PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA V. A. CONTÍNUAS

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1 PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA V. A. CONTÍNUAS Vriável Aletóri Contínu (Revisão) Pr v.. contínus: PX ( x) 0 0 P ( < X< ) Função Densidde de Proilidde (fdp) f() x 0 P( < X< ) f( x) dx + f ( xdx ) f(x) P( < X < ) X Distriuição Uniforme (Contínu) Um Vriável letóri contínu tem distriuição uniforme se su f.d.p é dd por: Gráfico: /(-) f(x) f( x), x - h X

2 Espernç (E(X)): E( X) xf( x) dx x dx xdx x ( )( + ) + E( X) ( ) ( ) Vriânci (Vr(X)): E( X ) x f( x) dx x dx x dx x E( X ) 3 3 3( ) Vr( X ) E( X ) [ E( X )] ( + ) Vr( X ) 3( ) ( ) 3( )( + ) ( ) Vr ( X) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 Exemplo Com o ojetivo de verificr resistênci à pressão de águ, os técnicos de qulidde de um empres inspecionrm os tuos de PVC produzidos. Os tuos tem 6 metros e são sumetidos grndes pressões té o precimento do primeiro vzmento. Escolhe-se um tuo o cso pr ser inspeciondo. clcule proilidde de que o vzmento estej, no máximo metro ds extremiddes.

3 Vmos denotr por X vriável letóri que indic distnci correspondente o vzmento. Admitindo proilidde igul de ocorrênci em todos os pontos, temos: f( x), 0 x 6 6 P( 0 X ) + P( 5 X 6) dx x 0 + x dx 6 Distriuição Exponencil Um v.. X segue distriuição exponencil com prâmetro β (β > 0) se su f.d.p é do tipo: x λe λ, x > 0 f( x) 0, x 0 Com gráfico: f(x) 0,005 0,00 0,005 0,00 0, X Espernç ((EX)) : E( X) λ Vriânci ((vr(x))) : Vr( X ) λ² Oservções: - Qundo os serviços prestdos por um empres pr clientes externos ou internos são de durção vriável, distriuição exponencil é indicd pr nlisr esses experimentos; por exemplo, durção do tendimento do cix de um nco ou de postos de súde, o tempo de operção sem interrupção de um equipmento etc. - Outrs situções típics: tempo de chegds um lv-jto, tempo de vid de prelhos, tempo de esper em resturntes, cixs de nco, etc. 3

4 Exemplo: Atrvés de estudos, verificou-se que o tempo de durção de um determindo equipmento segue distriuição exponencil com prâmetro igul /500 hors. )Determinr f.d.p. ) Determinr proilidde que um equipmento letorimente seleciondo presentr: i)durção menor que 500 hors; ii)durção entre 300 e 800 hors Distriuição Norml Um v.. X tem distriuição norml se su f.d.p puder ser descrit por: x μ σ f( x) e < x<+ πσ Gráfico: Espernç E(X): lim f ( x) 0 lim f ( x) 0 x x Notção : X~N(µ,σ²) E( X) Vr( X ) μ Vriânci Vr(X): σ É o modelo de distriuição de proilidde mis utilizdo n esttístic Métodos e técnics esttístics prmétrics gerlmente considerm o modelo de distriuição de proilidde norml. Seu gráfico tem form cmpnulr (sino) É um distriuição simétric em relção à médi É duplmente ssintótic em relção o eixo ds scisss Tem dois pontos de inflexão que correspondem à medi ± desvio pdrão 4

5 Clculo de proiliddes envolvendo distriuição norml x μ σ P ( X ) f( xdx ) e dx?? πσ Integris envolvendo distriuição norml não tem solução nlític, por isso recorremos o uso d tel. Porem, ntes de consultr tel, precismos trnsformr vriável letóri em um vriável pdronizd (ou sej, dimensionl) ms que crreg s mesms proprieddes proilístics de x (normlidde). Distriuição Norml Pdrão X ~ N( μ, σ ) X μ Z σ X μ EZ ( ) E E ( X μ ) ( E( X) μ ) ( μ μ) 0 σ σ σ σ X μ Vr( Z ) Vr σ Vr ( X μ ) Vr ( X ) σ σ σ σ Z ~ N(0,) integris podem ser telds! A tel d distriuição norml pdrão - 0 z + P(0 < Z <,7)? P(0 < Z < z) P(0 < Z <,7) 0,4850 z 5

