Integrais de Funções Vetoriais7 sobre Curvas em R 3

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1 AULA Integris de Funções Vetoriis7 sobre urvs em R 3 META: Apresentr integris de funções vetoriis definids sobre curvs em R 3. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos deverão ser cpzes de: Definir integris de funções vetoriis definids sobre curvs em R 3 e clculr integris de lgums funções vetoriis definids sobre curvs em R 3. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integris de funções de vlores reis com domínio em R, d disciplin álculo I, vetores d disciplin Vetores e Geometri nlític e curvs em R 3 d disciplin álculo II.

2 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R Introdução ros lunos noss ul de hoje Integris de Funções Vetoriis sobre urvs tem um forte sbor de físic pois, veremos coiss como: clculo do trblho de um forç (função vetoril) o longo de um trjetóri (curv) ou fluxo de um cmpo de vetores trvés de um curv (o termo fluxo é tipicmente d físic). Isto, não quer dizer que vocês tenhm que se empenhr nos spectos físicos, devendo pens ter-se os spectos mtemáticos que são os objetivos de noss ul. 7.2 urvs em R 3 Nest seção fremos um pequen recpitulção sobre curvs em R 3, que vocês já virm em álculo II. Será um breve resumo onde estremos recpitulndo s definições e principis resultdos. onsidereremos um curv R 3 dd prmetricmente por: x = ˆx(t), y = ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b] ou em su form vetoril r r r(t) =ˆx(t) i i i +ŷ(t) j j j +ẑ(t) k k k. O vetor tngente unitário à é ddo por: T T T (t) = d r r r(t) 1 d r r r(t) A velocidde e celerção de um prtícul seguindo curv, com movimento ddo por r r r(t), no instnte t são dds por: 122

3 álculo III AULA 7 v v v(t) = d r r r(t) (t) = d2 r r r(t) 2 = dˆx(t) i i i + dŷ(t) j j j + ẑ(t) k k k = d2ˆx(t) 2 i i + d2 ŷ(t) 2 j j + d2 ẑ(t) 2 O comprimento de rco d curv R 3 prmetrizd por x =ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), no intervlo [, t] é ddo por: k k k ŝ(t) = t ) (dˆx(t) 2 ( ) dŷ(t) 2 ( ) dẑ(t) Podemos inverter s =ŝ(t) como t = ˆt(s) e descrever curv R 3 prmetrizd por comprimento de rco x = ˆx(ˆt(s)), y =ŷ(ˆt(s)) e z =ẑ(ˆt(s)). A curvtur de é definid por: dt k(s) = T (s) ds e pode ser clculd usndo-se fórmul: k(t) = 1 v v v(t) d T T T (t) O vetor norml unitário é definido por: N N(t) N dt = T (t) 1 dt (t) O vetor binorml à curv R 3 é definido por: B B B(t) = T T T (t) N N N(t) Finlmente torção d curv R 3 é definid por: 123

4 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 τ(s) = d B B B(s) ds N N N 7.3 Mss, Momento de Mss e Momento de Inérci de urvs em R 3 Muito embor o cálculo d mss, momento de mss e centro de mss de um curv R 3 não envolv integrção de funções vetoriis, começremos por qui. Sej R 3, um curv contínu e lis, prmetrizd por comprimento de rco e ϱ : R 3 R +, densidde liner de mss de onde: (x, y, z), ϱ(x, y, z) > 0. Definição 7.1. A mss de R 3, denotd m(), é definid por: m() = ϱ(x, y, z)ds Definição 7.2. O momento de mss de R 3 reltivo o plno yz, denotd M yz (), é definido por: M yz () = ϱ(x, y, z)xds Definição 7.3. O momento de mss de R 3 reltivo o plno xz, denotd M xz (), é definido por: M xz () = ϱ(x, y, z)yds Definição 7.4. O momento de mss de R 3 reltivo o plno xy, denotd M xy (), é definido por: M xy () = ϱ(x, y, z)zds 124

