Fernanda da Costa Diniz Nogueira Belo Horizonte, junho de 2007.

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1 Un i ve r si d d e F e de r l d e M in s G e r i s Institu to de C iê nc i s E t s Dep r t me n t o d e M t e m á t ic E n sin o M éd io e Un iver sit ár io: d ifer ent es bor d gen s n con st r ução d o gr á fico d fu n ção sen o Fernnd d Cost Diniz Nogueir Belo Horizonte, junho de 7.

2 A poesi de tão perfeit, é pur como mtemátic. A mtemátic de tão simples, é deslumbrnte como poesi. Deus, um poet, escrevi sus equções em versos. Er mtemático. Albert Einstein.

3 Á Deus, por iluminr meus cminhos sempre; Diniz e Luci, meus pis, mestres que tnto mo; Gláucio, compnheiro de todos os momentos; As minhs irmãs, em especil à Márci (in memóri); Aos migos e o professor Hmilton.

4 SUM ÁR I O C o n c e i to s F u n d m e n t i s. Introdução Noções Geris... A Idéi de Seno e Cosseno Rdino, um unidde de medid... 8 Funções Reis.. Definição de Função Rel..... Domínio e imgem..... Gráfico de um Função Zeros de um Função....4 Função Seno e Função Cosseno....5 Funções Periódics... 5 C o n str ui n do o G r á fico d F u n ç ão Se no : b or d ge m no e n si no m é d io. Periodicidde, sinl e vrição d Função Seno Construindo o gráfico... 7 C o ncei to s F u n d m e n t i s p r Ab o r d ge m U n i ver si t ár i. Ponto de Acumulção Limites.. Definição de Limite Limites Lteris Limites no Infinito Limites Infinitos Funções Contínus....4 Derivds.4. T de Vrição Rets Tngentes Definição de Derivd Pontos Críticos... 5

5 Teste d Derivd Primeir Concvidde Teste d Derivd Segund Derivd ds funções seno e cosseno... 9 Integrl.5. Definições Importntes Definição de Integrl C o n str ui n do o G r á fic o d F u nç ão Se no : b o r d ge m u ni ver si t ár i Teorem Fundmentl do Cálculo... 4 Abordgem Universitári I 4.. Procedimentos pr trçr o esboço do gráfico de um função Construindo o gráfico Abordgem Universitári II C o m p r n do s Ab o r d ge n s 5. Abordgem do ensino médio com bordgem universitári I Abordgem universitári I com bordgem universitári II R e fer ê nci s B i bliogr á fic s 6

6 I NT R O DUÇ ÃO Ess dissertção tem por objetivo comprr bordgem utilizd no ensino médio com utilizd no ensino universitário qundo construímos o gráfico d função seno, ou sej, como os livros do ensino médio justificm construção desse gráfico comprndo com bordgem universitári. Não construiremos o gráfico ds outrs funções trigonométrics, pois o rciocínio será o mesmo que utilizremos com função seno. O primeiro cpítulo trz conceitos fundmentis que fornecerão um bse pr um melhor entendimento dos cpítulos seguintes qundo construiremos o gráfico d função seno. Portnto, definições de ângulo, circunferênci unitári, função, domínio e imgem de um função, rdino e funções periódics, são conceitos básicos que precem neste cpítulo, lém, é clro, d definição de função seno e cosseno. O segundo cpítulo trz construção do gráfico d função seno utilizd no ensino médio, tomndo por bse nálise feit de lguns d o s livros mis utilizdos pels escols hoje. N esse cpítulo flremos sobre periodicidde, o sinl e vrição d função seno. O terceiro cpítulo tem por objetivo discutir conceitos fundmentis pr bordgem universitári, como: ponto de cumulção, limites, derivds, continuidde e integrl. Nesse cpítulo temos demonstrção ds derivds ds funções seno e cosseno. No qurto cpítulo dus bordgens universitáris precem. C onstruiremos o gráfico d função seno de cordo com s dus, dess form o cpítulo nterior será bstnte útil pr que o leitor poss compreender clrmente o que está sendo feito nesss bordgens. Um dels pel pr o geométrico enqunto outr é lgébric. O quinto e último cpítulo, que finliz ess dissertção, compr s bordgens, observndo como utilizd no ensino médio contorn situções como continuidde, o crescimento e decrescimento dess função. Tmbém fz um comprção entre s bordgens universitáris. Portnto, esse é um cpítulo muito importnte, já que trz s considerções finis do trblho. 6

7 C p í t ul o C onceit os F u n d me n t is. I n t r o d u ç ã o Iniciremos ess dissertção presentndo conceitos fundmentis que judrão o leitor compreender melhor os cpítulos seguintes, portnto s definições que estudremos seguir são de sum importânci, pois formm bse desse trblho.. Noçõe s Ge r is.. A I d é i d e Se n o e C o sse n o Pr s idéis d e s e n o e cosseno f i crem clrs é preciso recordr os conceitos de ângulo e circunferênci unitári. Definição: Um ângulo AOˆB é união de dus semi- rets de mesm origem. Sendo o ponto O o vértice do ângulo e s semi-rets OA e O B os ldos do ângulo. Vej Figur que segue: Figur Definição: Chmmos de circunferênci unitári ou trigonométric, tod circunferênci orientd, centrd n origem do plno crtesino ortogonl, cujo rio é um unidde de comprimento e n qul o sentido positivo é o nti- horário. Observe Figur bio. Figur 7

8 Em trigonometri trblhmos com ângulos que podem ser considerdos pres de semi-rets com o mesmo ponto inicil, considerndo sempre um ds semirets como prte positiv do eio horizontl, ssim segund semi- ret descreverá o ângulo completmente. Prosseguindo n compreensão ds idéis de seno e cosseno, tomemos um ponto P sobre circunferênci trigonométric, esse ponto mrc o finl do rco cuj medid é rd (Vej.., seguir). Definimos o cosseno, como sendo bsciss do ponto P e o seno, como ordend do ponto P, ou sej: Observe Figur cos e y sen.. Figur Vimos que circunferênci trigonométric possui rio, portnto plicndo o Teorem de Pitágors no triângulo retângulo formdo temos que: y cos A equção y sen cos sen é equção de um circunferênci que está centrd n origem do plno crtesino e cujo rio é um unidde de comprimento. Ess equção, e m t e r m o s d o â n g u l o cos sen, é um identidde, pois R temos que... R d i n o, u m u n id d e d e m e d id. As uniddes usds pr medir rcos são: gru, grdo e rdino. Sbemos que um ângulo de um volt complet mede 6º, um ângulo de mei volt mede 8º e um ângulo de um qurto de volt mede 9º. Sempre que flmos 45º, 9º, 6º, conseguimos visulizr que ângulo está sendo feit à referênci, porém se flrmos em um ângulo de grus está visulizção se torn mis difícil. A plvr Trigonometri é formd por três rdicis gregos: tri=três, gonos=ângulos e metron=medir. Dí o significdo: medid dos triângulos. O objetivo deste rmo d Mtemátic é o cálculo ds medids dos elementos de um triângulo (ldos e ângulos) 8