6 ) Exemplos de utilizção d tel de Z P(,7< Z < 0)? 0,4850 0, , ,7 + P(,7 < Z < 0) 0, 4850 P( < Z < )? 0,477 0, P( < Z < ) 0, ,343 0,885 PZ> (,5)? 0,5 _ 0,433-0, ,5 + PZ> (,5) 0,5 0, 433 0,0668 6

7 P(,5 < Z <,33) 0,4900 _ 0,433-0,5, ,5 + P(,5 < Z <,33) 0,4900 0,433 0,057 P(Z> z) 0,08 0,08-0 z + P (Z > z) 0,9505 0, z ,5 0,08 0,477 z,00 0,5-0 + Z -,65 Exemplo : Suponh que, em médi, empres X trnsporte 0 tonelds por di de um determindo produto, com desvio pdrão de 4 tonelds. Suponh que X tem distriuição norml. Qul proilidde que em um determindo di empres trnsporte entre 8 e ton.? 0,538 X ~ N(0,4) X P(8 < X < )? X μ Z ~ N(0,) σ P(8 0 < X 0 < 0)? 8 0 X 0 0 P( < < )? Z P( < Z < 0,5)? , ,5 + Z 7

8 Exercício: Suponh que o investimento em um crteir de investimentos tenh distriuição norml com médi de 00 mil reis e desvio pdrão de 0 mil reis por di. ) Ao selecionr um di letorimente qul proilidde que o investimento: i) fique entre 70 e 0 mil reis? ii) sej superior 05 mil? iii) sej inferior 80 mil? iv) fique entre 0 e 0 mil? ) Se o investimento for clssificdo em Bixo, Médio e Alto, de cordo com seguinte regr: Bixo 0% dos menores investimentos; Alto 5% dos miores investimentos e Médio os demis 75%, quis serão os limites estimdos pr clssificção? c) Se selecionrmos 5 dis, qul proilidde de que em 3 dis tenhmos investimentos superior 30 mil? Cominção liner de vriáveis letóris com distriuição norml X ~ N( μ, σ ) X ~ N( μ, σ ) X ~ N( μ, σ ) Y X + X + cx 3 Qul distriuição de Y? 3 v.. independentes com distriuições norml Y ~ N( μ + μ + cμ, σ + σ + c σ ) EY ( ) EX ( + X + cx3) E( X) + E( X) + ce( X3) μ + μ + cμ 3 Vr( Y ) Vr( X + X + cx ) ² Vr( X ) + ² Vr( X ) + c² Vr( X ) Vr( Y ) ² σ + ² σ + c² σ Cominção Distriuição liner d Som de vriáveis de Vriáveis letóris Aletóris com distriuição norml X ~?( μ, σ ) μ σ X ~?(, ) X n ~?( μn, σn) Y X + X + + n X n i X i i Qul distriuição de Y? Y ~ N, n n μi σ i i i i i n v.. independentes com distriuição norml n 8

9 Exemplo: Um corretor de seguros negoci títulos n ols de vlores e utiliz um modelo proilístico pr vlir seus lucros. Sus plicções finnceirs de compr e vend tingem três áres: Agricultur e comércio e indústri. Admite que o seguinte modelo represent o comportmento do lucro diário d corretor (em milhres de reis) LL +5L i +3L c Com L,L i el c representdo respectivmente os lucros diários nos setores de gricultur, indústri e comércio. As distriuições de proiliddes desss vriáveis letóris são L ~N(3,4) L i ~N(6,9) L c ~N(4,6) Supondo independênci entre os três setores, qul é proilidde de um lucro diário cim de 50 mil? µx3+5x6+3x448 σ²²x4+5²x9+3²x6385 P(L>50)P(Z>0,0)0,460 Exercícios A resistênci de vigs de mdeir utilizds em construção segue um modelo norml com médi de 3 tonelds e desvio de tonelds. Vinte desss vigs são comprds pr serem usds em um or. ) Clcule proilidde de um dess vigs suportr menos que toneld. ) Qul é proilidde de s vinte vigs suportrem, em médi, pelo menos,5 tonelds 9

