Mudança de variável na integral dupla

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 6 Assunto: Mudnç de Vriável n Integrl Dupl Plvrs-chves: mudnç de vriável, integris dupls, jcobino Mudnç de vriável n integrl dupl Vmos ntes recordr fórmul de mudnç de vriável n integrl simples. Digmos que queremos clculr integrl d c f(x)dx em que f é um função contínu no intervlo [c, d]. Suponhmos que exist um função ϕ : [, b] [c, d] de clsse C e inversível, com ϕ() c e ϕ(b) d e sej F um primitiv de f em [c, d]. Temos que [F (ϕ(u))] F (ϕ(u))ϕ (u) f(ϕ(u))ϕ (u) Portnto, F (ϕ(u)) é um primitiv de f(ϕ(u))ϕ (u). Logo, b f(ϕ(u))ϕ (u)du [ [ ] b F (ϕ(u)) F (ϕ(b)) F (ϕ()) ] ϕ(b) F (x) ϕ(b) ϕ() ϕ() f(x)dx Portnto, temos ϕ(b) f(x)dx b ϕ() f(ϕ(u))ϕ (u)du Ess é fórmul de mudnç de vriável n integrl simples.

2 ftos. Queremos gor obter um fórmul de mudnç de vriável n integrl dupl. Antes observmos lguns Se f(x) é um função derivável em x 0, então df dx xx0 lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Escrevmos f f(x) f(x 0 ) e x x x 0 Logo df dx xx0 f lim x x 0 x Portnto df dx xx0 f x Ess proximção é tnto melhor qunto menor for diferenç x x 0. Podemos escrever f (x 0 ) f (x 0 ) x Portnto f f (x 0 ) x Sej gor f um função contínu em um intervlo I e um ponto xo de I. Denimos função g em I por g(x) Se F é um primitiv de f, então x f(t)dt g(x) F (x) F () Logo

3 g (x) F (x) f(x) Portnto, temos xo. por [ d x ] f(t)dt f(x) dx Agor consideremos um curv γ : I R, denid em um intervlo I, de clsse C e consideremos I A função S que ssoci cd t I o comprimento do rco de curv de extremidde γ() e γ(t) é dd S(t) Portnto t γ (u) du S (t) γ (t) Assim, S γ (t) t E ess proximção é tnto melhor qunto menor for t. Observemos que o vetor γ (t) é tngente à curv no ponto γ(t). Como t > 0, o vetor γ (t) t tem mesm direção e sentido de γ (t), logo é tmbém tngente à curv em γ(t) e seu comprimento é γ (t) t γ (t) t form Esse comprimento é, proximdmente, igul o comprimento do rco de extremiddes γ(t) e γ(t + t). A m de obtermos fórmul d mudnç de vriável n integrl dupl, precismos considerr funções d ϕ : Ω R R São exemplos de funções desse tipo ϕ(u, v) + v, v u ) ϕ(ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) No cso gerl, nos referimos tis funções escrevendo 3

