CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 11) 1.1 Integral de Linha de um Campo Escalar. Comprimento. 1 B A dt =

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1 Instituto Superior écnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CDI-II Resumo ds Auls eórics (Semn 11) 1 Integris em Vrieddes 1.1 Integrl de Linh de um Cmpo Esclr. Comprimento Sejm A e B dois pontos em R n. Designemos por ]A, B[ o segmento de rect entre os pontos A e B. É clro que o comprimento de ]A, B[ é ddo pel norm B A. O segmento de rect ]A, B[ pode ser descrito pel prmetrizção γ :], 1[ R n, definid por Note-se que, sendo γ (t) = B A, temos B A = γ(t) = A + t(b A). 1 B A dt = 1 γ (t) dt e, portnto, o comprimento do segmento de rect [A, B] é ddo pelo integrl 1 γ (t) dt. Sej um linh descrit por um prmetrizção γ : ], b[ R n. Pr definir o comprimento de podemos recorrer o procedimento ilustrdo n figur 1. γ(t 1 ) γ(t ) = γ(t) γ(t 3 ) A = γ(t ) γ γ(t 4 ) B = γ(t 5 ) t t 1 t t t 3 t 4 t 5 Figur 1: Comprimento de um linh

2 Consideremos linh poligonl constituíd por segmentos de rect entre os pontos γ(t ), γ(t 1 ), γ(t ),, γ(t N ), em que = t < t 1 < t < < t N = b com N N. Note-se que n figur 1 temos N = 5. É fácil ceitr que o comprimento dest linh poligonl é um proimção por defeito do comprimento d linh. Note-se tmbém que o comprimento d linh poligonl cresce à medid que N. Assim, se tomrmos o supremo dos comprimentos ds linhs poligonis obtids dest form teremos um bo definição de comprimento d linh. Ddo que o comprimento d linh poligonl é ddo por N γ(t k ) γ(t k 1 k=1 o comprimento d linh será definido por l() = sup{ N N N γ(t k ) γ(t k 1 }. k=1 Note-se que, pelo eorem Fundmentl do Cálculo, temos e, portnto, γ(t k ) γ(t k 1 = N γ(t k ) γ(t k 1 k=1 N k=1 tk tk t k 1 γ (t)dt t k 1 γ (t) dt = b γ (t) dt. Assim, teremos seguinte definição de comprimento de um linh. Definição 1.1 Chm-se comprimento de um linh R n descrit pel prmetrizção γ : ], b[ R n o integrl definido por l() = b γ (t) dt. endo em cont s plicções, vmos doptr seguinte definição de integrl de linh de um cmpo esclr.

3 Definição 1. Sej φ : R n R um cmpo esclr e consideremos um linh R n descrit pel prmetrizção γ : ], b[ R n. Chm-se Integrl de Linh do Cmpo Esclr φ o longo d linh o integrl definido por b φ = φ(γ(t)) γ (t) dt Aplicções ) Comprimento de um Linh Sej φ 1. Então, o integrl de linh de φ é o comprimento d linh. b) Mss de um fio φ = b γ (t) dt = l() Sej φ : S R densidde de mss por unidde de comprimento do mteril que constitui um fio descrito por um prmetrizção γ : ], b[ R n. Então, o integrl de linh de φ b φ = φ(γ(t)) γ (t) dt = M é mss M do fio. c) Centro de mss Sej δ : S R densidde de mss por unidde de comprimento do mteril que constitui um fio de mss M descrito por um prmetrizção γ : ], b[ R n e sej φ() = 1 M iδ(); i = 1,,..., n O centro de mss é o ponto de coordends ( 1,,..., n ) clculds d form seguinte i = 1 M d) Momento de inérci b g i (t)δ(γ(t)) γ (t) dt ; i = 1,,..., n Sej L um linh rect e designemos por d L () distânci do ponto R n à linh L. 3