10 Aproximção d Binomil à Norml Se Y tem um distriuição inomil com prâmetros n e p: Y n X onde cd X i i tem distriuição Bernoulli (0 ou ) i e P(X i ) p Então, se n grnde: Y ~ N(?,?) EY ( ) np? Vr ( Y )? npq Y ~ N ( np, npq) 0,5 0,09 0,6 0,08 0,5 0, 0,07 0,06 0,4 0,5 0,05 0,3 0,04 0, 0,03 0, 0,05 0,0 0, 0,0 0 n p 0, 0, Considere o experimento: retirm-se 00 ols d urn (com reposição). Define-se um v.. X cujos vlores representm o número totl de ols vermelhs dentre s 00 escolhids. Clcule: P(30 X 5) n 00 p 0, n x n x 00 x f ( x ) p q x 0,4 0,6 x 5 00 x P(30 X 5) 0,4 0,6 x 30 x 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 00 x Aproximndo-se à Norml... Considere o experimento: retirm-se 00 ols d urn (com reposição). Define-se um v.. X cujos vlores representm o número totl de ols vermelhs dentre s 00 escolhids. Clcule: P(30 X 5) n 00 p 0,4 5 E( X) np 00*0,4 40 Vr( X ) npq 00*0,4*0,6 4 X ~ N(40,4) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, < XX < (correção de continuidde) P(30 (9,5 5) 5,5)?? 9,5 40 5,5 40 P < Z < 0,9745 (vlor exto pr Binomil 0,975) 4 4 0

11 Exercícios ) A cd 5 utomóveis vendidos em um concessionári, é d cor pret. Em um nálise de 50 utomóveis vendidos, qul proilidde de se vender: ) Extmente 0 pretos? ) Pelo menos 0 pretos? ) Se-se que o percentul de indimplentes pr um crtão de crédito é de 5%. Se neste mês houverm 500 desões o crtão, clcule proilidde de hver mis que 30 indimplentes. Aproximção d Poisson à Norml O cálculo de proilidde d Poisson tmém pode ser feito de form proximdo pel norml N prátic consider-se que qundo médi de ocorrêncis d Poisson é mior ou igul 5 proximção é o. N proximção d Poisson pel norml tmém fz-se necessário correção de continuidde. Exemplo: Um lortório recee, em médi, 00 mostrs por mês pr nálise, qul proilidde que em um determindo mês o lortório rece menos de 70 mostrs pr nálise? Distriuição log-norml A fdp d log-norml é dd por: e f ( x) xσ π o, x 0 O gráfico : log x μ ( ) σ, x > o

12 A distriuição de um vriável X segue um log-norml qundo log (X) segue distriuição norml. Pr o cálculo de proilidde podemos fzer trnsformção dos ddos pr log(x) e proceder como n distriuição norml. Um exemplo típico de ddos que seguem distriuição lognorml é distriuição d rend de um cert populção. p é muito usd pr crcterizr tempo de vid de produtos e mteriis. Isto inclui fdig de metl, semicondutores, diodos e isolção elétric. Exemplo: Um populção de componentes, qundo testd com ltos níveis de solicitção em lortório, flhrm de cordo com um distriuição lognorml com µ8,5 e σ0,7. Qul é o percentul de flhs pr 000h de teste? Distriuição Gm A f.d.p de um vriável com distriuição gm é dd por: α s ( αx) e f ( x) Γ( s) 0, pov X Sendo αx Γ( n) ( n )!, X > 0 Gáfi Gráfico Usd pr representr o tempo entre ocorrêncis de um evento, tis como distriuição de intervlos entre clirções de instrumentos, intervlos de tempo entre comprs de um determindo item estocdo, etc.. Est distriuição depende dos prâmetros α e s, dos quis se exige s > e α >0 A representção gráfic depende do vlor de s Se s fdp gm pss ser um exponencil, ou sej, exponencil é um cso prticulr d gm. A médi e vriânci d distriuição gm são: E(X) s/α evr(x)s/α

13 Distriuição Weiull É um distriuição com grnde plicção em teori d confiilidde A v.. X pode representr, por exemplo, vid de um determindo componente. A f.d.p. de Weiull é definid por: β βx βx e, x 0 f ( x) 0, x < 0 β é um constnte positiv Outrs Distriuições N esttístic temos outrs importntes distriuições de proiliddes Esss distriuições são plicds n teori ds distriuições mostris e n inferênci esttístic neste tópico iremos ver de form gerl esss distriuições e sus plicções serão ordds s distriuições são t- Student; Qui-Qudrdo (χ )ef A Distriuição t de Student Se x é um vriável com distriuição norml de médi µ e vriânci σ², então função otid prtir de um mostr de tmnho n de x: x μ t σ / É um vriável com distriuição t de students. Su f.d.p. é dd por: ( g + ) / Γ ( ) [( g + ) / ] t < < t [ ] f t + - t Γ g / πg g g Proprieddes: E( X ) 0 g Vr( X ) g G n- X~ t g n (lê-se: X tem distriuição t de student com g grus de lierdde) 3

