Cálculo Integral em R

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1 Cálculo Integrl em R (Primitivção e Integrção) Miguel Moreir e Miguel Cruz

2 Conteúdo Primitivção. Noção de primitiv Algums primitivs imedits Proprieddes ds primitivs Técnics de Primitivção Primitivção por prtes Primitivção por mudnç de vriável (ou substituição) 5.4. Primitivção por decomposição O Integrl de Riemnn. Prtições de intervlos e soms de Riemnn Integrbilidde à Riemnn Proprieddes do Integrl de Riemmn 5. Proprieddes elementres Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl Integrção por prtes Integrção por mudnç de vriável Algums plicções do integrl de nido 4. Cálculo de áres Cálculo de volumes de sólidos de revolução Cálculo do comprimento de linh Integris Impróprios 6 5. Limites de integrção in nitos Funções integrnds não limitds Critérios de convergênci /D ezem bro/9

3 Primitivção. Noção de primitiv De nição Se f e F são funções de nids no intervlo [; b], F é diferenciável em todos os pontos de [; b] e se pr todo o [; b], F () = f () ; diz-se que F é um primitiv de f em [; b]. Observção Nests circunstâncis diz-se que f é primitivável em [; b] : Eemplo As funções F () = sin e G() = sin + são primitivs de cos em R pois (sin ) = (sin + ) = cos. Como se pode veri cr, se F for um primitiv de f, tmbém F + C (em que C é um constnte) é um primitiv de f. Ms será que tods s primitivs de um dd função diferem entre si de um constnte? O seguinte teorem responde rmtivmente est questão (ms só se F for um primitiv de f num intervlo). Proposição Sejm F e G dus primitivs de f no intervlo [; b]. Então, F () G () = C (em que C é um constnte), isto é, F e G diferem entre si de um constnte. Dem. Reprndo que, (F () G ()) = F () G () = f () f () = ; deduz-se que F G é constnte no intervlo [; b], em resultdo de um corolário do teorem de Lgrnge.. De nição Sej F primitiv de um função f no intervlo I; se nd for dito em contrário, denotmos por P f () ; P f () ou R f () d o conjunto ds primitivs de f no intervlo I. Nests circustâncis (e tendo em cont o resultdo nterior) P f () = ff () + C : C Rg ; ou simpli cdmente P f () = F () + C: 8/D ezem bro/9

4 Função Primitiv sin cos + C cos sin + C ; ( 6= ; > ) + + ln jj + C rctn + C + p rcsin + C Tbel : Tbel de primitivs elementres Função ' () sin ' () ' () cos ' () ' () ' () ; ( 6= ; ' () > ) ' () '() ' () +['()] Primitiv cos ' () + C sin ' () + C ['()] + + C + ln j' ()j + C rctn ' () + C p ' () ['()] rcsin ' () + C Tbel : Tbel de primitivs imedits. Algums primitivs imedits N tbel presentmos lgums primitivs imedits. Reprndo que (F (' ())) = ' () F (' ()) tendendo à regr de derivção d função compost concluí-se fcilmente que F (' ()) é um primitiv de ' () F (' ()). N tbel presentmos versão mis gerl d tbel.. Proprieddes ds primitivs Proposição Sejm f e g funções primitiváveis no intervlo [; b] e R. Então, no intervlo [; b]:. P (f () + g ()) = P f () + P g () ;. P (f ()) = P f () ; Proposição Sej f um função diferenciável no intervlo [; b]. Então, no intervlo [; b], P f () = f () + C: 8/D ezem bro/9

5 Dem. (f () + C) = f (). Proposição 4 Tod função contínu num intervlo é primitivável nesse intervlo. Dem. Ver prte do teorem fundmentl do cálculo integrl (proposição )..4 Técnics de Primitivção.4. Primitivção por prtes Proposição 5 Sejm f e g são funções com derivd contínu no intervlo [; b]. Então, neste mesmo intervlo P (f () g ()) = f () g () P (f () g ()) : Dem. D fórmul de derivção do produto, (f () g ()) = f () g () + f () g () ; result f () g () = (f () g ()) f () g (). Notndo que ests funções são tods primitiváveis pois são contínus (proposição 4), deduz-se P (f () g ()) = P (f () g ()) P (f () g ()) = f () g () P (f () g ()) ; tendo em cont lgums ds proprieddes, já ssinlds, d primitivção. Eemplo Clcule P sin. Fzendo f () = sin e g () = sin, result f () = cos e g () = cos. Aplicndo fórmul de primitivção por prtes, P (sin sin ) = cos sin P cos = cos sin + P sin = cos sin + P sin : Então, P sin = cos sin + + C: 4 8/D ezem bro/9

6 Eemplo Clcule P ln. Fzendo f () = e g () = ln result f () = e g () =. Assim, P ln = ln P = (ln ) + C: Eemplo 4 Clcule P e. Fzendo f () = e e g () = result f () = e e g () =. Assim, P e = e P e = e ( ) + C:.4. Primitivção por mudnç de vriável (ou substituição) Comecemos por presentr seguinte notção pr representr f (g (t)): f (g (t)) = f ()j =g(t) : Proposição 6 Sej f um função contínu no intervlo [; b] e = ' (t) um plicção com derivd contínu e que não se nul. Então, P f () = P t f (' (t)) ' (t)j t=' () : Dem. Clrmente y = f () e z = f (' (t)) ' (t) são funções primitiváveis no intervlo [; b] reltivmente às vriáveis e t; respectivmente. Sej, H (t) um primitiv de f (' (t)) ' (t) e H ' () = P t f (' (t)) ' (t)j t=' () ; mostremos que d(h(' ())) = f (). D regr de derivção d função compost e d função invers deduz-se sucessivmente, d (H (' ())) d (H (t)) = d (' ()) d d dt t=' () d = f (' (t)) ' (t)j t=' () ' (t) = f () ' ' () ' (' ()) = f () : Observção Seguidmente presentmos um demonstrção lterntiv d proposição nterior. t=' () 5 8/D ezem bro/9

7 Dem. Sej F um primitiv de f e H (t) = F (' (t)). Então H (t) = F (' (t)) ' (t) = f (' (t)) ' (t) ; o que mostr que H (t) = F (' (t)) é um primitiv de f (' (t)) ' (t). Assim, se em H substituirmos ' (t) por (ou sej zermos t = ' ()) obteremos F (). Observção Utilizndo outr notção pr representr o conceito de primitiv fórmul de primitivção por substituição pode ser presentd d form seguinte: Z Z f () d = f (' (t)) ' (t) dt = Z f (' (t)) d' dt dt t=' () t=' () Eemplo 5 Clcule P. (+) Sej t = + ; isto é, fçmos = ' (t) = t. D fórmul de primitivção por substituição, ' (t) P ( + ) = P t (' (t) + ) t=+ = P t = = t t=+ t + ( + ) + C: Eemplo 6 Clcule P e p. Fçmos p = t, isto é, = ' (t) = t. Assim, ' (t) = t e : P e p = P t ' (t) e p '(t) t=' () = P t ( t) e t t=' () = P te t t=' () = e t (t ) t=' () = e p p + C: 6 8/D ezem bro/9