9 A unidde de medid grdo é menos utilizd. Enqunto que em grus um volt complet n circunferênci represent 6º, temos que em grdo ess mesm volt corresponde 4 grdos. Observe tbel seguir que mostr correspondênci entre s três uniddes de medids dos principis ângulos. GRAU º 9º 8º 7º 6º GRADO 4 RADIANO Observmos que num circunferênci de rio r o rco cujo comprimento é r corresponde o ângulo cuj medid é rd. Observe Figur 4 bio. Figur 4 De fto, se é medid do rco correspondente n circunferênci unitári, então: r. Logo, r. Concluímos que o rdino pode ser definido prtir de qulquer circunferênci e que o rco que corresponde o ângulo de rdino é quele cujo comprimento é o rio d circunferênci que o contém. Dess form se um ângulo centrl mede três rdinos, o comprimento do rco correspondente é de três rios. O mesmo ocorre se o ângulo centrl medir qutro rdinos, o rco terá comprimento equivlente qutro rios. Portnto, o comprimento de um rco de um circunferênci de rio r é ddo por C r, onde represent medid do ângulo em rdinos. Como o comprimento de um circunferênci é.r, o ângulo será logo 6 º equivle rdinos. Pr visulizrmos um ângulo de medid rd utilizmos um regr de três simples, como que segue: 8 º 9

10 Logo, ess unidde de medid produz unidde, sendo então o rdino um unidde mis nturl pr medir ângulos.de cordo com o sistem interncionl de medids, unidde pdrão pr medir ângulos é o rdino.. F u nçõe s O conceito de função é sem dúvid um dos mis importntes d Mtemátic, pois se nos detivermos um breve nálise do cotidino, encontrremos muitos eemplos de funções. Por eemplo, qundo comprmos frios (presunto, mortdel, queijo ou outro qulquer) em um pdri, o preço ser pgo depende d quntidde de grms solicitd. D mesm form que o bstecer o crro em um posto de gsolin, pgremos o frentist o correspondente pel quntidde de gsolin que requeremos. Deste modo eistem muitos eemplos que envolvem funções em nosso di di, dí importânci desse conceito... De fin iç ã o d e F u n çã o Um função f : A B é formd por três elementos, sendo eles: um conjunto A, d e n o m i n d o d o m í n i o d f u n ç ã o, u m c o n j u n t o B, d e n o m i n d o contrdomínio d função e por um lei (ou regr) que permite ssocir cd elemento de A um único elemento y de B. Definição: f : A vlor f ( ) B é um função se, pr cd elemento A, eiste um único B. É importnte ressltr que regr ssoci os elementos do conjunto A os elementos do conjunto B, obedecendo dus condições: () A lei deve fornecer f ( ) p r todo A, signific que não podemos ter elemento em A que não estej ssocido lgum elemento em B. Vej o Digrm que segue: A B Digrm

11 O digrm cim é um eemplo de relção, porém não é função já que o número pertence o conjunto de prtid A e não se relcion com nenhum número no conjunto de chegd B. () Pr cd A deve hver um único f ( ) em B, signific que não podemos ter elemento em A que estej ssocido dois ou mis elementos em B. Observe o Digrm : A B Digrm O digrm cim é um eemplo de relção, porém não é função já que o número -5 está ssocido dois números no conjunto de chegd... Do m ín io e I m ge m Os conjuntos A e B citdos n definição de função possuem nomes específicos. Ao conjunto A dmos o nome de domínio d função, e o denotmos por D ou D ( f ). Portnto, D ( f ) A. O conjunto B é denomindo contrdomínio d função e denotdo por C ( f ). Desse modo C ( f ) B. Há ind um terceiro conjunto denomindo imgem d f u n ç ã o. E s s e conjunto é formdo por todos os elementos y de B que se encontrm ssocidos os elementos d e A. Indic-se pel notção y mostr o Digrm : Digrm f ( ) que y é imgem de. Como

12 .. G r á f ic o d e u m F u n çã o Qundo A e B são subconjuntos de R função f : A B é denomind função rel. Tod função rel f determin no plno crtesino um conjunto de pres ordendos do tipo, f ( ). A esse conjunto dmos o nome de gráfico de f, portnto: G( f ), y R / D( f ) e y f ( )..4 Z e r o s d e u m F u nçã o Os zeros de um função rel são os pontos de interseção d função com o eio ds bscisss, ou sej, qundo o vlor de y é nulo. Encontrr os zeros de um função é muito útil, pois jud conhecer um pouco do comportmento d função, por eemplo, o sinl d função..4 F u nçã o Se n o e F u n çã o C os se no Pr que se poss definir função seno como um função rel de vriáveis reis, ou sej, sen : R R. É preciso ssocir pr cd t R um ângulo, fim de se considerr o seno deste ângulo. Definição: Considere um número rel, imgine um ângulo cujo vértice encontr-se n origem do plno crtesino, sendo P o ponto de interseção entre o ldo finl do ângulo, de medid rdinos, e circunferênci unitári. Se P é o ponto (, y), então função cosseno é definid por e função seno é definid por y cos Como mostr Figur 5. Figur 5 sen.

13 Considere função de Euler : E:R C Ess função fz corresponder cd número rel t o ponto E (t ) (cos t, sen t ) d circunferênci trigonométric c. Observe Figur 6 que segue: E Figur 6 Pr visulizrmos o que está s e n d o d i t o v m o s p e n s r f u n ç ã o E imginndo que o contr domínio C é um crretel onde irá se enrolr o domínio R com E ( ) A(,). Idelizemos ret rel como um longo fio que deverá ser enroldo no crretel. Cd número rel é um fio de tmnho correspondente o seu vlor, dest form o é um fio de comprimento, o é um fio de comprimento, o é um fio de comprimento e ssim continumente. O crretel é circunferênci trigonométric. Logo, o enrolr o fio no crretel, teremos o fio coincidindo com lgum rco d circunferênci. Fzemos o zero d ret rel coincidir com o início do º qudrnte, ou sej, o ponto A e estbelecemos que no sentido nti- horário o fio represent um número positivo e no sentido horário o fio represent um número negtivo. Como ilustr Figur 7 que segue bio: Leonhrd Euler (77 78) nsceu n Bsiléi. Seu pi esperv que o filho seguisse o cminho teológico, porém Euler descobriu su vocção pr os conhecimentos mtemáticos. Contribuiu com muitos rtigos mtemáticos, pssou os últimos dezessete nos de su vid totlmente cego, o que não o impediu de continur sus pesquiss e publicções.

