Capítulo Breve referência histórica Aproximação da primeira derivada

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1 Cpítulo 5 Derivção e integrção numéric 5.1 Breve referênci istóric As técnics de derivção e integrção numéric, d form como s iremos estudr neste cpítulo, têm mesm origem d interpolção. No entnto, temos que slientr lguns mtemáticos que se destcrm especificmente nest áre. As técnics de integrção, tl com s conecemos oje, tiverm su origem em Bonventur Cvlieri ( ), cerc de 139, que descobriu geometricmente cmd regr de Simpson (que é tmbém segund fórmul de Newton-Cotes) e que consiste em proximr o vlor do integrl de um determind função num intervlo plo integrl do seu polinómio interpoldor do segundo gru. Outros mtemáticos do séc. XVII que trblrm nest áre form Jmes Gregory ( ) (que tmbém coneci regr de Simpson), que deduziu um nov regr de integrção designd ctulmente por regr de Gregory, e Isc Newton ( ) pels rzões já presentds pr interpolção. De entre os mtemáticos do séc. XVIII destcr pel su contribuição nest áre slientmos Toms Simpson ( ), que presentou o seu trblo em 1743, Roger Cotes ( ) e Crl Friedric Guss ( ) que descobriu s fmoss fórmuls de qudrtur com o seu nome. 5. Derivção numéric Acontece frequentemente sermos confrontdos com necessidde de determinr vlores d derivd de um função num conjunto de pontos conecendo o vlor d função pens nesses pontos. N impossibilidde de obter esses vlores de form exct, vmos considerr su proximção trvés do vlor d derivd do polinómio interpoldor d função nos referidos pontos Aproximção d primeir derivd Sej f C n+1 ([, b]) conecid num conjunto de pontos d prtição uniforme = x 0 < x 1 < < x n = b, (5.1) 89

2 Derivção e integrção numéric 90 com x i x i 1 =, i = 1,..., n. Queremos proximr derivd de f num dos pontos x k, k {0, 1,..., n}, d prtição (5.1). Usndo fórmul interpoldor de Lgrnge temos que, pr x (, b), f(x) = f(x i )l i (x) + f (n+1) (ξ) (n + 1)! w(x), i=0 sendo l i, i = 0,..., n, os polinómios de Lgrnge ddos por (4.4), w função dd por (4.) e ξ (, b). Derivndo est expressão obtemos f (x) = f(x i )l i(x) + i=0 Podemos, ssim, considerr proximção com erro ddo por e(x) := Or, como se sbe, f (x) f(x i )l i(x), i=0 ( f (n+1) ) ( (ξ) (n + 1)! w(x) f (n+1) (ξ) = (n + 1)! w (x) = n 1 n 1 l=0 j=0,j l ( f (n+1) ) (ξ) (n + 1)! w(x). ) w(x) + (x x j ); dificuldde reside no fcto de não sbermos como clculr w (x) (n + 1)! f (n+1) (ξ) ( f (n+1) (ξ)) e ssim não conseguimos estimr o erro cometido. No entnto, pr um ponto x = x k, k {0, 1,..., n}, d prtição (5.1) temos que w(x k ) = 0 e como tl f (x k ) = i=0 Como x k x j = (k j) temos que sendo o erro cometido ddo por Podemos então concluir que f(x i )l i(x k ) + f (n+1) (ξ) (n + 1)! w (x k ), (5.) f (x k ) f(x k + (i k))l i(x k ), (5.3) i=0 e(x k ) = n f (n+1) (ξ) (n + 1)! n 1 n 1 l=0 j=0,j l e(x k ) C n, (k j). onde C é um vlor que não depende de. Por este fcto dizemos que fórmul usd pr proximr derivd d função é de ordem n. É tmbém usul usr notção e(x k) = O( n ).

