldo) e O coincid com o centro d elipse. Nesse sistem de eios elipse tem equção = A seção trnsversl em é um triângulo equilátero de ldo L que vri com. Logo, su áre é igul 3L A = 4 o volume do sólido é V = 3 3 3L 4 3 d = 3L 4 d (usndo simetri) Como L = então ( pel equção d elipse) V = 3 = d = ] 3 [ 3 = ) ( 9 d = Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 8

18 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.4. Clculr um epressão em integris que represente o volume do sólido cuj bse é região do plno limitd pel prábol = e ret = + e cujs seções trnsversis OY são triângulos retângulos, isósceles tis que hipotenus se encontr sobre bse do sólido. Solução A região R está representd n figur o ldo. A seção trnsversl em é um triângulo retângulo isósceles de hipotenus b e ltur h (reltiv hipotenus), que vrim com. Logo, su áre é A = bh = b 4 O volume do sólido é V = b 4 d Como b = = + ( ) = ++ Então V = ( + + ) 4 d = 8 4 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 9

19 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.3: Volume de sólidos Eemplo.5. Clculr um epressão em integris que represente o volume do sólido cuj bse é um triângulo retângulo ABC de ctetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e cujs seções trnsversis AC são semi-círculos com diâmetros sobre bse do sólido. Solução Considerndo o eio OX como indicdo n figur o ldo, seção trnsversl em tem áre A = πr sendo r o rio do semi-circulo. O volume do sólido é V = π 4 r d Usndo semelhnç de triângulos 3 4 = r 4 3(4 ) 8 = r Logo, V = π 4 9(4 ) 64 d = 3π Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

20 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.4 Eercícios Sec.4: Eercícios [] Utilizndo seções plns prlels, mostre que o volume de um pirâmide qudrngulr ret, com ltur h e bse qudrd de ldo, é igul h 3. [] Utilizndo integrl de seções plns prlels, mostre que o volume do cone circulr reto, de ltur h e rio d bse r, é igul πr h 3. [3] Usndo o Cálculo Integrl, clcule o volume de um tronco de pirâmide, de ltur h, cuj bse é um qudrdo de ldo e cujo topo é um qudrdo de ldo b. [4] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um círculo de rio r e cujs seções trnsversis um diâmetro d mesm são triângulos eqüiláteros, todos situdos em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e que têm como um dos seus ldos cords d circunferênci d bse, perpendiculres esse diâmetro. [5] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um círculo de rio r e cujs seções trnsversis um diâmetro d mesm são triângulos retângulos isósceles, todos situdos em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e que têm como um dos seus ctetos cords d circunferênci d bse, perpendiculres esse diâmetro. [6] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um círculo de rio r e cujs seções trnsversis um diâmetro d mesm são triângulos retângulos isósceles, todos situdos em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e que têm como hipotenus cords d circunferênci d bse, perpendiculres esse diâmetro. [7] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um círculo de rio r e cujs seções trnsversis um diâmetro d mesm são semi-elipses, tods situds em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e que têm o eio menor como cords d circunferênci d bse, perpendiculres esse diâmetro e medid do eio mior igul o dobro d medid do eio menor. (Considere áre d elipse de semi-eios mior e menor e b, respectivmente, igul πb ). [8] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um círculo de rio r e cujs seções trnsversis um diâmetro d mesm são semi-elipses, tods contids em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e que têm o eio menor como cords d circunferênci d bse, perpendiculres esse diâmetro e tods els têm mesm Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

21 Cp.: Aplicções d Integrl Simples ecentricidde e. Sec.4: Eercícios [9] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um elipse de semi-eio mior e menor e b, respectivmente, e cujs seções trnsversis o eio menor são semi-círculos, todos situdos em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e tendo pr diâmetros cords d elipse d bse, perpendiculres o eio menor. [] Clcule o volume de um sólido que tem pr bse um elipse de semi-eio mior e menor e b, respectivmente, e cujs seções trnsversis o eio mior são semi-círculos, todos situdos em um mesmo semi-espço em relção o plno que contem, e tendo pr diâmetros cords d elipse d bse, perpendiculres o eio mior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item nterior). [] Clcule o volume do sólido de bse B = {(, ) R ; 3 3 } cujs seções por plnos perpendiculres o eio O são qudrdos com um ldo poido em B. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso

22 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.5 Volume de sólidos de revolução Sec.5: Sólidos de revolução Qundo rotcionmos um região do plno em torno de um ret (o eio) relizndo um volt complet, o lugr geométrico descrito pelo pontos d região é o que chmmos um sólido de revolução. Estudmos dois métodos como clculr volumes de sólidos de revolução: Método do disco circulr e do nel circulr Suponhmos que um sólido de revolução é obtido rotcionndo-se, em torno do eio, um região R delimitd pel curv = f(), sendo f um função contínu num intervlo [, b], f(), e pels rets verticis = e = b, como mostr figur bio. = f() = f() R O b O b Pr cd [, b], um plno perpendiculr o eio, cortndo este no ponto, determin no sólido de revolução um seção trnsversl que é um circulo centrdo em (, ) e rio f() e portnto cuj re A() = π[f()]. Portnto, o volume do sólido de revolução é V = A()d = π [f()] d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio, um região R delimitd pel curv = g(), g contínu em [c, d], g(), e pels rets horizontis = c e = d, o volume V de S é ddo por V = π d c [g()] d. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