14 Figur 7 Dest form estremos ssocindo o número rel (fio de comprimento ) o rco de comprimento e tmbém o ângulo que subtende este rco de comprimento. Como sbemos que o rio d circunferênci trigonométric vle, então temos o seguinte: C.r. Cd rco de comprimento determin um ângulo de rdino. Dest form conseguimos ssocir cd número rel um ângulo d circunferênci. Portnto o número ssoci-se o ângulo de rd, o número ssoci-se o ângulo de rd, o número ssoci-se o ângulo de rd. De mneir gerl, podemos dizer que cd vez que o ponto t descreve n ret um intervlo de comprimento, su imgem E (t ) percorre sobre circunferênci C um rco de igul comprimento. cos e sen estão definids pr qulquer vlor de, portnto o domínio ds funções seno e cosseno é o conjunto dos números reis. Considerndo que desejmos obter sen 6 º sen, então: sen sen 6 sen se é ddo em 8 grus..5 F u nçõe s P e r ió d ic s Definição: um função f : A B é chmd de periódic cso eist um número p que stisfç seguinte condição: f ( ( p) A. 4 p) f ( ), A, t l q u e

15 O menor vlor de p (cso eist) que stisfz ess condição é denomindo período fundmentl de f. Observe o eemplo n Figur 8 que mostr o esboço do gráfico de um função periódic: Figur 8 Se p é o período fundmentl de f e k é inteiro, então f ( A tl que kp kp) f ( ) A. Como conseqüênci de su definição, podemos firmr que função seno é periódic de período, ou sej, sen ( k ) o mesmo é válido pr função cosseno. 5 sen, sendo k um inteiro qulquer,

16 C p í t ul o C onst r u in d o o g r á fico d f u nçã o se n o: b o r d g e m n o e n si n o m é d i o. P e r io d ic id d e, V r i çã o e S in l d F u n çã o Se n o. A função seno é um função periódic e seu período é, como vimos nteriormente, portnto se sen form pr qulquer OP, então sen k OP com k Z. Dest R temos que: sen sen k. Vmos nlisr vrição d função seno observndo o ciclo trigonométrico, que segue n Figur 9. Figur 9 Vejmos o que ocorre qundo percorre o intervlo,. A imgem de qundo esse dá um volt complet no ciclo trigonométrico, no sentido nti- horário, obedece à tbel bio: sen Cresce Decresce 6 Decresce Cresce

17 Pelo comportmento presentdo e sbendo sobre periodicidde d função seno, podemos concluir que su imgem é: Im( f ),. Se estiver no primeiro ou segundo qudrnte, teremos o vlor de sen positivo, cso contrário (isto é, no terceiro ou qurto) teremos o vlor de sen negtivo.. C o n s t r u in d o o G r á f ic o Pr construir o gráfico d função seno, segundo bordgem utilizd no ensino médio, nlismos lguns dos livros mis utilizdos ns escols hoje. Usremos seguinte nomencltur: livro A e livro B o fzer referênci os livros considerdos nesse trblho. O livro A inici o cpítulo referente às funções trigonométrics fornecendo lgums noções geris como: ssocição o ciclo trigonométrico de qutro eios (eio do seno, eio do cosseno, eio d tngente e eio d cotngente) e divisão d circunferênci trigonométric em qutro rcos ou qudrntes. Após fornecer esss noções geris, o utor definiu função periódic, nesse momento ele não fl sobre periodicidde d função seno, pens define e eemplific um função periódic. Em seguid fornece definição d função seno e, prtir dí, list proprieddes referentes ess função. O primeiro item d list de proprieddes fornecid pelo utor é referente à imgem dess função. N este tópico, lém de firmr que imgem d função seno é o intervlo,, o utor justific su firmção. Fz tmbém um estudo do crescimento e decrescimento d função e, pr isso, observ o percurso de um vlor D ( f ) em cd qudrnte do plno crtesino, flndo tmbém sobre o sinl d função em cd um dos qudrntes. Por fim, fl sobre periodicidde d função seno e seu período. As nálises feits por esse utor, serão utilizds mis dinte qundo ele esboçr o gráfico d função. O livro B inici seu cpítulo, tmbém reservdo pr s funções trigonométrics, definindo função seno. Em seguid o utor present um tbel com dezessete pontos e mostr o gráfico dess função pr o intervlo,. Após construção do gráfico o utor coment sobre o domínio e imgem dess função. A periodicidde, o sinl e vrição d função seno só serão comentdos por esse utor pós ele ter esboçdo o gráfico. Vmos fzer um comprção entre os livros nlisdos: 7

18 ) Periodicidde d função: No livro A el é definid ntes d construção do gráfico, isto é, lém de definir o que vem ser um função periódic, o utor destc que função seno é periódic, sendo o seu período. No livro B ess definição prece pós construção do gráfico, nesse cso o utor não define função periódic, prte do pressuposto que o luno já sbe ess definição e trt diretmente d periodicidde d função seno. ) Sinl d função: É estuddo no livro A ntes do esboço do gráfico e só prece no livro B pós construção ter sido feit. ) Vrição d função: Tmbém prece ntes do esboço do gráfico no livro A e pens pós construção do gráfico no livro B. Três comentários são feitos pelo utor do livro B e não são menciondos pelo utor do livro A. Ele destc que função seno não é sobrejetiv e nem injetiv e tmbém que ess função é ímpr, logo su simetri ocorre em relção à origem do plno crtesino. Acredito que pr um melhor compreensão é mis interessnte definir periodicidde d função, flr sobre o seu crescimento e decrescimento e tmbém sobre o sinl d função ntes de esboçr o gráfico, um vez que podemos usr s definições no momento d construção. O livro B como vimos, não cit nd (ntes d construção) sobre periodicidde d função, seu crescimento e decrescimento e tmbém sobre o seu sinl e no instnte que constrói o gráfico estende o esboço pr tod ret rel. Ao ler o livro o luno pode se questionr: como ter certez que o comportmento dess função irá se repetir de e m? Bsendo-se em qul rgumento o utor fz ess firmção? Vej o trecho retirdo do livro onde o utor estende o esboço pr tod ret rel: sen é d e f i n i d n o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s reis, ou sej, seu domínio é R, curv pode ser estendid pr vlores de menores do que zero e miores do que. Assim o gráfico d função f : R R definid por f ( ) sen, é curv senóide, que Como função f ( ) tem o seguinte specto: (trecho retirdo do livro B). A função seno estr definid pr tod ret rel não é grnti que seu comportmento será repetido sempre de em. Considero incorret ordenção 8

19 dd pelo utor do livro B, já que isso pode levr o luno um confusão, não sendo pedgogicmente correto, um vez que só se pode utilizr quilo que foi definido nteriormente, no instnte em que estiver esboçndo o gráfico. Esse utor utilizou implicitmente o conceito de periodicidde sem sequer ter menciondo, o que vem fzer posteriormente. Tnto no livro A qunto no livro B, construção do gráfico é inicid com elbor ç ã o d e u m t b e l. O l i v r o A que definiu periodicidde, flou sobre o crescimento e o decrescimento d função e tmbém sobre o seu sinl, utilizou um tbel como que segue bio, nesse cso estão sendo utilizdos pens os pontos principis, cuj leitur no ciclo trigonométrico é de fácil compreensão. Esse utor optou por um tbel mis enut, pois possui outros rgumentos que pode utilizr n construção, enqunto o utor do livro B mont um tbel com dezessete pontos, já que não seguiu o mesmo rciocínio do primeiro, o que lev um trblho mior, um vez que tbel terá muito mis pontos. y sen Tbel utilizd pelo utor do livro A Utilizndo os pontos encontrdos e tudo já fldo nteriormente, o utor do livro A esboç o gráfico d função seno pr todo seu domínio, legndo que função está definid em tod ret rel e que pós um período completo seu comportmento se repetirá infinitmente. Vej seguir o esboço do gráfico d função seno ( Figur ): 9

