Capítulo 7 - Estimação por intervalos 3

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1 Cpítulo 7 - Estimção por intervlos Conceição Amdo e An M. Pires Cpítulo 7 - Estimção por intervlos Noções básics Intervlos de confinç pr médi de um populção norml Intervlos de confinç pr diferenç de dus médis de populções normis Intervlo de confinç pr vriânci de um populção norml Intervlos de confinç pr prâmetros de populções não normis uniprmétrics

2 Sumário Cpítulo 7 - Estimção por intervlos PE Cpítulo 7 - Estimção por intervlos Noções básics Pr lém dum estimtiv pontul de um prâmetro (ou de um relção entre prâmetros) é, em muits situções, importnte dispôr de lgum form de intervlo que indique confinç que se pode depositr n estimtiv pontul. Um Intervlo de Confinç (I.C.) pr um prâmetro desconhecido θ é um desiguldde do tipo l θ u onde l e u dependem do vlor observdo ˆθ (estimtiv pontul), e d distribuição por mostrgem d esttístic ˆΘ, usd pr estimr θ. A estimção por intervlo de um prâmetro θ consiste n determinção, prtir de um estimtiv pontul desse prâmetro, de um intervlo onde θ estej com um dd confinç. Obtém-se, então, um intervlo de confinç γ100% (ou com gru de confinç γ100%) pr o prâmetro θ. Not: um intervlo de confinç do tipo l θ u é chmdo bilterl (em lguns csos pode ser desejável considerr um intervlo unilterl, superior ou inferior). PE 4

3 7. Intervlos de confinç pr médi de um populção norml Considere-se um populção X tl que: E(X) = µ (desconhecido) V(X) = σ (conhecid) Sej (X 1,...,X n ) um.. de X com dimensão n e ˆµ = X o estimdor pontul de µ. Sbemos já que Z = X µ σ/ n N(0,1), se X N(µ,σ ) N(0,1), se X qulquer e n elevdo A situção considerd é irrelist ms é útil do ponto de vist pedgógico pr introduzir técnic. PE 5 7. (cont.) Um vez que distribuição de Z é completmente conhecid (é N(0,1), exctmente ou proximdmente), é possível determinr vlores e b tis que ( P b X ) µ σ/ n = 1 α = γ onde γ 1 (α 0). Notr que b é mínim qundo b = : f Z (z) f Z (z) γ γ b z b = z PE 6 3

4 7. (cont.) Fzendo b = tem-se ( P X ) µ σ/ n = γ P ( n σ X µ n σ ) = γ ( P X σ µ X + σ ) = γ n n P ( [ µ X σ ; X + σ ]) = γ n n Determinção de : 1 γ f Z (z) γ 1 γ z Φ() = 1 1 γ = Φ 1 ( 1+γ = 1+γ ) PE 7 7. (cont.) [ ICA γ 100% (µ) = X σ ; X + σ ] n n é um intervlo de confinç letório γ 100% pr µ. Qundo se substitui X por x (vlor observdo d médi de um mostr letóri) pssmos ter um intervlo concreto chmdo intervlo de confinç γ 100% pr µ: IC γ 100% (µ) = [ x n σ ; x+ n σ ] Not: foi possível obter este intervlo porque su construção prtiu de um vriável letóri, Z, que possui s seguintes crcterístics: depende pens do prâmetro desconhecido (já que ssumimos que σ é conhecido) e d mostr letóri (trvés de X) tem distribuição conhecid (N(0, 1)) Um v.. nests condições chm-se vriável letóri fulcrl (ou pivot). PE 8 4

5 7. (cont.) Exemplo: Suponh-se que o vlor de um cert constnte c pode ser obtido experimentlmente ms com um erro de medição que se sbe ter distribuição norml de médi zero e desvio pdrão 1. Form relizds 10 medições independentes (ns mesms condições experimentis) tendo-se obtido mostr: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 () Determinr um intervlo de confinç 95% pr c Sej X v.. que represent o resultdo d medição. Tem-se X = c+ǫ, onde ǫ N(0,1) represent o erro de medição. Logo X N(c,1). x = 10 i=1 x i/10 = 10.1 = Φ 1 (0.975) = 1.96 (tbel ou clculdor) IC 95% (c) = [ ; ] = [9.48;10.7] PE 9 7. (cont.) (b) Determinr qul menor dimensão d mostr, n, que permite grntir com 95% de confinç que x c 0.5 IC γ 100% (c) = [ x σ ; x+ σ ] n n x c σ n podemos determinr n tl que com = 1.96 e σ = 1, obtém-se n = σ ( σ ) = 0.5 n = n 0.5 A respost é n = 6 (pois σ/ n é um função decrescente de n). PE 10 5

