9.2 Integração numérica via interpolação polinomial

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1 Cpítulo 9 Integrção Numéric 9. Introdução A integrção numéric é o processo computcionl cpz de produzir um vlor numérico pr integrl de um função sobre um determindo conjunto. El difere do processo de ntidiferencição, prendido em Cálculo, n medid em que não se procur um função F tl que F = f; qui, vmos procurr substituir f por um outr função, g tl que f g mismenàintegrção (por exemplo, g éumpolinômio). Nesse cso, solução numéric de será obtid clculndo-se g(x) dx, f(x) dx (9.) g f Veremos, seguir, o processo de integrção numéric vi interpolção polinomil e os diferentes métodos dí derivdos. 9. Integrção numéric vi interpolção polinomil Suponh integrl (9.); podemos selecionr um conjunto de nós x, x,..., x n no intervlo [, b] e interpolr função f(x) trvés dos polinômios de Lgrnge, os quis são expressos como onde l i (x) = p(x) = n j= j i f(x i )l i (x) (9.) i= Agor, substituímos f(x) porp(x), de tl form que f(x) dx x x j x i x j, i =,,...,n (9.) p(x) dx = f(x i ) i= l i (x) dx (9.4) qul pode ser usd pr clculr integrl de qulquer função. A equção cim pode ser reescrit n form f(x) dx A i f(x i ) (9.5) 6 i=

2 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Figur 9.: A regr do trpézio. onde A i = l i (x) dx qulé conhecid como form de Newton-Cotes, seospontosx i forem igulmente espçdos. A prtir d equção (9.5), pode-se derivr váris regrs de integrção, dependendo do gru do polinômio de Lgrnge. 9.. Regr do Trpézio Se tomrmos n =, e usrmos como nós os pontos extremos do intervlo, i.e. x =, x = b, obtemos chmd regr do trpézio. Nesse cso, os polinômios interpoldores são de onde A = l (x) = b x b, l (x) = x b l (x) dx = (b ) = l (x) dx = A Assim, escrevendo equção (9.5) pr esse cso prticulr, temos f(x) dx b (f()+f(b)) (9.6) qul define regr do trpézio. Ess fórmul é ext pr qulquer polinômio de gru igul, no máximo; o erro ssocido ess proximção é ddo por (b ) f (ξ), <ξ<b (9.7) Ao usrmos regr do trpézio, estmos substituindo função f porumret, nointervlo [, b], conforme figur 9.. É clro que ess proximção pode ser bstnte cru, se b é grnde (o contrário tmbém é verdde). A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 6

3 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Exemplo 9. Clcule integrl A = usndo regr do trpézio. Solução: Usndo fórmul (9.6),temos x +xdx A = 4 (4 + ) = =7 Como ntiderivd F (x) = x + x é conhecid,podemos vlir o erro. Clculndo integrl definid,temos x +xdx= x + x =6, 8 de onde podemos clculr o erro como sendo igul 6, 8 7=, 667. Usndo fórmul (9.7),com f =,obtemos o vlor o qul é igul o clculdo nteriormente. ( ) = =, Podemos, evidentemente, obter um melhor proximção se subdividirmos o intervlo[, b], clculndo nós x, x,..., x n stisfzendo = x <x <...<x n = b e plicndo regr do trpézio cd subintervlo (não necessrimente de mesmo tmnho). Ess estrtégi nos lev à regrcompostdotrpézio, f(x) dx = i= xi f(x) dx x i (x i x i )(f(x i )+f(x i )) (9.8) i= A regr compost do trpézio nos lev àproximção d função f(x) por um conjunto de rets unindo cd um dos nós x i, dois dois, conforme figur 9.-. Se o espçmento entre os nós é igul, i.e. x i = +ih, h = b n,então obtemos regr compost uniforme do trpézio, ( ( ) ) b T (f,h) = f(x) dx h n f()+ f( + ih) + f(b) (9.9) i= conforme figur 9.-b. O erro de truncmento E(f,h) ssocido ess proximção éestimdo por E(f,h) h (b ) mx f (x). (9.) x [,b] Exemplo 9. Clcule integrl A = x +xdx usndo s regrs compost e compost uniforme do trpézio. Solução: A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 6