20 Figur N d é dito sobre concvidde que present o gráfico dess função e m mbos os livros, o u s e j, c o m o s b e r q u e e n t r e e, o gráfico present concvidde voltd pr bio? Esse é um questionmento que o luno pode fzer o professor no momento em que ele estiver fzendo su eplnção, ou ind o luno pode questionr formção de ponts, por que não eistem ponts nesse gráfico? Como compreender o esboço que está sendo presentdo pelo professor? Em lgums situções o luno pode chegr questionr o professor e por não receber um respost stisftóri, pode ser levdo ceitr o que o professor diz, continundo pisr em um terreno desconhecido. Pr eplicr concvidde que ess função present no intervlo, poderímos recorrer o conceito de derivd segund, já que é do conhecimento do professor o teste d concvidde que nos diz que se derivd segund f ' ' de f eiste em um intervlo berto I, então o gráfico de f é: (i) Côncvo pr cim em I se f ' ' ( ) (ii) Côncvo pr bio em I se f ' ' ( ) em I. em I. Poderímos ind recorrer o conceito de diferencibilidde pr eplicr que nesse gráfico não há formção de ponts. Contudo esss não são eplicções que sirvm pr um luno em nível de ensino médio, pois são conceitos que requerem um mturidde ind não lcnçd por tis lunos. Mesmo porque pr eplicrmos esses questionmentos usndo esses conceitos terímos que flr sobre derivd que não é um conteúdo de ensino médio. Nesse momento surge um questão: Como eplicr um dúvid desse nível cso ocorr em noss clsse?

21 Primeiro vmos pensr n concvidde, pr isso iremos usr definição de equção d ret que é um conceito mis fácil de ser visulizdo por um luno com tl gru de mturidde, dess form poderemos dr indícios d concvidde dess função. Vejmos: Sbemos que o gráfico d função seno pss pelos pontos (, ) e,. É de nosso conhecimento tmbém que ddos dois pontos é possível encontrr equção de um ret, cuj form reduzid é y,,.. b b b. Dess form temos:.. Portnto equção d ret que pss pelos pontos (, ) e, é y. Desejmos eplicr pr um luno de ensino médio concvidde presentd pel função seno no intervlo,. Sbemos que o ponto 4, pertence o gráfico d função seno. Vejmos então o que ocorre qundo substituímos n 4 equção d ret encontrd: y Logo o ponto 4,. y 4 pertence à ret de equção y pertence o gráfico d função seno. Como o ponto e o ponto 4, ret estudd. Tome gor, substituindo n equção d ret temos: y. y 4, está cim d

22 O ponto, pertence à equção d ret, enqunto que o ponto pertence o gráfico d função seno. Vmos comprr s frções:, e. Como s frções envolvids possuem denomindores diferentes precismos encontrr o MMC (, ) = 6, dess form teremos frções equivlentes s nteriores, porém gor com o mesmo denomindor, n ordem: frções concluímos que, 6 4, já que 6 4 e. Comprndo s dus 6 6, L o g o o p o n t o está cim d ret estudd, d mesm form como ocorreu com o ponto nterior. Vmos nlisr mis um ponto 6. Novmente substituiremos n equção d ret: y O ponto 6,. 6 y 6 y pertence à ret considerd enqunto que o ponto 6, pertence o gráfico d função seno. Comprndo s frções temos: 6 Como 6 é equivlente à frção 6, conclui- se que o ponto, 6 está cim d ret. Dess form poderímos continur tecer esse mesmo rciocínio pr infinitos pontos entre o intervlo, que irímos perceber que os pontos pertencentes à função seno sempre estrão cim d ret estudd, portnto eistem indícios que o gráfico d função seno comport-se como um rco com concvidde voltd pr bio nesse intervlo, pois se concvidde estivesse voltd pr cim os pontos d função seno estrim bio d ret considerd o que vimos não ocorrer, credito que com esses rgumentos o luno poss compreender melhor o gráfico estuddo. É clro que

23 ess eplicção é pens pr dr um idéi d concvidde dess função, já que sbemos ser el um eplicção flh. Contudo podemos justificr concvidde dess função pr todo o intervlo,. Vej bio n Figur um esboço que pode ser feito pelo professor pr uiliá- lo em su rgumentção: Figur Em relção à formção de ponts, tendo já trblhdo concvidde e consequentemente construído o gráfico cim ( Figur ) o p r o f e s s o r p o d e r á rgumentr com o luno sobre não formção de ponts no gráfico d função seno. Acredito que com esse rgumento o professor poss responder stisftorimente um luno de ensino médio sobre ess questão. A meu ver um nálise nesse nível é mis fácil de ser visulizd por um luno de ensino médio, já que ele consegue de fto compreender o que o professor está dizendo, o contrário do que ocorreri cso o professor tentsse rgumentr utilizndo conceitos que são de nível universitário. Um outro ponto chm bstnte tenção no livro A: o utor, pós construir o gráfico d função seno, present oito esboços de gráficos. O utor mont um tbel e o presentr o esboço do gráfico dei pontilhdo o esboço do gráfico d função seno, de mneir que o luno perceb vrição que houve, ou sej, em quis spectos o gráfico mudou. D ess form o luno pode comprr lei d função e chegr sozinho em lgums conclusões. Ess colocção feit no livro A não ocorre no livro B. De cordo com ess colocção feit pelo livro A, construiremos o gráfico d função h ( ) sen. Pr tl, iremos construir em primeiro lugr o gráfico d

24 função g ( ) sen. Vmos obter o gráfico d função g prtir do gráfico d função f, sendo g ( ) sbendo que f ( ), o n d e f ( ) D (g ) então sen. Considere o intervlo,, D ( f ) ssim temos: Dí conclui-se que enqunto o período d função seno é, o período d função g é. A imgem d função g coincide com imgem d função f. O gráfico d função g é um contrção uniforme horizontl do gráfico d função f. Vej o esboço do gráfico n Figur seguir: Figur Agor iremos obter o gráfico d função h prtir do gráfico d função g que cbmos de esboçr cim. h ( ) g ( ), portnto h ( ) sen ( ). O domínio d função h coincide com o domínio d função g, vej:, h ( ), g ( ) Os pontos possuem mesm bsciss, logo estão sob um mesm ret verticl. Assim os domínios desss funções coincidem. O ponto, h ( ) está um unidde cim do ponto, g ( ), logo obtemos o gráfico d função h fzendo um trnslção verticl do gráfico d função g. Vej Figur : 4

25 Figur O gráfico obtido, em zul n figur, é semelhnte o gráfico d função g ( ) sen, que prece de preto n figur, mudnç sofrid é n imgem, já que o gráfico d função h ( ) g ( ) sen está um unidde cim do que o gráfico de sen. Atrvés desse esboço o luno pode perceber vrição n imgem como tmbém no período d função, portnto o presentr eercícios resolvidos psso psso comprndo com o gráfico d função seno, o utor com certez tingirá melhor seu objetivo, que é o de levr o conhecimento o luno de form clr e precis. A bordgem mis utilizd pelos livros didáticos e tmbém pelos professores em nível do ensino médio qundo d construção de um gráfico, é trvés de tbels como s que seguem seguir, primeir uili n construção do gráfico d função g, vej: sen 4 4 5