5 Definição 7.5. O centro de Mss de R 3 é ddo por ( x, ȳ, z), onde: x = M yz() m() ȳ = M xz() m() z = M xy() m() álculo III = = = ϱ(x, y, z)xds ϱ(x, y, z)ds ϱ(x, y, z)yds ϱ(x, y, z)ds ϱ(x, y, z)zds ϱ(x, y, z)ds AULA 7 Definição 7.6. O momento de inérci de R 3 reltivo o eixo x, denotd I x (), é definido por: I x () = ϱ(x, y, z)(y 2 + z 2 )ds Definição 7.7. O momento de inérci de R 3 reltivo o eixo y, denotd I y (), é definido por: I y () = ϱ(x, y, z)(x 2 + z 2 )ds Definição 7.8. O momento de inérci de R 3 reltivo o eixo z, denotd I z (), é definido por: I z () = ϱ(x, y, z)(x 2 + y 2 )ds OBS 7.1. Se curv R 3 é dd prmetricmente por: x = ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b], mss, momento de mss reltivo os plnos yz, xz e xy, momento de inérci reltivo os eixos x, y e z respectivmente pode ser clculdos por: 125

6 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 m() = M yz () = M xz () = M xy () = I x () = I y () = I z () = b b b b b b b ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ˆx(t) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ŷ(t) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ẑ(t) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ŷ 2 (t)+ẑ 2 (t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ˆx 2 (t)+ẑ 2 (t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ˆx 2 (t)+ŷ 2 (t)) v v v(t) 7.4 mpos Vetoriis: Trblho, irculção e Fluxo onsideremos um cmpo de vetores F F F : D R 3 R 3 e um curv D contínu e suve. Definição 7.9. Definimos o fluxo integrl de escomento do cmpo vetoril F o longo d curv R 3 por: Φ(F, ) = F F F T T Tds OBS 7.2. Qundo curv é simples e fechd, o fluxo integrl de escomento é denomindo de circulção e escrevemos: Φ(F, ) = F F F T T Tds OBS 7.3. Se curv D R 3 é prmetrizd por: x =ˆx(t), y = ŷ(t) e z = ẑ(t), t [, b]. Podemos interpretr o cmpo 126

7 álculo III vetoril F : D R 3 R 3 como um cmpo de forç no espço, curv D R 3 como um trjetóri, prmetrizção d curv D R 3 dd por x =ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b] como o movimento de um prtícul seguindo trjetóri eo fluxo integrl de escomento como o trblho executdo pel forç F F F o longo de e ddo por: AULA 7 T (F, ) = b F F F (ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t)) T T T (t) OBS 7.4. Se curv R 3 é representd vetorilmente por: r r r =ˆx(t) i i i+ŷ(t) j j j+ẑ(t) k k, t [, b], e o cmpo vetoril F : D R 3 R 3 representdo por: F = f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k k, onde f 1,f 2,f 3 : D R 3 R são funções de vlores reis, o fluxo integrl de escomento pode ser escrito como um ds três forms: T (F, ) = T (F, ) = T (F, ) = b F F F d r r r (f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz) ( ) dˆx(t) dŷ(t) dẑ(t) f 1 + f 2 + f 3 onsiderremos, gor o cso prticulr de um curv pln D R 2 simples e fechd e de um cmpo vetoril F : D R 2 R 2. Interpretremos o cmpo vetoril F como o cmpo de velocidde de um fluido que trvess região D R 2. Definição Definimos o fluxo de F trvés de por: φ(f, ) def = F F F N Nds onde: N N N é norml unitári exterior. 127

8 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R Independênci do minho onsideremos um cmpo vetoril F F F : D R 3 R 3, dois pontos A, B D e um cminho D ligndo o ponto A o ponto B. O trblho relizdo pr mover um prtícul do ponto A o B ponto B o longo d trjetóri, ddo por F F F dr de modo gerl depende do cminho que lig os dois pontos. Porém, pr lguns cmpos vetoriis este trblho depende pens dos pontos A e B. A Definição Sejm F : D R 3 R 3 um cmpo vetoril e B dois pontos A, B D. Se F F F dr é mesm D prmetrizd por: x =ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b] tl que A = () e B = (b) dizemos que F F F é um cmpo conservtivo em D. A Vmos em seguid definir um operdor diferencil vetoril muito importnte denomindo grdiente, A sber: Definição Sejm f : D R 3 R um função derivável de vlores reis. Definimos o grdiente de f, denotdo f, como o cmpo vetoril f : D R 3 R 3 ddo por: f def = f x i i i + f y j j j + f z k k k Qundo um cmpo vetoril pode ser ddo pelo grdiente de um cmpo esclr, dizemos que o cmpo esclr é um função potencil pr o cmpo vetoril. A sber: Definição Sejm F F F : D R 3 R 3 um cmpo vetoril e f : D R 3 R um função derivável de vlores reis tis que 128