3 Derivção e integrção numéric 91 Exercício 5..1 Atendendo que, pel fórmul interpoldor de Newton ds diferençs progressivs, o polinómio interpoldor de f nos pontos d prtição (5.1) é ddo por f(x 0 ) + i f(x 0 ) i! i prove que fórmul (5.3) pode ser escrito n form f (x k ) i=0 i f(x 0 ) i! i 1 i 1 j=0 (x x j ), i 1 l=0 j=0,j l (k j). (5.4) Exercício 5.. Elbore um lgoritmo que permit obter fórmuls pr proximr primeir derivd de um função num ponto com qulquer número de pontos. A fórmul de diferençs finits (5.4), convenmos, não é nd simpátic. Vmos prticulriz-l deduzindo vários fórmuls de diferençs finits pr proximr derivd de um função f. Fórmuls com dois pontos Temos que, pr x [x k, x k+1 ], f(x) = f(x k ) + f(x k) f(x k+1 ) Derivndo si que e f (x k ) = f(x k) f(x k+1 ) (x x k ) + f (ξ) (x x k )(x x k+1 ), ξ (x k, x k+1 ). f (ξ), ξ (x k, x k+1 ), f (x k+1 ) = f(x k) f(x k+1 ) + f (ξ) ξ (x k, x k+1 ). Obtemos ssim dus fórmuls de diferençs finits de primeir ordem pr proximr primeir derivd. A f (x k ) = f(x k) f(x k+1 ) é usul cmr fórmul de diferençs progressivs (ou forwrd ou forwind) e f (x k ) = f(x k 1) f(x k ) costum cmr-se fórmul de diferençs regressivs (ou upwrd ou upwind). Fórmuls com três pontos Pr obter fórmuls mis preciss pr proximr primeir derivd de um função, podemos pensr em umentr o número de pontos d interpolção. No próximo exercício presentm-se s fórmuls de diferençs progressivs, centrds e regressivs com três pontos.

4 Derivção e integrção numéric 9 Exercício 5..3 Prove que: 1. f (x k ) = 1 [ 3f(x k) + 4f(x k+1 ) f(x k+ )] + 3 f (ξ 0 );. f (x k ) = 1 [ f(x k 1) + f(x k+1 )] f (ξ 1 ); 3. f (x k ) = 1 [f(x k ) 4f(x k 1 ) + 3f(x k )] + 3 f (ξ ); Resolução: Vmos só deduzir segund fórmul. Assim, temos que Derivndo si que Atendendo que temos f(x) = f(x k 1 ) + f(x k 1) (x x k 1 ) + f(x k 1 ) (x x k 1 )(x x k ) + f (ξ) (x x k 1 )(x x k )(x x k+1 ), ξ 1 (x k 1, x k+1 ). f (x k ) = f(x k 1) + f(x k 1 ) [(x k x k 1 ) + (x k x k )] + f (ξ 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ), ξ 1 (x k 1, x k+1 ). x i f(x i ) f(x i ) f(x i ) x k 1 f(x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) x k f(x k ) f(x k+1 ) f(x k ) + f(x k 1 ) f(x k+1 ) f(x k ) x k+1 f(x k+1 ) f (x k ) = f(x k) f(x k 1 ) com ξ 1 (x k 1, x k+1 ), ou sej + f(x k+1) f(x k ) + f(x k 1 ) f (ξ 1 ), f (x k ) = 1 [ f(x k 1) + f(x k 1 )] f (ξ), ξ 1 (x k 1, x k+1 ). Exercício 5..4 Considere os seguintes vlores d função f(x) = xe x : x i f(x i ) Aproxime o vlor de f (.0) =.1718 usndo s fórmuls de diferençs finits dds no exercício nterior e compre os erros cometidos.

5 Derivção e integrção numéric 93 Resolução: Vmos considerr s três fórmuls seprdmente. Fórmul progressiv de segund ordem com = 0.1. f (.0) 1 [ 3f(.0) + 4f(.1) f(.)] = O erro cometido é proximdmente Fórmul regressiv de segund ordem com = 0.1. f (.0) 1 [f(1.8) 4f(1.9) + 3f(.0)] = O erro cometido é proximdmente Fórmul centrd de segund ordem com = 0.1. f (.0) 1 [f(.1) f(1.9)] = O erro cometido é proximdmente Note-se que o erro cometido qundo se us fórmul de diferençs centrds é proximdmente metde do erro cometido com s outrs fórmuls, o que confirm o resultdo do exercício nterior. 5.. Aproximção d segund derivd. Algums fórmuls Sej f C n+1 ([, b]) conecid num conjunto de pontos d prtição uniforme (5.1), com x i x i 1 =, i = 1,..., n. Queremos proximr segund derivd de f num dos pontos x k, k {0, 1,..., n}, d prtição (5.1). Poderímos, tl como pr primeir derivd, usr o polinómio interpoldor n dedução ds fórmuls pr segund derivd. A obtenção de estimtivs pr o erro é, no entnto, mis complicd. Um processo lterntivo pr dedução ds fórmuls de derivção (e respectivo erro) fz uso d série de Tylor d função. Desenvolvendo f em série de Tylor em torno do ponto x k temos: f(x k+1 ) = f(x k ) + f (x k ) + f (x k ) + 3 f (x k ) f (4) (ξ 1 ), ξ 1 (x k, x k+1 ); f(x k 1 ) = f(x k ) f (x k ) + f (x k ) 3 f (x k ) f (4) (ξ ), ξ (x k 1, x k ). Se dicionrmos ests dus expressões obtemos f (x k ) = 1 [f(x k 1 f(x k ) + f(x k+1 )] 4 (f (4) (ξ 1 ) + f (4) (ξ )). Admitindo que f (4) é contínu em [x k 1, x k+1 ], o Teorem de Bolzno permite concluir que existe um ξ (x k 1, x k+1 ) tl que f (4) (ξ) = 1 (f(ξ 1) + f(ξ )).