26 Com os ddos d tbel cim é possível construir o gráfico d função g ( ) sen. Com tbel bio podemos construir o gráfico d função h. sen sen 4 4 6

27 C p í t ul o C onceit os F u n d m e n t is pr b or d ge m u n ive r sit á r i. P o n t o de A c u m u l çã o Considere X R e R, dizemos que é um ponto de cumulção do conjunto X qundo todo o intervlo berto ponto, de centro possui lgum X q u e s e j d i f e r e n t e d e. Representmos o conjunto dos pontos de cumulção trvés d notção X. Simbolicmente escrevemos d seguinte form: Definição: X; Intuitivmente podemos pensr que se X então, pr qulquer intervlo berto que consideremos, sendo centro do intervlo, temos um infinidde de elementos do conjunto X.. L im it e s O c o n c e i t o d e l i m ite é fundmentl qundo desejmos conhecer o comportmento de um função p r v l o r e s d e s e u d o m í n i o próimos d e u m determindo vlor. Esse conceito prece no método de eustão: se de um grndez qulquer subtrirmos um prte não menor que su metde e do resto novmente subtrir-se um prte não menor que metde e se esse processo de subtrção é continudo, finlmente restrá um grndez menor que qulquer grndez de mesm espécie (proposição que formv bse do método de eustão dos gregos)... De fin iç ã o d e L im it e Considere função rel f : X R, definid em um subconjunto X R. Dizemos que o número rel L é o limite d função f ( ) qundo tende pr o número (sendo um ponto de cumulção) e escrevemos: 7

28 L, lim f ( ) Se, e somente se pr todo X e, eiste de modo que f ( ) sempre que L. Simbolicmente temos: ; Xe f ( ) L Podemos ind escrever definição de limite d seguinte form: L se e somente se, pr todo intervlo berto L lim f ( ), eiste um,l intervlo berto f V L,L tl que pr, V X vle,. Observções: () N definição temos que é um ponto de cumulção, pois cso não fosse, L poderi ssumir qulquer vlor. () Pr verificrmos o limite em, não é necessário que pertenç o domínio d função f, portnto, qundo escrevemos pertence o intervlo, isso signific que e é diferente d e. Dess form estmos, verificndo o que ocorre com função qundo estmos ns proimiddes de, mesmo que esse ponto não fç prte do domínio d função... L im it e s L te r is Sejm X R e R, f : X X ' (conjunto dos pontos de cumulção à direit de X ). Definição: X ' se, e somente se, pr todo vle X., Definição: dizemos que o número rel L é limite à direit de f () qundo tende pr e escrevemos: lim f ( ) f ( ) L sempre que L qundo, pr todo, eistir X e ;. Simbolicmente: X e 8 f ( ) L. tl que

29 D mesm form sejm X X ' (conjunto dos pontos R e R, f : X de cumulção à esquerd). Definição: X ' se, e somente se, pr todo vle X,. Definição: dizemos que o número rel L é limite à esquerd de f ( ) qundo tende pr e escrevemos: lim f ( ) f ( ) L L qundo, pr todo, eistir tl que sempre que X e ;. Simbolicmente: X e f ( ) L.. L im it e s n o In f in it o Sej f : X R, escrevemos que lim f ( ) L qundo o número rel L stisfz seguinte condição: Definição: A ; X, A f ( ) Ess definição nos diz que ddo f ( ) L sempre que L. podemos obter A A. À medid que tende pr tl que temos s imgens f ( ) tendendo pr L. O mesmo rciocínio vle pr lim f ( ) Definição: A ; X, A f ( ) Ou sej, à medid que tende pr L: L. temos s imgens f () tendendo pr L...4 L im it e s In f in it o s Sejm X R, X, f : X R. Dizemos que lim f ( ) 9 qundo:

30 Definição: pr todo A, eiste tl que, X A. f ( ) Isso signific que à medid que estmos nos proimndo do vlor rel temos s imgens cd vez miores. D mesm form dizemos que lim f ( ) qundo: Definição: pr todo A, eiste tl que, X A. f ( ) Ou sej, à medid que nos proimmos do vlor rel temos s imgens cd vez menores.. F u n ç õ e s C o n t ín u s Definição: um função f : X R é contínu em um ponto ddo rbitrrimente, conseguimos encontrr f ( ) f ( ) tl que X se pr todo X e implic. Simbolicmente temos: ; X, Dizemos que um função f : X f ( ) f ( ) R é contínu qundo f é contínu em todos os pontos do seu domínio. Intuitivmente definição de continuidde nos diz que se função f é contínu em X, então podemos tornr f () tão próimo de f ( ) qunto se queir, bstndo pr isso tomr bem próimo de. Qundo verificmos continuidde de um dd função, estmos verificndo se D ( f ) função é contínu, portnto verificr continuidde de um função em pontos que não pertençm seu domínio é um tnto sem lógic. Conseqüênci d definição de continuidde: dizemos que um função f : X descontínu em encontrr X se eiste X com de modo que pr todo, ms f ( ) f ( ). R é, podemos

31 Podemos ind escrever definição de função contínu utilizndo limites: sej X é um ponto de cumulção de X então f : X se, e somente se, lim f ( ) f ( )..4 R é contínu no ponto De r iv d s O conceito de derivd é muito importnte no cálculo, trvés dele conhecemos o comportmento de um função, ou sej, como função está vrindo. Foi devido à necessidde de quntificr vrição d função que surgiu o conceito de derivd. O nome derivd vem d função derivd de Lgrnge que prece n Teori ds Funções de Lgrnge. É devido ele tmbém notção usul pr derivds ' '' ''' de váris ordens, f ( ), f ( ), f ( ),..., f (n) ( ),... A obr de Lgrnge teve um grnde influênci, já que iniciou um ssunto que prtir de então foi considerdo o centro ds tenções: teori ds funções de vriável rel..4. T d e V r i çã o Em 665, Isc Newton começou pensr n t de vrição de quntiddes vriáveis continumente, ou fluentes como: comprimentos, áres, volumes, distâncis, temperturs. Sej f, função cujo gráfico esboçmos bio n Figur 4. Figur 4

32 Os números reis e b pertencem o domínio d função, logo s imgens desses vlores são, respectivmente, f ( ) e f (b ). e b,e é distânci entre os números y distânci entre os números f ( ) e f (b ). Dest form, temos que: y Então b f (b ) f ( ) represent vrição no eio e y represent vrição no eio y. A vrição d função é o quociente entre esss dus vrições: y f Esse quociente é chmdo de t de vrição. Ess t indic vrição d função, ou sej, como função se comport qundo y vri em função d vrição de. y f y f (b ) f ( ) b f f (b ) f b f ( ) f ( ) f ( ) À medid que proimmos os vlores de e b, temos cd vez menor, porém se desejrmos um precisão melhor, bst tomr o limite d t de vrição médi qundo tende zero, ssim teremos e b tão próimos qunto noss imginção poss conceber: lim f f ( lim ) f ( ) Esse limite nos fornece t de vrição d função. Logo, se desejmos sber o comportmento d função, qundo vrição no eio for tão pequen qunto se queir, bst clculr o limite cim. Dest form, sberemos como se comport função num pequeno intervlo de vrição, ou sej, qundo vrição tende ser nul.