8 Eemplo 7 Clcule P p 4. Sej = ' (t) = sin t. Então, ' (t) = cos t e Ms, p q P 4 = P t ' (t) 4 ' (t) t=' () q = P t cos t 4 ( sin t) t=' () = 4P t cos t t=rcsin : Então, P t cos t = P t sin t = = t cos t sin t + t = t + cos t sin t : p P 4 = t + cos t sin t 4 = t=rcsin rcsin + cos rcsin sin rcsin = rcsin + r! + C 4 Um ds principis di culddes n primitivção por substituição reside n escolh d mudnç de vriável dequd. Em numeross situções encontrm-se estudds substituições conselhds, tis como s que se presentm n tbel, n qul f é um função rcionl dos rgumentos indicdos. A utilizção dests substituições permite trnsformr função primitivr num função rcionl que pode ser primitivd por decomposição. Eemplo 8 Clcule P p +c. Notemos que > em + c. Utilizemos por isso primeir ds substituições recomendd n tbel, p + c = t + : 7 8/D ezem bro/9

9 Primitiv Substituição P f ; p + b + c p ; > + b + c = t + p P f ; p + b + c p ; c > + b + c = t + p c P f ; p + b + c p ; + b + c = ( ) t; b 4c > ríz de + b + c P f (e ) = ln t Tbel : Primitivção por substituição Assim, = ' (t) = c t e ' (t) = t +c e t t t + c P p = P t + c t + c t t t = P t t p t= +c = ln p + c + C: t= p +c Eemplo 9 Clcule P e +e. e Notemos que e + e = e + e e e fçmos = ' (t) = ln t. Assim, ' (t) = t e e + e t + P = P e t t t t=e Eemplo Clcule P +p. Notemos que > e que tem dus rízes reis distints pois b 4c >. Podemos recorrer à primeir ou últim ds substituições ssinlds n tbel. Utilizndo primeir ds substituições, fçmos p = t + : Assim, e = ' (t) = + t + t ' (t) = t + 6t 4 ( + t) : 8 8/D ezem bro/9

10 Resultndo, P + p = P t + t +t +t +t +t t + 6t 4 ( + t) t=' () No próimo ponto iremos ver como primitivr funções rcionis..4. Primitivção por decomposição A decomposição é um técnic de primitivção de funções rcionis que consiste em decompor em frcções elementres de primitivção imedit ou quse imedit função rcionl que se pretende primitivr. Proposição 7 Sej F () um função rcionl. É possível escrever F n form F () = H () + P () Q () em que H; P e Q representm polinómios tis que o gru de P é inferior o gru do polinómio mónico Q. Dem. Omitid. Eemplo Escrev n form nteriormente indicd função rcionl F () = Apliquemos o lgoritmo d divisão o quociente F. Fcilmente se veri c que F () = = : Assim, o cálculo d primitiv de F c reduzido o cálculo d primitiv elementr do polinómio H e d primitiv d frcção rcionl P=Q com s crcterístics trás indicds: Z Z F () d = H () d + Z P () Q () d. Proposição 8 Sejm P e Q polinómios tis que o gru de P é inferior o gru do polinómio mónico Q. Então P=Q pode decompor-se num som de termos elementres dos tipos seguintes: um polinómio é mónico se o coe ciente do termo de mior gru é. 9 8/D ezem bro/9

11 [( função ; k ; k N ( r) k b+d [( ) + ] b+d ; k > ; k N ) + ] k ; k > ; k N (+t ) k ( Primitiv ln j( k)j + C; se k = ( r) k+ ; se k > k+ b ln(( ) + ) + (b+d) rctn b(+t ) k+ + b+d k ( k) k R por prtes fzendo, + C dt; t = (+t ) k t t = (+t ) k (+t ) k (+t ) k Tbel 4: Primitivção por decomposição. ( r) k ; ; r R; k N e k. b+d [( ) + ] k ; ; ; b, d R; k N e k. Dem. Omitid. Dest form conhecendo s primitivs dos termos elementres b+d o problem do cálculo de R P () [( ) + ] k Q() e ( r) k d c resolvido. N tbel 4 presentmos s primitivs indicds. Seguidmente vmos veri cr como podemos decompor P=Q. Proposição 9 Consideremos o polinómio mónico Q e tods s sus rízes reis r k ( k s) e comples c l = l + l i ( l t) ssim como s respectivs multipliciddes k ( k s) ds rízes reis e d rízes comples l ( l t). Rízes: Multiplicidde: r. r s. s c = i.. c t = t t i t Então o polinómio Q pode ser escrito d seguinte form, Q () = ( r ) : : : ( r s ) s ( ) + : : : ( t ) + t Dem. Omitid. t 8/D ezem bro/9

12 Eemplo Decomponh n form indicd o polinómio Q () = +. Comecemos por observr que s rízes de Q são r = e c = i, qulquer dels de multiplicidde um. Então, Q () = ( ) + : Proposição Consideremos função rcionl P=Q tl que o gru de P é menor do que o gru do polinómio mónico Q e tods s rízes reis r k ( k s) e comples c l = l + l i ( l t), deste último polinómio, ssim como s respectivs multipliciddes k ( k s) ds rízes reis e d rízes comples l ( l t). Então, P () Q () = sx X k k= n= (n) k ( r k ) n + tx X l l= m= b (m) l + d (m) l ( l ) + l m Dem. Omitid. De referir que os coe cientes desconhecidos n decomposição nterior podem ser clculdos pelo método dos coe cientes indetermindos. Eemplo Decomponh d mneir indicd s funções rcionis. F () = + (+) ( ) + ( + ) ( ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + 4 ( ) :. F () = ( +). F () = + ( )( +) ( + ) = + b + d ( + ) + b + d ( + ) : + ( ) ( + ) = = + ( ) ( + ) ( + ) ( ) + ( + ) + b + d ( + ) + b + d ( + ) : 8/D ezem bro/9

13 4. F 4 () = = + ( ) ( + ) = ( ) + b + d ( + ) : Eemplo 4 Decomponh em frcções elementres função rcionl F () = + + e clcule os coe cientes indetermindos. Do eemplo nterior, + + = ( ) + b + d ( + ) = ( + ) + ( ) (b + d ) ( ) ( + ) = ( + b ) + (d b ) + ( d ) : ( ) ( + ) Então, 8 < : + b = d b = d = ) 8 < : = b = d = ) + + = ( ) + ( + ) O Integrl de Riemnn. Prtições de intervlos e soms de Riemnn De nição Sej [; b] um intervlo com b >.. Um prtição de [; b] é um conjunto de pontos P = f ; ; : : : ; n g tl que = < < < : : : < n = b: ou decomposição de vértices P: 8/D ezem bro/9

14 . A norm d prtição P = f ; ; : : : ; n g é o número (que é sempre mior ou igul zero), kp k = m jn j j j j :. Um re nmento d prtição P = f ; ; : : : ; n g é um prtição Q de [; b] tl que P Q. Nest situção diz-se que Q é mis n do que P: Eemplo 5 Sejm I = [; ], P = f; :; :; :5; g e Q = P [ f:7g. P e Q são dus prtições de I tis que kp k = :5 e kqk = :. Q é um re nmento d prtição P pois P Q. Nturlmente Q é mis n do que P: De nição 4 Sej [; b] um intervlo fechdo limitdo, P = f ; ; : : : ; n g um prtição de [; b] e f : [; b]! R um função limitd. Chm-se som de Riemnn de f reltivmente à prtição P o número nx S (f; P ) = f (t j ) ( j j ) com j= t j [ j ; j ] com j n: Eemplo 6 Represente e interprete geometricmente um som de Riemnn de f () = em [; ] e P = f; :5; :5; :75; g : Proposição Sejm P e Q prtições de [; b] tl que P Q então kp k kqk : Dem. Omitid. De nição 5 (Convergênci de um som de Riemnn) Sej P = f ; ; : : : ; n g um prtição de [; b] e f : [; b]! R um função limitd. Diz-se que som de Riemnn de f converge pr o número I (f) qundo kp k! se pr todo > eiste um prtição P de [; b] tl que nx P P ) f (t j ) ( j j ) I (f) < j= pr tods s escolhs de t j [ j I (f) = lim kp k! ; j ] ; j n. Nests circunstâncis nx f (t j ) ( j j ) j= 8/D ezem bro/9