14 Distriuição t de Student Crcterístics d distriuição de t: ) É simétric em relção médi (semelhnte distriuição de z) ) Tem form cmpnulr. Vlores de t dependem d flutução d d médi mostrl e desvio pdrão mostrl. c) Qundo n tende pr infinito, distriuição t tende pr distriuição norml. N prátic, proximção é considerd o qundo n >30. A função t é muito utilizd pr construção de intervlos de confinç de um crcterístic desconhecid e pr verificção de hipóteses cerc de um populção distriuíd normlmente. A f.d.p de t não é integrável nliticmente. Os cálculos de proilidde de t são otidos por meio de tel - 0 t + PT ( 0 >,764)? P(0 < T < t) PT ( 0 >,764) 0,0 Uso d tel g 0, 0,05 0,05 0,0 0,005 3,078 6,34,706 3,8 63,656,886,90 4,303 6,965 9,95 3,638,353 3,8 4,54 5,84 4,533,3,776 3,747 4,604 5,476,05,57 3,365 4,03 6,440,943,447 3,43 3,707 7,45,895,365,998 3,499 8,397,860,306,896 3,355 9,383,833,6,8 3,50 0,37,8,8,764 3,69,363,796,0,78 3,06,356,78,79,68 3,055 3,350,77,60,650 3,0 4,345,76,45,64,977 g 5,34 753,753 3,3 60,60 947,947 6,337,746,0,583,9 7,333,740,0,567,898 8,330,734,0,55,878 9,38,79,093,539,86 0,35,75,086,58,845,33,7,080,58,83,3,77,074,508,89 3,39,74,069,500,807 4,38,7,064,49,797 5,36,708,060,485,787 6,35,706,056,479,779 7,34,703,05,473,77 8,33,70,048,467,763 9,3,699,045,46,756 30,30,697,04,457,750 40,303,684,0,43,704 50,99,676,009,403,678 60,96,67,000,390,660 0,89,658,980,358,67,8,645,960,36,576 Exercício Pr cd um ds mostrs ixo otids de um vriável com distriuição norml, clcule proilidde ssocid função t: )n0, proilidde de t ser mior que,8 )n5, proilidde de t ser menor que -,3 c)n4, proilidde de t estr entre -,0 e,0 d) (-,60 < t < ) 0,95 com n4 e) P ( < t <,708) 0,90 com n6 f) P (t > ) 0,05 com n g) P (t < ) 0,0 com n0 4

15 Tel. Limites unilteris d distriuição t de Student o nível α de proilidde. α GL A distriuição de χ (Qui-Qudrdo) Qudrdo) Sejm Z,Z,...Z g um mostr de g vriáveis letóris com distriuição norml pdrão. Dizemos que função X ² Z + Z Z g Tem distriuição qui-qudrdo e su f.d.p é dd por: f x x e x Γ( g ) g x ( ) 0 g (lê-se: X tem distriuição qui-qudrdo com g grus de lierdde) Proprieddes: E( X) g Vr( X ) g X ~ χ g 0 + g g > 0 + Distriuição de χ Muito utilizd em inferênci pr vlir se um conjunto de ddos segue um determind distriuição teóric. Tmém é utilizd em estudos pr verificr ssocição de vriáveis qulittivs. Não é um distriuição simétric é utilizd pr verificr proilidde de ocorrênci d vriânci de um únic populção Tmém possui seus vlores teldos. A Tel de quiqudrdo tmém fornece proilidde à direit do vlor teldo 5