6 Derivção e integrção numéric 94 Assim f (x k ) = 1 [f(x k 1) f(x k ) + f(x k+1 )] 1 f (4) (ξ). (5.5) Est fórmul é conecid como fórmul de diferençs centrds de segund ordem pr proximr segund derivd. Por um rciocínio semelnte poderim ser obtids outrs fórmuls de diferençs finits pr proximr segund derivd, não só centrds como tmbém progressivs e regressivs. Exercício 5..5 Prove que f (x k ) = 1 1 [ f(x k ) + 1f(x k 1 ) 30f(x k ) + 1f(x k+1 ) f(x k+ )] f (4) (ξ), com ξ (x k, x k+ ). Exercício 5.. Considere, de novo, os vlores d função f(x) = xe x ddos n tbel do Exercício Aproxime o vlor de f (.0) = usndo fórmul de diferençs finits centrds de segund ordem. Resolução: Temos que f (.0) 1 [f(1.9) f(.0) + f(.1)] = O erro cometido é proximdmente Aproximção de derivds de ordem superior O estudo efectudo pode ser generlizdo pr obter fórmuls de diferençs finits pr proximr derivds de ordem superior. Esss fórmuls podem ser obtids quer por interpolção quer recorrendo à série de Tylor. Exercício 5..7 Prove que: 1. f (x k ) = 1 3 [ f(x k ) + f(x k 1 ) f(x k+1 ) + f(x k+ )] 4 f (5) (ξ 1 );. f (4) (x k ) = 1 4 [f(x k ) 4f(x k 1 ) + f(x k ) 4f(x k+1 ) + f(x k+ )] f () (ξ ). Um lgoritmo pr obter fórmuls de diferençs finits de qulquer ordem pr proximr qulquer derivd de um função pode ser visto em Fornberg (1988). 5.3 Integrção numéric Pr muits funções obtenção de primitivs em termos de funções elementres é um tref difícil ou mesmo impossível; é o cso que contece qundo função primitivr é pens conecid num conjunto discreto de pontos. Nest secção vmos obter e nlisr s cmds fórmuls de qudrtur numéric que permitem determinr de form proximd o integrl

7 Derivção e integrção numéric 95 definido de um função num ddo intervlo rel. As fórmuls que iremos obter serão d form I(f) = f(x)dx i f(x i ). A grnde miori ds fórmuls existentes bsei-se n idei de substituir função integrnd por um outr pertencente um determind fmíli de funções {φ n (x)}, n = 0, 1,..., e considerr I(f) = f(x)dx φ n (x)dx, requerendo,usulmente, que e(f) = (f(x) φ n (x))dx 0, n Fórmuls de Newton-Cotes Um processo de determinr ess fmíli de funções pode ser por interpolção. Sej f um função conecid em n + 1 pontos = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Como é sbido, existe um e um só polinómio P n de gru menor ou igul n interpoldor de f nos pontos ddos tl que f(x) = P n (x) + e n (x), onde e n (x) = f (n+1) (ξ) w(x), ξ (, b), (n + 1)! e w ddo por (4.). Assim, I(f) = f(x)dx = P n (x)dx + e n (x)dx. Atendendo à definição do polinómio interpoldor temos que I(f) = f(x)dx i f(x i ), (5.) com i = i=0 l i (x)dx, sendo l i s funções de Lgrnge dds por (4.4). O erro cometido é d form e(f) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! w(x)dx. As fórmuls (5.) são conecids como Fórmuls de Newton-Cotes e dependem, obvimente, do gru do polinómio escolido. Observção 5.1 Note-se que, qundo se usm s fórmuls de Newton-Cotes, se proxim o integrl de um função f pelo integrl de um polinómio. Um vez que n-ésim fórmul de Newton-Cotes é obtid pel proximção d função integrnd por um polinómio de gru n, será de esperr que sej exct pr polinómios de gru menor ou igul n. Este fcto conduz-nos o conceito de ordem de precisão de um fórmul de qudrtur numéric. Definição 5. Um fórmul de qudrtur numéric diz-se com ordem de precisão n se é exct pr polinómios de gru menor ou igul n.

