Cálculo IV EP15 Aluno

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1 Fundção entro de iêncis e Educção uperior istânci do Estdo do Rio de Jneiro entro de Educção uperior istânci do Estdo do Rio de Jneiro álculo IV EP5 Aluno Objetivo Aul 25 Teorem de tokes Estudr um teorem fmoso que generli o teorem de Green pr o espço. O Teorem de tokes ej U um berto coneo de R 3 e F (P,Q,R) um cmpo vetoril de clsse em U. ej U, um superfície regulr por prtes, orientd pelo cmpo norml unitário. ej o bordo de, com orientção induid pel de. Então, rot F n d F d r }{{}}{{} fluo do rotcionl circulção de F OB.: ej um superfície pln contid no plno, orientd com k. Então : 0, (,). Logo, d dd. ej F (,) (P(,),Q(,)), então: rot Q k F rot(p,q, 0) P. Logo, pelo Teorem de tokes, temos: r P d + Q d rot F d 0,0, Q P (0,0,) dd Q P. Isto prov que o Teorem de tokes generli o Teorem de Green.

2 álculo IV EP5 Aluno 2 omo consequênci do Teorem de tokes, temos: e U dom F é um conjunto simplesmente coneo, isto é, U é o R 3 ou U é o R 3, eceto um número finito de pontos, e se rot F 0 então F é conservtivo. O teorem ds qutro equivlêncis é ddo por: ej F (P,Q,R) um cmpo vetoril de clsse em um conjunto simplesmente coneo do R 3. Então s seguintes firmções são equivlentes: () (2) r 0 pr tod curv fechd ; r é independente do cminho; (3) F é um cmpo grdiente, isto é, F ϕ pr lgum cmpo esclr ϕ; (4) rot F 0. Eemplo Verifique o teorem de tokes, clculndo s dus integris do enuncido, pr F (,,) i + j + k e o prbolóide 2 2 com 0 e norml unitári eterior. olução: O esboço de é: Pel regr d mão direit, com o polegr no de sentido e movimentndo os dedos, vemos que curv bordo de,, fic orientd no sentido nti-horário, qundo vist de cim. Então um prmetrição de é, : cos t, sen t e 0, com 0 t 2π, donde d sen t dt, d cos t dt e d 0. Então: Fundção EIERJ onsórcio EERJ

3 álculo IV EP5 Aluno 3 Por outro ldo, r 2π 0 2π 0 2π. d + d + d [ ( sen t)( sen t) + (cost)(cost) ] dt ( sen 2 t + cos 2 t ) dt rot i j k F (0, 0, + ) (0, 0, 2). Temos, : 2 2 f(,), com (,) : Um vetor norml é ddo por N ( f, f, ) (2, 2, ) que é eterior. Logo, (2,2,) e d dd. Então rot F n d (0, 0, 2) (2, 2, ) d d 2 d d 2A() 2π 2 2π. Assim, o teorem de tokes está verificdo pr este cso. Eemplo 2 Use o teorem de tokes pr clculr F dr, onde F (,,) ( + sen, + cos, + e ) e é interseção do cilindro com o plno + b, sendo > 0, b > 0, orientd no sentido nti-horário qundo vist d prte superior do eio. olução: O esboço de está representdo n figur seguir. Fundção EIERJ onsórcio EERJ

4 álculo IV EP5 Aluno 4 b Pr plicr o teorem de tokes, precismos de um superfície cujo bordo sej curv. Então consideremos porção do plno + b, limitd por. b Pel regr d mão direit, vemos que pont pr cim. Logo, podemos descrever por : b b f(,), com (,) : Um vetor norml é : N ( f, f, ) b, 0, que pont pr cim. Então, ( b,0, ) N e d N dd. Temos: rot i j k F (, 0, ) ( 2,, 2). + sen + cos + e Fundção EIERJ onsórcio EERJ

5 álculo IV EP5 Aluno 5 o teorem de tokes, temos r 2 rot F d ( 2,, 2) b, 0, 2b 2 d d ( b+ ) πb 2πb(b + ). d d Eemplo 3 ej F (,,) ( , e, 3 + e ). ) F é conservtivo? Por quê? b) ej curv obtid como interseção d superfície , com o plno. lcule F d r, especificndo orientção escolhid. olução: ) Temos rot F (e e, , ) 0 e dom F R 3 que é um conjunto simplesmente coneo. Então, pelo teorem ds equivlêncis em R 3, segue que F é um cmpo conservtivo. b) Logo, eiste um função potencil ϕ(,,), tl que: ϕ () ϕ 32 + e (2) ϕ 3 + e (3) Integrndo (), (2) e (3) em relção, e, respectivmente, temos: ϕ(,,) f(,) (4) ϕ(,,) 3 + e + g(,) (5) ϕ(,,) 3 + e + h(,) (6) omprndo (4), (5) e (6), vemos que f(,) e, g(,) 3 e h(,) 3. Logo, ϕ(,,) e, (,,) R 3 é um função potencil de F. O esboço de está representdo n figur seguir. Fundção EIERJ onsórcio EERJ

6 álculo IV EP5 Aluno 6 B A 4 Escolhmos orientção de A (2,, ) pr B ( 2,, ). Então r ϕ(b) ϕ(a) ϕ( 2,, ) ϕ(2,, ) ( e) (8 2 e) 2. Até próim ul. Rioco K. Brreto oordendor de álculo IV Eercício : Verifique o teorem de tokes, clculndo integrl de linh e integrl de superfície pr o cmpo F e superfície. ) F(,,) 2 i j + 3 k, é prte do prbolóide interior o cilindro 2 + 2, sendo n tl que n k > 0. b) F(,,) (2,, 3), e porção do plno 0, contid no cilindro , sendo n tl que n k > 0. Eercício 2: Use o teorem de tokes pr clculr F d r, onde: ) F(,,) i + j + k e é o qudrdo de vértices (0, 0, 2), (, 0, 2), (,, 2) e (0,, 2), orientdo no sentido nti-horário qundo visto de cim; b) F(,,) i+ j+ k e é fronteir do triângulo de vértices (, 0, 0), (0,, 0) e (0, 0, ), percorrido nest ordem; c) F(,,) (,, ) e é curv interseção do cilindro 2 + 2, com o plno +, orientd no sentido nti-horário qundo vist de cim; d) F(,,) ( + 2,e 2 +, ln( 2 + ) + ) e é prmetrid por γ(t) (2 cost, 2 sen t, 4 2 sen t), com t [0, 2π]. Fundção EIERJ onsórcio EERJ

7 álculo IV EP5 Aluno 7 Eercício 3: Use o teorem de tokes pr clculr rotf n d ) F(,,) 2 e i + 2 e 2 j + 2 e k, é o hemisfério , com 0 e com orientção pr cim; b) F(,,) ( 2,, 3 ) e qulquer superfície cujo bordo sej curv γ(t) (2 cos t, 3 sen t, ), com 0 t 2π, com norml pontndo pr cim. Eercício 4: ej F(,,) ( , 3, 2 3). ) F é um cmpo conservtivo em R 3? Porquê? b) e é o segmento de ret que lig (0, 0, 0) (2,, 3), clcule F d r. Eercício 5: A integrl 2e 2 d + 2 ( 2 e 2 + cos ) d 2 sen d é independente do cminho? lcule o vlor d integrl pr curv obtid como interseção d superfície 9 2 2, com 5 com o plno, orientd no sentido de crescimento de. Fundção EIERJ onsórcio EERJ