4 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric. Usndo fórmul (9.8),pr n =eusndox =, x =, e x =,temos A = [(, )(4 + 4, 5) + (, )(4, 5 + )] = 6, 955 e o erro,comprdo com o vlor d integrl definid (= 6, 8),é de, 7.. Usndo fórmul (9.9),pr n =eusndox =, x =, 5 e x =,temos A = [(, 5 )(4 + 6, 75) + (, 5)(6, 75 + )] = 6, 875 e o erro,comprdo com o vlor d integrl definid (= 6, 8),é de, 47. Note que,em mbos os csos, proximção com regr compost é melhor do que usndo regr simples do trpézio. Exemplo 9. Considere tbel bixo,que fornece velocidde (km/h) de um certo objeto em função do tempo e determine qul édistânci percorrid pelo objeto o finl de h. t,, 5, 5, 75,, 5, 5, 75, v(t) 6, 7, 5 8, 9, 8, 5, 5 9, 5 7, 6, Como distânci percorrid (d) é clculd como d = v(t) dt, pode-se empregr regr dos trpézios com n =8, h =, 5,de form que, 5 A = [6 + (7, 5+8, +9, +8, 5+, 5+9, 5+7, )) + 6]. Portnto,um proximção pr distânci totl percorrid no intervlo de tempo [, ] é Exemplo 9.4 Considere s integris definids d A =6, 5km. x +x dx e dx 7 x As tbels 9. e 9. mostrm s proximções obtids usndo regr dos trpézios com n =,, 4, 8, 6, subintervlos e o erro n proximção. Note que,à medidquen cresce, h é sucessivmente dividido por e cd erro é proximdmente 4 do erro nterior. n h A E(f,h),, 8, 479,, 8, 479 4, 5, 88, 56 8, 5, 84, 48 6, 5, 8465, 4, 65, 8469, 6 Tbel 9.: Aproximção pr x +x dx. A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 64

5 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric n h A E(f,h),,, 958,, 9, 864 4, 5, 84667, , 5, 84484, , 5, 87, 484, 65, 854, 64 Tbel 9.: Aproximção pr dx 7 x. 9.. Método dos Coeficientes Determinr Aequção (9.5) (fórmul de Newton-Cotes) é um cso prticulr do método dos coeficientes determinr. Suponh, por exemplo, que n =e[, b] =[, ]. Nesse cso, os polinômios de Lgrnge, escritos pr os nós, e,são de onde podemos escrever l (x) =(x )(x ), l (x) = 4x(x ), l (x) =x(x ) A = A = A = l dx = 6 l dx = l dx = 6 Os mesmos coeficientes A i podem ser obtidos usndo o método qui descrito. Suponh que ( ) f(x) dx A f() + A f + A f() qul deve ser ext pr qulquer polinômio de gru igul ou inferior. Pr determinr os coeficientes, usmos s funções bse, x e x i.e., p(x) =c + c x + c x eescrevemos dx = = A + A + A xdx = = A + A x dx = = 4 A + A o que nos lev o sistem de equções lineres A + A + A = A + A = 4 A + A = o qul tem seguinte solução: A = 6, A =, A = 6. A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 65