8 Derivção e integrção numéric 9 Fórmul dos Trpézios y=f(x) 4 b Figur 5.1: Fórmul dos Trpézios Vmos considerr o cso em que pretendemos proximr função f C ([, b]) por um polinómio do primeiro gru que pss pelos pontos (, f()) e (b, f(b)). Como é sbido Assim f(x)dx = f(x) = f() + ( f() + f(b) f() b (x ) + f (ξ) (x )(x b). ) f(b) f() b (x ) dx + b = f()(b ) + 1 (f(b) f())(b ) + f (ξ) (x )(x b)dx f (ξ) (x )(x b)dx. Como (x )(x b) não mud de sinl em (, b) temos, pelo Teorem do Vlor Médio pr integris, que f(x)dx = f()(b ) + 1 (f(b) f())(b ) + f (η) com η (, b). Deduzimos ssim cmd fórmul dos Trpézios pr proximr o vlor do integrl definido de um função. proximção nterior é ddo por e T (f) := (x )(x b)dx, f(x)dx b [f() + f(b)], (5.7) (b )3 f (η), 1 η (, b). O vlor do erro cometido n Observção 5.3 Note-se que expressão do erro ssocido à fórmul dos Trpézios nos permite firmr, como seri de esperr, que est tem ordem de precisão um.

9 Derivção e integrção numéric 97 Fórmul de Simpson Consideremos gor o cso em que se proximr função f C 3 ([, b]) por um polinómio do segundo gru que pss pelos pontos (, f()), (c, f(c)), com c = ( + b)/, e (b, f(b)). Como foi visto no cpítulo nterior f(x) = f()+ f(c) f() (x )+ c f(b) f(c) f() (b )(b c) (x )(x c)+ f (ξ) (x )(x c)(x b) y=f(x) 5.5 b (+b)/ Figur 5.: Fórmul de Simpson. Exercício Prove que o vlor do integrl ( f() + f(c) f() (x ) + c com c = +b, é ddo por b [f() + 4f(c)) + f(b)]. f(b) f(c) f() (x )(x c) (b )(b c) ) dx, Pelo exercício nterior podemos obter seguinte fórmul de integrção f(x)dx b [ ( ) ] + b f() + 4f + f(b), (5.8) conecid por fórmul de Simpson. Ao contrário do que foi efectudo pr fórmul dos Trpézios, neste cso não podemos plicr o Teorem do Vlor Médio pr integris pr determinr o erro cometido n proximção do vlor do integrl pel fórmul de Simpson um vez que (x )(x c)(x ) mud de sinl em [, b]. É possível, no entnto, demonstrr (ver Vlenç (1988)) que o erro ssocido à fórmul de Simpson é ddo por (b )5 e S (f) = 880 f (4) (η), η (, b). Observção 5.4 Um vez que fórmul de Simpson foi obtid pel proximção d função integrnd por um polinómio de segundo gru, seri de esperr que tivesse ordem de precisão dois. No entnto, de form surpreendente, expressão obtid pr o erro diz-nos que fórmul de Simpson tem ordem de precisão três, isto é, fórmul é exct sempre que função integrr é um polinómio de gru menor ou igul três!