9 F F F = f então f é dit um função potencil pr o cmpo vetoril F F F em D álculo III AULA 7 Dqui por dinte considerremos um curv lis i.e. constituíd por um número finito de curvs simples unids pels extremiddes e D um conjunto berto e conexo i.e. ddo qulquer ponto de D existe um bol de centro no ponto inteirmente contid em D e ddo dois pontos quisquer de D o segmento de ret que os une está inteirmente contido em D. onsiderremos o cmpo vetoril F : D R 3 R 3 ddo por F = f1 (x, y, z) i i i+f 2 (x, y, z) j j j +f 3 (x, y, z) k onde f 1,f 2,f 3 : D R 3 R são funções de vlores reis contínus e com derivds de primeir ordem contínus. Teorem 7.1. Sejm F : D R 3 R 3 ddo por F = f1 (x, y, z) i i i+ f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k onde f1,f 2,f 3 : D R 3 R são funções de vlores reis contínus e com derivds de primeir ordem contínus em um região D R 3 bert e conex do espço. Então existe um função f : D R 3 R contínu e diferenciável em D R 3 tl que F f = f = x i i + f y j j + f z k se somente se F for um cmpo conservtivo. PROVA: Provremos qui suficiênci do teorem i.e. Se existe um função f : D R 3 R contínu e diferenciável em D R 3 tl que F f = f = x i i + f y j j + f z k então F é um cmpo conservtivo. Suponh dois pontos A, B D e um curv D prmetrizd por r r r(t) =ˆx(t) i i i +ŷ(t) j j j +ẑ(t) k k, t [, b] tl que A = () e B = (b). Ao longo d curv féum função f(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t)) derivável com relção t e levndo em cont regr d cdei temos: 129

10 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 df = f dˆx x + f dŷ y + f dẑ z Por outro ldo o grdiente de f e derivd do vetor posição r r r com relção t são ddos por: f = f x i i + f y j j + f z k d r r r = dˆx i i + dŷ j j + dẑ k Fzendo o produto esclr de f por d r r r o longo de temos: f d r r r = f dˆx x + f dŷ y + f dẑ z omo F = f o longo de temos: F F F d r r r = f dˆx x + f dŷ y + f dẑ z O trblho relizdo por F o longo d curv do ponto A té o ponto B é ddo por: F F F d r r r = F F F d r r r Aproveitndo s equções cim podemos escrever: ( F F F f dˆx d r r r = x + f dŷ y + f ) dẑ z b F F F df d r r r = F F F d r r r = f(ˆx(b), ŷ(b), ẑ(b)) f(ˆx(), ŷ(), ẑ()) Portnto F F F d r r r é independente do cminho que lig o ponto A o ponto B provndo ssim que F F F é um cmpo conservtivo. ros lunos deixmos como desfio prov d necessidde. Novmente vocês podem recorrer os livros de álculo Avnçdo. Temos outro teorem que crcteriz cmpos vetoriis conservtivos. A sber: Teorem 7.2. Sej F : D R 3 R 3 um cmpo vetoril ddo por: F = f1 i i + f 2 j j + f 3 k k, cujs funções componentes f1,f 2,f 3 : D R 3 R tem derivds prciis de primeir ordem contínus. 130

11 álculo III Então F f 1 é conservtivo se, somente se y = f 2 x, f 1 z = f 3 x e f 2 z = f 3 y AULA 7 PROVA: Novmente vmos provr suficiênci. Se F F F é conservtivo, existe f : D R 3 R tl que: F F F = f x i i + f y j j + f z k k. Em outrs plvrs: f 1 = f x, f 2 = f y e f 3 = f z. Dí temos: f 1 y = 2 f y x e f 2 x = 2 f x y. D continuidde ds derivds prciis de f 1 e f 2 temos: f 1 y = f 2. De form semelhnte temos: x f 1 z = 2 f z x e f 3 x = 2 f x z. D continuidde ds derivds prciis de f 1 e f 3 temos: f 1 z = f 3 x. E finlmente: f 2 z = 2 f z y e f 3 y = 2 f y z. D continuidde ds derivds prciis de f 2 e f 3 temos: f 2 z = f 3 y. Deixmos demonstrção d necessidde pr vocês. Novmente consultem livros de álculo Avnçdo. Vejmos gor como determinr o cmpo potencil qundo ele existe, utilizndo um exemplo. 7.6 Algums Aplicções ds Integris de Linh Veremos gor dus plicções ds integris de linh de cmpos vetoriis sobre curvs no espço. Exemplo 7.1. lculr o trblho relizdo pelo cmpo de forç 131