23 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio, um região delimitd pels curvs = f (), = f () e pels rets verticis = e = b, sendo f () f () pr b, o volume V de S é ddo por V = π ([f ()] [f ()] ) d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio, um região delimitd pels curvs = g (), = g () e pels rets horizontis = c e = d, sendo g () g () pr c d, o volume V de S é ddo por V = π d c ([g ()] [g ()] ) d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno d ret = k, um região delimitd pels curvs = g (), = g () e pels rets horizontis = c e = d, sendo g () g () > k pr c d, o volume V de S é ddo por V = π d c ([g () k] [g () k] ) d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno d ret = k, um região delimitd pels curvs = f (), = f () e pels rets verticis = e = b, sendo f () f () > k pr b, o volume V de S é ddo por V = π ([f () k] [f () k] ) d. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

24 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução Eemplo.6. Considere região do plno delimitd pelo eio, o gráfico de =, pr, sendo gird primeiro o redor do eio e depois o redor do eio. Clcule o volume dos sólidos gerdos. Solução () Rotção em torno do eio = O O Pr cd [, ], seção trnsversl o eio O é um circulo gerdo pel rotção do segmento verticl de comprimento =. Logo, possui áre A() = π e o volume do sólido é igul V = (b) Rotção em torno do eio π d = πd = π. Pr cd [, ], seção trnsversl o eio O é um nel circulr de rio eterno igul e rio interno igul = e portnto tem áre igul A() = π π = 4π π 4 = π(4 4 ). O Logo o volume do sólido é igul V = π (4 4 )d = 6 π 5. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

25 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução Eemplo.7. Determine o volume do sólido obtido pelo rotção do prte d região delimitd por = 3 e = /4 n primeir qudrnte o redor do eio e depois o redor do eio. Solução Pontos de Interseção: /3 = 4 () Rotção em torno do eio =, = ±8 e =, = ±. = 3 = 4 O 8 O 8 Pr cd [, 8], seção trnsversl o eio O é um nel circulr de rio eterno = 3 e rio interno = 4 e portnto tem áre A() = π( 3 ) π( 4 ) = ) π ( /3. Logo o volume do sólido é igul 6 8 ) V = π ( /3 d = 8π 6 5. (b) Rotção em torno do eio O 8 Pr cd [, ], seção trnsversl o eio O é um nel circulr de rio eterno = 4 e rio interno igul = 3 e portnto tem áre igul A() = π(4) π( 3 ) = π(6 6 ). Logo o volume do sólido é igul V = π (6 6 )d = 5π. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6

26 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução Eemplo.8. Determine o volume do sólido obtido pel rotção d região delimitd pels curvs = e =, o redor d ret =. Solução Pontos de Interseção: = =, = = = O 5 4 O Pr cd [, ], seção trnsversl ret = é um nel circulr de rio eterno ( + ) = ( + ) e rio interno ( + ) = ( + ) e portnto tem áre A() = π( + ) π( + ) = π( + 4 / 4 4 ). Logo o volume do sólido é igul V = π ( + 4 / 4 4 )d = 49π 3. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 7

27 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Método dos invólucros cilíndricos Sec.5: Sólidos de revolução Usmos este método qundo rotção é feito em torno do eio do vriável dependente, ( = f()) e é impossível de escreve como função de. Suponhmos que um sólido de revolução é obtido rotcionndo-se, em torno do eio, um região R delimitd pel curv = f(), sendo f um função contínu num intervlo [, b], f(), e pels rets verticis = e = b, como mostr figur bio. = f() R b O + b Dividimos R em fis verticis de lrgur infinitésim como mostrdo n Figur. Qundo um fi verticl é gird em torno do eio, el ger um csc cilíndric de espessur e volume V. Est csc cilíndric é diferenç entre um cilindro eterior do rio ( + ) e um cilindro interior do rio. Ambos os cilindros têm ltur infinitmente próimo f(). Assim o volume dest csc cilíndric é V cilindro eterior cilindro interior π( + ) f() π f() ) = π ( + + ( ) f() ) = π ( + ( ) f() V πf() O volume totl do sólido de revolução será, de cordo com o Teorem Fundmentl, V = πf()d. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 8

28 Cp.: Aplicções d Integrl Simples. Observção. Denotmos Sec.5: Sólidos de revolução A() = πf() = π(rio)(ltur) Ou sej A() represent áre lterl de um cilindro de rio e ltur f(). Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio, um região delimitd pel curv = g(), g contínu em [c, d], g(), e pels rets horizontis = c e = d, o volume V de S é ddo por V = d c πg()d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio um região delimitd pels curvs = f (), = f () e pels rets verticis = e = b, sendo f () f () pr b, o volume V de S é ddo por V = ( ) π f () f () d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno de eio, um região delimitd pels curvs = g (), = g () e pels rets horizontis = c e = d, sendo g () g () pr c d, o volume V de S é ddo por V = d c ( ) π g () g () d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno d ret = k, um região delimitd pels curvs = g (), = g () e pels rets horizontis Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 9

