UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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1 PR UIVERSIDADE TECOLÓGICA FEDERAL DO PARAÁ

2 ITEGRAIS IMPRÓPRIAS Adptdo de: HOFFMA, Lurence D. & BRADLEY, Gerld L. Cálculo: Um Curso Moderno e sus Aplicções. Rio de Jneiro: Set Edição, LTC Livros Técnicos e Científicos Editor S. A., 999. Com eceção ds plicções os softwres MAPLE e MATLAB. Objetivo: Estender o conceito de integrl definid pr integris d form: n qul o limite superior de integrção não é um número finito. Tis integris são conhecids como integris imprópris e surgem em diverss situções prátics. Interpretção Geométric: Se f é não-negtiv, integrl imprópri pode se interpretd como áre d região sob o gráfico de f à direit de = (vej s figurs seguir). Embor est região tenh um etensão infinit, su áre pode ser finit ou infinit, dependendo de quão rpidmente f() tende zero qundo cresce. Um bordgem rzoável pr encontrr áre de um região deste tipo é primeiro usr um integrl definid pr clculr áre de = té um número finito =, e então fzer tender o infinito n epressão resultnte. Isto é: Áre totl = lim( áre de té ) = lim Isto motiv seguinte definição: A Integrl Imprópri = lim Se o limite que define integrl imprópri é um número finito, integrl converge. De outr form integrl diverge. A seguir tem-se lguns eemplos:

3 Eemplos: ) Clcule Solução: Primeiro clcule integrl de e então fç tender o infinito. Orgnize seu trblho d seguinte form: lim lim = = lim = + = A seguir, tem-se solução usndo o softwre de mnipulção lgébric MAPLE. > restrt: > # De form diret: > plot(/^,=..infinity,color=blck); > Int(/^,=..infinity)=int(/^,=..infinity); = > # Usndo processo semelhnte o mnul: > Int(/^,)=epnd(int(/^,=..)); = + > Limit(-/+,=infinity)=limit(-/+,=infinity); lim + = 3

4 ) Clcule Solução: = lim = lim( [ ln ] ) = lim(ln ln0) { = lim(ln ) = A seguir, tem-se solução usndo o softwre de mnipulção lgébric MAPLE. > restrt: > # De form diret: > plot(/,=..infinity,color=blck); > Int(/,=..infinity)=int(/,=..infinity); = > # Usndo processo semelhnte o mnul: > Int(/,)=int(/,=..); = ln( ) > Limit(ln(),=infinity)=limit(ln(),=infinity); lim ln( ) = > plot(ln(),=0..50,y=-..6,color=blck); # REVISÃO DO GRÁFICO DO L 4

5 Conclusão dos dois primeiros eemplos: ote que integrl imprópri = do eemplo convergiu, enqunto d função = do eemplo divergiu. Em termos geométricos, isto signific que áre à direit de = sob curv y = é finit, enqunto áre correspondente sob curv y = é infinit. A rzão pr diferenç é que, qundo cresce, tende zero mis rpidmente do que. ovmente, usndo o softwre Mple, pr comprr os gráficos e ssim ilustrr o fto de um função convergir e d outr divergir. > plot([/^,/],=0..5,y=0..5,title="converge Diverge", legend=["y=/^", "y=/"]); Integris imprópris de outros tipos De form semelhnte, define-se tmbém s integris imprópris dos tipos: b (i) = lim n b (ii) f () = lim 0 + lim 0 ot: Estes tipos de integris são lrgmente empregdos no cálculo de probbilidde relcionds váris plicções n áre industril. Aplicções ds integris imprópris à Esttístic Algums ds plicções mis importntes d integrção pr s ciêncis sociis e biológics estão ns áres d probbilidde e esttístic. esse momento estmos interessdos em eplorr relção entre integrção e probbilidde. Integris imprópris representrão um ppel importnte nest discussão. Vriáveis letóris: A durção de vid de um lâmpd seleciond o cso de um estoque do fbricnte é um quntidde que não pode ser previst com certez. terminologi esttístic, o processo de selecionr 5

