Aproximação de funções de Bessel

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1 Aproximção de funções de Bessel Gonzlo Trvieso Sumário 1 Integrção numéric Integrl definid Regr do trpézio Número de intervlos Algoritmo Funções de Bessel 4 3 Trblho entregr 4 1 Integrção numéric 1.1 Integrl definid Em diverss situções, solução de um problem pode ser express trvés de um integrl definid f(t)dt. Em lguns csos, o integrndo f(t) é suficientemente simples pr que integrl poss ser clculd nliticmente, e nesses csos temos um resultdo exto. Infelizmente, com frequênci form de f(t) é suficientemente complex pr impedir o cálculo nlítico do resultdo. Nestes csos, precismos vlir um proximção numéric. 1

2 1.2 Regr do trpézio A integrl definid pode ser express como um limite de um somtóri f(t)dt = lim f( + i t) t t 0 pr vlores de i inteiros tis que +i t b. Dois problems precem imeditmente se tentrmos vlir integrl trvés desse limite: No limite t 0, o número de pontos onde função deve ser vlid é infinito. Isto quer dizer que um progrm não terminri su execução. Qundo t é muito pequeno, f(t) t é muito pequeno, e limitção de precisão n representção de números de ponto flutunte irá gerr erros no processo de cumulção dos vlores n somtóri. Portnto, precismos trblhr com um vlor de t suficientemente pequeno, pr termos um bo proximção, ms suficientemente grnde, pr evitrmos erros de precisão e muit demor n execução. Pr isso, é importnte usr um bo proximção pr o cálculo discreto d somtóri. Existem diverss forms de fzer isso (vej qulquer livro de cálculo numérico). Aqui presentmos pens um que é reltivmente simples e eficiente, conhecid como regr do trpézio. Em primeiro lugr, dividimos o intervlo [, b] de integrção em N pedços, cd um de tmnho h = (b )/N. Os N +1 vlores de t que delimitm esses pedços serão t o =, t 1 = +h, t 2 = +2h,..., t i = +ih,..., t N = b. Clculmos diretmente os vlores de f nesses pontos e entre dois vlores de i consecutivos, proximmos f por um ret. Com ess proximção, o vlor proximdo d integrl entre t i e t i+1 é áre do trpézio formdo pelos pontos (t i, 0), (t i+1, 0), (t i+1, f(t i+1 )), (t i, f(t i )) : ti+1 t i h 2 [f(t i) + f(t i+1 )]. Pr clculr proximção pr o vlor totl d integrl, bst então somr todos esses intervlos: [ 1 f(t)dt h 2 f(t 0) + f(t 1 ) + f(t 2 ) + + f(t N 1 ) + 1 ] 2 f(t N). 2

3 1.3 Número de intervlos Rest gor definir qul seri um vlor proprido de número de intevlos usr. Não existe um escolh válid sempre, pois o vlor proprido depende d função integrr e do intervlo de integrção. Felizmente, nos csos em que vlição do integrndo f(t) não é muito custos, isso pode ser decidido utomticmente proveitndo um propriedde d regr do trpézio. Note que, n regr do trpézio, deixndo de ldo os pontos extremos t 0 e t N, todos os vlores de f(t) têm o mesmo coeficiente, os t i pr i pr são seprdos entre si por 2h, o mesmo contecendo pr os i ímpres. Isso quer dizer que, se temos um proximção com N intervlos de tmnho h, podemos construir um nov proximção com 2N intervlos de tmnho h/2 reproveitndo s vlições de função já relizds. Bst pr isso relizr o cálculo de novos N vlores intervlos h, ms deslocdos de h/2 em relção o vlores nteriores. Portnto, vmos sucessivmente dobrndo o número de pontos té tingir um proximção dequd. Qundo prr de clculr novs proximções? Suponh que y é o vlor exto d integrl. Queremos clculr um vlor proximdo ỹ que sej suficientemente próximo de y. O erro bsoluto d proximção é y ỹ, ms muits vezes estmos mis interessdos no erro reltivo y ỹ / y. Podemos definir um precisão desejd ɛ, que deve ser um vlor rel positivo pequeno, e estbelecer que o erro bsoluto (ou reltivo) deve ser menor que ɛ, o que nos lev à expressão y ỹ < ɛ (ou y ỹ < ɛ y pr o erro reltivo). O único problem dess expressão é que o vlor de y é desconhecido, sendo justmente o que queremos clculr! A síd é usrmos o fto de que já temos um proximção pr y, e estmos itertivmente clculndo um nov proximção. Portnto, sendo ỹ proximção já clculd e ỹ nov proximção, considerndo os novos pontos diciondos, queremos que ỹ ỹ < ɛ se estmos interessdos no erro bsoluto ou ỹ ỹ < ɛ ỹ se nos interessmos pelo erro reltivo. 1.4 Algoritmo Resumindo o presentdo nteriormente, ficmos com o seguinte lgoritmo pr o cálculo d integrl: 1. Inicilize um vriável totl, com o vlor de (b )[f() + f(b)]/2. 2. Inicilize um vriável m em Gurde o vlor de totl em um outr vriável totl_nterior. 3