29 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução = c e = d, sendo g () g () > k pr c d, o volume V de S é ddo por V = d c ( ) π k g () g () d. Se um sólido de revolução S é obtido rotcionndo-se em torno d ret = k, um região delimitd pels curvs = f (), = f () e pels rets verticis = e = b, sendo f () f () > k pr b, o volume V de S é ddo por V = ( ) π k f () f () d. Eemplo.9. Determine o volume do sólido obtido pel rotção d região limitd pel prbol = 3 o eio em torno do eio. Solução f() O A() = π(rio)(ltur) = π( 3 ) = π( 3 4 ) Logo V = π( 3 4 ) d = 6π 5 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

30 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.5: Sólidos de revolução Eemplo.. Determine o volume do sólido obtido pelo rotção do prte d região delimitd por = 3 e = /4 n primeir qudrnte o redor do eio. Solução = 3 = 4 O O 8 Logo A() = π(rio)(ltur) = π(4 3 ) = π(4 4 ) V = π(4 4 ) d = 8π 5 Eemplo.. Determine o volume do sólido obtido pel rotção d região delimitd pels curvs = e =, o redor d ret =. Solução 5 4 O A() = π(rio)(ltur) = π( + )( ) = π( 3/ 3 + / ) Logo V = π( 3/ 3 + / ) d = 49π 3 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

31 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.6 Eercícios Sec.6: Eercícios [] Clcule o volume do sólido obtido pel rotção d região do plno limitd pelo gráfico d função f() = e + e, com [, ], em torno do eio O. [] Clcule o volume do sólido obtido pel rotção d região do plno limitd pelo gráfico d elipse E : 9 + = 9 em torno do: (.) Eio mior (.) Eio menor. [3] Determine o volume do sólido obtido pel rotção d região compreendid entre o(s) gráfico(s) de: (3.) = ( )( 3) e o eio, o redor do eio (3.) = 3, = 8 e o eio, o redor do eio (3.3) = e =, o redor d ret = 6 (3.4) = ( ) e =, o redor d ret = (3.5) = sen, pr π, o redor do eio Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 3

32 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.7 Momentos estáticos e centróides Sec.7: Momentos e centróides No nosso di--di, nos deprmos com muits situções em que precismos mnter um sistem de corpos em equilíbrio. Pr conseguirmos poir um plc pln em um hste fin, de form que mesm fique em equilíbrio, o ponto de poio d hste deve estr loclizdo no centro de mss ou centróide d plc, considerndo-se o cmpo grvitcionl uniforme. Ou té mesmo pr rrumr crg de um cminhão é necessário que mesm estej em equilíbrio pr evitr cidentes por tombmento d crg, ou desgstes de pneus e suspensão. Dí, temos necessidde de determinr o centro de mss ou centróide não só de plcs plns de formtos vridos, como tmbém rmes, fios, e sólidos tri-dimensionis. Ao longo desse trblho vmos mostrr como encontrr centro de mss ou centróides como plicção do cálculo integrl em váris situções. Vle ressltr nesse momento diferenç entre centro de mss e centro de grvidde. O centro de mss independe de ftores eterno, como por eemplo d celerção d grvidde locl. Já o centro de grvidde depende do cmpo grvitcionl. Assim, o centro de mss e o centro de grvidde só coincidem qundo o cmpo grvitcionl for uniforme. Como podemos encontrr o centro de mss? Inicilmente vmos imginr um situção bem simples, como por eemplo um gngorr. A gngorr está poido num suporte como mostr figur seguir. p p d d Vmos considerr dus pessos sentds ns etremiddes com pesos p e p e distâncis o ponto de poio d e d respectivmente. Pel lei d Alvnc de Arquimedes gngorr só estrá em equilíbrio se: p d = p d. Agor vmos nlisr situção do ponto de vist uni-dimensionl, considerndo Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 33

33 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides origem d ret rel como mostr figur bio e denotremos por g o centro de grvidde d gngorr, ou sej, o ponto de poio de form que gngorr fique em equilíbrio, considerndo s condições nteriores. g O p p d d Nesse cso temos que d = g e d = g. Aplicndo lei d Alvnc, temos p ( g ) = p ( g ) p g p = p p g Dí, podemos concluir que p g p g = p + p g (p + p ) = p + p g = p + p p + p (.) Desde qundo o peso, segundo lei de Newton é forç eercid sobre o corpo pel trção grvitcionl d Terr temos que p = m g e p = m g, em que m e m são s msss ds pessos que estão sentds n gngorr e g é celerção d grvidde proimdmente igul à 9, 8m/s. Com esss considerção equção.9 é dd por g = g m + g m g m + g m = m + m m + m. (.) Como nesse cso o cmpo grvitcionl é uniforme, verificmos que o centro de grvidde ( g ) coincide com o centro de mss, que denotremos por = m + m m + m. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 34