6 7. (cont.) Observções: O intervlo de confinç (numérico) obtido pode ou não conter o verddeiro vlor do prâmetro µ. O que se pode grntir é que pr um número muito grnde de intervlos de confinç construídos pr um ddo nível de confinç, γ 100%, se esper que proximdmente um proporção γ contenh o verddeiro vlor de µ (que continurá, no entnto, ser desconhecido). Qunto menor for o comprimento do intervlo de confinç mior será precisão d médi (estimtiv pontul de µ). Se umentrmos o gru de confinç (γ), com n e σ fixos, ument e consequentemente o comprimento do intervlo. Não fz sentido escolher γ = 1 pois obtém-se = +. Qundo n ument, mntendo fixos γ e σ, o comprimento do intervlo diminui. PE (cont.) O que fzer qundo σ é desconhecido? (situção mis relist). Não se pode usr v.. fulcrl ( X µ)/(σ/ n) porque σ é desconhecido. Um procedimento lógico é substituir σ por S (desvio pdrão mostrl), ou sej, usr v.. fulcrl X µ S/ n Ms qul será o efeito produzido por est modificção? Não é mesm vriável letóri (não tem mesm distribuição)! Se n for grnde (n 30) pode mostrr-se (Teor. de Slutsky) que o efeito é pequeno e tem-se Z = X µ S/ n N(0,1) quer pr X N(µ,σ ), quer pr X qulquer (com E(X) = µ e V(X) = σ ). Ou sej, o I.C. (proximdo) clcul-se exctmente como o nterior, substituindo σ por s (desvio pdrão d mostr concret). PE 1 6

7 7. (cont.) Se n < 30 o problem não é solúvel no cso gerl (isto é, desconhecendo o tipo de distribuição d populção). Se X N(µ,σ ) o teorem seguinte fornece o resultdo que se pretende. Teorem: Dd um.. (X 1,...,X n ) de um populção X N(µ,σ ), vriável letóri T = X µ S/ n tem distribuição t-student com n 1 grus de liberdde, T t n 1. PE (cont.) Algums nots sobre distribuição t 1. Um v.. com distribuição t com k grus de liberdde tem função de densidde de probbilidde dd por f(x) = ( ) (k+1)/ Γ[(k +1)/] 1+ x, x R πkγ(k/) k (k > 0 é o prâmetro d distribuição). Pode mostrr-se que se T t k então E(T) = 0 (k > 1) e V(T) = k k. Γ( ) represent função gm definid por Γ(x) = + 0 x r 1 e x dx, r > 0 (k > ) (se r inteiro Γ(r) = (r 1)!) Notr que frcção que prece em f(x) é pens constnte necessári pr que + f(x)dx = 1. PE 14 7

8 7. (cont.) Algums nots sobre distribuição t 3. f(x) k = k = 100 k = 30 k = 5 k = 3 k = x 4. É fácil provr que lim f(x) = 1 e x / (f.d.p. d N(0,1)) n π 5. Os percentis d distribuição t encontrm-se tbeldos (tmbém podem ser obtidos por clculdor ou softwre de cálculo científico) PE (cont.) Voltndo à construção do I.C. e procedendo d form hbitul: ( P X ) ( µ S/ n = γ P X S µ X + S ) = γ n n [ logo ICA γ 100% (µ) = X S ; X + S ( ) 1+γ ], onde = F 1 n n t n 1. Dd um mostr concret (x 1,...,x n ) obtém-se então o I.C. pr médi de um populção norml com vriânci desconhecid IC γ 100% (µ) = [ x s ; x+ s ] n n n i=1 onde x = x n i e s i=1 = (x i x) n i=1 = x i n x n n 1 n 1 PE 16 8

9 7. (cont.) Observções: 1. A interpretção é semelhnte à que foi feit nteriormente pr o cso σ conhecido.. Se γ umentr, com n fixo, o comprimento do intervlo ument. 3. Se n umentr, com γ fixo, esper-se que o comprimento do intervlo diminu, ms não se pode grntir que isso conteç sempre, pois s vri de mostr pr mostr. PE (cont.) 4. Determinção de n pr um ddo erro máximo E (com γ fixo). Tl como no último exemplo (b) é fácil ver que ( s ) x µ E n E Dificulddes: ( ) 1+γ i) tmbém depende de n, pois = F t 1 ; n 1 Solução: resolução por tenttiv-erro ou itertivmente (ver exemplo seguir). ii) s é desconhecido ntes de se ter mostr; Solução: obter um mostr preliminr pr ter um idei do vlor que s pode vir ter. Se necessário proceder itertivmente. PE 18 9