4 O momento de inérci d linh reltivo à rect L é o integrl de linh d função φ() = δ()d L (), ou sej, 1.1. Eemplos I L = b δ(γ(t))d L (γ(t)) γ (t) dt 1. Sej um circunferênci de rio R e centro n origem de R, (ver Figur ) e descrit por γ(t) = (R cost, R sen t) ; < t < π C R Figur : Um circunferênci de rio R em R Então, o comprimento de é ddo por l() = γ (t) dt = π Rdt = πr. Consideremos prábol P definid pel equção =, com 1 < < 1 e que se present n Figur 3. Sej γ : ] 1, 1[ R prmetrizção de P definid por g(t) = (t, t ). Então, γ (t) = (1, t) = 1 + 4t e, portnto, o comprimento de P será ddo por l(p) = t dt = 1 + 4t dt. Pr clculr este integrl recorremos à mudnç de vriável definid por t = sh θ, em que sh θ = eθ e θ. 4

5 Sbendo que é fácil ver que se tem e ch θ = eθ + e θ, ch θ sh θ = 1 sh θ = ch θ ; ch θ = sh θ. Note-se que e Portnto, teremos l(p) = sh θ = e θ = e θ θ = sh θ = 4 e θ 4e θ 1 = e θ = + 5 θ = ln( + 5) t dt = = 1 4 ln(+ 5) ch θdθ [ ( + 5) 1 ( + 5) + ln( + ] 5). P 1 1 Figur 3: Um prábol em R 3. Sej um fio de um mteril cuj densidde de mss é dd por δ(, ) = e tem configurção de um espirl descrit por (ver Figur 4) Então γ(t) = (t cost, t sen t) ; < t < 4π. γ (t) = (cost t sen t, sen t + t cost) = 1 + t ; δ(γ(t)) = t 5

6 Figur 4: Um espirl em R e, portnto, mss de será dd por M = 4π δ(γ(t)) γ (t) dt = 4π t dt = 4π 1 + t A coordend do centro de mss é dd por = 1 δ(, ) = 1 4π 1 t sen t 1 + t dt = 1 M 4π 1 + t 4π 4π t sen tdt = 1 4. Sej R 3 um fio de um mteril com densidde de mss δ(,, z) = z e cuj configurção é de um hélice ciĺındric descrit por (ver Figur 5) γ(t) = (cost, sen t, t) ; < t < 4π z Figur 5: Hélice cilíndric em R 3 Então γ (t) = e o momento de inérci de reltivo o eio z é ddo pelo integrl de linh I z () = z( + ) = 4π tdt = 8 π 6

7 Not 1.1 A fórmul do comprimento de um linh, prmetrizd por um função γ : ], b[ R n, pode ser escrit noutr form. De fcto, l() = b γ (t) dt, γ (t) = γ (t) γ (t) e, se tivermos em cont que derivd γ (t) é representd por um mtriz com n linhs e um colun, teremos γ (t) = γ (t) γ (t) = γ (t) t γ (t), em que γ (t) t design mtriz trnspost de γ (t). Sbendo que γ (t) t γ (t) é um mtriz com um linh e um colun, teremos e, portnto, γ (t) t γ (t) = det(γ (t) t γ (t)) l() = b det(γ (t) t γ (t))dt. Veremos, mis dinte, que pr o cálculo d áre de um superfície ou, mis gerlmente, pr o cálculo do volume-m de um vriedde-m teremos um fórmul semelhnte. 1. Áre de um superfície Sej {e 1, e } um bse ortonormd em R e consideremos o prlelogrmo determindo por dois vectores {t 1, t }. É sbido, d Álgebr Liner, que áre do prlelogrmo é dd pelo determinnte d mtriz cujs coluns são os vectores t 1, t escritos n bse {e 1, e }. Por eemplo, considerndo bse cnónic em R, áre do prlelogrmo definido pelos vectores t 1 = (, ) e t = (1, 1) é dd por [ ] 1 det = 1 Consideremos dois vectores linermente independentes {t 1, t } em R 3 e o prlelogrmo por eles determindo. Note-se que este prlelogrmo é um subconjunto do plno gerdo pelos dois vectores t 1 e t. Sej P esse plno. Pelo processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt plicdo {t 1, t } obtemos um bse ortonormd {e 1, e } de P d seguinte mneir: e 1 = t 1 t 1 e = v v 7