34 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides Conseqüentemente, podemos definir o momento estático d mss de um prtícul em relção um ponto..3 Definição. Momento Estático Definimos o momento estático d mss m em relção origem, denotdo por M, trvés do produto M = m, ssim como o momento estático d mss m em relção origem, denotdo por M, trvés do produto M = m, em que e representm s distâncis ds msss m e m em relção origem ou ponto referencil. Assim como definimos o momento estático em relção um ponto, podemos tmbém definir o momento estático em relção outros referêncis como, por eemplo, um ret ou um plno. O momento tmbém pode ser plicdo outrs grndezs lém d mss como: momento de forç, momento de comprimento, momento de áre, momento de volume etc. Agor vmos considerr situção de termos um sistem de n prtículs com msss m, m,...,m n loclizds nos pontos,,..., n respectivmente sobre o eio O. Nesse cso o centro de mss do sistem é ddo pel rzão entre o somtório dos momentos e mss totl, como mostr equção bio. = n m i i i= = n m i i= M m m = M n em que m = m i represent mss totl do sistem e M = i= dos momentos estáticos de cd prtícul em relção origem. n m i i o somtório i= Observe que o centro de mss é um ponto em que podemos concentrr tods s msss do sistem de form que o somtório dos momentos em relção o referencil considerdo continu o mesmo. No cso bi-dimensionl, vmos considerr que s prtículs estão posicionds no plno crtesino, como mostrr figur bio. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 35

35 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides m m O m Seguindo um rciocínio similr o cso uni-dimensionl, já visto, só que gor tomndo como referencil os eios O e O, temos que o centróide, denotdo por (, ), é ddo por: em que m = = M m e = M m, n m i represent mss totl do sistem, e i= n n M = m i i e M = m i i i= i= representm os somtórios dos momentos em relção os eios O e O respectivmente. Observe que o momento de um prtícul em relção o eio O é o produto d mss dess prtícul pel distânci d mesm o eio O, que é um distânci. Similrmente, pr o momento em relção o eio O. Assim, o ponto (, ), que represent o centróide, é o ponto em que um únic prtícul de mss m teri os mesmos momentos do sistem. Vmos gor nos deter o cálculo do centro de mss ou centróide de plcs plns fins de mteril homogêneo com densidde uniforme ρ (mss por unidde de áre) e áre superficil A. Inicilmente, vmos encontrr centróides de plcs com formto de Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 36

36 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides figurs plns simétrics ou que possum eio de simetri. Um superfície é simétric em relção um eio OO, se pr cd ponto P d superfície eiste um ponto P, tl que o segmento PP lém de ser perpendiculr o eio OO, é dividido o meio pelo eio. Anlogmente, podemos verificr simetri de um curv. Nesse cso, ou sej, qundo um superfície ou curv possui um eio de simetri o centróide em mbs situções estão sobre esse eio de simetri. Cso superfície ou curv possu dois eios de simetri, seu centróide está n interseção desses dois eios. Assim, fcilmente podemos determinr os centróides de superfícies no formto de figurs geométrics conhecids como: qudrdos, retângulos, triângulos equiláteros, círculos, elipses etc. Similrmente, podemos identificr o centróide de curvs n form de circunferêncis, elipses etc. Observe que no cso ds curvs, nem sempre o centróide pertence mesm. Ver figur bio. g g g g Qundo temos superfícies composts de váris regiões sem interseções, o momento dess superfície é o somtório dos momentos de cd região que compõe. Sendo mss de cd região d superfície compost igul m i = ρa i, i =,, 3... os momentos em relção os eios O e O são respectivmente, n n M = ρa i i e M = ρa i i. i= i= Nesse cso i e i são s distâncis dos centróides de cd região os eio OX e O respectivmente. Observe figur bio. 6 (, ) (, ) 8 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 37

37 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides Eemplo.. Vmos encontrr o centróide d superfície compost indicd ness figur. Solução: Já sbemos que o centróide de cd qudrdo coincido com o seu centro. Assim, vmos encontrr o somtório dos momentos, considerndo A i áre do qudrdo Q i e i e i, sus respectivs distânci o eio O e O, i =,. Portnto M = ρ A + ρ A = ρ[( ) + 3(6 6)] = ρ e M = ρ A + ρ A = ( ) + 5(6 6) = ρ 84 A áre totl dd por A = = 4. Assim, = M ρ A = ρ 84 ρ 4 = 3 5 u.c e = M ρ A = ρ ρ 4 = 4 5 u.c Eemplo.3. Achr o centróide d seção de um pilr indicdo n figur bio. 5 3 (, ) (, ) 3 5 Solução: Sbemos que qundo figur possui eio de simetri, o centróide está sobre esse eio de simetri. Observe que o eio de simetri do pilr é primeir bissetriz. Portnto, nesse cso, em prticulr, = = M ρa, em que M é o somtório dos momentos e A áre totl d superfície. Assim, Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 38