33 .4. R e t s T n ge n te s Em 67, Leibniz percebeu que determinção d tngente um curv dependi d rzão ds diferençs ds ordends e ds bscisss, qundo esss se tornvm pequens. T o d r e t n ã o verticl possui um inclinção, chmd de coeficiente ngulr. O cálculo pr conhecermos inclinção de um ret não verticl é ddo pel tngente do ângulo formdo pel ret com o eio. Observe Figur 5 seguir. Figur 5 m tg b tg f (b ) tg f ( b ) f ( ) m b f ( f ( ) ) f ( ) Concluímos que ddos dois pontos d ret, conhecemos su inclinção, isto é, seu coeficiente ngulr. Vej situção, esboçd no gráfico bio ( Figur 6 ): Figur 6

34 Desejmos conhecer inclinção d ret tngente à função f e m P. Conhecemos pens um único ponto d ret t (ret tngente) que é o ponto P cujs coordends são (, f ( )). Como clculr o coeficiente ngulr dess ret, já que pr clculr inclinção é necessário conhecer dois pontos d ret? Pr resolver ess questão, trçremos um ret secnte o gráfico d função f, vej Figur 7. Figur 7 A ret t é tngente à função f em P e ret s é secnte função f em P e Q. O coeficiente ngulr d ret secnte é fácil de ser clculdo, já que conhecemos dois pontos d ret s, P (, f ( )) e Q (b, f (b )), então temos: f ( m ) f ( ) Tendo em mãos o coeficiente ngulr d ret secnte e observndo figur cim, chegmos s seguintes conclusões: à medid que diminui, temos o ponto Q mis próimo do ponto P e conseqüentemente inclinção d ret secnte tende inclinção d ret tngente. Em outrs plvrs, qundo curv y tende zero, o ponto Q se move sobre f ( ) e tende o ponto P, ssim ret secnte gir em torno do ponto P e tende pr ret tngente. Enqunto tende zero, inclinção d ret secnte tende pr inclinção d ret tngente, ou sej: mt lim f ( ) f ( ) O cálculo desse limite nos fornece etmente inclinção d ret tngente à função f em P. 4

35 .4. De fin iç ã o d e De r iv d Definição: Sejm X R, f : X qundo eistir o limite f ' ( ) R e lim X X'. f é derivável no ponto f ( ) f ( ). O l i m i t e f ' ( ) é chmdo de derivd de f no ponto..4.4 P o n t os C r ít ic o s Definição: Sej f um função definid em um conjunto S de números reis, e sej c um número em S. (i) f c é o vlor máimo de f em S se f f c S. (ii) f c é o vlor mínimo de f em S se f f c S. Se f (c ) é vlor máimo, então o ponto c, f ( c ) é o ponto mis elevdo no gráfico d função f. Enqunto que se f (c ) é vlor mínimo, então o ponto c, f ( c ) é o ponto mis bio do gráfico d função f. Os vlores de máimo e mínimo são chmdos de vlores etremos ou etremos d função. Esses vlores podem ser locis ou bsolutos (globis), vejmos diferenç desses csos. Definição: Sej D o domínio d função f. Ddo c D. (i) f c é máimo bsoluto ou globl de f se f c f D. (ii) f c é mínimo bsoluto ou globl de f se f c f D. Definição: Sej c um número no domínio de um função f. (i) f (c ) é u m máimo locl d e f se eiste um intervlo berto, b contendo c, tl que f f (c ),b. (ii) f (c ) é u m mínimo locl d e f se eiste um intervlo berto, b contendo c, tl que f f (c ),b. O termo locl é usdo, pois foclizmos noss tenção em um pequeno intervlo berto contendo o número c, de modo que f tome seu mior (ou menor) 5

36 vlor nesse intervlo. For desse intervlo berto, f pode ssumir vlores miores (ou menores). Esse termo locl lgums vezes é trocdo por reltivo. Teorem: Se um função f tem um etremo locl em um número c em um intervlo berto, então f ' ( c ) ou f ' ( c ) não eiste. Demonstrção: Suponh que f tem um etremo locl em c. Se f ' ( c ) não eiste, não há nd demonstrr. Se f ' ( c ) eiste então um dos csos bio irá ocorrer: (i) f ' ( c ) (ii) f ' (c ) (iii) f ' ( c ) V m o s s u p o r q u e f ' (c ) f ( ) f (c ) c, e n t ã o : f ' (c ), b diferente de c. Logo, f ( ) lim c f ( ) f (c ) c f (c ) e e c são mbos positivos ou mbos negtivos. Assim, f ( ) c. f ( ) f (c ) f (c ) sempre que c sempre que c. f ( ). f ( ) f ( c ) sempre que f ( c ) sempre que c. D í s e g u e q u e f (c ) n ã o é n e m m á i m o l o c l e n e m m í n i m o l o c l, contrrindo ssim hipótese. Como (i) e (ii) levm um contrdição então prevlece (iii), ou sej, f ' (c ). Definição: Um número c no domínio de um função f é um número crítico de f se f ' (c ) ou f ' (c) não eiste..4.5 T e s t e d De r iv d P r im e ir O teste d derivd primeir nos permite determinr o crescimento e decrescimento d função, pr tl nlismos o sinl d derivd. Teorem: Sej f contínu em, b e diferenciável em, b. (i) Se f ' ( ) pr todo em, b então f é crescente em, b. 6

37 (ii) Se f ' ( ) pr todo em, b então f é decrescente em, b. Demonstrção: (iii) Sej f ' ( ),b Sejm e números rbitrários em, b de modo que. Lembrndo o Teorem do Vlor Médio que diz: Sej f :, b, b tl que f ' ( c ) derivável em, b então eiste c Portnto f ( ) f S b e m o s q u e f f ' ( c ).( e ) pr lgum c f ' (c ) R contínu. Se f é f (b ) b f ( ).,., d e s t f o r m f f f. Assim sendo f é crescente em, b. (iv) Sej f ' ( ),b Sejm e números rbitrários em, b de modo que Usndo o Teorem do Vlor Médio temos: f ( ) c f. f ' ( c ).( ) pr lgum,. Sbemos que e f ' (c ), dest form f f f f. Assim sendo f é decrescente em, b. Teste d derivd primeir: Sej c um número crítico de f, e suponhmos f contínu em c e d i f e r e n c i á v e l e m u m i n t e r v l o b e r t o I c o n t e n d o c, eceto possivelmente no próprio c. (i) Se f ' pss de positiv pr negtiv em c, então f c é máimo locl de f. (ii) Se f ' pss de negtiv pr positiv em c, então f c é mínimo locl de f. (iii) Se f ' ( ) ou se f ' ( ) pr todo em I eceto c, então f (c ) não é etremo locl de f. Demonstrção: Supondo que f ' pss de positiv pr negtiv em c, então o intervlo, b contendo c fic ssim dividido: f ' ( ) c b. 7 pr c e f ' ( ) pr

