DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

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1 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 7.. Introdução As vriáveis letóris contínus são muito usds pr descrever fenômenos físicos, principlmente queles que envolvem o tempo. Este cpítulo presentrá s distribuições de probbilidde mis usds pr descrever funcionlidde entre s vriáveis letóris contínus. As distribuições contínus de probbilidde discutids qui são: distribuição norml ou gussin, distribuição eponencil, distribuição uniforme e distribuição gm. 7.. Distribuição Norml A distribuição norml foi estudd inicilmente no século 8, qundo um nálise de erros eperimentis levou um curv em form de sino. Embor el tenh precido pel primeir vez em 733 trvés de DeMoivre, distribuição norml recebe o nome de distribuição gussin, em homengem o cientist lemão Krl Friedrick Guss, que foi o primeiro utilizá-l em 809. Nos séculos 8 e 9, mtemáticos e físicos desenvolverm um função densidde de probbilidde que descrevi bem os erros eperimentis obtidos em medids físics. Est função densidde de probbilidde resultou n bem conhecid curv em form de sino, chmd de distribuição norml ou gussin. Est distribuição fornece um bo proimção de curvs de freqüênci pr medids de dimensões e crcterístics humns, como ltur de um populção. Um vriável letóri contínu, que ssum vlores entre - < <, tem um distribuição norml ou gussin se função densidde de probbilidde for dd por: ( µ σ ( f e pr - < <, - < µ < e σ > 0 ( πσ em que µ, médi d populção, e σ, desvio-pdrão, são prâmetros que especificm completmente um distribuição norml. Um form resumid de dizer que vriável tem distribuição norml é ~N(µ, σ. A form gráfic d Equção ( é mostrd n Figur 7., em que ordend é freqüênci reltiv e bsciss represent os vlores que vriável ssume. Cd curv de freqüênci norml é centrd n médi d populção, sendo simétric em torno deste ponto. Pr distribuição norml, mod e medin coincidem com médi. A curv norml nunc toc bsciss, um vez que f( não será zero no intervlo de - < <.

2 Figur 7. Curv Norml ou Curv de Freqüênci. Como foi dito nteriormente, os prâmetros µ e σ especificm completmente posição e form de um curv norml. A médi posicion o centro, enqunto o desvio-pdrão fornece o gru de dispersão. A Figur 7. present três curvs normis, representndo 3 diferentes populções. Pode-se observr influênci do desvio-pdrão no gru de dispersão d curv. Qunto mior o desvio-pdrão, mis chtd será curv. Figur 7. Influênci do Desvio-Pdrão n Form d Curv Norml. A áre bio d curv entre dois vlores d vriável represent probbilidde pr vriáveis contínus. Por eemplo, áre centrl é igul e isto signific dizer que eiste 68% de probbilidde d vriável está n fi de ±0.00 ou entre 0.99 e.00. Então função de distribuição de probbilidde norml é dd por: F ( yµ σ ( P( e πσ A Figur 7.3 present função densidde de probbilidde pr vriável, enqunto Figur 7.4 present função distribuição de probbilidde. Percebe-se que pr,0005, áre bio d curv, entre os pontos -,0005 é igul 0,695, o que corresponde o vlor d probbilidde de. Assim: F (.0005 P( (3 dy (

3 f( P(,00050,695 σ0,00 µ.0005 Figur 7.3 Função Densidde de Probbilidde Norml F(.0 0,695 F(,0005 0,695 µ,0005 Figur 7.4 Função Distribuição de Probbilidde A integrl d Equção ( não tem solução nlític, tendo-se que resolvê-l numericmente. Um form prátic de presentr solução pr est equção é usr tbels. A litertur present um tbel contendo s probbiliddes de um distribuição norml específic, chmd de distribuição norml pdrão. Est distribuição crcteriz um vriável letóri norml pdrão, chmd Z, representd por um curv norml com µ0 e σ. Conseqüentemente, Equção ( é modificd pr: Φ( z y z P( Z z e π Vlores tbeldos d integrl cim são ddos em neo. Por eemplo, probbilidde de Z ser menor ou igul.5 é igul : dy Φ(.5 P ( Z (5 A probbilidde de Z<5 é tmbém igul 0.933, um vez que Z é um vriável contínu e probbilidde de um simples ponto é igul zero neste cso. Assim, P(Z.50. A probbilidde de Z> é: P ( Z >.0 Φ( (6 A probbilidde de Z estr entre dois vlores é dd por: P ( z z Z z Φ( z Φ( (7 (4 3