15 . Integrbilidde à Riemnn De nição 6 Sej [; b] um intervlo com b >. Diz-se que f : [; b]! R é integrável à Riemnn em [; b] se f é limitd em [; b] e se o limite I (f) = lim kp k! nx f (t j ) ( j j ) ; j= eiste. Nests circunstâncis escreve-se I (f) = f () d; e diz-se que R b f () d é o integrl de nido de f entre e b. N de nição nterior f represent chmd função integrnd, vriável de integrção, d o créscimo in nitésiml ssocido e e b os limites de integrção. lim ( j j ) kp k! Observção 4 No presente conteto e se nd for dito em contrário epressão função integrável deverá entender-se função integrável à Riemnn. Eemplo 7 As funções constntes f () = k; são integráveis à Riemnn pois são limitds, e f (t j ) = k pr tods s escolhs de t j [ j ; j ] ; j = ; ; : : : ; n pr tod prtição P de [; b], nx k ( j j ) = nx k ( j j ) j= j= = k (b ) : O seguinte resultdo mostr que tods s funções contínus são integráveis à Riemnn. Proposição As funções contínus em intervlos fechdos e limitdos [; b], são integráveis à Riemnn. Dem. Omitid. O integrl de Riemnn de um função positiv entre e b pode interpretrse geometricmente como áre d região do plno limitd superiormente pelo grá co de f, inferiormente pelo eio dos e lterlmente pels rects = e = b. 4 8/D ezem bro/9

16 Eemplo 8 Consideremos função f () = e o intervlo [; ]. Clculemos R f () d. Consideremos prtição diádic do intervlo indicdo, e som de Riemnn, Então, S (f; P ) = P n = fj= n : j = ; ; ; ; : : : ; n g = j= X n j= j= X n j= f j 4 n j= j j j X n j = n n n n n j= = : : : + n 4 n = ( + n ) n 4 n + = n : Z f () d = lim n! =. + n Proprieddes do Integrl de Riemmn. Proprieddes elementres Vmos ver gor lgums proprieddes importntes do integrl de Riemnn. Proposição (Lineridde do Integrl) Sejm f e g integráveis em [; b] e R, então f + g e f são integráveis em [; b] e e (f () + g ()) d = f () d + (f ()) d = f () d: g () d 5 8/D ezem bro/9

17 Dem. Deiemos demonstrção d segund iguldde como eercício e demonstremos primeir. Comecemos por observr que f + g é limitd em [; b]. Sej > e : Eistem prtições P e R tis que nx P P ) f (t j ) ( j j ) I (f) < = e j= nx R P ) g (t j ) ( j j ) I (g) < = j= pr tods s escolhs de t j [ j ; j ] ; j = ; ; : : : ; n (porquê?). Consideremos prtição de [; b], Q = P [ R. Então, nx (f (t j ) + g (t j )) ( j j ) (I (f) + I (g)) = j= nx nx f (t j ) ( j j ) I (f) + g (t j ) ( j j ) I (g) j= j= nx f (t j ) ( j j ) I (f) + nx g (t j ) ( j j ) I (g) < + = j= j= se Q P, pr tods s escolhs de t j [ j O que mostr que, ; j ] ; j = ; ; : : : ; n (porquê?). (f () + g ()) d = f () d + g () d Proposição 4 Se f é integrável em [; b] então f é integrável em todo o subintervlo [c; d] de [; b] e pr todo o c ]; b[. Dem. Omitid. f () d = Z c f () d + c f () d; Proposição 5 (Comprção de Integris) Sejm f e g integráveis em [; b] e f () g () pr todo [; b] ; então f () d g () d: () 6 8/D ezem bro/9

18 Em prticulr se m f () M; m (b ) f () d M (b ) : () Dem. Sej h () = f () g (). Então, h () pr todo [; b], com h e função constnte integráveis à Riemnn (porquê?). Por outro ldo, S (h; P ) S (; P ) = pr tod prtição de P de [; b]. Então, lim kp k! nx h (t j ) ( j j ) : j= D lineridde do integrl (proposição 5), conclui-se o que mostr que como se pretendi. h () d = = (f () g ()) d f () d f () d g () d g () d ; Proposição 6 Sej f integrável em [; b] ; então jfj é integrável em [; b] ;e Dem. Omitid. f () d jf ()j d: Proposição 7 Sej f e g integráveis em [; b] ; então fg é integrável em [; b]. Dem. Omitid. Proposição 8 Se f é integrável em [; b] então Z c c f () d = 7 8/D ezem bro/9

19 pr todo o c [; b]. Dem. Sej c [; b[, h > tl que c + h [; b[ e M o máimo de f em [; b]. Então, ds proposições 6 e 5, Z c+h Z c+h f () d jf ()j d c c M (c + h c) Mh: Fzendo h! result R c+h f () d c!. Análogmente se demonstr situção c = b. De nição 7 Sej f integrável em [; b], então Z b f () d = f () d: Deste fcto result tese. Est de nição pode justi cr-se recorrendo à noção de Integrl de Riemnn e permite generlizr lgums ds proprieddes já estudds. Proposição 9 (Teorem d médi) Sej f contínu em [; b] ; então eiste c [; b] tl que f () d = f (c) (b ) : () Dem. Nturlmente f é integrável (porquê?). Sej m e M o mínimo e o máimo de f em [; b], respectivmente. Do teorem de Bolzno (porque f é contínu) pr todo entre m e M eiste c [; b] tl que f (c) =. D equção () como, fzendo = m R b f()d b result tese. R b f () d b M,. Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl Comecemos por de nir o que se entende por integrl inde nido. De nição 8 Sej f integrável em [; b]. Então função F () = Z f (t) dt com [; b] diz-se integrl inde nido de f. 8 8/D ezem bro/9

20 Proposição Sej f integrável em [; b] ; então F () = Z f (t) dt eiste e é contínu em [; b] : Dem. Sej >, [; b], M = sup [;b] f () e " = recorrendo às proprieddes trás indicds, Z Z jf () F ( )j = f (t) dt f (t) dt ( R = f (t) dt, se R f (t) dt, se > R jf (t)j dt, se jf (t)j dt, se > R M j j : M. Então, Este fcto mostr, como se pretendi, que j j < " ) jf () F ( )j <. Proposição (Teorem fundmentl do Cálculo Integrl) Sej [; b] um intervlo com b > e f : [; b]! R.. Se f é contínu em [; b] então F () = R f (t) dt tem derivd contínu em [; b] e d R f (t) dt d = F () = f () : (4). (Fórmul de Brrow) Se f é contínu em [; b] e G um primitiv de f em [; b]. Então f (t) dt = G ()j b = G (b) G () : (5) Dem. 9 8/D ezem bro/9

