TEORIA MICROECONÔMICA I N

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA ECO 3 TEORIA MICROECONÔMICA I N PROFESSOR: JULIANO ASSUNÇÃO TURMA: JA Minimizção de Custos. Conts com Co-Dougls. Considere um firm que produz o produto y trvés d função de produção f(x) = x x. Sej w e w o preço dos ftores e p o preço do produto finl. () Monte o prolem de mximizção de lucros d firm. Clcule TMST. Encontre demnd pelos ftores. (Bsedo no pêndice do cp.9 do Vrin) Π(p, w) = mx pf(x, x ) w x x mx px x w x x CPO: (x ) p df(x, x ) dx = px x = w (x ) p df(x, x ) = px { dx x = Multiplicndo (x) por x e (x) por x: TMST = x x x x = w px x = py = w x x = p y w px x = py = x x = p y Aind não é solução porque ind tem o y, que é endógeno. Sustituindo em f(x,x): ( py ) ( py ) w = y ( p ) ( p ) w y + = y Isolndo o y encontrmos ofert d firm e solução do prolem em função dos prâmetros exógenos do modelo, w,w e p:

2 y = ( p p ) ( ) w A demnd pelos ftores é fcilmente clculd sustituindo y de volt n equção de x * e x *. () Monte o prolem de minimizção de custo d firm. Clcule TMST. Encontre demnd condicionl pelos ftores. (Bsedo no pêndice do cp.0 do Vrin) C(y, w) = min w x + x s.. f(x, x ) = y min w x + x λ(x x y) CPO: { (x ) λ df(x, x ) dx = λx x = w (x ) λ df(x, x ) dx = λx x = (λ) x x = y Multiplicndo (x) por x e (x) por x: TMST = x x x x = w λx x = λy = w x x = λ y w λx x = λy = x x = λ y Aind não é solução porque ind tem o λ, que é endógeno. Sustituindo n restrição: ( λy w ) ( λy ) = y λ = ( w y ) Sustituindo de volt n equção de x * e x *, otemos solução do prolem : demnd por ftores em função dos prâmetros exógenos w, w e y. x (w,, y) = ( ) + w + + y + x (w,, y) = ( ) + + w w + y + + (c) A minimizção de custos é condição necessári e suficiente pr grntir mximizção de lucros. Ess firmção é verddeir ou fls? Justifique usndo respost dos itens nteriores. Fls. É necessári, ms não é suficiente. A minimizção de custo não é suficiente porque não resolve o prolem de escolher o nível ótimo de produção que mximiz o lucro. A solução do prolem de minimizção é demnd por ftores em função de w e y. Já solução d mximizção de lucros é demnd por ftores em função

3 de w e p. A minimizção de custo é necessári porque resolve o prolem do uso ótimo dos insumos pr cd nível de produção. Note que mos os prolems têm CPO precids, com λ no lugr de p. Nos dois csos escolh ótim us tecnologi mis rt: segue regr de que TMST entre dois ftores é igul à rzão entre seus preços.. Apresente um função de produção f, um vetor de insumos z e preços de insumos w tis que z é solução do prolem de minimizção de custo pr um determindo nível de produto y, ms não fz prte d solução do prolem de mximizção de lucro d firm pr nenhum preço do produto. Qulquer tecnologi com retornos crescentes de escl. Por exemplo, função de produção que us o insumo z pr produzir y seguindo f(z) = z. 3. Considere s seguintes funções de produção: f(z) = z+z f(z) = min{z,z} f(z) = z z () Quis presentm retornos constntes de escl? As dus primeirs presentm, e terceir tmém qundo +=. () Clcule função custo e demnd condicionl por ftores pr cd um dels. Tecnologi com (insumos) sustitutos perfeitos, y = f(z) = z + z: z = { y se w 0 c. c ; z = { y se w 0 c. c C(w,, y) = min {w y, y} Tecnologi com (insumos) complementos perfeitos, y = f(z) = min{z,z }: min{z, z } = y z = z = y C(w,, y) = (w + )y Tecnologi Co-Dougls. Feito n questão 5(). Só flt usr solução pr clculr função custo: C(w,y) = wx * + wx *. Resolvendo fic: c(w, y) = [( ) + + ( ) + ] w + + y + 4. Considere um firm com função de produção f(x, x ) = x 3 x 3 e sej w o preço do ftor, o preço do ftor e y o nível de produto. () Monte o prolem de minimizção de custos e otenh s funções de demnd condicionds dos ftores no longo przo. min w x + x sujeito y = x /3 /3 x,x x min w x + x + λ(x 3 3 x y)

4 x = ( )/3 w /3 /3 y x = ( ) /3 w /3 w /3 y () Clcule função custo no longo przo. c(w,, y) = w x + x c(w,, y) = [( ) 3 + ( ) 3 ] w /3 /3 y rendimentos constntes de escl (c) No curto przo, o ftor está fixo de tl mneir que x = 7 3. Supondo w = =, clcule o custo mínimo de produzir 4 uniddes do produto no curto przo. x 3 ( 7 /3 3) = 4 x = ( 4 3 4) 9 c = x + x = 5,04 +,46 = 7,5 = ~,46 (d) Verifique que o resultdo otido no item (c) é igul o vlor d função custo no longo przo qundo w =, = e y = 4. Por que isso ocorre? c = [( /3 ) + ( /3] ) 4 =,89(4) = ~7,5 Isso ocorre porque x = 7 3 é escolh ótim pr produzir y = 4 qundo firm pode mudr x e x (no longo przo). Sustitu x = 7 3 n demnd condiciond de x clculd em () pr verificr. 5. Um firm tem dus fárics com função custo c(y) = y / e c(y) = y. Qul é função custo d firm? y y,y min + y λ(y + y q) CPO: (y ) y = λ; (y ) = λ y = y = q q c(q) = { se q q se q > 6. Um firm us 4 insumos pr produzir um produto. A função de produção é f(x,x,x3,x4) = min{x,x} + min{x3,x4}. () Qul é o vetor de demnd condicionl por ftores pr produzir unidde de produto qundo o vetor de preços é w = (,,3,4)? x = (,,0,0) () Qul é função custo? c(w,y) = min{w+w, w3+w4}y (c) Ess tecnologi tem que tipo de retornos de escl? Retornos constntes de escl: f(tx,tx,tx3,tx4) = min{tx,tx} + min{tx3,tx4} = t[min{x,x} + min{x3,x4}] = tf(x,x,x3,x4)

5 (d) Um outr firm tem função de produção f(x,x,x3,x4) = min{x+x,x3+x4}. Como mudm s resposts nteriores? x = (,0,,0). c(w,y) = (min{w,w}+min{w3,w4})y. Continu com retornos constntes de escl: f(tx,tx,tx3,tx4) = min{t(x+x), t(x3, x4)} = t[min{x+x, x3+x4}] = tf(x,x,x3,x4).