38 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides M = ρ A + ρ A = ρ ( ) = ρ 46.5cm 3 A = = = cm Conseqüentemente, = = ρ 46.5 ρ. = cm E se quisermos encontrr o centróide de um triângulo qulquer que não sej equilátero? Nesse cso, se plc é homogêne e de espessur constnte, o bricentro coincide com o centróide de su superfície (vej figur bio). 3 B G( g, g ) C A 3 Assim, dds s coordends dos vértices do triângulo podemos determinr o seu bricentro, denotdo por ( g, g ) de form prátic por: g = g = Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 39

39 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides Eemplo.4. Encontre o centróide d superfície compost indicd n figur bio. 4 3 O 3 4 Solução: Observe que ness figur temos primeir bissetriz como eio de simetri, ssim =. Bst, então, encontrrmos = M. Observe, tmbém, que o somtório A dos momentos M é o momento do qudrdo, M subtrído do momento do triângulo, M e áre totl, A, é áre, A do qudrdo menos áre, A do triângulo. Portnto A = A + A = =.5cm M = M M = ρa ρa = ρ 7.5 cm 3. ( ) 3 3 = ρ Conseqüentemente, = = ρ M ρa = 7.5 = 3, 9cm.5 Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

40 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides Eemplo.5. N figur bio qul deve ser o vlor de pr que ordend do centróide sej igul? 8 G G 3 Solução: Sbemos que ordend do centróide é dd por = M A, em que M denot o momento estático em relção e A áre totl. Vmos denotr por M o momento do retângulo em relção o eio e por M o momento do triângulo em relção o eio, ssim como, A e A s áres do retângulo e do triângulo respectivmente. Assim, A = e A = Enqunto que ( 3) 6. Y = e Y = = 4. Agor vmos encontrr o momento em relção e áre totl. M = A + A = + A = + ( 3) 6 ( 3) = = = + 36 = = M A Resolvendo equção.9, temos = =. (.3) 4 36 = 8 4 = 8 = 4, 5. Como fremos pr encontrr centróides de regiões plns que não são formds por figurs geométrics, s quis já conhecemos o centróide, como mostrmos nteriormente? Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

41 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.7: Momentos e centróides Como por eemplo, o centróide de um região limitd por um função qulquer? Pr tnto vmos mostrr como obter um epressão em integrl que clcul centróides desse tipo de região. Sej R um região limitd pels rets =, = b, o eio e função contínu f() em [, b]. Vmos dividir o intervlo [, b], em sub-intervlos pequenos, tomndo-se um prtição = < < <... < (n ) < n = b. f R i C i i b Sej = i i e vmos tomr i [ i, i ], tl que i = i + i, i =,,..., n. Assim, podemos dizer que região é proimdmente união dos retângulos de bse Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 4

42 Cp.: Aplicções d Integrl Simples ( Sec.7: Momentos e centróides i e ltur f( i ). Vmos denotr por C i = i, f( ) i) o centróide de cd retângulo R i, e por A i = f( i ) áre de cd retângulo R i. Portnto, mss é dd por m = ρa i. O momento de cd retângulo R i em relção o eio é ddo por M (R i ) = [ρ f( i ) ] } {{ } }{{} i = ρ i f( i ) mss distnci de R i o eio Pr encontrr o momento d região R em relção o eio, vmos fzer o máimo dos i tender zero. Conseqüentemente temos M = lim n n ρ i f( i ) = i= n i= lim ρ i f( i ) := ρ n f()d. Dí, = M ρ m = Similrmente, f()d ρ A = A f()d. M (R i ) = [ρ f( i ) ] f( i) = ρ [f( i)] M = lim n n i= Conseqüentemente, ρ [f( i)] = n lim ρ n [f( i)] := ρ i= [f()] d. = M ρ m = [f()] d ρ A = A [f()] d. A mesm linh de rciocínio pode ser usd pr determinrmos o centróide no cso d região R ser limitd pels rets = c e = d e o eio e função contínu = f() em [c,d], como mostr figur bio. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 43

43 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Incluir figur Ver com Joseph Sec.7: Momentos e centróides Nesse cso, encontrmos = A f()d e = A Eemplo.6. Encontrr o centróide de 4 [f()] d. d circunferênci de rio r. r r Solução: equção + = r represent um circunferênci de rio r. No primeiro qudrnte qurt prte d circunferênci é o gráfico d função f() = r e su áre A = πr. Assim, vmos usr os resultdos obtidos nteriormente, 4 = f()d e = [f()] d. A A Assim, = 4 r r πr d (.4) Vmos resolver integrl d equção. por substituição de vriável, fzendo t = r dt = d. Pr = t = r e = r t =. Portnto, = 4 r πr = πr t3/ 3/ r d = 4 πr r r t dt = r tdt πr = πr (r ) 3 3 = 4 3πr r3 = 4r 3π. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 44

44 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Clculndo, temos Sec.7: Momentos e centróides = A = πr [f()] d = 4 r ( r πr ] [r 3 r3 = ( ) r 3 = 4r 3 πr 3 3π. ) d = πr [r 3 3 ] r Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 45