16 Uso d tel 0 χ t + 0 P χ P( χ > 3, 5)? 0 χ ( > ) g t P( χ > 3, 5) 0,975 g 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 7,88 6,63 5,0 3,84,7 0,06 0,0039 0,000 0,0006 0, ,60 9, 7,38 5,99 4,6 0, 0,0 0,05 0,00 0,00 3,84,34 9,35 7,8 6,5 0,58 0,35 0, 0, 0,07 4 4,86 3,8,4 9,49 7,78,06 0,7 0,48 0,30 0, 5 6,75 5,09,83,07 9,4,6,5 0,83 0,55 0,4 6 8,55 6,8 4,45,59 0,64,0,64,4 0,87 0,68 7 0,8 8,48 6,0 4,07,0,83,7,69,4 0,99 8,95 0,09 7,53 5,5 3,36 3,49,73,8,65,34 9 3,59,67 9,0 6,9 4,68 4,7 3,33,70,09,73 0 5,9 3, 0,48 8,3 5,99 4,87 3,94 3,5,56,6 6,76 4,7,9 9,68 7,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 8,30 6, 3,34,03 8,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3,07 3 9,8 7,69 4,74,36 9,8 7,04 5,89 5,0 4, 3,57 4 3,3 9,4 6, 3,68,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 5 3,80 30,58 7,49 5,00,3 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,3 7,96 6,9 5,8 5,4 7 35,7 33,4 30,9 7,59 4,77 0,09 8,67 7,56 6,4 5, ,6 34,8 3,53 8,87 5,99 0,86 9,39 8,3 7,0 6,6 9 38,58 36,9 3,85 30,4 7,0,65 0, 8,9 7,63 6, ,00 37,57 34,7 3,4 8,4,44 0,85 9,59 8,6 7,43 4,40 38,93 35,48 3,67 9,6 3,4,59 0,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,8 4,04,34 0,98 9,54 8, ,8 4,64 38,08 35,7 3,0 4,85 3,09,69 0,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 5,66 3,85,40 0,86 9, ,93 44,3 40,65 37,65 34,38 6,47 4,6 3,,5 0,5 6 48,9 45,64 4,9 38,89 35,56 7,9 5,38 3,84,0,6 7 49,64 46,96 43,9 40, 36,74 8, 6,5 4,57,88,8 8 50,99 48,8 44,46 4,34 37,9 8,94 6,93 5,3 3,56,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 9,77 7,7 6,05 4,6 3, 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 8,49 6,79 4,95 3, ,77 63,69 59,34 55,76 5,8 9,05 6,5 4,43,6 0, ,49 76,5 7,4 67,50 63,7 37,69 34,76 3,36 9,7 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,9 40,48 37,48 35, , 00,43 95,0 90,53 85,53 55,33 5,74 48,76 45,44 43,8 80 6,3,33 06,63 0,88 96,58 64,8 60,39 57,5 53,54 5,7 90 8,30 4, 8,4 3,5 07,57 73,9 69,3 65,65 6,75 59, ,7 35,8 9,56 4,34 8,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 Exemplos 0 χ t + 0 P χ P( χ > 3,5)? 0 χ ( > ) g t P( χ > 3,5) 0,975 P( χ >?) 0,9 5 P( χ > 8,55) 0,9 5 g 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 7,88 6,63 5,0 3,84,7 0,06 0,0039 0,000 0,0006 0, ,60 9, 7,38 5,99 4,6 0, 0,0 0,05 0,00 0,00 3,84,34 9,35 7,8 6,5 0,58 0,35 0, 0, 0,07 4 4,86 3,8,4 9,49 7,78,06 0,7 0,48 0,30 0, 5 6,75 5,09,83,07 9,4,6,5 0,83 0,55 0,4 6 8,55 6,8 4,45,59 0,64,0,64,4 0,87 0,68 7 0,8 8,48 6,0 4,07,0,83,7,69,4 0,99 8,95 0,09 7,53 5,5 3,36 3,49,73,8,65,34 9 3,59,67 9,0 6,9 4,68 4,7 3,33,70,09,73 0 5,9 3, 0,48 8,3 5,99 4,87 3,94 3,5,56,6 6,76 4,7,9 9,68 7,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 8,30 6, 3,34,03 8,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3,07 3 9,8 7,69 4,74,36 9,8 7,04 5,89 5,0 4, 3,57 4 3,3 9,4 6, 3,68,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 5 3,80 30,58 7,49 5,00,3 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,3 7,96 6,9 5,8 5,4 7 35,7 33,4 30,9 7,59 4,77 0,09 8,67 7,56 6,4 5, ,6 34,8 3,53 8,87 5,99 0,86 9,39 8,3 7,0 6,6 9 38,58 36,9 3,85 30,4 7,0,65 0, 8,9 7,63 6, ,00 37,57 34,7 3,4 8,4,44 0,85 9,59 8,6 7,43 4,40 38,93 35,48 3,67 9,6 3,4,59 0,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,8 4,04,34 0,98 9,54 8, ,8 4,64 38,08 35,7 3,0 4,85 3,09,69 0,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 5,66 3,85,40 0,86 9, ,93 44,3 40,65 37,65 34,38 6,47 4,6 3,,5 0,5 6 48,9 45,64 4,9 38,89 35,56 7,9 5,38 3,84,0,6 7 49,64 46,96 43,9 40, 36,74 8, 6,5 4,57,88,8 8 50,99 48,8 44,46 4,34 37,9 8,94 6,93 5,3 3,56,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 9,77 7,7 6,05 4,6 3, 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 8,49 6,79 4,95 3, ,77 63,69 59,34 55,76 5,8 9,05 6,5 4,43,6 0, ,49 76,5 7,4 67,50 63,7 37,69 34,76 3,36 9,7 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,9 40,48 37,48 35, , 00,43 95,0 90,53 85,53 55,33 5,74 48,76 45,44 43,8 80 6,3,33 06,63 0,88 96,58 64,8 60,39 57,5 53,54 5,7 90 8,30 4, 8,4 3,5 07,57 73,9 69,3 65,65 6,75 59, ,7 35,8 9,56 4,34 8,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 Exemplo: Oter os seguintes vlores d distriuição de χ: ) P (χ > ) 0,05 com g.l. ) P (χ < ) 0,05 com g.l. c) P(χ > ) 0,95 com 5 g. l. d) P(χ > ) 0,0 com g. l. e) P (7,6 < χ < ) 0,90 com 5 g.l. f) P ( < χ < 34,7) 0,95 com 0 g.l. g) P (9,768 < χ χ < 45,7) k com 9 g.l. h) P(χ >9,488) K com 4 g.l. i) P(χ < 30,9) K com 7 g.l. j) P(χ > 8,343) K com 9 g k) P(χ < 5,009) K com 3 g.l. 6

