Tópicos de Física Clássica I Aula 3

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1 Tópicos de Físic Clássic I Aul 3 c tort As equções de Euler (1744) e Lgrnge (1755) O cálculo vricionl ou de vrições foi introduzido por Leonhrd Euler com publicção do seu livro Methodus inveniendi lines curvs mximi minimive propriette gudentes, sive solutio problemtis isoperimetrici ltissimo sensu ccepti Um método pr descobert de linhs curvs que gozm d propriedde de máximo ou mínimo, ou solução do problem isoperimétrico considerdo no seu sentido ltíssimo. Muitos historidores d mtemátic considerm o livro como mrcndo o início d teori do cálculo de vrições. A bordgem de Euler foi perfeiçod por um jovem de 19 nos que vivi em Turim em um crt envid Euler em O jovem chmv-se Ludovico de l Grnge Tournier e hoje conhecido como Joseph Louis Lgrnge ( ). Lgrnge trnsformou lingugem geométric de Euler em lingugem nlític simplificndo o método. Figur 1: Leonhrd Euler, ( ). (Imgens Wikipedi) 1

2 Nots de ul c tort Figur 2: O problem fundmentl do cálculo vricionl. Obtenção ds equções de Euler-Lgrnge O problem fundmentl do cálculo vricionl ou de vrições é determinr função y(x) tl que integrl J J[y] = F [y, y ; x] dx, y( ) = y ; y(x b ) = y b ; x b >, (1) sej um extremo, isto é: tenh um vlor máximo ou mínimo. A notção J[y] indic que o vlor de J depende d escolh de y(x), isto é, J é um funcionl. onde e Considere então integrl J(α) = b F [ȳ(x, α), ȳ (x, α); x] dx, (2) ȳ(x, α) = y(x) + αη(x), (3) ȳ (x, α) = y (x) + αη (x), (4) com condição de que nos extremos η(x) sej nul, isto é: η( ) = η(x b ) = 0. Derivndo em relção o prâmetro α, dj(α) dα = = x xb [ [ȳ, ȳ ; x] ȳ [ [ȳ, ȳ ; x] ȳ ȳ α + [ȳ, ȳ ; x] ȳ ] ȳ dx α ] η(x) + [ȳ, ȳ ; x] ȳ η (x) dx. (5)

3 Nots de ul c tort A condição extremnte se escreve: ( ) dj δj = dα α=0 dα = 0. (6) Fzendo α = 0, vemos que ȳ(x, α) y(x) e ȳ (x, α) y (x), temos, ( ) dj(α) xb [ [y, y ; x] = η(x) + [y, y ] ; x] dα y y η (x) dx. (7) α=0 O segundo termo pode ser integrdo por prtes: [y, y ; x] y η (x) dx = [y, y ; x] y η(x) x b η(x) d [y, y ] dx y. (8) como η( ) = η(x b ) = 0, segue que dj(α) xb [ [y, y dα ; x] α=0 == y d dx [y, y ] ; x] y η(x) dx. (9) como η(x) é um função rbitrári, ou mis rigorosmente: invocndo o lem fundmentl do cálculo de vrições (vej not complementr o finl, segue que [y, y ; x] y d (y, y ; x) dx y = 0, (10) que é equção de Euler-Lgrnge. A equção de Euler-Lgrnge é condição necessári, ms não é suficiente pr existênci de um extremo. A questão d suficiênci é bstnte complex é só foi resolvid muito mis trde, no finl do século 19 e início do século 20. Em muitos problems o extremo é um mínimo, ms pode hver surpress, como veremos mis dinte. Exemplo 1 Cminho mis curto entre dois pontos no plno Considere dois pontos e b no plno xy. Queremos encontrr o cminho mis curto entre eles. O comprimento de um trecho d curv que une os dois pontos é Portnto, ds = dx 2 + dy 2 = 1 + F [y, y ; x] = 1 + y 2, e o funcionl que queremos extremizr é J = ( ) 2 dy dx = 1 + y dx 2 dx. 1 + y 2 dx.