45 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.8 Segundo Teorem de Pppus-Guldin Sec.8: o Teorem de Pppus Agor que você sbe encontrr centróides de regiões plns, já está pto entender o teorem de Pppus-Guldin, que propici o cálculo do volume do sólido gerdo pel rotção de um região pln em torno de um eio de rotção..4 Teorem. Se um região pln gir em torno de um ret de seu plno que não intercept, o volume gerdo é igul o produto d áre d região pln pelo comprimento d circunferênci percorrid pelo seu centróide. Prov. Vmos considerr o eio como eio de rotção e ordend do centróide d região pln e vmos tomr um elemento de áre da = t d, como mostr figur bio. b f S t G g d Assim, queremos mostrr que o volume do sólido gerdo V é o produto d áre d região pln pelo comprimento d circunferênci percorrid pelo eu centróide, ou sej V = }{{} A π. }{{} áre circunferênci Utilizndo o método d csc cilíndric, observe que o volume gerdo pel rotção d região S em torno do eio é ddo pel epressão Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 46

46 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.8: o Teorem de Pppus V = π Por outro ldo, ordend do centróide é dd por td. (.5) ρ = ρ da = da da A da = A. (.6) Como da = t d e com os resultdos obtidos n equção.6, d equção.5 temos V = π td = π da = πa Assim, fic demonstrdo Segundo Teorem de Pppus-Guldin..5 Observção. Generlizndo, o segundo teorem de Pppus-Goldin nos diz que o volume do sólido gerdo pel rotção de um região pln em torno de um eio é ddo por V = πd A, em que d é distânci do centróide d região o eio de rotção e A é áre d região. Eemplo.7. Determinr o volume de um toro gerdo pel rotção de um círculo de rio R em torno de um eio de seu plno à distânci K > R do seu centro ( ver figur bio). R G K Solução Pelo segundo teorem de Pppus-Goldin, o volume é ddo por V = A πk = πr πk = π KR. Assim, o volume do toro gerdo é V = π KR. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 47

47 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.8: o Teorem de Pppus.6 Observção. Nesse cso o centróide coincidiu com o centro do círculo cuj ordend é K. Ou sej, = K. Cso áre não sej um círculo temos que encontrr o centróide. Eemplo.8. Encontrr o volume gerdo pel rotção do triângulo de vértices (, ), (3, ) e (, 7) em torno d ret =, como mostr figur bio. f (, 7) d G (, ) (3, ) Solução Sbemos, pelo segundo teorem de Pppus-Guldin, que o volume do sólido gerdo é ddo por V = πd A, em que, nesse cso, d é distânci do centróide do triângulo à ret = e A é áre do triângulo. Portnto, inicilmente, vmos encontrr o centróide do triângulo. Como visto nteriormente, temos g = = g = Portnto o centróide do triângulo,g, é ddo por G = (, 3). = 3. Agor, precismos d distânci entre o ponto G e ret =, e pr tnto, vmos nos lembrr como encontrr distânci entre ponto e ret. por Dd um ret + b + c =, distânci entre ret e o ponto P(, ) é dd d = + b + c + b. Assim, distânci, d, entre ret + = e o ponto G(, 3) é dd por d = ( + ) (3 + ) + = Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 48

48 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.8: o Teorem de Pppus Clrmente áre, A, do triângulo é A = 6, portnto o volume do sólido gerdo é V = πd A = π = 84π 5. 5 Eemplo.9. Usndo o segundo teorem de Pppus-Guldin, determine ordend do centróide de semi-círculo de rio R. G Solução Vmos denotr por A áre do semi-círculo de rio R, e por ordend do seu centróide. Pelo segundo teorem de Pppus-Guldin, temos V = A π = πr π = π R (.7) Por outro ldo, o volume d esfer é ddo por Igulndo s equções.7 e.8 temos V = 4 3 πr3 (.8) π R = 4 3 πr3 = 4R 3π. Portnto, ordend do centróide do semi-círculo de rio R é = 4R 3π su bsciss, é nul, pois está sobre o eio, que é o eio de simetri. e observe que Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 49

49 Cp.: Aplicções d Integrl Simples.9 Eercícios Sec.9: Eercícios [] Determine posição do centróide ds seguintes figurs e o volume do sólidos gerdos pel rotção ds mesms em torno d ret indicd bio de cd figur: (.) 8 (.) ret: = ret: + 4 = (.4) (.3) ret: 7 = 3 ret: 4 = [] Determine s coordends do centro de grvidde d região pln especificd: (.) Região no primeiro qudrnte, delimitd pel elipse + =, (, ) b (.) Áre delimitd pel curv = 4 4 e o eio (.3) Áre delimitd pel prábol = e pel ret =. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

50 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.9: Eercícios [3] Sej R região do plno limitdo pels curvs = e = +. (3.) Esboce R e clcule su áre. (3.) Clcule o centróide de R. (3.3) A região R é girdo em torno d ret = formndo um sólido D. Clcule o volume de D, usndo o teorem de Pppus-Guldin. [4] Sej R região do plno limitdo pels curvs = e + 3 =. (4.) Esboce R e clcule su áre. (4.) Clcule o centróide de R. (4.3) A região R é girdo em torno d ret + 3 = formndo um sólido D. Clcule o volume de D, usndo o teorem de Pppus-Guldin. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