6 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric 9.. Regr de Simpson A regr de Simpson é obtid prtir do método dos coeficientes determinr, generlizd pr um intervlo de integrção [, b] qulquer. El é obtid prtir d integrl de um polinômio interpoldor de segundo gru p (x) que pss por três pontos igulmente espçdos, (, f()), (m, f(m)), e (b, f(b)), onde m =( + b)/. Assim, tomndo h = b,tem-se [ p (x) dx = f()+(x ) f() ] +(x )(x m) f() h h dx (9.) Pr fcilitr o cálculo, fz-se mudnç de vriável x(α) = + αh. Assim, enqunto x percorre o intervlo [, b], α percorre o intervlo [, ] e dx = hdα.destmneir, [ ] p (x) dx = f()+α f()+α (α ) f() hdα = h [f()+4f(m)+f(b)] (9.) de onde fórmul de Simpson pode ser escrit como f(x) dx h [f()+4f(m)+f(b)] = b ( ( ) ) + b f()+4f + f(b) (9.) 6 qulé ext pr polinômios de gru n (conforme visto n seção nterior) e, inesperdmente, tmbém pr n. O erro ssocido à regr de Simpson é 9 (b )5 f (4) (ξ), <ξ<b (9.4) Usndo mesm estrtégi d regr compost uniforme do trpézio, podemos obter regr compost uniforme de Simpson, prumnúmero n pr de subintervlos. Nesse cso, temos f(x) dx = x x f(x) dx + xi x4 x f(x) dx xn x n f(x) dx n = f(x) dx i= x i de onde, plicndo regr de Simpson cd um dos subintervlos, obtemos S(f,h) = f(x) dx h n n f(x )+ f(x i )+4 f(x i )+f(x n ) (9.5) i= O erro ssocido é 8 (b )h4 f (4) (ξ), <ξ<b (9.6) Exemplo 9.5 Clcule integrl A = x +xdx usndo regr de Simpson. Solução: Usndo fórmul (9.),temos A = [ , 75 + ] = 6, 8 6 eoerroé nulo,comprdo com o vlor d integrl definid (= 6, 8). Note que,pr função em questão, f (4) =e,portnto, proximção d integrl pel regr de Simpson deve ser ext. É necessári ess restrição devido à form como regr de Simpson foi definid. i= A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 66

7 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Exemplo 9.6 Use fórmul de Simpson pr encontrr áre sob curv y = f(x) que pss sob os três pontos (, ), (, ) e (, ). Como n =e h =,clcul-se áre S(f,h) = h [f() + 4 f() + f() ] = 6 [ + + ] =. Exemplo 9.7 Ovolumedeumsólido de revolução é ddo por volume = π [R(x)] dx, onde o sólido é obtido pel rotção d região sob curv y = R(x), x b, emtornodoeixo x. Use fórmul de Simpson pr proximr o volume do sólido de revolução,onde o rio R(x) d posição o longo do eixo x é ddo n tbel x R(x) 6, 5, 8 4, 4, 6 5, 7, 6 8, Usndo regr de Simpson com n =e h =,o vlor proximdo d integrl é clculdo por volume π [f(x ) +4(f(x ) + f(x ) + f(x 5 ) )+(f(x ) + f(x 4 ) )+f(x 6 ) ] π [(6, ) + 4 ((5, 8) +(4, 6) +(7, 6) ) + ((4, ) +(5, ) )+(8, ) ] π [8, (, 64 +, , 76) + (6, + 5, ) + 67, 4] 668, 9..4 Regr de Simpson com extidão crescente Est regr clcul um proximção por Simpson com um combinção liner de fórmuls dos trpézios, {T (J)}. Pr J, divide-se o intervlo [, b] emn = J subintervlos de igul espçmento h = b eus-seospontos = x J <x <... < x n = b, x k = + hk pr k =,,..., n. A regr dos trpézios T (f,h) et (f, h) pr espçmentos h eh, respectivmente, obedece relção T (f, h) T (f,h)= + h f(x k ). (9.7) Definindo T () = h (f()+f(b)), então pr qulquer inteiro positivo J define-se T (J) =T (f,h) e T (J ) = T (f, h), o que permite escrever fórmul cim como k= T (J) = T (J ) + h f(x k ) pr J =,,... (9.8) k= Assim, regr de Simpson S(J) =S(f,h)pr J subintervlos éobtiddet (J) edet (J ) pel fórmul 4 T (J) T (J ) S(J) = pr J (9.9) Exemplo 9.8 Use regr de Simpson com extidão crescente pr clculr proximções S(), S() e S() pr 5 Solução: Neste cso, =, b =5e f(x) = x. dx x A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 67