12 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 F : R 3 R 3 ddo por F F F (t) =z i i i +0 j j j + xy k k k o longo d hélice Figur 7.1: Gráfico do exemplo 1 R 3 dd por r r r = cos(t) i i i + sin(t) j j j + bt k k, t [0, 4π] (ver Fig. 7.1 ). SOLUÇÃO: Derivndo o vetor posição r r r(t) com relção t temos: d r r r(t) = sin(t) i i i + cos(t) j j j + b k k k O cmpo de forç F F F o longo d curv R 3 éddopor: F F F (t) =bt i i i +0 j j j + 2 sin(t) cos(t) k k k Fzendo o produto esclr de F F F (t) por d r r r(t) temos: F F F (t) d r r r(t) = bt sin(t)+b 2 sin(t) cos(t) lculndo o trblho relizdo pel forç F F F (t) o longo d curv 132

13 temos: T ( F F,) = = 4π F F F (t) d r r r(t) F F F (t) d r r r(t) álculo III = ( bt sin(t)+b 2 sin(t) cos(t)) 0 = b( sin(t)+tcos(t)) + b2 2 sin2 (t) 4π 0 = b( sin(4π)+4πcos(4π)) + b2 2 sin2 (4π) (b( sin(0) + 0 cos(0)) + b2 2 sin2 (0)) = 4πb AULA 7 E gor sem demor o segundo exemplo. Exemplo 7.2. lculr o trblho relizdo pelo cmpo de forç constnte F : R 3 R 3 ddo por F F F = K i i i + Ky j j j + K k k k o longo d Figur 7.2: Gráfico do exemplo 2 curv R 3 d intersecção d esfer (x ) 2 +(y ) 2 +(z ) 2 = 2 e do plno x z =0(ver Fig. 7.1 ). SOLUÇÃO: Primeir cois fzer é obter um prmetrizção pr curv. omo (x ) 2 +(y ) 2 +(z ) 2 = 2 x z =0 133

14 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 curv R 3 pertence ret podemos eliminr z = y n equção d esfer e temos: 2(x ) 2 +(y ) 2 = 2, podemos propor como prmetrizção stisfzendo equção cim: y = + sin(t) e x = cos(t). omo z = x temos: 2 z = + 2 cos(t). Resumindo temos seguinte prmetrizção pr intersecção d esfer como plno ddos: 2 x = + 2 cos(t) y = + sin(t) t [ π, +π]. 2 z = + 2 cos(t) Podemos escrever o vetor posição r r r como: 2 r r r =( + 2 cos(t)) i i +( + sin(t)) j 2 j j +( + 2 cos(t)) k k. Derivndo o vetor posição r r r(t) com relção t temos: d r r r(t) = 2 2 sin(t) i i + cos(t) j 2 j j 2 sin(t) k Ao longo d curv R 3 o cmpo de forç é ddo por: F F F (t) =K i i i + K(1 + sin(t)) j j j + K k k. Fzendo o produto esclr de F d r r r(t) (t) por temos: F F F (t) d r r r(t) 2 = 2 Ksin(t)+K2 (1 + sin(t)) cos(t) 2 2 Ksin(t) = 2Ksin(t)+K 2 (1 + sin(t)) cos(t) lculndo o trblho relizdo pel forç F F F (t) o longo d curv 134