51 Cp.: Aplicções d Integrl Simples. Comprimento de Arco de um Curv Sec.: Comprimento de rco Em muits situções vmos precisr do comprimento d trjetóri percorrid por um prtícul, como por eemplo o comprimento de um rodovi, constituíd de muits curvs sinuoss. Nesses csos, se fz necessário o cálculo do comprimento do rco de um dd curv. O nosso objetivo gor é poder epressr esse comprimento trvés de um integrl definid. Pr tnto, vmos considerr um função contínu f com primeir derivd tmbém contínu, definid num intervlo fechdo [, b]. Nesss condições, vmos considerr que o gráfico dess função é um curv lis e sem repetições de trechos como mostrr figur seguir. P n = b P = f Vmos dividir o intervlo [, b], em sub-intervlos pequenos, tomndo-se um prtição = < < <... < (n ) < n = b Observe que o fzermos isso estmos dividindo curv nos pontos P, P, P,...,P n, tis que P (, ) e P n (b, n ), como mostr figur seguinte. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 5

52 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco P n = b P n P = f P P i P i i i i i Assim, fzendo um cálculo grosseiro podemos dizer que o comprimento d curv, denotdo por L, é proimdmente igul som dos comprimentos dos segmentos P i P i com i =,,..., n. Ou sej, L n = P (i ) P i = P P + P P P (n ) P n i= Considerndo i = i (i ) e i = i (i ), vmos denotr por l i o comprimento de cd segmento P (i ) P i, em que i =,,..., n, isto é, l i = P (i ) P i. P n = b P n P = f P P i P i i i i i N figur nterior, observe o triângulo retângulo, e por Pitágors temos: Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 53

53 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco l i = ( ( i ) + ( i ) i ) ( = ( i ) + ( ( i ) i ) ) ( ) i = + i. i Observe que i é um vlor positivo, devido form que tommos prtição. Conseqüentemente, o comprimento totl d curv(l) é proimdmente igul à L = n l i = i= n ( ) i + i. i i= Fzendo o máimo dos i tender zero, diminuímos o erro nos cálculos e refinmos prtição, pois n. Assim, pssndo o limite, temos lim L = lim n n n ( ) i + i = i i= n i= lim n ( ) i + i. i Agor, como f é derivável e contínu em [, b], o Teorem do Vlor Médio grnte que eiste c i [ i, i ] tl que i = f (c i ) i. Dess form podemos definir o comprimento d curv como L = n i= lim n ( ) i + i := + [f ()] d. i Portnto concluímos que se f = f() é um função contínu e derivável pr todo pertencente o intervlo fechdo [, b] o comprimento d curv lis do gráfico de f é ddo por L = + [f ()] d. Anlogmente, se g = g() é um função contínu e derivável em [c, d], temos L = d c + [g ()] d. Agor usndo o resultdo obtido podemos resolver os seguintes eemplos: Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 54

54 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco Eemplo.3. Clcule o comprimento de rco d curv de equção = e + e pr [, ]. Solução: A derivd d função = f() é f () = e e, ssim L = ( ) e e + d = + (e ) e e + (e ) d 4 = = 4 + (e ) + (e ) d = 4 (e + e ) d = 4 e + e 4 d (e ) + + (e ) d 4 Como e + e > pr todo, L = ( e + e ) d = [ e e ] = ( e ) = e e e u.c. Um curiosidde é que s funções () = e + e e () = e e, são o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico, respectivmente. O gráfico d função cosseno hiperbólico (ver figur bio) é um "ctenári" e tem form de um fio fleível preso pels ponts e deido sob ção d grvidde. f Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 55

55 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Eemplo.3. Clcule o comprimento do rco d prábol = Solução Sec.: Comprimento de rco Como f() = e f () = o comprimento do rco d prábol ddo por L = pr [, ]. + [f ()] d é igul L = + d. Usndo substituição trigonométric, fzendo = tg(t) e observndo o triângulo bio, temos cos(t) = + = + cos(t) = sec(t) + sen(t) = + t tg(t) = d = sec (t)dt = t = rctg() = e = t = rctg() = π 4. Logo, o comprimento de rco d prábol é L = π ( + )d = 4 + tg (t) sec (t)dt = π 4 sec 3 (t)dt = sec(t) tg(t) + ln sec(t) + tg(t) π 4 = ( π ( π sec tg 4) 4) ( π ) + ln sec 4 ( π ) + tg sec() tg() + ln sec() + tg() 4 () + ln + + ln + = = u.c. Agor, vmos mostrr como obtivemos o resultdo d integrl d função sinlizd nteriormente. sec 3 (t), Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 56

