CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Dr. Yr de Souz Tdno

2 Aul 0 0/04 Sistems de Equções Lineres Prte

3 MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico /9

4 MOTIVAÇÃO Os métodos itertivos ou de proimção fornecem um lterntiv os métodos de eliminção vistos. Eles utilizm menos memóri dos computdores; Podem reduzir os erros de rredondmento n solução obtid por métodos etos; Em lguns csos, podem ser plicdos pr resolver conjuntos de equções não-lineres; No cso d mtriz dos coeficientes ser esprs, drão bos proimções. Cálculo Numérico 4/9

5 Os métodos itertivos são semelhntes às técnics de obtenção de rízes de um únic equção. Consistem em escolher um vlor e, então, usr um método sistemático pr obter um estimtiv refind d riz. Cálculo Numérico 5/9

6 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Cálculo Numérico 6/9

7 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Vmos supor, por simplicidde, um sistem de equções e incógnits: E : b E : b E : b Cálculo Numérico 7/9

8 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Se os elementos d digonl forem todos não-nulos, é possível isolr em E ; em E e em E. b b b Cálculo Numérico 8/9

9 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Podemos, então, escolher proimções iniciis pr os s e resolver ests equções. Um form simples é supor que os vlores de são todos nulos. Estes zeros são usdos pr clculr novos vlores pr: b b b Cálculo Numérico 9/9

10 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Então, substitui-se estes novos, e, pr obter novos vlores. Repete-se o processo té que solução convirj pr vlores suficientemente próimos dos vlores verddeiros. Cálculo Numérico 0/9

11 CRITÉRIO DE PARADA Como sber se os vlores estão próimos dos vlores verddeiros? j j i i 00%, i j s i pr todo i, onde j e j representm iterção tul e nterior. Cálculo Numérico /9

12 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Cálculo Numérico /9

13 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Este é o método itertivo mis comumente usdo. Vmos supor, por simplicidde, um sistem de equções e incógnits: E : b E : b E : b Cálculo Numérico /9

14 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Se os elementos d digonl forem todos não-nulos, é possível isolr em E ; em E e em E. b b b Cálculo Numérico 4/9

15 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Podemos, então, escolher proimções iniciis pr os s e resolver ests equções. Um form simples é supor que os vlores de são todos nulos. Estes zeros são usdos pr clculr um novo vlor pr: b Cálculo Numérico 5/9

16 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Então, substitui-se este novo junto com = 0, pr obter um novo, e repete-se o processo pr clculr um nov estimtiv pr. Em seguid, volt-se pr primeir equção e todo o processo é repetido té que solução convirj pr vlores suficientemente próimos dos vlores verddeiros. Cálculo Numérico 6/9

17 Independente do tmnho do sistem, idei é mesm pr os dois métodos. Isol-se i d equção E i, em seguid supõe-se vlores iniciis pr os i e plic-se o método de Guss-Jcobi ou Guss Seidel. Cálculo Numérico 7/9

18 Eemplo Considere o sistem: 0, 0, 7 0, 0, 0, 0, 0 7,85 9, 7,4 A solução verddeir é:,,5, 7 Use o Método de Guss-Seidel pr obter solução proimd com e s = 0,0% Cálculo Numérico 8/9

19 Eemplo A tbel bio present os vlores de, e cd iterção. Iterção (j) (j) (j) (j), %, %, %,6667 -,7945 7,0056, ,4996 7,0009,5,8 0,076,0000 -, ,56 0,0 0, ,5 7 0,00 0, Cálculo Numérico 9/9

20 Algoritmo do método de Guss-Seidel ENTRADA: A (mtriz n n com jj 0, j =,..., n), b, proimção inicil (0), precisão, número máimo de iterções N. SAÍDA: solução proimd (m) = [ j (m) ] ou mensgem de flh. Psso : Pr m = 0,..., N, fç: Psso : Pr j =,..., n, fç: n m b m m j j jk k jk k k k j jj FIM Psso j novos ntigos Cálculo Numérico 0/9