4 A distribuição norml pdrão pode ser usd pr se obter probbilidde plicável qulquer distribuição norml. A seguinte mudnç de vriável deve ser feit: z µ (8 σ A função distribuição de probbilidde pr qulquer vriável letóri norml é igul : µ µ µ µ F ( P( Z z P P Z Φ (9 σ σ σ σ Eemplo : A forç (em Newton com que um tecido sintético se prte é representd por um distribuição norml, dd por: ~N(800,44. O comprdor do tecido requer que o mesmo tenh no mínimo um forç de ruptur igul 77 N. A mostr de tecido é escolhid letorimente. Clcule P( 77N. Solução: µ P( < 77 P P( Z σ P( Φ( (0 A Figur 7.5 present s distribuições norml e norml pdronizd. ( (b σ 44 σ 77 µ µ0 Figur 7.5 Distribuição Norml ( e Distribuição Norml Pdronizd (b. 7.. Vlor Esperdo e Vriânci O vlor esperdo e vriânci de um distribuição norml são epresss por: E ( µ ( Vr ( ( σ 7... Percentil de um Populção Considere um populção de esfers. Sej vriável letóri contínu que represent o diâmetro dests esfers. Considere que µ e σ 0,00. O diâmetro de modo que 95% ds esfers tenhm um diâmetro bio ou igul este diâmetro é clculdo por: µ + zσ (3 em que z,64, proimdmente, pr 0,95, pel tbel em neo. Então: * (4 Assim, tem-se que 95% de tods s esfers d populção têm diâmetros menores ou iguis,

5 7..3. Aproimção ds Distribuições Binomil e Hipergeométric pel Distribuição Norml As distribuições que tenhm s probbiliddes descrits por curvs em form de sino podem ser proimds pel distribuição norml, que é mis usd em esttístic Aproimção d Distribuição Binomil A equivlênci entre s distribuições binomil e norml é dd por: µ nπ (5 σ n π ( π (6 kµ k nπ z (7 σ nπ ( π A distribuição binomil cumultiv pode ser proimd pel distribução norml cumultiv, trvés d seguinte equção: k+ 0.5 nπ P ( k B( k Φ (8 nπ (π A Figur 7.6 present s distribuições cumultivs binomil e norml pr n0 e π0,40, em que distribuição binomil foi clculd pel Equção (0 do Cpítulo e su proimção foi clculd pel Equção (8 e os ddos d tbel em neo. Pel figur, percebe-se que proimção foi bo, mesmo pr um vlor bio de n. Vle ressltr que proimção deve ser usd qundo não se dispõe de vlores d distribuição cumultiv binomil, como por eemplo, n350 com π0,578 ou n00 com π0,035. Eemplo : Um problem comum em engenhri industril é decidir qundo repros n mquinri são necessários. Um mneir eficiente de detectr problems n linh de produção de um fábric é coletr mostrs tão logo os itens sejm produzidos. Um cervejri mostr rotineirmente 6 lts de cervej, fim de determinr se o número de lts cheis de form incomplet é grnde. Cd hor, um mostr de 00 lts é tird d linh de produção, sendo seus volumes precismente medidos. Considere o número de lts incomplets e π probbilidde de eistir lt incomplet. A polític d cervejri é: Prr produção e justr máquin, se >6; Continur o processo se 6. Verifique se s seguintes eigêncis form tendids: Pode hver no máimo 5% de chnce de prr o processo, se π0.03; b Deve hver no máimo 5% de chnce de continur o processo, se π0.0. 5