6 um lâmpd o cso é chmdo de um eperimento letório, e durção de vid d lâmpd é dit ser um vriável letóri. Em gerl, um vriável letóri é um número ssocido com o resultdo de um eperimento letório. Um vriável letóri que pode ssumir pens vlores inteiros é dit ser discret. O vlor de um crt de brlho seleciond o cso e o número de vezes que dá coro o se jogr um moed são vriáveis letóris discrets. Assim tmbém é o QI de um estudnte universitário seleciondo o cso, pois os QIs são medidos em números inteiros. Um vriável letóri que pode ssumir qulquer vlor em um determindo intervlo é dit ser contínu. Algums vriáveis letóris contínus são o tempo que um motorist seleciondo o cso esper em um sinl de trânsito, o intervlo de tempo entre s chegds de viões sucessivos seleciondos o cso no eroporto, e o tempo que lev pr que um pesso seleciond o cso prend um determind tref. O cálculo integrl é usdo no estudo ds vriáveis letóris contínus. Probbilidde: A probbilidde de um evento que pode resultr de um eperimento letóri é um número entre 0 e que especific chnce de ocorrênci do evento. Em prticulr, probbilidde é frção do tempo que o evento pode ser esperdo ocorrer se o eperimento for repetido um grnde número de vezes. Por eemplo, probbilidde de que um moed perfeitmente blnced jogd resulte em cr é de /, pois esper-se que este evento ocorr proimdmente / do tempo se moed for jogd repetidmente. Em um grupo contendo 3 homens e 0 mulheres, probbilidde é de 0/3 de que um pesso seleciond o cso sej um mulher. A probbilidde de um evento que não pode ocorrer é zero. Por eemplo, se você jogr um ddo comum, probbilidde de que você obtenh um número entre e 6, inclusive, é, enqunto probbilidde de obter um 7 é zero. Considere novmente o eperimento letório no qul um lâmpd é seleciond o cso de um estoque de um fbricnte. Um possível evento resultnte deste eperimento é que durção de vid d lâmpd seleciond sej entre 0 e 35 hors. Se X é vriável letóri que denot durção de vid de um lâmpd seleciond o cso, este evento pode ser descrito pel inequção 0 X 45, e su probbilidde denotd por P(0 X 45). Anlogmente, probbilidde de que lâmpd funcionrá por pelo menos 50 hors é denotd por P(X 50) ou P(50 X ). Função Densidde de Probbilidde (fdp) Um função densidde de probbilidde pr um vriável letóri contínu X é função nãonegtiv f com propriedde de que P( X b) sej áre sob o gráfico de f de = té = b. Um função densidde de probbilidde possível pr durção de vid de um lâmpd está esboçd no gráfico seguir. 6

7 Observe que form do gráfico reflete o fto de que miori ds lâmpds queimm reltivmente rápido. Por eemplo, probbilidde de que um lâmpd flhrá dentro ds primeirs 40 hors é representd pel áre sob curv entre = 0 e = 40. Isto é um número muito mior do que áre sob curv entre = 80 e = 0, que represent probbilidde de que lâmpd flhrá entre su 80 hor e 0 hor de uso. A propriedde básic ds funções densidde de probbilidde pode ser estbelecid em termos de integris que você usri pr clculr sus áres proprids. Função Densidde de Probbilidde (fdp): Um Definição Um função densidde de probbilidde pr um vriável letóri continu X é um função nãonegtiv f tl que: P( X b) = b Os vlores de e b nest formul não precism ser finitos. Se um ou outro for infinito, probbilidde correspondente é dd por um integrl imprópri. Por eemplo, probbilidde de que X sej mior ou igul que é: P( ) = P( X ) = A áre totl sob o gráfico de um função densidde de probbilidde deve ser igul. Isto é porque áre totl represent probbilidde de que X estej entre e +, o que é um evento que certmente ocorrerá. Está observção pode ser reescrit em termos de integris imprópris. Função Densidde de Probbilidde (fdp): Um propriedde Se f é um função densidde de probbilidde pr um vriável letóri continu X. + = O problem de determinr função densidde de probbilidde dequd pr um determind vriável letóri é um problem centrl d Teori d Probbilidde que está lém do escopo dest not de ul. Envolve técnics que podem ser encontrds n miori dos tetos sobre probbilidde e esttístic. 7