8 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric. Cálculo de S(): Pr clculr primeir proximção, S(), é preciso conhecer T () e T (): () Cálculo de T (): sej =,conseqüentemente h = b =4.Logo, T () = =, 4 (b) Cálculo de T (): se J =,conseqüentemente n =e h = b =. Logo, com x = + h =, T () = T () + hf(x )=, 4 + =, Assim, S() = 4 T () T () =, Cálculo de S(): comot () já é conhecido,clcul-se pens T () com n =, h = b =, x = + h =e x = +h =4: T () = T () + [f(x )+f(x )] k=, = + =, 68 [ + ] 4 de form que S() = 4 T () T () =, 6. Cálculo de S(): como T () já é conhecido,clcul-se T () com n =4, h = b =, 5, x = + h =, 5, x = +h =, 5, x 5 = +5h =, 5 e x 7 = +7h =4, 5: T () = T () + 4 [f(x )+f(x )+f(x 5 )+f(x 7 )] k=, 68 = +, 5 =, [, 5 +, 5 +, 5 + ] 4, 5 ou sej, S() = 4 T () T () =, Mudnç do intervlo de integrção Algums regrs de integrção são definids em termos de um intervlo de integrção fixo por exemplo, [, ]. Cso se deseje utilizr um desss regrs pr se resolver integrl (9.), pode-se proceder um mudnç liner de vriáveis. Suponh um regr de integrção numéric dd por d c f(t) dt A i f(t i ) (9.) i= A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 68

9 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric qul é ext pr polinômios de gru igul ou inferior m. Considere, gor, que o intervlo de integrção desejdo é[, b]; pr usrmos fórmul (9.), devemos definir um função λ(t) que ssocie c e d b. Ess função pode ser dd por λ(t) = b d bc t + d c d c, c t d (9.) Escrevendo, gor, x = λ(t), temos dx = λ (t) dt =(b )(d c) dt, de onde escrevemos integrl (9.) como de onde f(x) dx = b d c f(x) dx b d c b d c λ (b)=d λ ()=c A i f(λ(t i )) i= A i f i= ( b d c t i + f(λ(t)) dt ) d bc d c (9.) A função de trnsformção λ(t) deve ser liner de form que f(λ(t)) sej polinomil e de mesmo gru que f Qudrtur Gussin As regrs de integrção vists ns seções nteriores são tods bseds n determinção de coeficientes A i tl que proximção d função integrnd f é ext pr polinômios de gru igul ou inferior n. No entnto, épossível escolher outros nós que levem um redução no volume de cálculo necessário. Por exemplo, se A i = c, i n, então form de Newton-Cotes (9.5) pode ser escrit como f(x) dx c f(xi) (9.) o que elimin n multiplicções no processo de integrção numéric. As forms de qudrtur de Chebyshev são um exemplo d equção (9.); els existem pens pr n =,,,,4,5,6e8. Outrsformsdequdrturexistem,como,porexemplo,sde Hermite esdeguss. A regr de integrção de Guss é express pr o cso gerl como f(x)w(x) dx i= A i f(x i ) (9.4) onde w é um função positiv de ponderção. Assumindo que (9.4) é ext pr qulquer função polinomil de gru menor ou igul n, isso nos lev determinr os coeficientes A i como A i = w(x) n j= j i i= x x j x i x j dx Crl Friedrich Guss ( ) mostrou que épossível determinr-se esses coeficientes de tl formqueproximção pr f sej ext pr polinômios de gru igul ou inferior n +, ms com pens n vlições. As fórmuls de Guss pr integrção de f são exts pr polinômios de gru menor ou igul n +,deformquedeterminção dos pontos x,x,...,x n em que é necessário A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 69

10 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric conhecer o vlor de f(x) será função do gru do polinômio interpoldor e d fórmul específic ser considerd. Ests formuls são do tipo f(x) dx = w f(x )+w f(x )+...+ w n f(x n ) (9.5) Pr construir fórmul d qudrtur gussin pr n =é necessário determinr w, w, x e x tis que f(x) dx = w f(x )+w f(x ) (9.6) sej ext pr polinômios de gru menor ou igul. Pr simplificr os cálculos, determin-se est fórmul considerndo [, b] =[, ]. No cso de um intervlo [, b] genérico efetu-se mudnç de vriáveis: pr t [, ] corresponde x [, b] onde x = b [ + b + t (b )] e dx = dt de form que f(x) dx = b F (t) dt (9.7) onde F (t) =f(x(t)). Dizer que fórmul é ext pr polinômios de gru menor ou igul equivle dizer que fórmul éextpr ou sej g(t), g(t) t, g(t) t e g(t) t dt = w g(t )+w g(t )=w + w = tdt = w g(t )+w g(t )=w t + w t = t dt = w g(t )+w g(t )=w t + w t =/ t dt = w g(t )+w g(t )=w t + w t = Dest form, obtém-se o seguinte sistem não liner: w + w = w t + w t = w t + w t = / w t + w t = (9.8) cuj solução fornece t = t = w = w =, Assim, fórmul gussin pr n =é ( ) ( ) F (t) dt = F + F (9.9) A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 7