38 Como f ' ( ) pr todo (, c ) então f é crescente em, c, do m e s m o m o d o s b e -s e q u e f ( ) f (c ) f é decrescente em c, b. D e s t f o r m, b, portnto f (c ) é um máimo locl de f. Análogo pr (ii) e (iii)..4.6 C o nc v id de Vimos que o sinl d derivd primeir determin onde um função f é crescente ou decrescente. De form nálog estudremos o sinl d derivd segund pr determinr onde derivd f ' é crescente e onde é decrescente. Definição: Se f for diferenciável em um intervlo berto I. O gráfico de f é: (i) Côncvo pr cim em I se f ' é crescente em I. (ii) Côncvo pr bio em I se f ' é decrescente em I. Teste d Concvidde: Se derivd segund f ' ' de f eiste em um intervlo berto I, então o gráfico de f é: (iii) Côncvo pr cim em I se f ' ' ( ) (iv) Côncvo pr bio em I se f ' ' ( ) em I. em I..4.7 T e s t e d De r iv d Seg u n d Definição: U m p o n t o ( c, f ( c )) d o g r á f i c o d e f é um ponto de infleão se são verificds s dus condições: (i) f é contínu em c (ii) Eiste um intervlo berto, b contendo c tl que o gráfico é côncvo pr cim em (, c ) e côncvo pr bio em ( c, b ), ou vice- vers. N verdde o que diz definição cim é que concvidde mud qundo pssmos pelo ponto ( c, f ( c )). Teste d derivd segund: Sej f diferenciável em um intervlo berto contendo c, e f ' (c ). 8

39 (i) Se f ' ' ( c ), então f tem um máimo locl em c. (ii) Se f ' ' ( c ), então f tem um mínimo locl em c. Demonstrção: Se f ' ( c ) f ' ' (c ), então tngente o gráfico em P (c, f (c )) é horizontl. Se, lém disso,, então o gráfico d função é côncvo pr bio em c e, ssim, há um intervlo, b contendo c tl que pr qulquer ponto pertencente o g r áfico d função e m, b, temos ordend desse ponto sendo menor do que ordend do ponto correspondente à ret (cuj bsciss é igul). Pois estmos considerndo ret tngente o gráfico de f em P ( c, f ( c )) e, su concvidde está pr bio no intervlo em questão, logo não pode eistir um outro ponto dentro do mesmo intervlo, cuj ordend d função sej mior do que d ret. Isso é um bsurdo já que ssim ret não seri tngente à função, contrrindo hipótese, logo o gráfico neste intervlo está bio ds tngentes. Portnto f (c ) é um máimo locl. Do mesmo modo prov-se pr (ii)..4.8 D e r iv d d s fu n çõe s se no e co sse n o Pr demonstrrmos s derivds ds funções seno e cosseno vmos considerr um ponto B sobre o ciclo trigonométrico, observe Figur 8. Figur 8 sen e BC BC AB 9 rco AB rco AB

40 áre Dest form: BC Então: OBC sen tg AD tg sen cos. cos sen sen cos cos sen sen cos lim cos AD rco AB Então: * e lim (* Vej continuidde em 4...) Pelo Teorem do Snduíche, temos que: lim Vmos gor clculr o lim lim sen. cos lim cos lim.(cos ) Então:. lim sen sen cos cos cos. cos lim áre OAD Sbemos que: OAB rco AB sen Logo: áre cos.. cos sen sen. lim cos. Tendo em mãos o vlor desses limites, vmos clculr derivd ds funções seno e cosseno. 4

41 f ( ) f ' ( ) sen f ' ( ) f ( lim ) sen lim f ( ) Sbemos que: sen f ' ( ) lim f ' ( ) lim sen cos sen cos lim sen. lim f ' ( ) f ' ( ) cos( ) f ( ) sen ( ) f ( lim cos sen lim cos. lim cos( ). f ' ( ) ) cos lim cos( ) lim f ( ) Sbemos que cos cos cos. cos lim cos. cos sen.sen cos. cos cos cos lim cos. lim f ' ( ) cos. f ' ( ) sen ( ) f ( ) cos f ' ( ) sen sen lim. cos cos( ) f ( ) f ' ( ) sen sen cos sen ( ). f ' ( ) f ' ( ) f ' ( ) sen. cos sen. cos f ' ( ) f ' ( ) sen cos( ) cos sen sen. lim sen ( ). f ' ( ) lim sen sen lim sen sen sen ( ) 4

42 .5 In te g r l.5. D e fin iç õe s Im p o r t n t e s Vmos considerr funções reis f :, b R, definids em um intervlo compcto, b e limitds nesse intervlo. Vle lembrr que um conjunto K R é c h m d o d e compcto s e K é limitdo e fechdo. Portnto eistem vlores reis m, M de form que m pr todo f ( ) M, b, isso signific que os vlores f ( ) pertencem todos o intervlo compcto m, M. Definiremos m, M p o r : m Podemos escrever que m,b e inf f ( ); inf f e M M sup f ( );,b. sup f. Definiremos gor o que vem ser um prtição. Um prtição do intervlo,b é um subconjunto finito P P t, t, t,...,t n o n d e,b d e m o d o q u e t e b P e b P, sendo t n. O s intervlos t i, t i c o m i,,..., n são chmdos de intervlos d prtição P. Considerndo então f :, b R um função limitd e P t o, t,...,t n um prtição de, b. Vmos chmr de mi o ínfimo de f e m um intervlo d prtição e de M i o supremo de f em um intervlo d prtição, sendo i,,..., n. A som inferior s ( f ; P ) e som superior S ( f ; P ) d função f reltiv à prtição P são definids d seguinte form: s( f ; P ) m.(t t ) m.(t t )... mn (t n tn ) n i mi.(t i ti ) e S( f ; P ) M.(t t ) M.(t t )... M n (t n tn ) n i M i.(t i ti ).5. D e fin iç ã o d e I n t e g r l Definição: Dd um função limitd f :, b b R representmos integrl inferior b como f ( ).d e integrl superior como f ( ).d. Definindo cd um dels como b sendo: b f ( ).d sup s ( f ; P ) e f ( ).d 4 inf S ( f ; P ).