10 Derivção e integrção numéric Fórmuls composts Note-se que, se mplitude do intervlo [, b] for muito grnde, os erros ssocidos às fórmuls de qudrtur numéric tmbém são grndes. Poderemos pensr então em dividir o intervlo em n subintervlos [x i 1, x i ], i = 1,..., n, de mplitude constnte = b n e plicr fórmul de qudrtur cd um desses subintervlos. Fórmul dos Trpézios compost Se f C ([, b]), plicndo fórmul dos Trpézios cd um dos subintervlos, temos f(x)dx = xi x i 1 f(x)dx = ( ) [f(x i 1) + f(x i )] 3 1 f (ξ i ), com ξ i (x i 1, x i ), i = 1,..., n. Concluímos então que o integrl pode ser ddo proximdmente por f(x)dx [f(x 0) + f(x 1 ) + + f(x n 1 ) + f(x n )], (5.9) sendo o erro ddo por Or, como e T (f) := 3 1 f (ξ i ). f (ξ i ) [ min x [,b] f (x), mx x [,b] f (x)], pelo Teorem de Bolzno, existe um η (, b) tl que Assim sendo, f (ξ i ) = nf (η). e T (x) := b 1 f (η), η (, b). A fórmul (5.9) é conecid por fórmul dos Trpézios (compost). Observção 5.5 N prátic fórmul do erro prece, normlmente, em vlor bsoluto. É usul considerr expressão e T (f) b 1 M, com M = mx x [,b] f (x). O vlor do integrl de um determind função f num intervlo [, b] pel fórmul dos Trpézios pode ser ddo de cordo com o seguinte lgoritmo.

11 Derivção e integrção numéric 99 Algoritmo 5.1 Fórmul dos Trpézios Ler n; Ler e b; := (b )/n; x := ; s := 0; Pr i de 1 té n 1 fzer x := x + ; s := s + f(x); I T := (/)(f() + s + f(b)); Escrever i I T. Exercício 5.3. Sej I = 1 xe x dx. Clcule, usndo fórmul dos Trpézios, o vlor proximdo de I com três css decimis corrects. Resolução: Sej f(x) = xe x. Temos que, pr x [, 1], o erro pr regr dos trpézios é ddo por e T (x) 1 1 M = 1 1n M, sendo M = mx f (x) = mx x [, 1] x [, 1] ( 4ex (x + 1)). Se tomrmos g(x) = 4e x (x + 1) temos que g (x) = 0 x = 1.5. Logo M = mx{g( ), g( 1.5), g( 1)} = e 3. Vmos então determinr qul o menor vlor de n que stisfz e n n Efectundo os cálculos, concluímos imeditmente que n o que implic n = 5. Necessitmos de pontos igulmente distncidos no intervlo [, 1] pr obter um proximção o vlor de I com três css decimis corrects. Assim, I 0.1[f( ) + f( 1.8) + f( 1.) + f( 1.4) + f( 1.) + f( 1)] = Como só podemos grntir três css decimis corrects temos que I

12 Derivção e integrção numéric 100 Fórmul de Simpson compost Poderemos, tl como pr regr dos trpézios, pensr em dividir o intervlo [, b] num número n (pr) de subintervlos [x i, x i+1 ], i = 0,..., n, de mplitude constnte = b n e plicrmos fórmul (5.8) cd um desses subintervlos. Exercício De form nálog o efectudo n obtenção d fórmul dos Trpézios compost mostre que, pr o cso d fórmul de Simpson se tem f(x)dx [f(x 0)+4f(x 1 )+f(x )+4f(x 3 )+ +f(x n )+4f(x n 1 )+f(x n )], com erro e S (f) := nf (4) (η i ). n pr. (5.10) A fórmul (5.10) é conecid por fórmul de Simpson (compost). A determinção do vlor do erro que le está ssocido pode ser feit de form semelnte o efectudo pr fórmul dos Trpézios compost. De fcto, como f (4) (ξ i ) [ min x [,b] f (4) (x), mx x [,b] f (4) (x)], pelo Teorem de Bolzno, existe um η (, b) tl que f (4) (ξ i ) = nf (4) (η). Assim sendo, ou, o que é equivlente, e S (x) = nf (4) (η), e S (f) = b f (4) (η), η (, b). Observção 5. N prátic fórmul do erro prece, normlmente, em vlor bsoluto. Assim, costum-se usr expressão com e S (f) b M 4, M 4 = mx x [,b] f (4) (x). O vlor do integrl de um determind função f num intervlo [, b] pel fórmul de Simpson pode ser ddo de cordo com o seguinte lgoritmo.