21 . Sej F () = R f (t) dt. ]; b[: Clculemos rzão incrementl de F em F ( + h) F ( ) h = = R +h R +h f (t) dt h f (t) dt ; h R f (t) dt ds proprieddes elementres do integrl. Por outro ldo, como f é contínu em [; b], d proposição 9 (teorem d médi) eiste h entre e + h tl que Z +h f (t) dt = f ( h ) ( + h ) = f ( h ) h. Assim, notndo que! qundo h!, (porquê?), F ( + h) F ( ) lim h! h R +h = lim f (t) dt h! h f ( = lim h ) h h! h = f ( ). Este fcto demonstr que F () = f () e que F é contínu em ]; b[. A demonstrção de que F () = f () (derivd de F à direit de ) e F (b) = f (b) (derivd de F à esquerd de b) poderi ser relizd de form idêntic recorrendo à noção de derivd lterl direit e esquerd respectivmente.. Sej G () um primitiv de f em [; b]. Então, d proposição, já que R f (t) dt tmbém é um primitiv de f em [; b], G () Z Fzendo = result G () = k. Assim, f (t) dt = k. G (b) f (t) dt = G (), o que demonstr vlidde d equção (5). 8/D ezem bro/9

22 Observção 5 É possível enfrquecer ligeirmente s hipóteses do número d proposição : (Fórmul de Brrow) Se F é integrável em [; b] então F (t) dt = F ()j b = F (b) F () : A demonstrção deste cso pode encontrr-se em [6]. Observção 6 A equção (5) fornece-nos um método de cálculo do integrl de nido e é conhecid por fórmul de Brrow ou fórmul de Newton- Leibniz. Eemplo 9 Sej f é contínu em [; b], F (y) = R y f (t) dt e y = g () um função diferenciável em ]; b[. Clcule, derivd de em ]; b[. H () = Z g() f (t) dt;. Comecemos por observr que (H ()) = (F (g ())). Pel regr de derivção d função compost (H ()) = F y (g ()) g () :. Ms, do número d proposição, F y (y) = f (y), então (H ()) = f (g ()) g () : Eemplo Clcule R sin d. Sej cos um primitiv de sin. Então, do número d proposição, Z sin d = cos j = cos ( cos ) = ( ) ( ) = : 8/D ezem bro/9

23 . Integrção por prtes Proposição (Fórmul de integrção por prtes) Sejm f e g diferenciáveis em [; b] com f e g integráveis em [; b]. Então, f () g () d = f () g ()j b Dem. D regr de derivção do produto, f () g () d: f () g () = (f () g ()) f () g () : (6) Tendo presente fórmul de Brrow, notndo que f () g () é um primitiv de (f () g ()) e que os restntes termos d equção nterior são integráveis em [; b], deduz-se o resultdo pretendido, integrndo membro membro equção (6). Eemplo Clcule R = sin d. Sej g () = e f () = sin. Nests circunstâncis g () = e f () = cos. Assim, Z = sin d = cos j = = + Z = Z = cos d = sin j = = :.4 Integrção por mudnç de vriável ( cos ) d Proposição (Mudnç de vriável) Sej = ' (t) um função com derivd contínu em [; b], intervlo fechdo e limitdo, tl que ' () ' (b). Se,. f for contínu em ' ([; b]) ; ou se,. ' for estritmente crescente em [; b] e f for integrável em [' () ; ' (b)], então, Z '(b) '() f () d = f (' (t)) ' (t) dt. Dem. Demonstremos pens o primeiro resultdo ( demonstrção do número pode encontrr-se em [6]). Suponh-se f contínu em ' ([; b]) = 8/D ezem bro/9

24 [' () ; ' (b)]. Sej, F () = R f () d um primitiv de f. Note-se que F '() é um primitiv de f em resultdo do número d proposição. Por outro ldo H (t) = F (' (t)) é um primitiv d função contínu f (' (t)) ' (t). Assim pel fórmul de Brrow result sucessivmente, Eemplo Clcule R f (' (t)) ' (t) dt = H (b) H () p d. = F (' (b)) F (' ()) = Z '(b) '() f () d Sej = ' (t) = sin t e ' (t) = cos t. Assim, qundo = e = ; t = rcsin = e t = : Então, Z Z p d = = Z =. cos t q (sin t) dt 4 Algums plicções do integrl de nido 4. Cálculo de áres A áre A; limitd pels curvs (correspondentes funções integráveis) y = f () e y = g () e pels rects verticis = e = b ( b), pode clculr-se recorrendo à seguinte epressão: dt Note-se que A = jf () g ()j d jf () g ()j d = lim kp k! nx jf (t j ) g (t j )j ( j j ) fcto que interpretdo geometricmente justi c rmção. j= 8/D ezem bro/9

25 Eemplo Cálcule áre limitd pels curvs y = sin e o eio dos entre = e =. Sej então A = Z jsin j d = = cos + cos = : Z sin d Eemplo 4 Cálcule áre limitd pels curvs y = e y = entre = e =.Sej então A = Z = Z d = = 6 : d 4. Cálculo de volumes de sólidos de revolução O volume V de um sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio dos d áre limitd pels curvs (correspondentes funções integráveis não negtivs) y = f () e y = g () e s rects = e = b ( b), pode ser clculdo pel seguinte epressão: Note-se que V = f () f () g () d = lim kp k! g () d nx f (t j ) g (t j ) (j j ) fcto que interpretdo geometricmente justi c rmção. Eemplo 5 Cálcule o volume de um esfer de rio igul um. Sej então y = p ; Z p V = d = = Z = 4 : j= d 4 8/D ezem bro/9

26 Eemplo 6 Cálcule o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção d superfície limitd pels curvs y = k e o eio dos entre = e = h (k > e h > ). Sej então V = Z h (k) Z h = k d = k h : d 4. Cálculo do comprimento de linh O comprimento l d linh ssocid o grá co d função y = f () (com derivd contínu) entre = e = b (isto é entre os pontos (; f ()) e b; f (b)), pode clculr-se recorrendo o seguinte integrl de nido por Note-se que s + l = df d () d = s + lim kp k! df d () d s nx + j= df d (t j) ( j j ) fcto que interpretdo geometricmente justi c rmção. Eemplo 7 Clcule o perímetro de um circunferênci de rio igul um. Sej f () = p e f () = p. Então, s Z p l = 8 + p d Z p r = 8 = 8 Z 4 = 8 4 = ; fzendo mudnç de vriável = sin t. d r sin cos tdt t 5 8/D ezem bro/9

27 5 Integris Impróprios A operção de integrção pode ser etendid intervlos não limitdos e/ou funções não limitds recorrendo à noção de integrl impróprio que podem, ssim, ocorrer em dus situções diferentes:. qundo os limites de integrção são in nitos, isto é, qundo o intervlo de integrção não é limitdo (Integris impróprios de espécie);. qundo função integrnd é não limitd no intervlo de integrção.(integris impróprios de espécie) 5. Limites de integrção in nitos De nição 9 Sej f um função integrável pr todo o sempre que [; ] [; +[ : O integrl impróprio, d função f em [; +] ; é o limite Z + f () d = Z lim!+ f () d cso eist e sej nito. Nest situção diz-se que R + f () d eiste ou converge. R Se lim!+ f () d não eistir nem for nito diz-se que R + f () d não eiste ou diverge. De ne-se de mneir nálog, Z Z + f () d = lim! f () d = lim! Eemplo 8 Clculemos R + Z + Z Z d: + f () d; Z d = lim +!+ Z f () d + lim f () d:!+ + d = lim!+ rctn j = lim!+ rctn = : 6 8/D ezem bro/9