6 Figur 7.6 Funções de Distribuições de Probbilidde pr Distribuições Binomil e Norml Solução: P( > 6 π 0.03 P( 6 π 0.03 P( P( * > π Φ Φ( *0.03* ( 0.03 > 6 π < 0.05 (9 Assim, conclui-se que o item ( é stisfeito * 0.0 b ( P π Φ Φ( (0 00 *0.0 *( 0.0 que stisfz o item (b. A proimção d distribuição binomil pel distribuição norml é tnto melhor qunto mior for o vlor de n e tnto mis próimo de 0.50 for probbilidde de sucesso, π. Eistem lgums regrs usds pr sber se est proimção pode ser usd. Um dels diz que s dus condições bio devem ser stisfeits pr que se poss proimr distribuição binomil pel norml: nπ > 5 n(π > 5 ( Aproimção d Distribuição Hipergeométric Como já visto nteriormente, é possível usr distribuição binomil pr proimr distribuição hipergeométric. Neste cso, vriável z seri dd por: z nπ N n nπ (π N ( 6

7 7..4. Testes pr Distribuição Norml Muitos testes usdos em esttístic prtem do princípio que os ddos são provenientes de um populção norml. Dess form, testes esttísticos devem ser feitos pr verificr esse fto. Eistem os testes qulittivos e quntittivos. Dentre os testes qulittivos, eistem três gráficos que são comumente utilizdos: o de probbilidde norml (norml probbility plot, o d probbilidde norml positiv (hlf-norml probbility plot e o d probbilidde norml sem tendêncis (detrended norml probbility plot. O gráfico de metde d probbilidde norml consider pens os vlores positivos d vriável norml pdrão. O gráfico d probbilidde norml sem tendêncis remove tendênci liner ntes d elborção do gráfico. O seu objetivo é mostrr de form mis clr se eiste lgum tendênci de comportmento dos ddos. Todos os gráficos ordenm, de form crescente, o vlor d vriável em estudo (quel que se quer testr normlidde e o trnsform n vriável norml pdrão, clculd pel seguinte fórmul: 3 j z j Φ pr o gráfico d probbilidde norml (3 3n+ 3n+ 3 j z j Φ pr o gráfico d probbilidde norml positiv (4 6n+ j j µ 3 z j Φ pr o gráfico d probbilidde norml sem tendênci 3n+ s (5 As Figurs presentm esses gráficos gerdos pelo Sttistic, usndo o módulo Bsic Sttistics, Descriptive sttistics e selecionndo-se vriável Pressão. Cso os pontos cim próims à linh ret, pode-se dizer que os ddos seguem um distribuição norml. No cso d Figur 7.9, fic clro que não há qulquer tendênci crcterístic de comportmento dos ddos de pressão. Vlor Norml Esperdo,0,5,0 0,5 0,0-0,5 -,0 -,5 Gráfico d Probbilidde Norml Pressão -, Pressão Figur 7.7 Gráfico d Probbilidde Norml. 7

8 , Gráfico d Probbilidde Norml Positiv Pressão Vlor Norml Esperdo,8,4,0 0,6 0, -0, Pressão Figur 7.8 Gráfico d Probbilidde Norml Positiv. Desvio do Vlor Esperdo 0,4 0,3 0, 0, 0,0-0, -0, -0,3 Gráfico d Probbilidde Norml sem Tendênci Pressão -0, Pressão Figur 7.9 Gráfico d Probbilidde Norml sem Tendênci. Os testes quntittivos são mis eficientes, pois independem de qulquer interpretção subjetiv. Eles consistem em clculr um esttístic, crcterístic de cd teste, e verificr se o seu vlor é significtivo (bio de 0,05 ou 0,0, dependendo do nível de significânci escolhido. Cso sej, então hipótese de que os ddos seguem um distribuição norml deve ser rejeitd. Os testes mis usdos são: Kolmogorov-Smirnov (d usdo qundo médi e o desvio-pdrão d populção são desconhecidos. Os vlores de probbilidde reportdos são bsedos nqueles tbeldos por Mssey (95, que são válidos qundo médi e o desvio-pdrão d distribuição norml são conhecidos priori e não estimdos prtir dos ddos. Entretnto, gerlmente esses prâmetros são clculdos prtir dos ddos reis. b Lilliefors usdo qundo médi e o desvio-pdrão d populção são conhecidos. c Shpiro-Wilks (W tornou-se o teste preferido devido às sus bos proprieddes. Cso se verifique que populção não sej norml, trnsformções d vriável devem ser feits, fim de torná-l norml. A trnsformção de Bo-Co é um ds trnsformções mis utilizds. El consiste em etrir riz qudrd d ou plicr o logritmo à vriável em estudo. 8