13 Derivção e integrção numéric 101 Algoritmo 5. Fórmul de Simpson Ler n; Ler e b; := (b )/n; x := ; s := 0; Pr i de 1 té n 1 fzer x := x + ; Se i pr então s := s + f(x) cso contrário s := s + 4f(x); I S := (/3)(f() + s + f(b)); Escrever I I S. Exercício Melore o lgoritmo nterior. Exercício Sej I = 1 e x cos xdx. Clcule, usndo fórmul de Simpson, o vlor proximdo de I com erro inferior Resolução: Sej f(x) = e x cos x. Temos que, pr x [0, 1], o erro ddo pel regr de Simpson é e S (x) M 4 = 1 180n 4 M 4, sendo M 4 = mx x [0,1] f (4) (x) = mx x [0,1] (4ex cos x). Se tomrmos g(x) = 4e x cos x temos que g (x) = 0 x = π 4. Logo M 4 = mx{g(0), g( π 4 ), g(1)} = e π/4. Vmos então determinr qul o menor vlor de n que stisfz e π/4 90n Efectundo os cálculos, concluímos imeditmente que n.4. Como n tem que ser pr temos que n = 4. Então, necessitmos de 5 pontos igulmente distncidos no intervlo [0, 1] pr obter um proximção o vlor de I um erro inferior o pretendido. Assim, I 1 [f(0) + 4f(0.5) + f(0.5) + 4f(0.75) + f(1)] = Como só podemos grntir dus css decimis corrects I 1.38.

14 Derivção e integrção numéric Exercícios de plicção à engenri Exercício A função f(x) = x e t dt π é usd com muit frequênci em disciplins tão diverss como teori ds probbiliddes, distribuição de clor, difusão de mtéris, etc. Usndo um ds regrs de integrção estudds, clcule um proximção pr o vlor do referido integrl indicndo um mjornte pr o erro cometido. Exercício 5.4. Num circuito eléctrico com voltgem plicd E(t) e inductânci L, primeir Lei de Kircoff dá-nos relção E(t) = LI (t)ri(t), onde R é resistênci no circuito e I(t) corrente no instnte t. Suponmos que medimos corrente pr vários vlores de t = t i, i = 1,..., 5, obtendo t i I(t i ) , onde tempo é medido em segundos, corrente em mperes, inductânci é um constnte dd por L = 0.98 enries e resistênci é 0.14 oms. Aproxime voltgem E nos vlores de t ddos n tbel. Exercício Fugcidde é o termo usdo n engenri pr descrever trblo resultnte de um processo isotérmico. Pr um gás idel, fugcidde f é igul à pressão P, ms pr os gses reis, ln f P P = C 1 P dp onde C é um fctor de compressibilidde determindo experimentlmente. vlores de C são 0 0 Pr o metno os P (tm.) C P (tm.) C Escrev um progrm que clcule o vlor de f correspondente cd vlor d pressão ddo n tbel. Assum que o vlor de C vri linermente entre os vlores clculdos e que C tende pr um qundo P tende pr zero. Exercício Um prtícul de mss m movendo-se num fluído está sujeit um resistênci de viscosidde R, que é função d velocidde v. A relção entre resistênci R, velocidde v e o tempo t é dd pel equção v(t) m t = R(u) du. v(t 0 )

15 Derivção e integrção numéric 103 onde R é resistênci no circuito e I(t) corrente. Suponmos que R(v) = v v pr um fluído prticulr, onde R é ddo em newtons e v em metros/segundo. Se m = 10 kg e v(0) = 10 m/seg proxime o tempo necessário pr prtícul reduzir su velocidde pr v = 5 m/seg. 5.5 Referêncis bibliográfics R.L. Burden e J.D. Fires (1988), Numericl Anlysis, 4t ed., PWS-Kent, Boston. B.J. Crç (1989), Conceitos Fundmentis d Mtemátic, 9 ed., Livrri Sá Cost, Lisbo. S.D. Conte e C. de Boor (1980), Elementry Numericl Anlysis, 3t ed., McGrw-Hill, New York. B. Fornberg (1988), Genertion of finite difference formuls on rbitrrily spced grids, Mt. Comp., 51, H. Goldstine (1977), A History of Numericl Anlysis from 1 t Troug te 19 t Century, Springer-Verlg, New York. J.R. Rice (1983), Numericl Metods, Softwre, nd Anlysis, McGrw-Hill, Tokyo. M. Ros (199), Tópicos de Análise Numéric, Dep. Mtemátic, Univ. Coimbr. M.R. Vlenç (1988), Métodos Numéricos, INIC, Brg.