EQE-358 Métodos Numéricos em Engenharia Química

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JAEIRO ESCOLA DE QUÍMICA EQE-358 Métodos uméricos em Engenri Químic EXERCÍCIOS COMPUTACIOAIS Implementr em um lingugem computcionl (C, C++, C#, FORTRA, PYTHO, JAVA, BASIC, SCILAB ou MATLAB) os seguintes eercícios e entregr um reltório contendo s listgens dos códigos fontes (progrm) e os resultdos de cd eercício reportdo pelo progrm. ) Implementr o seguinte lgoritmo pr determinr o épsilon d máquin: u, Enqunto u +,,, fç u u,5 u u, O vlor finl em u corresponde à precisão d máquin. O progrm deve reportr o vlor do épsilon d máquin. ) Implementr o lgoritmo computcionl que está no eercício do gbrito d list de eercícios do Cpítulo pr computr, com um curáci preestbelecid, o logritmo neperino de segundo série de potêncis: k ln ( ) = = k = k ote que em vist de < < pr todo rel e positivo, tl série será + sempre convergente não sendo necessário re-esclr vriável. Ao finl o progrm deve reportr o vlor do logritmo neperino de e o número de iterções pr tender curáci desejd. Reporte os resultdos pr = e =, com critério de convergênci de 8. 3) Implementr o seguinte lgoritmo computcionl de interpolção polinomil de ewton: Ddos n+ pontos { i, i }, desej-se interpolr função em = * Pr i =,,,..., n, fç A i, i

2 Pr i =,,..., n, fç Pr j =,,,..., n i, fç A ji, A p * A, Pr i =,,..., n, fç p ( * i- ) p * * + p A,i A j+, i- j, i- i+ j j Ao finl do lgoritmo * contém o vlor interpoldo de f() em = *. O progrm deve reportr o vlor de * e o vlor interpoldo *. Reporte os resultdos usndo os ddos d tbel bio pr interpolr os ddos nos seguintes vlores de : {,, ½,,, 3, 3½, 4, 5}. i i i =f( i ) ) Implementr o seguinte lgoritmo computcionl íbrido d bisseção com ewton-rpson usndo proimção vi perturbção d derivd primeir d função: Ddos, b, ε b, δ b, k b, Δ, ε n, δ n e k n, f f() f b f(b) se f. f b > então entrr com novos vlores de e b k

3 Fç ( + b) / f( ) se. f >, então f senão f b b Δ b k k + enqunto (Δ > ε b ou > δ b ) e k < k b m Fç f( ) Δ m m + f ( +Δ ) Δ enqunto (Δ > ε n ou > δ n ) e m < k n Ao finl do lgoritmo, se k < k n então contém riz encontrd de f() e contém o vlor de f( ). Usndo o lgoritmo implementdo, obten e reporte s três rízes do retor CSTR, ddo pel seguinte epressão:,5ep + f( ) = +, = +,ep + O resultdo do código deve informr lém ds rízes, o número de iterções pr cd etp do lgoritmo (bisseção e -R).

4 5) Implementr o seguinte lgoritmo computcionl pr ftorção LU de um mtriz qudrd A de dimensão em um mtriz tringulr inferior, L, com elementos unitários n digonl principl e outr tringulr superior, U. Ao finl do lgoritmo, mtriz U está rmzend n prte tringulr superior d mtriz A (incluindo digonl) e mtriz L está rmzend n prte tringulr inferior d mtriz A (não incluindo digonl). k =,..., i = k +,..., j = k +,..., ik ik kk ij ij ik kj (Doolittle) Implementr tmbém um lgoritmo pr resolver um sistem liner de equções, A = b, utilizndo mtriz A ftord pelo lgoritmo cim e pel plicção de substituição diret seguid de retro-substituição, conforme descrits bio. = b, i = b, i =,..., (substituição diret) i i i, j j =, i = i i, j j, ii, + i, i =,..., (retro-substituição) Pr ilustrr o funcionmento dos lgoritmos, resolv o seguinte sistem de equções: = = = 6 Apresentndo como resultdos s mtrizes L, U e o vetor solução. 6) Implementr o seguinte lgoritmo computcionl pr o cálculo numérico de integris pelo método de Simpson em subintervlos (Regr de Simpson Compost): ETAPA : Especificção pelo usuário de, b, (número inicil de prábols, > ), δ (critério de convergênci) e ε (menor vlor do psso de integrção, min ). ETAPA : Cálculo d primeir integrl numéric (com prábols): S f( ) + f( b) b [ ( ) ] S f + j

5 Se > então Spr f( + j ), senão S pr I S + S + S 3 ETAPA : Processo Recursivo: Fç I velo I + ( 4 pr ) S pr S pr + S ímpr ( ) S f + j I S + S + S 3 Enqunto I I velo > δ e > ε ( 4 pr ) ETAPA 3: Cálculo finl d integrl numéric (etrpolção de Ricrdson): 6 I I I velo 5 Imprim o vlor de I. FIM Pr ilustrr o funcionmento do lgoritmo, clcule seguinte integrl: π I = e sen( ) d Apresentndo como resultdos o vlor d integrl, o número de intervlos usdos e o critério de convergênci.