10 7. (cont.) O exemplo nterior, supondo σ desconhecido (como é gerlmente o cso): Exemplo: O vlor de um cert constnte c pode ser obtido experimentlmente ms com um erro de medição que se sbe ter distribuição norml de médi zero e desvio pdrão σ. Dds s seguintes 10 medições independentes: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 () Determinr um intervlo de confinç 95% pr c Como se viu trás X N(c,σ ) e x = 10.1 s = 10 i=1 x i = = Ft 1 9 (0.975) =.6 (tbel ou clculdor) [ IC 95% (c) = ; ] = [9.4;10.96] PE (cont.) (b) Determinr qul menor dimensão d mostr, n, que permite grntir com 95% de confinç que x c 0.5 Começmos por determinr n tl que Admitindo s = 1. (é o único disponível) com =.6 obtém-se n = s ( s ) = 0.5 n = n 0.5 com n = 118 vem = Reclculndo obtém-se n = 90.4 com n = 91 vem = Reclculndo obtém-se n = 90.9 Logo solução é n = 91. Vlores obtidos no softwre R com qt(0.975,n-1) PE 0 10

11 7.3 Intervlos de confinç pr diferenç de dus médis de populções normis Consider-se gor situção em que se pretendem comprr dus populções (métodos, experiêncis, mteriis, etc.) e pr isso constrói-se um intervlo de confinç pr diferenç entre os vlores esperdos ds dus populções. Notção: X 1 represent populção 1, com E(X) = µ 1 e V(X) = σ 1 X represent populção, com E(X) = µ e V(X) = σ (X 11,X 1,...X 1n1 ) é um mostr letóri d populção 1, com médi X 1 = n1 i=1 X 1i n 1 (X 1,X,...X n ) é um mostr letóri d populção, com médi X = n i=1 X i n PE (cont.) O estimdor pontul mis nturl de µ 1 µ é X 1 X. Por outro ldo já sbemos que Se X 1 N(µ 1,σ 1 ) e X N(µ,σ ) então X 1 N ( ) µ 1, σ 1 n 1 e X N ( ) µ, σ n Se X 1 e X tiverem outr qulquer distribuição então, pelo T.L.C. tem-se ) ( ) X 1 N (µ 1, σ 1 e X N µ, σ n 1 n (consider-se que se obtém um proximção rzoável pr n 1 30 e n 30) PE 11

12 7.3 (cont.) Se s mostrs forem independentes então X 1 e X são v.. independentes cd um dels com distribuição norml (ou proximdmente) pelo que X 1 X N ( ) µ 1 µ, σ 1 + σ n 1 n (ou ) o que é equivlente Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ 1 n 1 + σ n N (0,1) (ou ) Se σ1 e σ forem mbs conhecids est v.. pode ser directmente usd como ( ) v.. fulcrl. Procedendo d form hbitul (determinção de ICA) obtém-se, com = Φ 1 1+γ, (se então é em vez de =) σ1 IC γ 100% (µ 1 µ )= ( x 1 x ) + σ σ1 ;( x 1 x )+ + σ n 1 n n 1 n PE (cont.) Observções: Mntêm-se s observções feits n secção 7. propósito do I.C. pr µ com σ conhecido, e reltivs à interpretção do intervlo e à vrição do comprimento do intervlo. Qunto à determinção d dimensão d mostr tl que, com confinç γ 100% ( x 1 x ) (µ 1 µ ) E não existe um solução únic pr n 1 e n geris, ms se quisermos n 1 = n = n obtém-se ( ) n (σ E 1 +σ) PE 4 1