43 Um função limitd f :, b R é integrável qundo integrl inferior e integrl superior possuem o mesmo vlor, ou sej: b b f ( ).d f ( ).d Chmmos esse resultdo de integrl d função f, indicmos esse resultdo b como b f ( ).d ou, ind como f..5. T e o r e m F u n d m e n t l d o C á lc u lo Teorem: Sej f um função integrável f : [, b ] R que possui um primitiv** b R, então F : [, b] f ( ).d F (b ) F ( ). ** Sej F um função derivável sendo F ' su derivd, de modo que F ' ( ) f ( ). Temos que: f ( ) é derivd de F () F ( ) é primitiv de f ( ) Signific que o clculr integrl de um função f encontrremos um função F que denominmos de ntiderivd ou primitiv de f, do mesmo modo dizemos que f é derivd de F. Qundo clculmos integrl indefinid de um função, encontrmos um fmíli de primitivs que diferem entre si menos de um constnte: f ( ).d F ( ) c. Teorem: Sej f : [, b ] R integrável. Se f é contínu no ponto c [, b ], então função F : [, b ] f (t ).dt, é derivável no ponto c e se tem R, definid por F ( ) F ' (c ) f (c ). 4

44 C p í t ul o 4 C onst r u in d o o g r á fico d f u nçã o se n o: b or d ge m u n ive r sit á r i 4. Ab o r d ge m Un iv e r s it á r i I 4.. P r oce d im e n t o s p r t r ç r o e s boço d o g r á fico d e u m fu n ç ã o Dd um função f, se desejr esboçr o gráfico dess função é conveniente obedecer certos procedimentos. São eles: ) Determinr o domínio d função, su periodicidde, lém de outrs proprieddes como: sobrejetividde, injetividde e se função é pr ou ímpr. ) Continuidde d função. ) Interseção d função com os eios coordendos. 4) Comportmento ssintótico 5) Determinr função f ' (derivd primeir). Os números críticos d função f são os vlores de d ( f ) pr os quis não eiste f ' ( ) ou f ' ( ). 6) Aplic-se o teste d derivd primeir fim de determinr se os números críticos encontrdos são vlores de máimo, de mínimo ou nenhum dos dois. Pr determinrmos onde função f é crescente, devemos obter os vlores de pr os quis f ' ( ). D mesm form pr determinr onde função f é decrescente, devemos obter os vlores de pr os quis f ' ( ). 7) Determinr função f ' ' (derivd segund). Os vlores de pr os quis f ' ' ( ) o u f ' ' não eiste, nos fornecem os possíveis pontos de infleão. Pr verificrmos se esses vlores são relmente pontos de infleão, bst sber se f ' ' ( ) mud de sinl em cd um desses vlores. 8) Pr sbermos sobre concvidde, bst verificrmos pr quis vlores de temos f ' ' ( ), pois nesse intervlo teremos concvidde voltd pr cim 44

45 e pr quis vlores de t e m o s f ' ' ( ), pois nesse intervlo teremos concvidde voltd pr bio. 9) Construção do gráfico 4.. C o n s t r u in d o o g r á fic o Pr construir o gráfico d função seno, seguiremos o roteiro presentdo cim. ) Domínio, periodicidde e outrs proprieddes. N seção.4 vimos que o domínio d função seno é o conjunto dos números reis, isso signific que pr qulquer vlor rel, é possível obter imgem deste vlor. Portnto: D( f ) R Vimos tmbém n seção. que função seno é periódic, sendo seu período. A função seno não é sobrejetiv, sbemos que um função é sobrejetiv cso seu conjunto imgem sej igul o contrdomínio o que não ocorre já que, R, ou sej, números miores do que e menores do que - não fzem prte do conjunto imgem dess função. Tmbém não é injetiv, sbemos que um função é injetiv se pr vlores diferentes no domínio, obtivermos imgens diferentes, simbolicmente temos: f ( ), ms sendo função periódic sbemos q u e injetividde f ( ) não é possível, já que pr vlores diferentes no domínio teremos imgens iguis. A função seno é ímpr, ou sej, sen D( f ) R temos que sen ( ), portnto simetri dess função ocorre em relção à origem do plno crtesino. ) Continuidde d função A função seno não possui pontos de descontinuidde. Primeiro provremos continuidde dess função em R temos lim sen e em seguid mostrremos que pr qulquer sen. Vimos n seção.4.8 que sen. Considere limite qundo h se proim de zero por vlores miores do que zero. 45 h e clcule o

46 Como lim h que lim sen h h lim lim sen h h h e lim h h lim h h, pelo Teorem do Snduíche podemos firmr. Vimos tmbém que função seno é ímpr, portnto, sen D e s t f o r m : sen h sen( h ) e c o n s e q u e n t e m e n t e lim sen h h lim sen h lim sen h h h e, portnto, lim sen h h contínu em sen ( ).. Assim, consequentemente função seno é. Tendo provdo continuidde d função seno em tmbém q u e lim cos. Sbemos que cos sen y, mostrremos (Vej..), considere sen, portnto: cos lim cos lim sen lim ( sen ) lim lim sen Provremos gor continuidde d função seno pr qulquer sen e f ( ) Tomemos h h. sen então provremos que função h) R. d( f ) h, dess form Se mostrrmos que lim sen (. seno é contínu em qulquer número rel. sen ( lim sen ( h h) sen. cos h lim ( sen. cos h h sen. lim cos h h h) sen h. cos ) cos. lim sen h h sen h. cos lim sen. cos h lim sen h. cos h h ( sen ). (cos ). sen Sendo ssim função seno é contínu em todo o seu domínio. ) Interseção d função com os eios coordendos Pr conhecermos os pontos de interseção d função seno com o eio ds bscisss, bst resolver seguinte equção: sen um função periódic e que em k (k Z ) teremos sen e. Sbemos que função seno é ess função se nul, portnto, qundo. Além d interseção com o eio ds bscisss é preciso conhecer o ponto de interseção com o eio ds ordends, nesse cso tommos. Vej: sen. Dest form o gráfico d função seno pss pel origem do plno crtesino. 46

47 4) Comportmento ssintótico Como vimos o domínio d função seno é o conjunto dos números reis, pr verificrmos o seu comportmento ssintótico bst nlisrmos o que ocorre qundo função tom vlores muito grndes, ou sej, tende pr tom vlores muito pequenos, tende pr e tmbém qundo ess. C so isso não ocorresse deverímos verificr o comportmento à direit e à esquerd de cd número não pertencente o domínio. Sbemos, contudo que função seno é periódic e contínu, portnto ess questão não se plic ess função, já que um vez esboçdo o gráfico em um período seu comportmento será repetido. 5) Função derivd primeir e números críticos Como vimos n seção.4.7 derivd d função seno é f ' ( ) ( sen )' cos. Devemos verificr os pontos críticos dess função, ou sej, pontos onde cos. Isso ocorre qundo k, (k Z). 6) Intervlos de crescimento e decrescimento d função Utilizndo o teste d derivd primeir, podemos conhecer o comportmento d função, isto é, onde el cresce e onde decresce. Tomemos um vlor menor que, por eemplo, : cos, portnto função seno cresce té vejmos o que ocorre qundo tommos um vlor entre cos, portnto função seno é decrescente entre vlor entre e 5 e e. Agor, por eemplo, :. Qundo tommos um temos o sinl d função seno positivo, vej: cos, dest form função é crescente neste intervlo. Vle lembrr que função seno é um função periódic, sendo o seu período, portnto seu comportmento se repetirá sempre de em. 47

48 7) Função derivd segund Clculr derivd segund d função seno é o mesmo que clculr derivd primeir d função cosseno que demonstrmos n seção.4.7, ssim: f ' ' ( ) ( sen )' ' Vejmos: f ' ' ( ) eemplo, : (cos )' sen sen. Devemos verificr o sinl d derivd segund. sen k. Tomndo um vlor menor que, por, portnto concvidde está voltd pr bio. Agor tomemos um vlor entre e, por eemplo, : sen ( ), concvidde está voltd pr cim. 8) Construção do gráfico Com s informções obtids trvés ds nálises feits é possível esboçr o gráfico d função ( Figur 9 ). Figur 9 48

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

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