8 em que Note-se que v, e 1 = e, portnto v = t t, e 1 e 1 v = v, t = t, t t, e 1 = t t, e 1 Assim, podemos eprimir t 1 e t n bse ortonormd {e 1, e }, d seguinte form ou sej, t 1 = t 1 e 1 t = t, e 1 e 1 + t t, e 1 e t 1 = t 1 e 1 t = t, t 1 t 1 e 1 + t t, t 1 t 1 e e, portnto, áre do prlelogrmo definido por t 1 e t é o determinnte t t 1,t 1 t 1 det = t 1 t t, t 1 t t,t 1 t 1 Por outro ldo, sej mtriz cujs coluns são os vectores t 1 e t. Então t 1, t 1 t 1, t det t = = t 1 t t, t 1 t, t 1 t, t Assim, concluimos que áre do prlelogrmo determindo pelos vectores t 1 e t é dd por det t. Ests observções motivm seguinte definição de áre de um vriedde de dimensão (superfície) em R 3. Sej S R 3 um vriedde de dimensão e sej g : R 3 respectiv prmetrizção. Então vol (S) = det Dg(t)t Dg(t)dt 1.3 Integrl de um Cmpo Esclr sobre um Vriedde Sej S R n um vriedde de dimensão p e g : R n um prmetrizção de S. Sej φ : R n R um cmpo esclr. 8

9 Define-se o integrl do cmpo esclr φ sobre S como sendo o integrl φ = φ(g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt S De seguid presentm-se csos de cmpos esclres com interesse ns plicções em que S R 3 é um superfície descrit por um prmetrizção g : R 3. ) Áre: Sej φ = 1. Então, o integrl de φ é áre de S vol (S) = φ = det Dg(t)t Dg(t)dt S b) Mss: Suponhmos que S represent um folh de um mteril com densidde de mss por unidde de áre φ. Então, o integrl de φ é mss de S M = φ = φ(g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt S c) Centro de Mss: Sej S um folh de um mteril com densidde de mss α. Então, o centro de mss de S é o ponto de coordends (,, z) determinds por = 1 α = 1 g 1 (t)α(g(t)) det Dg(t) M S M t Dg(t)dt = 1 α = 1 g (t)α(g(t)) det Dg(t) M S M t Dg(t)dt z = 1 zα = 1 g 3 (t)α(g(t)) det Dg(t) M M t Dg(t)dt S d) Momento de Inérci reltivo um linh rect: Sej L um linh rect e S um folh de um mteril com densidde α. Então, o momento de inérci de S reltivo L é o integrl I L (S) = αd L = α(g(t))d L(g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt em que d L design distânci à linh L. 1.4 Eemplos S i) Consideremos superfície esféric de rio R e centrd n origem que designremos por S. S = {(,, z) R 3 : + + z = R } 9

10 Sej g : R 3 função dd por g(θ, φ) = (R sen φ cosθ, R sen φ sen θ, R cosφ) em que =], π[ ], π[ R Então g é um função de clsse C 1, injectiv, cuj derivd R sen φ sen θ R cosφcosθ Dg(θ, φ) = R sen φ cosθ R cos φ sen θ R sen φ tem crcterístic igul dois e g() = S \ {(,, z) S : = ; } = S \ N ou sej, g é um prmetrizção de S \ N. (Ver figur 6). z S N Figur 6: Prmetrizção d esfer Note-se que Dg(θ, φ) t Dg(θ, φ) = [ R sen φ R ] e, portnto det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ) = R sen φ Sendo N um semicircunferênci sobre S, temos vol (S ) = vol (S \ N) = det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ)dθdφ π ( π ) = R sen φdφ dθ π = πr sen φdφ = 4πR 1