13 7.3 (cont.) Se σ1 e σ forem mbs desconhecids (o que é o mis comum) v.. nterior já não pode ser directmente usd como v.. fulcrl. Procede-se então de form semelhnte o que foi feito n secção 7., qundo se pretendi um I.C. pr médi de um únic populção. Se n 1 30 e n 30 pode usr-se, sej qul for distribuição de X 1 e X (norml ou outr), o seguinte resultdo, justificdo pelo T.L.C. e pelo Teorem de Slutsky Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S 1 n 1 + S n N (0,1) ( Obtém-se então, com = Φ 1 1+γ ), IC γ 100% (µ 1 µ ) ( x 1 x ) s 1 + s s 1 ;( x 1 x )+ n 1 n + s n 1 (não esquecer que se continu ssumir mostrs independentes) PE 5 n 7.3 (cont.) Se σ 1 e σ forem mbs desconhecids e n 1 < 30 ou n < 30 o problem só tem solução no cso em que X 1 N(µ 1,σ 1 ) e X N(µ,σ ) e mesmo ssim pr se obter um v.. fulcrl com distribuição exct é necessário supor que, embor mbs s vriâncis sejm desconhecids, se verific σ 1 = σ = σ (est suposição é rzoável em muits situções reis, e lém disso pode ser testd). Notr que X 1 X continu ser o estimdor pontul de µ 1 µ e, ddo que σ1 = σ = σ, result ( V( X 1 X ) = σ 1 + σ 1 = σ + 1 ) n 1 n n 1 n PE 6 13

14 7.3 (cont.) De qulquer modo é necessário estimr σ. Um estimdor nturl (centrdo) obtém-se combinndo s vriâncis mostris ˆσ = S p = (n 1 1)S 1 +(n 1)S n 1 +n Note-se que qundo n 1 = n result ˆσ = (S 1 +S )/. Sbemos já que ( X 1 X ) (µ 1 µ ) N (0,1) σ 1 n n Pode mostrr-se que substituindo σ pelo seu estimdor S p se obtém T = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S p 1 n n t n1 +n PE (cont.) Finlmente obtém-se (continundo ssumir mostrs independentes): ] IC γ 100% (µ 1 µ )= [( x 1 x ) s p + 1n1 1n ;( x 1 x )+s p + 1n1 1n com s p = (n 1 1)s 1 +(n 1)s n 1 +n ( ) 1+γ e = Ft 1 n 1 Observções: 1. A determinção d dimensão d mostr é mis complicd (há dus dimensões determinr, n 1 e n, s vriâncis são desconhecids e depende de n 1 e n por ser distribuição t).. E se não for rzoável dmitir que σ 1 = σ = σ? Este problem, conhecido por problem de Behrens-Fisher, não tem solução exct. Há soluções proximds, ver bibliogrfi, p.ex. Montgomery e Runger (003) (não fz prte do progrm). PE 8 14

15 7.3 (cont.) Exemplo: Um mesmo tipo de mteril pode ser dquirido dois fbricntes. As vriáveis de interesse são resistênci mecânic do mteril (em uniddes convenientes) pr cd fbricnte. Pr comprr os seus vlores médios obteve-se (por mostrgem letóri) um mostr de cd: Fbricnte 1 Fbricnte n 1 = 15 n = 18 x 1 = 8.73 x = 8.68 s 1 = 0.35 s = 0.40 Com o objectivo de judr decidir qul dos dois fbricntes é melhor (ou sej, fornece mteril com mior resistênci médi) pretende-se clculr um intervlo de confinç 95% pr diferenç entre os vlores médios ds resitêncis dos mteriis. PE (cont.) Sejm: X 1 v.. que indic resistênci do mteril produzido pelo fbricnte 1 X v.. que indic resistênci do mteril produzido pelo fbricnte Admitimos que (hipóteses de trblho): X 1 N(µ 1,σ1 ) e X N(µ,σ ) s dus mostrs são independentes σ 1 = σ = σ (prece rzoável porque s 1 e s são d mesm ordem de grndez) PE 30 15

16 7.3 (cont.) A estimtiv de σ é s p = = Pr γ = 0.95, vem = F 1 t 31 (0.975) =.04 (n 1 +n = 31) e IC 95% (µ 1 µ ) = [ ; ; = [ 0.39; 0.49] ] Podemos então firmr (com 95% de confinç) que não existe grnde diferenç entre resistênci médi do mteril produzido pelos dois fbricntes (ou, não há evidênci de que um sej superior o outro). PE Intervlo de confinç pr vriânci de um populção norml Considere-se um populção X N(µ,σ ) e um mostr letóri dess populção, (X 1,...,X n ). Pretende-se determinr um I.C. 100 γ% de confinç pr σ. O estimdor pontul de σ é S. A v.. fulcrl obtém-se do teorem seguinte. Teorem: Dd um.. (X 1,...,X n ) de um populção X N(µ,σ ), vriável letóri Q = (n 1)S σ tem distribuição do qui-qudrdo com n 1 grus de liberdde, Q χ n 1. PE 3 16