4 4. Clcule o tmnho tul do intervlo h = (b )/m. 5. Fç um somtóri de todos os vlores de f(t) pr os vlores de t iguis + h/2, + h/2 + h, + h/2 + 2h,... que sejm menores que b. Sej o resultdo disto s. 6. Atulize o vlor de totl pr médi entre o totl tul e sh. 7. Duplique o vlor de m. 8. Repit os ítems 3 7 té que diferenç entre totl e totl_nterior sej comptível com precisão desejd. Pr lgums funções ml comportds, o processo cim pode não convergir pr precisão desejd, e o lgoritmo entrri num repetição infinit. Um form de evitr isso é contr o número de repetições relizds e terminr depois de um limite máximo. Pr todos os efeitos práticos, 30 repetições são já um número grnde (lembre-se que cd repetição dobrmos o número de pontos vlidos). 2 Funções de Bessel As funções de Bessel precem o se procurr soluções pr equções diferenciis d form x 2 d2 y dx 2 + x dy dx + (x2 n 2 )y = 0, por exemplo n solução de equções de Lplce ou Helmholtz em coordends esférics ou cilíndrics. Pr vlores de n inteiros e não negtivos, temos n-ésim função J de Bessel definid como: J n (x) = 1 π π 0 cos(nt x sin t) dt. Ess integrl não pode ser vlid nliticmente, e precismos um proximção numéric. 3 Trblho entregr Juntmente com este texto, você recebeu lguns rquivos. Entre estes, existe o rquivo bessel.cpp. Nesse rquivo, você deve inserir código (no locl indicdo) pr clculr n-ésim função J de Bessel pr um vlor de x. O 4

5 primeiro prâmetro é o vlor de n, o segundo prâmetro é o ponto x onde função deve ser vlid e o terceiro prâmetro é precisão (erro reltivo máximo) ɛ desejd. Use o método itertivo descrito cim, com = 0, b = π e f(t) = cos(nt x sin t) pr clculr integrl, depois divid o resultdo por π pr ter o vlor d função J n (x), que deve ser retorndo. Como os testes serão feitos com precisão de 10 8, será necessário relizr s operções usndo double. Use erros bsolutos pr detectr o término (erros reltivos germ problems qundo o vlor d função é muito próximo de zero). Dic: Um vlor de π com tod precisão de um double pode ser encontrndo n constnte M_PI, definid no heder <cmth>, que você tmbém precisrá incluir pr usr sin e cos. Qundo você tiver lgum código n função pode compilá-lo e testá-lo usndo o comndo mke: mke mke test Se tudo estiver correto, será escrito pós o mke test Running 1 test cse... *** No errors detected Se houver erros, pode hver impressão de um grnde número de mensgens de erro. Se você desejr desenvolver e testr o código em seu computdor, lembrese que você irá precisr de um compildor tul de C++ (recomenddo: GCC versão 4.6 ou superior) e ds bibliotecs Boost ( Ns distribuições Linux, os sistems de gerencimento de pcotes (pt-get, emerge, etc.) dispõe de pcotes pr instlção (procure por boost, libboost ou libboost-ll). Você tmbém pode simplesmente usr os computdores do lbortório de ensino, diretmente n sl ou por cesso remoto. Você deve entregr, pelo Moodle d disciplin, o rquivo bessel.cpp com su implementção d função. Nenhum outro rquivo deve ser lterdo ou entregue. Przo pr entreg: Até