28 Eemplo 9 Clculemos R + d: Z + Eemplo Clculemos R + Z + d = lim!+ Z d = lim!+ = lim ( )!+ = : d: + Z d = lim +! Eemplo Mostre que R + d + lim +!+ = lim! rctn j + = lim! rctn + = : Z + d diverge. d = lim!+ Z d = lim ln!+ jjj = lim ln ()!+ = +: Z + d Eemplo Estude qunto à convergênci o integrl impróprio R + d. k Sej k =, do eemplo nterior veri c-se que o integrl impróprio referido não converge. Suponh-se k 6=. Então Z + k+ d = lim k!+ k + = lim ( k)!+ k ( k) : O que mostr que R + d converge, qundo k > ; pois lim k!+ = k e diverge qundo k < pois lim!+ = +. Em resumo, k ) k > ) Z + Z + k d diverge e k d converge. (7) k 7 8/D ezem bro/9

29 5. Funções integrnds não limitds De nição Sej f um função integrável pr todo o sempre que [; ] [; c[ e não limitd em = c. O integrl impróprio, d função f em [; c] ; é o limite Z c f () d = lim!c Z f () d cso eist e sej nito. Nest situção diz-se que R c f () d eiste ou converge. R Se lim!c f () d não eistir nem for nito diz-se que R c f () d não eiste ou diverge. De ne-se de mneir nálog, R b f () d qundo não limitção de f se veri c em =, limite inferior de integrção, ou = c; pertencente o interior do intervlo [; b]: f () d = lim f () d = lim!c! + Z f () d; f () d + lim!c + f () d: Eemplo Clculemos R p d: Z p d = lim! = lim! Z = lim! = = : lim! p d ( ) = = ( ) = ( ) = Eemplo 4 Clcule o perímetro de um circunferênci de rio igul um. 8 8/D ezem bro/9

30 Sej f () = p e f () = p. Então, s Z l = 4 + p d = 4 lim! = 4 lim! = 4 lim! = 4 = ; Z Z fzendo mudnç de vriável = sin t. Eemplo 5 Clculemos R Z d: r d r sin cos tdt t Z d = lim! + d = lim! + = + Eemplo 6 Estude qunto à convergênci o integrl impróprio R d. k Sej k =, então Z d = lim ln jjj! + = + O que mostr que R k 6=. Então Z d não converge, qundo k = : Suponh-se que k k+ d = lim k! + k + = ( k) ( k) lim! + : k o que mostr que R d diverge se k > (pois lim k! + converge se k <. Em resumo, k < ) k ) Z Z d converge e k k = +) e d diverge. (8) k 9 8/D ezem bro/9

31 Eemplo 7 Sej f () = =4. Mostre que R f () d converge e que R (f ()) d não converge. Interprete o resultdo geometricmente. Antendendo o resultdo (8) concluí-se imeditmente que R d é =4 convergente e Z =4 Z d = d = é divergente. Este fcto mostr que áre limitd superiormente pel curv f e inferiormente pelo eio dos ; entre = e = ; é nit enqunto que o volume do sólido de revolução, gerdo pel mesm, é in nito. 5. Critérios de convergênci Antes de presentrmos lguns importntes critérios de convergênci iremos referir de nição de convergênci bsolut de um integrl impróprio. De nição Sej f () d um integrl impróprio de ou de espécie. Este integrl diz-se bsolutmente convergente se o integrl impróprio convergir. jf ()j d O seguinte resultdo relcion convergênci bsolut de um integrl impróprio com su convergênci, dit, simples. Proposição 4 Sej R b f () d um integrl impróprio de ou de espécie. Se R b jf ()j d é um integrl impróprio convergente então R b f () d tmbém é convergente. Dem. Omitid. Proposição 5 (Primeiro critério de comprção) Sejm R b f () d e R b g () d dois integris impróprios, mbos d mesm espécie e reltivmente o mesmo limite de integrção, tis que f () g () ; 8 ]; b[. Então. R b f () d divergente ) R b g () d divergente.. R b g () d convergente ) R b f () d convergente. 8/D ezem bro/9

32 Dem. Omitid. Proposição 6 (Segundo critério de comprção) Sejm R b f () d e R b g () d dois integris impróprios de ou de espécie reltivmente o limite superior = b (respectivmente, limite inferior = ) tis que f() lim!b = g() R+ (respectivmente, lim f()! + = g() R+. Então, f () d e g () d são d mesm nturez, isto é, são mbos convergentes ou mbos divergentes. Dem. Omitid. N utilizção dos critérios de convergênci trás enuncidos os resultdos de convergênci (7) e (8) são frequentemente utilizdos. Eemplo 8 Estude qunto à convergênci o seguinte integrl Z + ( + e ) d: Comecemos por observr que ; 8 [; +[. e que (+e ) R + d converge como vimos nteriormente. Então do primeiro critério de comprção result convergênci de R + (+e ) d. Eemplo 9 Estude qunto à convergênci o seguinte integrl Z p + 4 d: Comecemos por observr que p +4 p ; 8 ]; ]. Tendo em cont que R p d converge, concluí-se que R p +4 d tmbém converge, pelo primeiro critério de comprção. Eemplo 4 Estude qunto à convergênci o seguinte integrl Z + sin d: Comecemos por observr que sin ; 8 [; +[. Tendo em cont que R + d converge, concluí-se que R + sin d tmbém converge pelo primeiro critério de comprção. D proposição 4 concluí-se convergênci de R + sin d. 8/D ezem bro/9

33 Eemplo 4 Mostre que R + Sej f () = e g () = p lim!+ p d converge., reprndo que p = lim!+ = R + ; p deduz-se pelo segundo critério de comprção convergênci de R + já que R + d tmbém converge. p d, Eemplo 4 Mostre que R p Sej f () = p e g () = lim! + p p p = lim! + d converge., reprndo que = lim! + p p s = p R + ; ( ) ( + ) deduz-se pelo segundo critério de comprção convergênci de R p d, já que R p d tmbém converge. Note que (8) permite concluír que R p d converge já que Referêncis p = ( ) = : [] Apostol, T. M., Clculus, Reverté, 977; [] Azenh, Acilin e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencil Integrl em R e R n, McGrw-Hill, 995; [] Lim, Elon Lges, Curso de Análise (Vol e ), IMPA, Projecto Euclides, 995; [4] Piskounov, N., Clcul Di érentiel et Intégrl, MIR, 976; 8/D ezem bro/9

34 [5] Tylor, A. E., Advnced Clculus, Xero College Publishing, Msschusetts, 97; [6] Wde, W. R., An Introduction to Anlysis, Prentice Hll, 995; 8/D ezem bro/9

35 Eercícios Propostos Eercício Clcule s primitivs ds seguintes funções, utilizndo o método de primitivção por prtes:. ln.. sin.. e cos rctn. 5. sin. 6. rctn. Eercício Clcule s primitivs ds seguintes funções, utilizndo o método de primitivção por decomposição:. sin.. tn 4.. ( )(+) cos cos Eercício Clcule s primitivs ds seguintes funções, utilizndo o método de primitivção por substituição:. p.. e e +e p (+ p ) : p + : 4 8/D ezem bro/9