17 7.4 (cont.) Algums nots sobre distribuição do qui-qudrdo 1. Um v.. com distribuição χ com k grus de liberdde tem função de densidde de probbilidde dd por f(x) = 1 k/ Γ(k/) xk/ 1 e x/, x > 0 (k > 0 é o prâmetro d distribuição). Pode mostrr-se que se Q χ k então E(Q) = k e V(Q) = k. Γ( ) represent função gm definid nteriormente (slide 69). Mis um vez frcção que prece em f(x), [ k/ Γ(k/) ] + 1, é pens constnte necessári pr que f(x)dx = 1. PE (cont.) Algums nots sobre distribuição do qui-qudrdo 3. f(x) k = k = 4 k = x 4. Os percentis d distribuição χ encontrm-se tbeldos (tmbém podem ser obtidos por clculdor ou softwre de cálculo científico) PE 34 17

18 7.4 (cont.) Pr construir um I.C. 100 γ% pr σ prte-se de P ( Q b) = γ Como foi dito nteriormente existem infinitos pres de vlores (, b) que verificm est condição. Um vez que distribuição não é simétric (e é só positiv) não há um form gráfic simples de obter um relção entre e b, tl que b sej mínim. Tmbém não há um solução nlític explícit. Us-se então, por nlogi, f Q (q) : P(Q < ) = 1 γ = F 1 χ n 1 ( 1 γ ) 1 γ γ 1 γ b : P(Q > b) = 1 γ b = F 1 χ n 1 ( 1+γ ) b q PE (cont.) Finlmente e tem-se ind P ( (n 1)S σ ) ( [ (n 1)S b = γ P σ ]) ; (n 1)S = γ b [ ] (n 1)s IC γ 100% (σ ) = ; (n 1)s b [ ] (n 1)s (n 1)s IC γ 100% (σ) = ; b PE 36 18

19 7.4 (cont.) Exemplo: X N(c,σ ). 10 medições independentes: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 Determinr um intervlo de confinç 99% pr σ 10 Como se viu x = 10.1 e s i=1 = x i D tbel (ou clculdor): = = 1.44 = F 1 (0.005) = χ 9 b = F 1 (0.995) = 3.59 χ b Obtém-se então: [ 1.96 IC 99% (σ ) = 3.59 ; 1.96 ] = [0.549;7.47] e IC % (σ) = [0.74;.73] PE Intervlos de confinç pr prâmetros de populções não normis uniprmétrics Qundo s populções não são normis obtenção de v..(s) fulcris (ou pivots) não é fácil. Ms pode-se, em princípio, (se se trtr de um prâmetro relciondo com o vlor esperdo) usr v.. fulcrl bsed no Teorem do Limite Centrl (TLC), e obter intervlos de confinç proximdos pr o prâmetro de interesse. Sej (X 1,...,X n ) um.. de dimensão n (suficientemente grnde) proveniente d populção f X (x;θ). Se considerrmos v.. S n = n i=1 X i então Z = S n E(S n ) V (Sn ) = X E ( X) V ( X) = X E(X) V(X) n N (0,1), em que E(X) e V(X) dependem do prâmetro de interesse θ. PE 38 19

20 7.5 Intervlos de confinç pr prâmetros de populções não normis uniprmétrics Exemplos de plicção: Intervlo de confinç pr um proporção (prâmetro p d distribuição de Bernoulli). Intervlo de confinç pr o prâmetro d distribuição exponencil. Intervlo de confinç pr o prâmetro d distribuição Poisson. Outrs situções de distribuições uniprmétrics ns quis se poss plicr v.. fulcrl nterior. De seguid exemplific-se pr s primeirs dus situções (pop. Bernoulli e exponencil). PE Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Considere-se um populção muito grnde ou infinit. Sej p proporção (desconhecid) de indivíduos/objectos dess populção que pertencem um dd ctegori de interesse. Exemplos: Populção Ctegori Peçs ser defeituos Eleitores vot no prtido ABC Hbitntes tem doenç XYZ O modelo pr est situção é X Ber(p), onde X tom o vlor 1 (pertence à ctegori de interesse) com probbilidde p e o vlor 0 (não pertence à ctegori de interesse) com probbilidde 1 p. PE 40 0