9 7..5. Distribuição Norml Bidimensionl Sej e Y um vriável letóri bidimensionl, tomndo todos os vlores do plno Euclidino. Diz-se que (,Y tem um distribuição norml bidimensionl se su fdp conjunt obedecer à seguinte equção: f, Y (, y * πσ σ Y ρ (3 ( µ ( ( ( µ µ Y y µ Y ep ρ + ( ρ σ σ σ Y σ Y pr - < <, - < y <, - < µ <, - < µ Y <, σ > 0, σ Y > 0 e < ρ <, onde ρ é o coeficiente de correlção. A Figur 7.0 mostr fdp epress pel Equção (3. Figur 7.0 Função Densidde de Probbilidde pr Distribuição Norml Bidimensionl. A distribuição de probbilidde é clculd por: 7.3 Distribuição Lognorml y Y (, y P( e Y y f, Y F, (, y dudv (4 A distribuição lognorml é muito usd em ciêncis físics e sociis e em engenhri, neste último cso pr descrever tmnho de prtículs, o tempo pr hver um flh no processo (confibilidde e o tempo pr consertr lgo no processo (mnutenção. Um vriável, definid n fi 0 <, tem um distribuição lognorml se log for normlmente distribuíd com médi e desvio-pdrão ddos por: µ ln E(ln (5 σ Vr(ln ln A função densidde de probbilidde de é epress por: (ln µ f ( ep σ π σ, (6 com vlor esperdo e vriânci clculdos por: 9

10 µ Vr(ln ep E(ln + Vr( ep Vr (ln ( E(ln + Vr(ln ( e (7 7.4 Distribuição Eponencil A distribuição eponencil tem lrg plicção em engenhri. Ess distribuição clcul probbiliddes pr um certo tempo e espço entre eventos sucessivos, ocorrendo em um processo de Poisson. É comumente usd pr tempos entre chegds, por eemplo, cbines de pedágios. Pode-se usr tmbém est distribuição pr clculr probbiliddes de flhs, qundo do estudo de confibilidde; ou sej, o intervlo de tempo decorrido entre o instnte em que um peç é sujeit um esforço mecânico e o instnte em que ocorre um flh ( quebr d peç, por eemplo. A função densidde de probbilidde pr um distribuição eponencil é epress por: t f ( t λe λ pr t 0 (8 f ( t 0 pr t<0, (9 em que λ é t médi do processo, que reflete, em médi, quntos eventos ocorrem em um unidde de tempo. A probbilidde que um vriável T estej ente [,b] é: b P ( T b f ( t dt (30 A função distribuição eponencil de probbilidde é clculd fzendo-se o limite inferior,, ser igul zero e o limite superior, b, ser igul t, ficndo-se com: F λt ( t P( T t e t 0 (3 As Figurs 7. e 7. presentm função densidde de probbilidde e distribuição eponencil de probbilidde, respectivmente. O vlor esperdo e vriânci são clculdos por: E (T Vr(T (3 λ λ Eemplo 3: Clcule probbilidde de que o tempo entre chegds sucessivs de crros n cbine de pedágio d ponte Rio-Niterói sej menor ou igul 6 segundos (0. minuto, sbendo que t médi do processo é igul 5 crros por minuto. Solução: 5* P ( T 0. F(0. e e (33 f(t ÁreP(T t (tempo entre s chegds 0, Figur 7. Função Densidde de Probbilidde pr Distribuição Eponencil 0