36 5. +4 ( 5) sin 4 cos. 7. q ( ). + Eercício 4 Clcule s primitivs ds seguintes funções, utilizndo o método que chr mis conveniente:.. p 9. p ln. ( ). e ln (e 4e + ). 4. ln ( ). 5. sin cos rcsin. 7. +(rccos ) p (rctn ). 9. (+) p. ln (+) Eercício 5 Determine epressão gerl ds primitivs ds seguintes funções:. e 9+5e.. ( p + ) ( p + ).. +5 p ( +) + rcsin. 5. rctn tg. 7. sin cos. 8. e e. 5 8/D ezem bro/9

37 9. P. P +7. q +.. 4p 5 + p 5.. e +.. 5p ln. 5. sin (ln ). 6. ln (+). 7. rcsin. 8. e e rctn p.. (+ln ).. p (+). Eercício 6 Determine epressão gerl ds primitivs ds seguintes funções:. rcsin.. tn.. e e sin cos +sin /D ezem bro/9

38 6. (6+4 ln ). 7. tn p p. Eercício 7 Considere função f () = +7 de nid em Rn f ; g. ( +4)( ) Obtenh primitiv de f que stisfz s condições seguintes :. lim!+ F () =.. lim F () =.!. F () =. Eercício 8 Considere função f () de nid por f () = sin(ln ) :. Determine epressão gerl ds funções f () que dmitem f () como derivd.. De entre s funções d line nterior determine quel que veri c f () = f () =. Eercício 9 Determine f () de modo que f () = ln (4 ) e f () = ln. Eercício Determine função f : R + f () = 4.! R tl que f () = ln e Eercício Determine primitiv d função de nid por f () = cos p p, que tom o vlor zero pr =. Eercício Determine um função f () tl que, com f () = lim f () = se tem f () = 8 (R: f () = 4 + ).!+ (+) + e Eercício Determine primitiv d função f () = e, que tom o vlor pr = : Eercício 4 Determine um intervlo I e um função f : I! R tl que f () = ln e f () = 4. (+) Eercício 5 Sej F () um primitiv de f () e g () um função derivável num intervlo I R. Mostre que: P [f () g ()] = F () g () P [F () g ()] 7 8/D ezem bro/9

39 Eercício 6 Clcule os integris:. R ( + ) d.. R 8 p p + d.. R 6 p d. 4. R j j d. 5. R f () d com f () = + se + se. 6. R 6+5 d. 7. R 8. R sin cos d. sin +cos ( sin ) d. 9. R p e p e +e d.. R d R ln d. Eercício 7 Clcule os seguintes integris de nidos:. R. R. R 4. R R 6 6. R p( d. ) +5 p d. +4 d. (4+)(+ ) p ( p ) d. +tn d. tn d. ( +)(+) 7. R ln p e d. 8. R 4 + p d. 8 8/D ezem bro/9

40 9. R. R p. R 5 d. ( )( +) p 6 d. d.. R p + d.. R tn 4 d. 4. R 4 p ( p d. +) 5. R 4 [sin ()] d. 6. R j j d R p 5 d. 8. R ln ( + ) 9. R + p d. + p d.. R (9 ) d.. R e e +e + d. Eercício 8 Sbendo que um função f diz-se um função pr se f ( ) = f (), e diz-se um função ímpr se f ( ) = f () :. Utilize fórmul de integrção por substituição pr mostrr que: Z f () d = Z f () d, se fé pr e Z f () d = se fé impr.. Aplique líne nterior pr clculr: () R jj d. (b) R (c) R cos ln + d. sin d /D ezem bro/9

41 Eercício 9 Prove que são iguis os integris Z 4 ln cos () d e Z 4 ln cos 4 d. Eercício Sej f um função ímpr. Demonstre que função h de nid por h () = R f (t) dt é pr. f () d é trnsformdo, pel mudnç de v- Eercício O integrl R b riável = sin t no integrl R cos t dt. Determine, b e f (). +cos t Eercício Demonstre que R b f () d = R b f ( + b ) d. Eercício Sem clculr os integris, justi que que s seguintes desigulddes são válids.. R p R d d:. e R e e ln d e e : Eercício 4 Determine epressão nlític d função F () = R t 8 f (t) dt, < ; em que f () = ;. : ( ) ; Eercício 5 Clcule derivd, em ordem, ds funções:. () = R ln t dt, >.. () = R cos t dt, 6=. Eercício 6 Sendo f () = R k ln e t dt, determine o vlor d constnte k, de modo que f () =. Eercício 7 Sej f um função positiv, de nid e contínu em R, e g função de nid por: g () = R ln f (t) dt: Determine:. Domínio de g.. Derivd de g.. Monotoni de g. 4 8/D ezem bro/9

42 Eercício 8 Determine, sem clculr o integrl, R. lim! e et dt. R. lim sin t dt.! 4 Eercício 9 Determine os etremos ds funções:. R t ( t ) dt, R.. R t ln t dt,. Eercício Sej g : [; +[! R tl que g () = R + g () = ln : pln t t+ dt. Prove que Eercício Sej f um função de nid em R, com derivd contínu, tl que 8 R f (t) dt = 4 + e f () = : Determine epressão nlític de f. Eercício Sej g : [; +[! R tl que g () = R + p g () = sin : Eercício Determine os etremos d função de nid por Z f () = t ln t dt; t ; e : psin t t+ dt. Prove que Eercício 4 Compre, justi cndo, os seguintes integris: R e d e R e d: Eercício 5 Determine, sem o clculr, ms justi cndo convenientemente respost, o sinl do integrl R ( sin ) d. Eercício 6 Determine um função f contínu, tl que: rctn [f ()] = R +t dt. +f (t) Eercício 7 Determine f : R +! R +, continu, tl que ln [f ()] = dt e f () =. R (+t )f(t) Eercício 8 Mostre que R +t dt = R +t dt: 4 8/D ezem bro/9

43 Eercício 9 Determine, justi cndo os cálculos efectudos, lim R sin t5 dt R.! sin t dt Eercício 4 Sej f um função contínu em R tl que R f (t) dt = cos c. Determine f e c, justi cndo os cálculos efectudos. Eercício 4 Determine o vlor d constnte, sendo f () = R ln e t dt e f () =. R sin p tdt Eercício 4 Clcule, se eistir, o seguinte limite: lim.! Eercício 4 Sej f um função de nid em R com derivd de ordem contínu tl que, R f (t) dt = + ^ f () = f () = : Determine f, justi cndo cuiddosmente os cálculos efectudos. Eercício 44 Sej f um função contínu em R + que veri c condição: R f (t) dt = ( + ) : Determine f, justi cndo cuiddosmente os cálculos efectudos. R Eercício 45 Clcule o seguinte limite: lim sin t dt.! 4 Eercício 46 Sejm g () = e e f () = R et (t + ) dt. Clcule (sem g clculr o integrl) o seguinte limite: lim ().!+ f () Eercício 47. Enuncie o teorem d Médi pr o Cálculo Integrl.. Determine, utilizndo o teorem d Médi, um ponto do intervlo [; 4] onde função f de nid por f () = p tem o seu vlor médio. Eercício 48 Sej F () = R f (t) dt um integrl inde nido em que função integrnd f está de nid em R +. Mostre que: F () = f + 4 f ( ) : Eercício 49 Utilizndo de nição de integrl segundo Riemnn, mostre que: R b d = b : Eercício 5 Determine:. áre d região pln limitd pels prábols = y e = 8y.. o volume do sólido obtido pel rotção d região referid em ) em torno: 4 8/D ezem bro/9