21 7.5 Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Dd um mostr letóri d vriável X, (X 1,...,X n ), sbemos já que (ver Cpítulo 6) o estimdor pontul de p é n i=1 ˆP = X i = Y n n = X onde Y = n i=1 X i é o número de sucessos n mostr letóri Ddo que E(X) = p e V(X) = p(1 p) (vlor esperdo e vriânci d distribuição de Bernoulli, ver Cpítulo 3), conclui-se então que Z = X E(X) V(X) n = ˆP p p(1 p) n N(0,1) Not: est mesm v.. fulcrl podi ser obtid prtir de Y Bin(n,p) e usndo em seguid proximção d binomil pel norml. PE Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Procedendo d form hbitul, prte-se de ( ) P ˆP p 1+γ p(1 p) γ, com = Φ 1 n pr chegr um desiguldde com p isoldo. Depois de lguns cálculos envolvendo equções do. o gru, obtém-se ( [ nˆp+ P p +4nˆp(1 ˆp) (n+ ; nˆp+ + ]) +4nˆp(1 ˆp) ) (n+ γ ) Est expressão não é que é trdicionlmente utilizd pr obter um IC 100 γ% (p) proximdo. É no entnto que é usd no softwre R (comndo prop.test) e é tmbém que se deveri usr pr vlores de n não muito elevdos (n < 100). PE 4 1

22 7.5 Cso I: intervlo de confinç pr um proporção A vriável letóri fulcrl usul é seguinte Z = ˆP p ˆP(1 ˆP) n N(0,1) qul result d plicção do Teorem de Slutsky à vriável nterior. Dest vriável obtém-se então P ˆP p ˆP(1 ˆP) γ P ˆP(1 ˆP ˆP) p n ˆP + ˆP(1 ˆP) γ n n PE Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Logo o intervlo letório é ICA γ 100% (p) ˆP(1 ˆP ˆP) ; n ˆP ˆP(1 + ˆP) n e o intervlo de confinç pr um mostr concret [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IC γ 100% (p) ˆp ; ˆp+ n n PE 44

23 7.5 Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Exemplo: Populção de eleitores portugueses. Sondgem (letóri) 100 eleitores revelou que 683 tencionm votr no prtido ABC. Determinr e.m.v. de p (proporção de eleitores n populção que tencionm votr no prtido ABC) e um I.C. proximdo 95% pr p. ˆp = 683/100 = (ver Cpítulo 6) γ = 0.95 = Φ 1 (0.975) = 1.96 [ 0.569( ) IC 95% (p) ; ( ) 100 ] = = [0.541; 0.597] Not: Est informção pode ler-se d form que é usulmente presentd ns fichs técnics ds sondgens divulgds nos meios de comunicção socil: o erro máximo pr 0.569( ) um nível de confinç de 95% é.8% (= %). 100 PE Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Observções: Se em vez dest v.. fulcrl tivéssemos usdo primeir, o intervlo obtido só se distingui deste prtir d 4. cs deciml: slide nterior: IC 95% (p) [ ; ] pel primeir expressão presentd: IC 95% (p) [ ; ] PE 46 3

24 7.5 Cso I: intervlo de confinç pr um proporção Dimensão d mostr: Pretende-se, como foi feito noutros csos nteriormente, determinr o menor vlor de n que grnte um cert precisão com um ddo nível de confinç ms p desconhecido! Soluções: ( ) p(1 p) ˆp p E n E usr um estimtiv preliminr de p, obtid p.ex. num mostr reduzid usr o vlor de mis desfvorável que é p = 1/, correspondente p que mximiz função p(1 p). Este vlor grnte o resultdo pr qulquer p ms pode ser demsido elevdo (gstndo ssim recursos desnecessários) se o verddeiro p não estiver próximo de 0.5. PE Cso II: Intervlo de confinç pr o prâmetro d distribuição exponencil Exercício 7.1: Considere um populção X com distribuição exponencil com vlor esperdo α 1, α > 0. Observd um mostr de dimensão 100 obteve-se x =.5. Deduz, com bse nest mostr, um intervlo de confinç 95% pr o prâmetro α. Ddo que E(X) = α 1 e V(X) = α tem-se Z = X E(X) V(X) n = X α 1 α 1 / n = n ( α X 1 ) N(0,1) γ = 0.95 = Φ 1 (0.975) = 1.96 ( / n P( 1.96 Z 1.96) 0.95 P α / ) n 0.95 X X ] Concretizndo: IC 95% (α) = [0.316; ] [ / ; / PE 48 4