15 álculo III temos: T ( F F,) = F F F (t) d r r r(t) = F F F (t) d r r r(t) +π = ( 2Ksin(t)+K 2 (1 + sin(t)) cos(t)) π = ( 2 2Kcos(t) 2 K2 (1 + sin(t)) 2 ) +π π = 0 AULA 7 Vejmos mis um exemplo. Dest vez veremos como determinr função potencil pr um cmpo conservtivo. Exemplo 7.3. Sej F : R 3 R 3 um cmpo vetoril conservtivo ddo por: F = yz i i +(xz +1) j j j + xy k k. Determine su função potencil. SOLUÇÃO: Primeirmente testremos se o cmpo vetoril F é um cmpo conservtivo, usndo condição necessári e suficiente dd por: f 1 y = f 2 x, f 1 z = f 3 x e f 2 z = f 3 y. omo pr o F ddo f1 = yz, f 2 = xz +1e f 3 = xy temos: f 1 y = z = f 2 x, f 1 z = y = f 3 x e f 2 z = x = f 3 y. A condição está stisfeit e F é um cmpo vetoril conservtivo e podemos procurr o f : R 3 R tl que: F F F = f = f x i i + f y j j + f z k k. De onde tirmos: f x = f 1 = yz f y = f 2 = xz +1 f z = f 3 = xy 135

16 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 Integrndo primeir equção f = yz com relção x temos: x f = xyz + g(y, z) pois dí tirmos f x = yz. Temos gor que determinr o g(y, z) de modo que segund equção sejm stisfeit. Derivndo f = xyz + g(y, z) com relção y temos: f g = xz + y y. omprndo com segund equção f = xz +1temos: y g y =1. Integrndo com relção y temos: g(y, z) =y + h(z) pois dí tirmos g y =1. Podemos reescrever f comos: f + xyz + y + h(z). Temos gor que determinr o h(z) de modo que terceir equção sejm stisfeit. Derivndo f = xyz + y + h(z) com relção z temos: f dh = xy + y dz. omprndo com terceir equção f = xy temos: z dh dz =0. Logo h(z) =K é um constnte que podemos sem perd de generlidde fzer igul zero e f pss ter form finl: f(x, y, z) =xyz + y 7.7 onclusão N ul de hoje, vimos como integrr cmpos vetoriis (funções vetoriis) o longo de curvs no espço e no plno. Que, essencilmente, os conceitos por trás d integrção de cmpos vetoriis 136

17 como circulção e fluxo sobre curvs estão intimmente ligdos à Físic. álculo III AULA 7 RESUMO Sej R 3, um curv contínu e lis, prmetrizd por comprimento de rco e ϱ : R 3 R +, densidde liner de mss de onde: (x, y, z), ϱ(x, y, z) > 0. Definição: Mss A mss de R 3, denotd m(), é definid por: m() = ϱ(x, y, z)ds Definição: Momento de Mss reltivo os plnos yz, xz e xy. O momento de mss de R 3 reltivo o plno yz, xz e xy denotdos M yz (), M xz () e M xy () são definidos respectivmente por: M yz () = M xz () = M xy () = ϱ(x, y, z)xds ϱ(x, y, z)yds ϱ(x, y, z)zds Se curv R 3 é dd prmetricmente por: x =ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b], mss, momento de mss reltivo os plnos yz, xz e xy, respectivmente pode ser clculdos por: 137

18 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 m() = M yz () = M xz () = M xy () = b b b b Definição: entro de Mss. ddo por ( x, ȳ, z), onde: x = M yz() m() ȳ = M xz() m() z = M xy() m() ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ˆx(t) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ŷ(t) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))ẑ(t) v v v(t) = = = O centro de Mss de R 3 é ϱ(x, y, z)xds ϱ(x, y, z)ds ϱ(x, y, z)yds ϱ(x, y, z)ds ϱ(x, y, z)zds ϱ(x, y, z)ds Definição: Momento de Inérci reltivo os eixos x, y e z. momento de inérci de R 3 reltivo o eixos x, y e z denotdos I x (), I y () e I z () são definidos respectivmente por: I x () = ϱ(x, y, z)(y 2 + z 2 )ds I y () = ϱ(x, y, z)(x 2 + z 2 )ds I z () = ϱ(x, y, z)(x 2 + y 2 )ds Se curv R 3 é dd prmetricmente por: x =ˆx(t), y =ŷ(t) e z =ẑ(t), t [, b], o momento de inérci reltivo os eixos x, y e z, respectivmente pode ser clculdos por: O 138

