UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ Tópicos Especiis de Mtemátic Aplicd Márleson Rôndiner dos Sntos Ferreir mrleson Unifp-AP 23/junho/2010

2 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE 1 Integris de Linh e Superfície Vmos supor que queirmos clculr áre de um muro construído sobre um curv e de ltur vriável, situções como ess não é possível clculr trvés d integrl definid e integrl dupl. Porém, o cálculo dess áre segue o mesmo princípio, dndo origem um novo tipo de integris, s integris de linh. 1.1 Integris de Linh onsideremos um curv unindo dois pontos no plno XY e um função z = f(x, y) contínu em D, onde D é um região do plno contendo curv. Um muro é construído o longo de e tem ltur f(x, y). Qul é áre do muro? Pr resolver este problem, tomemos um prtição d curv, obtendo n rcos pel introdução de n 1 pontos entre os extremos de. t n t n-1 t 1 t 2 t 0 Temos n tirs, denotndo por A i áre d i-ésim tir áre do muro é dd por: A A 1 + A A n = n A i i=1 z f y x Vejmos um proximção pr i-ésim áre. O comprimento do rco t i 1, t i denotmos por S i Assim, áre proximd é dd por A i f(x i, y i ) S i e áre totl do muro é A n i=1 f(x i, y i ) S i. 1

3 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE f(x,y) i i S i t i t i-1 Q i Intuitivmente, se umentrmos indefinidmente o número de rcos n prtição, em cd rco o comprimento tende à zero. A = lim n n f(x i, y i ) S i que trt-se de um integrl, chmd integrl de linh e denotremos por: A = f(x, y)ds i=1 O cálculo d expressão cim n form de limite, n miori do csos, não é viável. Por isso, um modo simplificdo é considerr prmetrizção d curv. Dd pel função vetoril: Deste modo, r(t) = (x(t), y(t)) com t [, b] f(x, y)ds = como o comprimento de rco é ddo por f(x(t), y(t))ds ssim, Portnto, S = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt = r (t) dt ds dt = r (t) = ds = r (t) dt f(x, y)ds = f(x(t), y(t)) r (t) dt 2

4 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE Integris de Linh sobre um cmpo vetoril F Trjetóri Se trjetóri percorrid não é um ret, ms um curv, neste cso forç F vri em cd ponto d trjetóri. Sej um objeto se movendo o longo de um curv, definid por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, com t b. Sujeito um forç contínu F. Vmos supor que curv sej suve (isto é, que o vetor tngente r (t) sej contínuo e nunc se nule). Queremos definir o trblho totl relizdo por F o longo d curv. onsideremos o intervlo [t, t + h], bem pequeno. r r(t+h) - r(t) t t+h b r() r(t) r(t+h) Sej W (t) = trblho totl relizdo por F de r() à r(t) e W (t + h) = trblho totl relizdo por F de r() à r(t + h). Então o trblho relizdo por F de r(t) à r(t + h), tem que ser diferenç. Dess equção segue que: lim h 0 W (t + h) W (t) = F ( r(t)) [ r(t + h) r(t)] W (t + h) W (t) h W (t + h) W (t) h r(b) [ ] = F r(t + h) r(t) ( r(t)) h [ ] = F r(t + h) r(t) ( r(t)) lim h 0 h W (t) = F ( r(t)) r (t) W (t)dt = W (b) W () }{{} =0 = W (b) = W = W (b) = trblho totl relizdo por F em W () = trblho no ponto inicil é zero 3 F ( r(t)) r (t)dt F ( r(t)) r (t)dt F ( r(t)) r (t)dt

5 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE Definição 1.1 (Integrl de Linh) Sej F (x, y, z) = F 1 (x, y, z) i+ F 2 (x, y, z) j + F 3 (x, y, z) k. Um cmpo vetoril contínuo em um curv suve : r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, com t [, b]. A integrl de linh de F sobre é o número. F ( r)d r = F ( r(t)) r (t)dt Obs.: Pr que definição de integrl de linh fç sentido, é preciso que integrl de linh sej independente d prmetrizção prticulr escolhid pr. 1.2 Áre e Integrl de Superfície Definição 1.2 (Superfície Prmetrizd) Por um superfície prmetrizd r entende-se um trnsformção r : A R 3, onde A é um subconjunto do R 2. Supondo que s componentes de r sejm dds por x = (u, v), y = (u, v) e z = (u, v), pr indicr superfície prmetrizd r dd por r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Sej S um superfície prmetrizd por um função vetoril diferenciável por um função vetoril diferenciável r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k. lculemos os vetores: r u (u, v) = x u i + y u j + z u k r v (u, v) = x v i + y v j + z v k N(u, v) = r u r v Definição 1.3 Se S é um superfície prmetrizd diferenciável r(u, v), então o vetor N(u, v) = r u r v é perpendiculr superfície S no ponto r(u, v) e, se não-nulo, pode ser escolhido como um norml à superfície nesse ponto N(u, v) é chmdo de produto vetoril fundmentl Áre de Superfícies Suponh que temos um superfície prmetrizd por um função continumente diferenciável r(u, v), com (u, v). Vmos supor que sej um região do plno uv e que r é injetor no interior de. Vmos supor que o produto vetoril fundmentl N = ru r v, nunc se nule no interior de. Sob esss condições, dizemos que S é um superfície suve e definimos: Áre de S = N(u, v) dudv Integrl de Superfície Imgine um distribuição bem fin de mss sobre um superfície S. Isso é chmdo de distribuição superficil de mss. Se densidde de mss (mss por unidde de áre) é um constnte λ, em tod superfície, mss totl d distribuição superficil de mss é densidde vezes áre de S. M = λ(áre de S) 4

6 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE Se, no entnto, mss vri continumente de ponto ponto λ = λ(x, y, z), então mss totl tem que ser clculd por integrção. Pr desenvolver integrl proprid, suponh que S sej prmetrizd por S : r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, com u, v, sej um superfície suve, um superfície que stisfz s condições pr fórmul: Áre de S = N(u, v) dudv é: Fzendo s proximções por Riemnn, temos que mss totl de distribuição superficil M = λ[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] N(u, v) dudv A integrl dupl pode clculd pr qulquer cmpo esclr H contínuo sobre S, não pens pr um função densidde de mss λ. Definição 1.4 (Integrl de Superfície) hmmos integrl de superfície de H sobre S e escrevemos: H(x, y, z)dσ = H[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] N(u, v) dudv S onde dσ = N(u, v) dudv é o elemento de áre. 5