11 ii) Consideremos superfície definid por P = {(,, z) R 3 : + = z < 1} Em coordends cilíndrics, P é descrit pel equção z = ρ. Portnto, consideremos função g : R 3 definid por g(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ ) em que =], 1[ ], π[ R Est função é de clsse C 1, injectiv e su derivd cosθ ρ sen θ Dg(ρ, θ) = sen θ ρ cosθ ρ tem crcterístic igul dois. Pr lém disso, g() = P \ {(,, z) P : ; = } = P \ N z P N Figur 7: Prmetrizção de um prbolóide Portnto, função g é um prmetrizção de P \ N. (Ver figur 7). Note-se que Dg(ρ, θ) t Dg(ρ, θ) = [ 1 + 4ρ ρ ] e, portnto, det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ) = ρ 1 + 4ρ 11

12 Sendo N um linh sobre P, temos, vol (P) = vol (P \ N) = iii) Sej C superfície cónic definid por = = π 6 π det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ)dρdθ 1 ( 1 = π 6 (53/ 1) ρ ) 1 + 4ρ dρ dθ 1ρ 1 + 4ρ dρ C = {(,, z) R 3 : < + = z < 1} Em coordends cilíndrics C é descrit pel equção z = ρ e, portnto, tl como no eemplo nterior, consideremos função g : R 3 definid por g(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ) em que =], 1[ ], π[ R Est função é de clsse C 1, injectiv e su derivd cosθ ρ sen θ Dg(ρ, θ) = sen θ ρ cosθ 1 tem crcterístic igul dois. Pr lém disso, g() = C \ {(,, z) M : ; = } = C \ N Portnto, função g é um prmetrizção de C \ N. (Ver figur 8). Note-se que det Dg(ρ, θ) t Dg(ρ, θ) = ρ Sendo N um segmento de rect sobre C, temos, vol (C) = vol (C \ N) = det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ)dρdθ π ( 1 ) = ρdρ dθ = π = π 1 1 ρdρ

13 z C N Figur 8: Prmetrizção de um cone iv) Consideremos porção do plno, representdo n figur 9, definido por Π = {(,, z) R 3 : + + z = 1 ; > ; > ; z > } e respectiv prmetrizção g : R 3 dd por g(, ) = (,, 1 ) em que = {(, ) R : < < 1 ; < < 1 }. z Π Figur 9: Prmetrizção de um plno Sendo Dg(, ) =

14 obtemos vol (Π) = = 3dd 1 ( 1 = 3 3 = 1 3d ) d (1 )d v) Consideremos o toro com rios R e r definido por = {(,, z) R 3 : ( + R) + z = r } ou sej, superfície que se obtém fzendo rodr em torno do eio z circunferênci no plno z com centro em (R, ) e rio r e descrit pelo ângulo φ, contdo prtir do plno z = no sentido positivo. Designemos por θ o ângulo de rotção em torno do eio z e medido prtir do eio no sentido positivo. z z N φ Figur 1: Prmetrizção de um toro Sej e g : D R 3 definid por D = {(θ, φ) R : < θ < π, < φ < π} g(θ, φ) = ((R + r cosφ) cosθ, (R + r cosφ) sen θ, r sen φ) Fcilmente se verific que g é de clsse C 1 e injectiv e respectiv derivd (R + r cosφ) sen θ r sen φ cosθ Dg(θ, φ) = (R + r cosφ) cosθ r sen φ senθ r cosφ 14