44 () do eio dos. (b) do eio dos yy. Eercício 5 Clcule áre limitd pels curvs:. y =, y = + 6, y =.. y + =, y = p, y =.. y = ln, y = ln. 4. y = p, = py (p R). 5. y = e o eio dos. 6. y =, y = p. Eercício 5 Clcule o vlor positivo de m, pr que áre d região do primeiro qudrnte limitd por y = e rect y = m sej. Eercício 5 Considere o segmento de curv y = sin,.. Determine áre limitd por este segmento de curv e o eio dos.. Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel região de nid em ) num rotção em tono do eio dos. Eercício 54 Clcule o comprimento do rco de curv y = ln ( cos )desde = té =. Eercício 55 Determine o comprimento do rco d curv de equção = 4 y ln y entre os pontos A 4 ; e B ln p ;. Eercício 56 Determine o volume do toro, gerdo pel rotção d região limitd pel circunferênci de equção ( ) + y = em torno do eio dos yy. Eercício 57 Clcule o volume do sólido, gerdo pel rotção em torno do eio dos, d região limitd pels curvs y = e, y = e e = ln. Eercício 58 Sej A região do plno de nid por: (; y) R : y 4 ^ y ( ) ^ y ln 4 8/D ezem bro/9

45 . Clcule áre de A.. Clcule o comprimento d linh dd pel equção y = ln (e + ), R e. Eercício 59 Sej A região do plno de nid por: (; y) R : y ^ y ^ y ( + ) 4. Clcule áre de A.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção em torno do eio dos d prte de A que se encontr no o qudrnte. Eercício 6 Sej A região do plno de nid por: (; y) R : y ( + ) ^ j + yj. Determine áre de A.. Sej A prte de A que se encontr nos o e 4 o qudrntes. Determine o volume do sólido obtido pel rotção de A em torno do eio dos yy. Eercício 6 Clcule áre d região do plno de nid por: (; y) R : y ^ y ^ + y : Eercício 6 Clcule o comprimento d linh dd pel equção y = p, com. Eercício 6 Determine áre d região do plno de nid por: (; y) R : + (y ) ^ y + 4 : Eercício 64 Clcule o comprimento d linh dd pel equção y = com. Eercício 65 Considere região D do plno de nid por: (; y) R : y e ^ y ^ q ( + ),. Determine áre de D.. Sej D prte d região D que se encontr no o qudrnte. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção de D em torno do eio dos yy. 44 8/D ezem bro/9

46 y 4 y=/ y= y=/4 4 Eercício 66 Considere gur seguinte:. Clcule áre d região sombred.. Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção d região cim referid, em torno do eio dos yy. Eercício 67 Determine áre do interior d elipse de nid pel equção + y =, com ; b R +. b Eercício 68 Considere região do plno de nid por: A = (; y) R : y 4 ^ y ^ y e clcule su áre. Eercício 69 Determine o vlor de, de modo que o sólido de revolução obtido pel rotção em torno do eio dos d região: A = (; y) R : y ^ y ^ ; tenh volume igul /D ezem bro/9

47 Eercício 7 Determine o vlor de b, de modo que o comprimento de rco de curv, de equção y = ln e +b, com 4, sej p b. Eercício 7 Clcule áre do conjunto limitdo pelos rcos ds curvs de equções y = e y = cos, compreendido entre origem e o ponto de menor bciss positiv, em que s dus curvs se intersectm. Eercício 7 Considere região do plno: A = n(; y) R : + y 4 ^ y p o :. Clcule áre de A.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção de A em torno do eio dos. Eercício 7 Considere região do plno limitd pels curvs de equção y = sin, y = cos, =, = e y =.. Clcule áre d região considerd.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região cim referid, em torno do eio dos. Eercício 74 Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção d região A, de nid por: em torno do eio dos yy. A = (; y) R : y ^ ^ y ; Eercício 75 Sej A região do plno limitd pels curvs y = e y = :. Clcule áre de A.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d prte de A que se encontr no o qudrnte, em torno do eio dos yy. Eercício 76 Sej A região do plno limitd pels curvs de equções y = ( ) e + y = :. Clcule áre de A. 46 8/D ezem bro/9

48 y y = 4/ y = 4. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região A em torno do eio dos yy. Eercício 77 Sej A região do plno limitd pel curv y = ( + ) 4 e pels rects =, = e y = :. Clcule áre de A.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d prte de A que se encontr no o qudrnte, em torno do eio dos. Eercício 78 Determine áre do subconjunto de R constituído pelos pontos que veri cm s condições: y ^ y + ^ y. Eercício 79 Considere gur bio:. Determine áre d região sombred.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d referid região em torno do eio dos. Eercício 8 Sej D região do plno limitd pels curvs de equções y =, y = + e y = : 47 8/D ezem bro/9

49 . Clcule áre de D.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eio dos, d prte d região D pertencente o o qudrnte (R: 5 ). Eercício 8 Sej A região do plno limitd pels curvs de equções y = ln, y = e =.. Clcule áre de A.. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região A em torno do eio dos yy. Eercício 8 Clcule os seguintes integris impróprios:. R e d.. R d. cos. R 6 d p(4. ) Eercício 8 Clcule os seguintes integris:. R + 5 d R + e. R + 4. R d. ln d. (+ ) rctn ( 4) 6 5 d. 5. R p 4 d. 6. R + 7. R 4 d. +4 p(4 d. ) 8. R p d. 9. R +. R + d. + p d. 48 8/D ezem bro/9

50 . R e d. Eercício 84 clcule o seguinte integrl impróprio e indique su nturez. Z p d; R; 6 4 Eercício 85 Estude nturez dos seguintes integris:. R. R. R 4. R 5. R 6. R 7. R ln( +) d. sin( ) p d. +sin d. d p + d. d (+ ) (+ ). d. Eercício 86 Estude nturez dos seguintes integris:. R +. R. R + 4. R + 5. R + 6. R + 7. R + 8. R + +6 d. ++6 psin d. cos p+sin d. + cos d. + p d. + (+) p d. + d d /D ezem bro/9

51 9. R + cos d. +4. R 4. R. R +. R + 4. R + 5. R p sin (4 ) d. psin d. cos d. p (+) d d. p+ d. Eercício 87 Determine áre d região in nit limitd pel curv y =, pel prábol y = e pelo eio dos. + Eercício 88 Prove que R t+ sin t dt é bsolutmente convergente. 4t + 5 8/D ezem bro/9

52 Eercícios Complementres Eercício 89 Clcule. P rctn + + :. P ( )( +) :. P e rcsin : 4. P 4 6+ : 5. P (sin cos ) Eercício 9 Clcule os seguintes integris. R e ln d:. R p.?? R e 4. R p 9 d: ln (+ ) d: 6 + d: Eercício 9 Sej f um função contínu em R tl que f()=, um diferenciável em R que se nul no ponto, e h função de nid por. Clcule h () :. Clcule lim! h() () : h() = Z () f (t) dt:. Supondo que f e são funções ímpres, mostre que h é um função pr. Eercício 9 Clcule áre d região do plno limitd pels linhs de equção y = e, y = ln, + y = e = e, no o qudrnte. Eercício 9 Clcule o volume do sólido de revolução obtido pel rotção do domínio plno ilimitdo de nido pelo grá co d função y = ; ( ), em torno do eio dos. 5 8/D ezem bro/9