56 Cp.: Aplicções d Integrl Simples sec 3 (t)dt = Sec.: Comprimento de rco sec (t)sec(t)dt Vmos resolver integrl pelo método de integrção por prtes, fzendo u = sec(t) du = sec(t)tg(t)dt e dv = sec (t)dt v = tg(t). Aplicndo o método de integrção por prte, em que udv = uv vdu, temos sec 3 (t)dt = sec(t) tg(t) tg (t)sec(t)dt (sec = sec(t) tg(t) (t) ) sec(t)dt = sec(t) tg(t) sec 3 (t)dt + sec(t)dt Observe que do outro ldo d últim iguldde encontrmos novmente integrl sec 3 (t)dt. Resolvendo iguldde e usndo o resultdo sec(t)dt = ln sec(t) + tg(t) + C, C um constnte, temos sec 3 (t)dt = sec(t) tg(t) + ln sec(t) + tg(t) + C Dí, sec 3 (t)dt = = sec(t) tg(t) + ln sec(t) + tg(t) + C + + ln C Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 57

57 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco Eemplo.3. Clcule o comprimento do rco d curv = ln(), em que 3 (8). Solução: A derivd d função = ln() é igul d d =, ssim o comprimento do rco é ddo por 8 ( ) 8 L = + d = + 3 d 3 = d = d A últim integrl deve ser resolvid pelo método de substituição trigonométric. Fzendo = tg(t) e observndo o triângulo bio temos cos(t) = + = + + cos(t) = sec(t) t sen(t) = + tg(t) = d = sec (t)dt Muits vezes, principlmente qundo vmos fzer muits substituições de vriáveis, trocr os limites d integrl definid fic complicdo, ssim podemos colocr o resultdo finl em função de e utilizr os limites ddos no início. Considerndo que 3 8, e fzendo substituição de vriável pr t, temos + tg (t) + sec(t) sec = sec (t) (t)dt = dt tg(t) tg(t) = sec 3 (t) tg(t) dt = cos 3 (t) cos(t) sen(t) dt = cos (t) sen(t) dt = = cos (t) sen(t) sen(t) sen(t) dt = sen(t) cos (t) ( cos (t)) dt sen(t) cos (t) sen (t) dt Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 58

58 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco Agor vmos fzer um substituição de vriáveis, fzendo Dndo continuidde, u = cos(t) du = sen(t)dt sen(t) cos (t) ( cos (t)) dt = u ( u ) du = u ( u)( + u) du = ( A u + B u + C u + D ) du + u No método de decomposição em frções prciis, temos que encontrr s constntes A, B, C e D. Pr tnto, vmos encontrr o m.m.c. d equção seguinte: u ( u)( + u) = A u + B u + C u + D + u = Au( u ) + B( u ) + Cu ( + u) + Du ( u) Poderímos resolver por iguldde de polinômios, ms um método fácil é ssocirmos vlores u, ssim u = B = u = C = u = D = Portnto, temos u = = 6A 3B + C 4D A = Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 59

59 Cp.: Aplicções d Integrl Simples Sec.: Comprimento de rco ( A u + B u + C u + D ) ( du = + u u ) u ( u) du ( + u) = u + ln u ln + u + C = cos(t) + ln cos(t) ln + cos(t) + C Usndo relção obtid nteriormente em que cos(t) = resultdo em função d vriável, e enfim plicr os limites de integrção., podemos obter o + + = + + ln + ln = + + ln + ln = + ( 8) + ln + ( 8) ln + ( 8) + ( 3) ln + ( + ln 3) + ( 3) = 3 + ln 3 ln + 3 ln + ln + = 3 + ln 3 ln 4 3 ln + ln 3 = + ln3 u.c. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6

60 Cp.: Aplicções d Integrl Simples. Eercícios Sec.: Eercícios [] Determinr o comprimento ds curvs dds em coordends retngulres: (.) = ln( ) de = 4 = 3 4. (.) = de = =. 8 (.3) = ln( sen ) de = π 6 = π 4. (.4) ( ) = ( + ) 3 de = =. (.5) = (e + e ) de = =. (.6) = de = = 3. Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6

61 Cp.: Aplicções d Integrl Simples. Áre de superfícies de revolução Sec.: Áre de superfícies Vmos supor que temos um curv = f() definid num intervlo [, b], em que f é um função positiv e possui derivds contínus, ver figur bio. Ao rotcionrmos ess curv em torno do eio OX um sólido é gerdo. Queremos encontrr um integrl que represente áre d superfície desse sólido. Pr tnto, inicilmente devemos fzer um cálculo proimdo. Um idéi é dividirmos esse sólido em pedços e proimr cd pedço de um tronco de cone. Ao somr áre de superfície de cd tronco de cone obtemos um cálculo proimdo e o tomrmos o limite o cálculo obtido é áre et d superfície do sólido de revolução. = f() l r r l Inicilmente vmos deduzir um fórmul pr encontrr áre de superfície do tronco de um cone. Observe o cone plnificdo o ldo. Atrvés d regr de três bio deduzimos áre do setor circulr, que represent áre lterl do cone de gertriz (l + l). O comprimento d circunferênci de rio (l + l) está pr áre do círculo com mesmo rio, ssim como o comprimento do setor circulr de ângulo α está pr su áre. π (l i + l) π (l + l) πr A M α (l + l) A M = πr π (l + l) π (l + l) = πl r. πr Elin Prtes, Ivn Mtos, Joseph Yrte e Silvi Velloso 6