11 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric O mesmo procedimento pode ser usdo pr determinr fórmul gerl (9.5). Supondo que F (t) represente os polinômios especiis t k pr k =,,...,n +, observ-se que { se k éímpr t k dt = se k épr k + (9.) esolução do sistem não liner que se origin dests equções é bstnte complicd. Usndo então teori dos polinômios ortogonis, pode ser visto que os t k são s rízes de polinômios de Legendre eoscoeficientesw k devem ser obtidos pel solução do sistem de equções. Alguns dos vlores de t k e w k são mostrdos n tbel 9.; pr qudrturs de mior ordem, pode-se recorrer os vlores tbeldos em vários livros de referênci. n t k w k k, 57757,, 57757,, , ,, , , , 866, , 9984, 65455, 866, , 9984, , , 69689, 58469, ,, , , 69689, 58469, Tbel 9.: Pesos e nós d qudrtur Gussin,pr n =,,, 4. O erro ssocido à qudrtur Gussin é ddo pel fórmul f (n) (ξ) (n)! n q (x)w(x) dx, q(x) = (x x i ),<ξ <b (9.) O lgoritmo 9.. fz uso d técnic de troc de intervlos e d simetri entre os nós e coeficientes, fim de se clculr integrl (9.) trvés d qudrtur Gussin pr n =4. N prátic, execução do lgoritmo que clcule integrl (9.) por qudrtur Gussin sempre incorrerá em erros de ponto-flutunte, principlmente se os vlores dos nós e coeficientes não forem utilizdos com um precisão dequd,como pode ser visto no exemplo seguir. Os polinômios de Legendre são definidos pel seguinte fórmul de recorrênci: p (x) = p (x) = x p m+ (x) = m + {( m +)xpm(x) mp m (x)}, m =,,... Sus rízes são tods reis e distints e situm-se no intervlo [, ]. Ests rízes estão simetricmente situds com respeito àorigemesem éímpr, um riz de p m(x) ésemprex =. i= A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 7

12 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Algoritmo 9.. Qudrtur Gussin de 4 pontos proc qudrtur gussin 4(input:, b, f; output: S) x x, x, w, w, w, u ((b )x + + b)/ S w f(u) for i =, do u ((b )x i + + b)/ v ( (b )x i + + b)/ S S + w i (f(u)+f(v)) endfor S (b )S/ endproc Exemplo 9.9 Clcule integrl A = usndo qudrtur de Guss,com n =4. Solução: Usndo o lgoritmo 9..,temos x +xdx A =6, 85 eoerroéigul 9,comprdo com o vlor d integrl definid (= 6, 8). Exemplo 9. Integre f(t) =t 4 + no intervlo (, ) usndo qudrtur gussin pr n =. I = D tbel 9.,sbe-se que (t 4 +)dt = w f(t )+w f(t )+w f(t ) t =, w =, t =, w =, t =, w =, Logo, I =, ( (, ) 4 + ) +, ( (, ) 4 + ) +, ( (, ) 4 + ) =, 4 Sugestão: Clcule est integrl com o método de Simpson e compre os resultdos. Exemplo 9. Use qudrtur gussin com três pontos pr proximr integrl 5 dx x A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 7

13 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Como o intervlo é I =[, 5], é preciso fzer mudnç de vriável. integrl desejd como Por isto,clcul-se 5 dx x com mudnç de vriável ( ) b x = t + + b = t = b ( 5 F (t) dt ) + 5+ =t + 5 dx x 5 [w F (t )+w F (t )+w F (t )] 5 [ ], t + +, t + +, t +, 6694 onde t =, , t =, e t =, Integrção de funções ml comportds Funções ml comportds (ou ml condicionds) são quels que possuem lgum tipo de crcterístic especil e que, portnto, requerem cuiddos especiis qundo se quer integrá-ls. Exemplo 9. Clcule integrl de e x x dx. Solução:Como est função tem um singulridde,é preciso fzer um mudnç de vriável que elimine. Neste cso,pode-se fzer de form que x = u e dx=udu e x dx = x = e u u udu e u du Como o integrndo gor é um função bem comportd,pode-se escolher um dos métodos estuddos pr clculr est últim integrl. Exemplo 9. Clcule sen xdx Solução:Como o integrndo possui um tngente verticl, velocidde de integrção fic muito lent. Se o método escolhido fosse trpézios,por exemplo,serim necessáris mis de 5 subdivisões do intervlo de integrção [, ] pr que se obtivesse qutro css decimis repetids. Neste cso,tmbém épossível fzer mudnç de vriável, sen x = u e dx= udu, u 4 A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 7