4 Nots de ul c tort A exigênci de que δj = 0, nos lev então à equção de E-L. As derivds prciis que necessitmos são: y = 0, Segue que equção de E-L neste cso nos dá: d dx Efetundo derivd em relção x y = y (1 + y 2 ). 1/2 y = 0. (1 + y 2 ) 1/2 y = 0. (1 + y 2 ) 3/2 Como o denomindor dest equção diferencil nunc é nulo, (1 + y 2 ) 3/2 1, podemos multiplicá-l por (1 + y 2 ) 3/2 e escrever cuj solução é y = 0, y = Ax + B, onde A e B são constntes. A equção cim é equção d ret. Pr determinr A e B usmos s condições: y( ) = y e y(x b ) = x b. Exemplo 2 Geodésics sobre superfície de um cilindro reto. Considere dois pontos fixos, e b, sobre superfície de um cilindro reto de rio R. A distânci entre esses pontos é dd pelo funcionl: b b zb ( ) 2 J = ds = R = R 2 +. Portnto, F [y, y ; x] F [z, /; z] = z R 2 + A equção de Euler-Lgrnge pertinente se escreve: z d (/) = 0. Como F não depende explicitmente de z, segue que d (/) = d ( ) 2. (/) ( ) = 0, 2 R 2 +

5 Nots de ul c tort b Figur 3: O cminho mis curto entre dois pontos sobre superfície de um cilindro reto é um rco de hélice. logo, derivndo um vez mis: (d 2 z/ 2 ) [ ( ) ] 2 1/2 (/)2 d 2 z/ 2 [ ( ) ] 2 3/2 = 0. R 2 + R 2 + Como o denomindor de mbos os termos nunc é nulo, podemos multiplicá-los [ ( ) ] 2 3/2 por R 2 +, e obter: A integrção é imedit e o resultdo é: R d2 z 2 = 0. z = C 1 φ + C 2, onde C 1 e C 2 são constntes de integrção. As geodésics são curvs helicoidis de rio constnte e pr que um dels psse pelos pontos e b, s constntes C 1 e C 2 devem ser justds com s condições z(φ ) = z e z(φ b ) = z b.

6 Nots de ul c tort Complemento 1: o lem fundmentl do cálculo vricionl Eis o lem fundmentl do cálculo de vrições [2, 3, 4] e su demonstrção: Se M(x) for um função contínu no intervlo fechdo x x b e η(x) for qulquer função que: () é contínu nesse intervlo, (b) é nul em e x b, isto é: η( ) = η(x b ) = 0, e se M(x) η(x) dx = 0, então pr tods s funções η(x) que stisfzem s condições cim segue necessrimente que M(x) é identicmente nul no intervlo x x b, isto é: M(x) 0, x [, x b ]. Demonstrção Suponh que M(x) não sej identicmente nul no intervlo fechdo x x b. Suponh que em um ponto x 0 no intervlo M(x) poss ser positiv ou negtiv. Suponhmos, sem perd de generlidde, que sej positiv, M(x 0 ) > 0. Como por hipótese M(x) é contínu no intervlo ddo, há um número rel positivo δ > 0 tl que M(x) > 0 pr todo x no intervlo x x 0 < δ. (Vej definição de continuidde no Complemento 2). Como η(x) é rbitrári podemos considerr função A demonstrção depende d existênci de pelo menos um função η(x) pr qul condição principl não é válid. η(x) = { 0, x x0 > δ; (x x 0 + δ) (x 0 + δ x), x x 0 δ. Observe que η(x) é um função contínu, vej Figur 4. Portnto, Observe que x 0 x0+δ x 0 δ é um ponto rbitrário do intervlo. M(x) η(x) dx = M(x) (x x 0 + δ) (x 0 + δ x) dx > 0. Ms este resultdo está em contrdição com s hipóteses iniciis, logo, ests serão válids somente se M(x) 0 em todo o intervlo x x b.

7 Nots de ul c tort Figur 4: Um escolh possível pr η(x) no intervl x x b. Complemento 2: continuidde Um função f(x) é contínu em um ponto x 0 se: () f(x) é definid em x 0 ; (b) lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Definição lterntiv: f(x) é contínu em x 0 se pr todo ɛ > 0 existe um δ > 0 tl que Referêncis f(x) f(x 0 ) < ɛ sempre que x x 0 < δ. [1] J. B. Mrion & S. T. Thornton Clssicl Dynmics of Prticles nd Systems 5th edition. (Thomson Brooks/Cole; Belmont) [2] I. M. Gelfnd & S. V. Fomin Clculus of Vritions (Dover; Mineol) [3] H. Sgn Boundry nd Eigenvlue Problems in Mthemticl Physics (Dover; New York) [4] R. Weinstock Clculus of Vritions (Dover; New York) 1974.