4 ϕ(u, v) (x(u, v), y(u, v)) ou então ϕ(u, v) (x, y), x x(u, v), y y(u, v) A função ϕ(u, v) (x(u, v), y(u, v)) será contínu, diferenciável e de clsse C se s funções x(u, v) e y(u, v) forem, respectivmente, contínus, diferenciáveis e de clsse C. As derivds prciis de ϕ são denids por (u, v) (u, v) ( ( (u, v), ) (u, v) ) (u, v), (u, v) Geometricmente, derivd prcil de (u 0, v 0 ) de ϕ no ponto (u 0, v 0 ) pode ser interpretd como sendo o vetor tngente à curv α(u) ϕ(u, v 0 ) no ponto α(u 0 ) ϕ(u 0, v 0 ). De mneir nálog, derivd prcil (u 0, v 0 ) pode ser vist como o vetor tngente à curv β(v) ϕ(u 0, v) no ponto β(v 0 ) ϕ(u 0, v 0 ). Consideremos o retângulo R mostrdo n gur bixo e consideremos ϕ(r) imgem de R pel função ϕ. Sbemos que o comprimento do vetor (u 0, v 0 ) u é, proximdmente, igul o comprimento do rco de curv MN e que o comprimento do vetor (u 0, v 0 ) v é, proximdmente, igul o comprimento de curv MQ. Portnto, áre do prlelogrmo determind pelos vetores (u 0, v 0 ) u e (u 0, v 0 ) v é, proximdmente, igul áre de ϕ(r). Sbemos que áre do prlelogrmo menciondo é igul norm do produto vetoril de (u 0, v 0 ) u por (u 0, v 0 ) v, ou sej, Portnto, temos (u 0, v 0 ) u (u 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) (u 0, v 0 ) u v áre de ϕ(r) (u 0, v 0 ) (u 0, v 0 ) u v Suponhmos que ϕ é de clsse C, ou sej, que s derivds prciis e (u, v) é um ponto do retângulo R, temos são contínus, então, se 4

5 (u, v) (u 0, v 0 ) (u, v) (u 0, v 0 ) e, portnto, obtemos áre de ϕ(r) (u, v) (u, v) u v Segue de (, ) e (, ) que (u, v) (u, v) i j k 0 0 ( ) k k O determinnte dess mtriz é chmdo de determinnte jcobino d função ϕ(u, v) (x(u, v), y(u, v)) e é denotdo por (u, v). Onde Portnto, temos e (u, v) Sej gor um função f(x, y) contínu em ϕ(r), (u, v) (u, v) (u, v) áre de ϕ(r) (u, v) (u, v) u v P {(u j, v j ); i 0,,,..., n, j 0,,,..., m} um prtição do retângulo R e 5

6 A {(u j, v j ); i 0,,,..., n, j 0,,,..., m} um conjunto dmissível à prtição P. Sej R ij [u i, u i ] [v j, v j ] um sub-retângulo d prtição P e denotemos por A ij áre de ϕ(r ij ). Temos que n m f(x, y)dxdy f(ϕ(u i, v j ))A ij ϕ(r) i j n m f(ϕ(u i, v j )) (u i, v j ) (u i, v j ) i v j i j n m f(ϕ(u i, v j )) (u, v) (u i, v j ) u i v j i j Clculndo o limite dess som qundo 0, obtemos f(x, y)dxdy ϕ(r) R f(ϕ(u, v)) (u, v) (u, v) dudv N verdde, ess fórmul tmbém é válid pr outros conjuntos que não são necessrimente retângulos ϕ(b uv) Escrevendo B ϕ(b uv ), temos Exemplo Clcule B B f(x, y)dxdy f(ϕ(u, v)) (u, v) B uv (u, v) dudv f(x, y)dxdy f(ϕ(u, v)) (u, v) B uv (u, v) dudv cos(x y) dxdy, em que B é o trpézio x + y, x 0, y 0. sin(x + y) Resolução: Temos que x + y y x + x + y y x + Vmos fzer seguinte mudnç de vriável 6

7 { x y u x + y v Logo, obteremos x u + v x u + v y v u y v u Portnto, ϕ(u, v) + v, v u ) O jcobino será ddo por (u, v) Perceb que, qundo v ϕ(u, ) +, u ) x u + y u x + y v ϕ(u, ) +, u ) v u ϕ(u, u) + u, u u ) (u, 0) x u + y u v u ϕ(u, u) u, u u ) (0, u) x + y Portnto, 7

8 B cos(x y) sin(x + y) dxdy B uv B uv v cos u sin v v dudv cos u sin v dudv cos u sin v dudv Resolvendo integrl intern teremos, v v cos u sin v du [ ] v v cos u du sin u sin v v sin v v [sin v sin( v)] [sin v + sin v] sin v sin v sin v sin v Portnto, B cos(x y) sin(x + y) dxdy dv [ ] v [..] [4 ]. 8