8 As figurs seguir form construíds no softwre de mnipulção numéric MATLAB. Os cálculos tmbém form obtidos por esse softwre =. e π (f. d. p.) Observções: ) f.d.p.: Função densidde de probbilidde ) Percentuis d Distribuição orml: - MAIS ou MEOS SIGMA = 68,7% - MAIS ou MEOS 3 SIGMA = 99,73% - MAIS ou MEOS SIGMA = 95,45% - MAIS ou MEOS 4 SIGMA = 99,99% 8

9 Utilizndo o softwre de mnipulção numéric MATLAB : Gerr o gráfico d função de distribuição norml pdronizd univrid ((0,): µ = 0 e σ = ). Determinr os percentuis de ±σ, ±σ, ±3σ e ±4σ. Solução: function y=fdp_norml() y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); function distr_norml_integrl Are_S=qud('fdp_norml',-,)*00; Are_S=qud('fdp_norml',-,)*00; Are_3S=qud('fdp_norml',-3,3)*00; Are_4S=qud('fdp_norml',-4,4)*00; disp([' MAIS ou MEOS SIGMA = 'numstr(are_s) '%']) disp([' MAIS ou MEOS SIGMA = 'numstr(are_s) '%']) disp([' MAIS ou MEOS 3 SIGMA = 'numstr(are_3s) '%']) disp([' MAIS ou MEOS 4 SIGMA = 'numstr(are_4s) '%']) puse =-4:0.0:4; y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); plot(,y,'b.') grid title('distribuição ORMAL UIVARIADA') lbel('eio X') ylbel('eio Y') %gtet('< ,99% >') puse hold on =-3:0.0:3; y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); plot(,y,'r.') %gtet('< ,73% >') puse hold on =-:0.0:; y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); plot(,y,'g.') %gtet('< ,44% >') puse hold on =-:0.0:; y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); plot(,y,'y.') %gtet('<-- 68,7% -->') legend('+ ou - 4 sigm','+ ou - 3 sigm','+ ou - sigm','+ ou - sigm') puse =-:0.0:; y=(/sqrt(*pi)*ep(-0.5*(.^))); re(,y) puse close > distr_norml_integrl MAIS ou MEOS SIGMA = 68.69% MAIS ou MEOS SIGMA = % MAIS ou MEOS 3 SIGMA = % MAIS ou MEOS 4 SIGMA = % 9

10 OUTRA FORMA: Usndo função MATLAB normpdf function norml =-3:0.0:3; y=normpdf(,0,); plot(,y) lbel ('Eio ') ylbel ('Eio y') title ('DISTRIBUIÇÃO ORMAL') grid %grde puse close formt bnk sigm=(normcdf(,0,)-normcdf(-,0,))*00; sigm=(normcdf(,0,)-normcdf(-,0,))*00; sigm3=(normcdf(3,0,)-normcdf(-3,0,))*00; sigm4=(normcdf(4,0,)-normcdf(-4,0,))*00; disp('percetuais DA DISTRIBUIÇÃO ORMAL ') disp([' MAIS ou MEOS SIGMA = 'numstr(sigm) '%']) disp([' MAIS ou MEOS SIGMA = 'numstr(sigm) '%']) disp([' MAIS ou MEOS 3 SIGMA = 'numstr(sigm3) '%']) disp([' MAIS ou MEOS 4 SIGMA = 'numstr(sigm4) '%']) Resultdos: PERCETUAIS DA DISTRIBUIÇÃO ORMAL MAIS ou MEOS SIGMA = % MAIS ou MEOS SIGMA = 95.45% MAIS ou MEOS 3 SIGMA = 99.73% MAIS ou MEOS 4 SIGMA = % 0