53 Eercício 94 Estude nturez dos seguintes integris impróprios:. R +. R d: + e p d: Eercício 95 Considere região pln limitd pels prábols y = + e y = + e pels rects = e =.. Represente gr cmente referid região.. Clcule o volume do sólido gerdo pel rotção dquel região, em torno do eio dos yy. Eercício 96 Clcule áre limitd pels curvs y = sin e y = cos, no intervlo : Eercício 97 Sej f um função de nid por 8 Z < se t F () = tf(t) = t se t : ln t se t. Clcule F () :. Resolv equção F() =. Eercício 98 Clcule por de nição os seguintes integris impróprios. R 5 d:. R + e d, com 6= : Eercício 99 Indique nturez dos seguintes integris impróprios. R +. R +. R + 4. R + p + d: + d: 4 + p 4 d: sin cos p + d: Eercício Determine o vlor de k (k R) e função f (f : R! R), tis que 8 R : Z f (t) dt = k + : Eercício Sej f um função contínu tl que R f(t)dt = cos(): Clcule f (4). : 5 8/D ezem bro/9

54 Soluções.: ln + C;.: cos + sin + cos + C;.: e (cos + sin ) + C; 4: rctn (rctn ) ln ( + ) + C; ln.5: 4+ln sin 4+ln cos +C;.6: rctn ( rctn )+C.: cos + cos +C;.: tn + tn +C;.: ln j j+ 7 ln j + j 5 5 +C; 4: + ln jj + ln j j + C; 5: ln j j + ln j + j 4 4 rctn + C; 6: sin 5 + sin + C; 7: + ln j + j p h rctn p i ln 6 j + j + C; q.: rcsin + + C;.: e + rctn e + C; p.:6 4 p p + 6 ln j + p j rctn 6p 4 +C; 4: p + ln p + + p +C; 5: rctn p 5 +C; 6:tn + tn tn + + C; 7: 4 + ln ( 5) C; 4 : p 9 rcsec + C;4 : ( ) + lnjj + ln jj ln j j + C;4 :e ln (e 4e + ) e ln je j ln je j +C;4 4: ln cos ln jj + ln j j + C;4 5: 6 + cos8 + C;4 6: rcsin p + p C;4 7: rccos () + C;4 8: + rctn + rctn + ln ( + ) + C;4 9: p rcsin [ln ( + )] + C; 4 5 : rctn 5e p +C;5 : 5 ++C;5 : ln jp + j+ 8 ln jp + 4j+ 5 5 C;5 4: + rcsin + p + + C; 55: rctn + ln ( + )+C;5 6: ln j + tgj ln ( + 5 tn )+ +C;5 5 7: sin sin cos +C;5 8:ln e e + +C;5 9: p p4 4 rctn +C;5 7 h : ln p p p p + p p p + p p + p i+c;5 : p p 5 4 ln + 4p 5 +C;5 :ln q q e +C;5 : 5 e ( + ) ( + 7 ) 9 + C;5 4:rctn (ln )+C;5 5: [sin (ln ) cos (ln )]+C;5 6: ln +ln jj + ln j + j + C;5 7: rcsin + p 4 + C;5 8: ln je + j + C;5 9: ln ( + 5) rctn +C;5 : rctn ( ) +C;5 : p + +C;5 5 5 :rctn (ln ) + C;5 : p ( +) + C;5 4:ln (j + j) + + (+) + C; 6 :;6 :ln (jcos j) + tn + C;6 :rctn (e ) + C;6 4: ln(sin +) + C;6 5: ln (+) ( ++) + C;6 6: ln p rctn (+) 8 + C;6 7: ln jcos j + C; 7 :F () = ln + rctn + ;7 :F () = ln + rctn + ; /D ezem bro/9

55 :F () = ln + rctn + ; + 8 :f () = [cos (ln ) + sin (ln )]+C +C ;8 :f () = [cos (ln ) + sin (ln )]+ ; 9: ln (4 ) ln + ; :f () = ln ln + + ; : sin p ; :f () = 4 + ; + : e e + e ; 4:; 5:-; 6 : 7 ;6 : ;6 : 6 4 ;6 4:;6 5: ;6 6: ln 5 ;6 7:;6 8:;6 9:ln p e p ++e ; :ln ;6 : ( ln ); 7 : ;7 : ln p ln p +4;7 : ln h ln + ;7 4: ln 5 5 i ln ;7 5: ln p ;7 6: ln p 4 rctn + rctn ;7 7: 4 ;7 8: ;7 4 9: ln [rctn ( ) rctn ( )];7 : ;7 : ln 5 ln ;7 : 7 p 4 6 : 4 5 ;7 4: ;7 5: ;7 6: 7;7 7: 6 p 5 ;7 8: ln 6 ; :4 ln ;7 : 5 ;7 :ln ; 8 :-;8 :;8 b:;8 c:; 9:-; :-; : = ; b = ; f () = p + p ; :-; :-; :-; (e+) (e+) 8 < ; 4:F () = ; ; : ( ) ; 5 : ln ;5 : cos + cos ; 6:k = e ; 7 :]; +[;7 :f (ln ) ;7 :Crescente em ]; +[; 8 : ;8 : ; 4 9 :f () é mínimo; f ( ) e f () são máimos;9 :f () é mínimo; :-; : f () = ; 8 :-; :mínimo= 4 4:-; 5:Positivo; 6:f () = + + C; ln + 7 ; máimo= e ln ; 6 ;7 54 8/D ezem bro/9

56 7:f () = rctn + ; 8:-; 9: ; 4:f () = sin ; c = ; 4: = e; 4: ; 4:; 44:f () = + p ; 45:; 46:; 47 :-;47 :; 48:-; 49:-; 5 : 8;5 : 4;5 b: 48; : ;5 : p + ;5 : e;5 4: p ;5 5:8;5 6: ; 5: m = 6; 5 :;5 : ; 54:ln p ; 55: + ln p ; 4 56:4 ; 57: 9; 8 58 : 4 e 4 ;58 :4 p ; 59 : p + 5;59 : 4p +45; 5 6 :;6 : 5; 6 6: rcsin p 5 ; 8 5 6: p ; 6: ; 4 64: 4 7 7p ; + 65 : e ;65 :; e 66 :;66 : ln 4; 67:b + b sin ; 4 ln 4 68: ; 69: = p ; 7:b = 4; 7: 8 4; 7 : +p ;7 : 9 p ; 5 7 : ;7 : 74: ; 75 : 7 84 ;75 : ; ; 55 8/D ezem bro/9

57 76??: ;76 : ; 4 77 : ;77 : ; 5 78: ln ; 79 :;79 : p ; 8 : 4p + 7 ;8 : ; : ln ;8 :4 ln ; 8 : ;8 :+;8 :6 p ; 8 :ln p 5 ;8 :+;8 :ln ;8 4: 5p ;8 5: ;8 6: ;8 7: p ; :;8 9:;8 :;8 : ; 84: /conv.; 4 85 :div:;85 : conv:;85 :div:;85 4: conv:;85 5: conv:;85 6: div:;85 7:conv:; 86 :div.;86 :conv:;86 :bsolut/conv:;86 4:bsolut/conv.;86 5:conv:;86 6:conv.;86 7:conv.;86 8:div.;86 9:conv.;86 :conv:;86 :conv.;86 :conv.;86 :conv.;86 4:conv.;86 5:conv.; 87: + ; 88:-; 89 :;89 :;89 :;89 4:;89 5:; 9 :;9 :;9??:;9 4:; 9 :;9 :;9 :; 9:; 9:; 94 :;94 :; 95 :;95 :; 96:; 97 :;97 :; 98 :;98 :; 99 :;99 :;99 :;99 4:; :; :; 56 8/D ezem bro/9