19 I x () = I y () = I z () = b b b ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ŷ 2 (t)+ẑ 2 (t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ˆx 2 (t)+ẑ 2 (t)) v v v(t) ϱ(ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t))(ˆx 2 (t)+ŷ 2 (t)) v v v(t) Definição: Fluxo Integrl de Escomento. Sej um cmpo de vetores F : D R 3 R 3 e um curv D contínu e suve. Definimos o fluxo integrl de escomento do cmpo vetoril F o longo d curv R 3 por: Φ(F, ) = álculo III F F F T T Tds Alterntivmente se curv R 3 é representd vetorilmente por: r r r =ˆx(t) i i i +ŷ(t) j j j +ẑ(t) k k, t [, b] e o cmpo vetoril F F F : D R 3 R 3 por: F = f1 (x, y, z) i i i + f 2 (x, y, z) j j j + f 3 (x, y, z) k k, AULA 7 com f 1,f 2,f 3 : D R 3 R são funções de vlores reis, o fluxo integrl de escomento pode ser escrito como: T (F, ) = F F F d r r r T (F, ) = (f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz) T (F, ) = b ( ) dˆx(t) dŷ(t) dẑ(t) f 1 + f 2 + f 3 Definição: mpo onservtivo. Sejm F : D R 3 R 3 um B cmpo vetoril, dois pontos A, B D. Se ( (F ) dr é constnte D prmetrizd por: A x = ˆx(t), y = ŷ(t) e z = ẑ(t), t [, b] tl que A = () e B = (b) dizemos que F F F é um cmpo conservtivo em D. Definição: Grdiente. Sejm f : D R 3 R um função derivável de vlores reis. Definimos o grdiente de f, denotdo 139

20 Integris de Funções Vetoriis sobre urvs em R 3 f, como o cmpo vetoril f : D R 3 R 3 ddo por: Definição: Função Potencil. f def = f x i i i + f y j j j + f z k k k Sejm F F F : D R 3 R 3 um cmpo vetoril e f : D R 3 R um função derivável de vlores reis tis que F F F = f então f é dit um função potencil pr o cmpo vetoril F F F em D PRÓXIMA AULA Em noss próxim ul veremos, essencilmente, integrção de funções reis e cmpos vetoriis (funções vetoriis) sobre superfícies S R 3. Veremos tmbém como clculr áre, mss, momento de mss e centro de mss de superfícies. ATIVIDADES Deixmos como tividdes os seguintes problems envolvendo integrção de cmpos vetoriis sobre curvs no espço. ATIV Sej F F F : R 3 R 3 o cmpo vetoril ddo por: F F F (x, y, z) = y(2xyz 2 + e xy ) i i i + x(2xyz 2 + e xy ) j j j +2x 2 y 2 z k k k: Mostre que cmpo vetoril F F F é conservtivo. Determine um função potencil f : R 3 R tl que F F F = f. 140

21 álculo III omentário: Volte o texto e revej com clm e tenção os problems resolvidos cim, eles lhe servirão de gui. AULA 7 ATIV Sejm F : R 3 R 3 o cmpo vetoril ddo por: F F F (x, y, z) =y i i i + z j j j + b k k, b 0e R 3 curv no espço dd por r r r(t) = cos(t) i i i + sin(t) j j j + c k k, t [0, 2π],, c > 0. Determine o trblho relizdo por F o longo d curv. omentário: Volte o texto e revej com clm e tenção os problems resolvidos cim, eles lhe servirão de gui. LEITURA OMPLEMENTAR ÁVILA, Gerldo, álculo 3: Funções de Váris Vriáveis, Livros Técnicos e ientíficos Editor, São Pulo, 3 edição, LEITHOLD, Louis, O álculo com Geometri Anlític. Volume 2, Editor Hrbr, STEWART, Jmes,álculo. Volume 3, 5 edição, Editor EN- GAGE Lerning, SWOKOWSKI, Erl E., álculo com Geometri Anlític, Volume 2, 2 edição, Mkron Books do Brásil SP, THOMAS, George B., álculo, Volume 2, 10, Addilson Wesley, KAPLAN, Wilfred, álculo Avnçdo Vol.1 e vol.2 Editor Edgrd Blücher 1991.// SPIEGEL, Murry R. álculo Avnçdo, Editor McGrw-Hill do Brsil, BOUHARA, Jcques, álculo Integrl Avnçdo, EDUSP,