11 F(t.0 F(t-e -λt P(T Figur 7. Função Distribuição de Probbilidde t (tempo entre s chegds 7.5 Distribuição Gm Aplic-se distribuição gm à nálise de tempo de vid de equipmentos, de tempo de retorno de mercdoris com flhs e testes de confibilidde. A função densidde de probbilidde pr distribuição gm é dd por: r λ r λ f ( e pr 0 (34 Γ( r f ( 0 pr <0, (35 onde os prâmetros d distribuição gm, que podem ssumir qulquer vlor positivo, são: λ, t médi do processo; r, número específico de eventos que ocorrem té que vriável (tmnho do segmento de tempo ou espço sej tingid.e Γ(r é função gm, definid por: Γ r ( r e d 0 pr r>0 (36 Est função é tbeld, sendo lguns vlores ddos n tbel em neo. Algums proprieddes d função gm são: Γ ( b Γ ( r+ rγ( r c Γ( r ( r Γ( r d Γ ( k + k! e Γ ( / π *3*5*...*(k f Γ ( k+ / π k A Figur 7.3 present função f( pr vários vlores de r. f( r r r3 Figur 7.3 Função Densidde de Probbilidde pr Distribuição Gm. No cso especil de r, tem-se distribuição eponencil, pois Γ(, ficndo-se com: f ( λe λ (37

12 A distribuição gm se reduz à distribuição qui-qudrdo, que será vist dinte, qundo λ/ e rd/, onde d é um prâmetro inteiro positivo. A distribuição de probbilidde é epress por: P( f ( y dy (38 0 O vlor esperdo e vriânci são clculdos por: r r E ( Vr( (39 λ λ Eemplo 4: Clcule probbilidde de pssdo um minuto no máimo, dois crros tenhm chegdo um cbine de pedágio, considerndo que λ5 crros por minuto. Solução: Neste cso, r, ficndo-se com: Como λ5, tem-se que: λ λy λ P ( y e dy e (+ λ (40! 5* P ( e ( * (4 7.6 Distribuição de Weibull A distribuição de Weibull é muito similr à distribuição gm, tendo o mesmo uso. A função densidde de probbilidde é epress por: β β α t f ( t α β t e 0 t< (4 onde α e β (dito t de flh são constntes positivs. A Figur 7.4 present fdp pr distribuição de Weibull, considerndo três vlores diferentes do prâmetro β. f( β β β3 Figur 7.4 Função Densidde de Probbilidde pr Distribuição de Weibull. O vlor esperdo e vriânci são clculdos por: / β E( α Γ + β Vr( α / β Γ + Γ + β β (43

13 7.7 Distribuição Uniforme Embor com menos plicções que s demis, distribuição uniforme é um ds mis importntes em esttístic, sendo usd pr vlir vris cusds pr desstres nturis, como o rstro de destruição cusdo por um torndo, cidentes, guerrs. A função densidde de probbilidde é clculd por: f ( b b (44 f ( 0 cso contrário : Todos os vlores entre e b são igulmente prováveis. A probbilidde cumultiv é igul y F( P( dy (45 b b F( 0 < F( P( b b (46 F( > b O vlor esperdo e vriânci são iguis : + b ( b E( Vr( (47 Eemplo 5: Clcule probbilidde de um rrnhão em um móvel ser no máimo igul 7 de comprimento e probbilidde deste rrnhão estr entre 4 e 8. Clcule tmbém o vlor esperdo e vriânci d distribuição. Considere que todos os rrnhões entre e são igulmente prováveis. Solução: As Figurs 7. e 7.3 presentm fdp e distribuição uniforme de probbilidde pr o eemplo em questão. f( /(b- Áre0.60 b 7 Figur 7. Função Densidde de Probbilidde pr Distribuição Uniforme F( 0.60 P( 7 7 b Figur 7.3 Distribuição de Probbilidde pr Distribuição Uniforme 3

14 4 0,40 (4 (8 (7 (8 8 (4 0,60 7 (7 7 ( F F P F P (48,89" 8,33 ( 8,33 ( ( 6 ( + SD polegds Vr E (49