21 Algoritmo do método de Guss-Seidel Psso : Se má j m m j j, então: FIM Psso SAÍDA: (m+) PARE (Procedimento concluído com sucesso). SAÍDA:. PARE (Procedimento concluído sem sucesso). Cálculo Numérico /9

22 À medid que cd novo vlor de é clculdo pelo método de Guss-Seidel, ele é imeditmente usdo n próim equção. Assim, se solução estiver convergindo, melhor estimtiv disponível será empregd. Cálculo Numérico /9

23 Pr clculr um conjunto de novos s com bse no conjunto de ntigos s. Método de Guss-Seidel Método de Guss-Jcobi Cálculo Numérico /9

24 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Cálculo Numérico 4/9

25 Critérios de convergênci Nos métodos itertivos são necessários critérios que grntm convergênci: Este critério é suficiente, ms não necessário pr convergênci. Cálculo Numérico 5/9

26 Critério ds Linhs É equivlente à mtriz dos coeficientes ser ii ij n j, ji, ou sej: é válid pr cd i =,,..., n. Cálculo Numérico 6/9

27 Critério ds Linhs Se mtriz dos coeficientes A, for ESTRITAMENTE DIAGONAL DOMINANTE, então os métodos de germ um sequênci { (k) } convergente pr solução do sistem, independente d escolh de (0). Cálculo Numérico 7/9

28 Eemplo Considere o sistem do Eemplo : 0, 0, 7 0, 0, 0, 0, 0 7,85 9, 7,4 Vmos plicr o critério ds linhs pr verificr convergênci. Cálculo Numérico 8/9

29 Um sistem convergir não signific que mtriz dos coeficientes é estritmente digonl dominnte. Cálculo Numérico 9/9

30 Eemplo Pr o sistem liner: O Método de Guss-Jcobi ger um sequênci convergente pr solução et: VERIFIQUE!!!!!! Cálculo Numérico 0/9

31 Eemplo Aplique o critério ds linhs pr verificr se ele é stisfeito pr este sistem. Vimos que =. Isto mostr que, o critério ds linhs é um condição, ms pr convergênci dos Métodos de Guss-Jcobi e Guss-Seidel. Cálculo Numérico /9

32 Eemplo 4 Pr o sistem liner: Veremos que o critério ds linhs não é stisfeito, porém um permutção de equções fz com que o critério sej stisfeito. Cálculo Numérico /9

33 Eemplo 4 Como o critério ds linhs é stisfeito qundo fzemos permutção entre s equções e, é conveniente plicrmos os est nov disposição do sistem, pois dest form convergênci está ssegurd. Cálculo Numérico /9

34 Eemplo 4 Podemos, então, concluir que sempre que o critério ds linhs não for stisfeito, devemos tentr um permutção de linhs e/ou coluns, de form obtermos um disposição pr qul mtriz dos coeficientes stisfç o critério ds linhs. No entnto, nem sempre é possível obter tl disposição. Cálculo Numérico 4/9

35 Ao fzer um troc de coluns, lembre-se de isolr o elemento d digonl principl pr plicr os Métodos de Guss-Jcobi e Guss-Seidel. Cálculo Numérico 5/9

36 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS Cálculo Numérico 6/9

37 CONVERGÊNCIA Métodos Diretos Convergênci grntid pr qulquer sistem não-singulr Métodos Itertivos Convergênci ssegurd pens sob determinds condições. Cálculo Numérico 7/9

38 ESPARSIDADE Métodos Diretos Durnte o processo de eliminção podem surgir elementos não-nulos em posições ij que originlmente erm nuls. Métodos Itertivos Principl vntgem é não lterr estrutur d mtriz dos coeficientes, então, neste cso é muits vezes preferível. Cálculo Numérico 8/9

39 ERROS DE ARREDONDAMENTO Métodos Diretos Sérios problems com erros de rredondmento, pr menizr usmos técnics de pivotemento Métodos Itertivos Somente os erros cometidos n últim iterção fetm solução Erros cometidos ns iterções nteriores não levrão à divergênci do processo, nem à convergênci um outro vetor que não solução Cálculo Numérico 9/9