14 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric de mneir que sen xdx= sen u u 4 du. Outr lterntiv seri utilizr função invers pr resolver o problem: sen, sen xdx= sen xdx+, sen, rcsin y dy 9.4 Intervlos de integrção infinitos, Qundo um ou os dois limites de integrção de um função são, é necessário combinr o processo de integrção numéric com um mnipulção lgébric dequd d função integrnd, ou, lterntivmente, determinr um vlor que proxime região bixo d curv d função prtir de um vlor de x (ver []). Considere integrl b x + e x dx (9.) + x onde pode-se observr que e. Um lterntiv pr se clculr (9.) é notr que curv d função x + x proxim reltivmente bem função integrnd em (9.), como pode-se ver n figur 9.. Nesse cso, pode-se escrever b x + e x + x dx < b dx = ln b +ln(+b). (9.) x + x Um lterntiv seri substituírmos e x em (9.) por e b, já que esse vlor poderi ser considerdo não tão desprezível. Nesse cso, terímos ( x + e b + x dx = csgn( ) 4 e b b + )π rctn( 4 e b ) (9.4) ( 4+eb ) e b b Note que, nesse cso, clculr ntiderivd de é bstnte complicdo, e, lgums vezes, x+e b +x proximção obtid com (9.) é suficiente, como mostr o exemplo bixo. Exemplo 9.4 Sej b = em (9.). Clculndo proximção dess integrl trvés de (9.),obtemos o vlor, 958; utilizndo (9.4),o vlor obtido é Noteque o erro reltivo entre mbs proximções édordemde 5,o que pode não justificr o uso d segund proximção. 9.5 Exercícios Exercício 9. Clcule integrl de f(x) = 6 x +5 no intervlo [, 9] com fórmul dos trpézios considerndo h =e depois delimite o erro de truncmento pr este cso. Exercício 9. Determine h de tl form que regr dos trpézios forneç o vlor de e x dx com um erro de truncmento menor do que 4. A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 74

15 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Exercício 9. Clcule log xdx 6 utilizndo fórmul de Simpson pr 8 subintervlos e delimite o erro de truncmento. Exercício 9.4 Encontre n e h tlqueoerroprfórmul de Simpson sej menor do que 5 9 qundo se quer proximr 7 dx x Depois,fç o mesmo pr fórmul dos trpézios e compre os resultdos. Exercício 9.5 Clculr um proximção de +x dx pel regr de Simpson com extidão crescente com no mínimo 5 DIGSE. Exercício 9.6 Usndo qudrtur de Guss,clcule: x dx com 4 pontos Exercício 9.7 Usndo qudrtur de Guss,clcule: e x dx com pontos Depois,clcule o erro exto (diferenç entre o vlor d integrl clculd com s regrs do Cálculo e o vlor obtido por qudrtur) e use este vlor pr estimr o número mínimo de pontos necessários pr clculr est integrl com regr dos trpézios. Exercício 9.8 Sugir um mudnç de vriável dequd pr o cálculo d integrl: sen x x dx. Depois,encontre um proximção pr o seu vlor. Exercício 9.9 Utilize regr de Simpson com extidão crescente pr clculr x 4 x dx A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 75

16 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Figur 9.: A regr do trpézio compost: () subintervlos de qulquer tmnho,(b) subintervlos de tmnhos iguis. A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 76

17 Introdução o Cálculo Numérico Integrção Numéric Figur 9.: Gráfico de x+e x +x ( ) e b x+x ( ). A.L. de Bortoli,C. Crdoso,M.P.G. Fchin,R.D. d Cunh 77