17 Tel3. Limites unilteris d distriuição de χ o nível α de proilidde. α GL A distriuição F Sejm X e Y dus vriáveis com distriuição qui-qudrdo com gl iguis g e h. A rzão de X e Y: X / g F Y / h Tem distriuição F e su f.d.p é dd por: 0 + g g g / ( g + g ) g g / g Γ [( + ) ] f( x) x + x x 0 Γ( g ) Γ( g ) g g (lê-se: X tem distriuição F com g e g grus de lierdde) g E( X) g g ( g + g ) Vr( X ) g ( g ) ( g 4) Distriuição F Muito utilizd em plnejmento de experimentos pr verificr influênci de ftores qulittivos em um vriável de interesse. Tmém é utilizd pr verificr relção entre s vriâncis de um crcterístic em dus populções Não é um distriuição simétric Tem origem no zero A Tel de F tmém fornece proilidde à direit do vlor teldo. 7

18 Uso d Tel 0 + F P ( F > F ) 0,05 5,0 g, g PF ( >?) 0,05 g PF ( 5,0 >,57) 0,05 g Exemplo 0 + F P ( F > F ) 0,05 g, g g PF ( 5,5 <?) 0,05 PF ( 5,5 >?) 0,05 g Exemplo 0 + F P ( F > F ) 0,05 g, g g PF ( 5,5 <?) 0,05 PF ( 5,5 >?) 0,05 PF ( 5,5 > 3,3) 0,05 PF ( 5,5 < ) 0,05 3,3 PF ( 5,5 < 0,39) 0,05 g 8

19 Exemplo: Oter os seguintes vlores d distriuição F de Snedecor: ) P(F > ) 0,0 com v 5 e v 5 g.l. ) P(F < ) 0,90 com n 6 e n 6 g.l. c) P(F > ) 0,05 com v 3 e v 9 g.l. d) P(F >,84) k com v 0 e v 40 g.l. e) P(F >,96) k com v 40 e v g.l. g) P(F< 6,37) k com v 6 e v 8 g. l. Tel 4. Limites unilteris d distriuição F de Fisher-Snedecor o nível de 0% de proilidde. GL V V Tel 5. Limites unilteris d distriuição F de Fisher-Snedecor o nível de 5% de proilidde. GL V V 9

20 Tel 6. Limites unilteris d distriuição F de Fisher-Snedecor o nível de,5% de proilidde. GL V V Tel 7. Limites unilteris d distriuição F de Fisher-Snedecor o nível de,0% de proilidde. GL V V 0