15 tem crcterístic igul dois. Portnto, g é um prmetrizção de em que tl como se represent n figur 1. \ N N = {(,, z) : z = } {(,, z) : = } Sendo N união de dus linhs em, temos vol ( ) = vol ( \ N) = det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ)dθdφ D π ( π ) = r(r + r cosφ)dθ dφ vi) Consideremos superfície dd por = 4π Rr H = {(,, z) R 3 : + = z + 1, < z < 1} e que represent um folh de um mteril com densidde de mss dd por α(,, z) = 1 z + 1. Em coordends cilíndrics (ρ, θ, z) est superfície é descrit pel equção ρ = z + 1 e, portnto, consideremos função g : R 3 definid por g(θ, z) = (( z + 1) sen θ, ( z + 1) cosθ, z) em que = {(θ, z) R : < θ < π ; < z < 1} Então, g é de clsse C 1, injectiv e respectiv derivd ( z + 1) sen θ z cos θ z +1 Dg(θ, z) = ( z z + 1) cosθ sen θ z +1 1 tem crcterístic igul dois, ou sej é um prmetrizção de H \ N em que tl como se represent n figur 11. N = {(,, z) : =, } 15

16 z H N Figur 11: Prmetrizção de um hiperbolóide A mss de C é dd por M = C α = = π π = π ( 1 α(g(θ, z)) ) det Dg(θ, z) t Dg(θ, z)dz dθ ( 1 ) 1 z + 1dz dθ z + 1 A coordend z do centro de mss de C é dd por z = 1 zα = 1 π ( 1 g 3 (θ, z)α(g(θ, z)) ) det Dg(θ, z) M C π t Dg(θ, z)dz dθ = 1 π ( 1 ) zdz dθ π = 1 Sej d z (,, z) = + distânci o eio z. O momento de inérci de C reltivo o eio z é ddo por I z = αd z = α(g(θ, z))d L (g(θ, z)) det Dg(θ, z) t Dg(θ, z)dθdz C π ( 1 ) = (z + 1)dz dθ = 8π 3 16

17 1.5 Integrl de linh de um cmpo vectoril. rblho Definição 1.3 Sej S R n um berto e F : S R n um cmpo vectoril e consideremos um linh S representd pelo cminho g : [, b] R n de clsse C 1 (cminho regulr). Ao integrl b F dg = F(g(t)) g (t)dt chmmos integrl de linh do cmpo vectoril F o longo do cminho g ou, trblho relizdo pelo cmpo F o longo do cminho g. Sendo g de clsse C 1, consideremos su derivd g g(t + h) g(t) (t) = lim. h h l como se ilustr n Figur 1, derivd g (t) define direcção d tngente à linh no ponto P = g(t). Note-se que à medid que h secnte [P, Q] vi-se trnsformndo n tngente. P = g(t) = g (t) Q = g(t + h) Figur 1: ngente um linh Portnto, se o cmpo vectoril F for, em cd ponto P = g(t), ortogonl o vector tngente g (t) nesse ponto, então o trblho relizdo pelo cmpo F o longo do cminho g será nulo. eorem 1.1 eorem Fundmentl do Cálculo Sej S R n um conjunto berto, φ : S R um cmpo esclr de clsse C 1 e S linh definid pelo cminho regulr g : [, b] R n com início no ponto A e fim no ponto B. 17

18 Então, φ dg = φ(b) φ(a) De fcto, sendo A = g() e B = g(b), temos φ dg = b b φ(g(t)) g (t)dt d = dt φ(g(t))dt = φ(g(b)) φ(g()) = φ(b) φ(a) Definição 1.4 Ddo um cmpo vectoril F : S R n se eistir um cmpo esclr φ : S R tl que F() = φ() dizemos que F é um cmpo grdiente e que φ é o potencil esclr de F. Consequêncis: ) O integrl de linh de um cmpo grdiente não depende do cminho. Depende pens do ponto inicil A e do ponto finl B. b) Se linh for fechd, ou sej, se A = g() = g(b) = B e se F = φ, então F dg = φ dg = Sej F um cmpo grdiente e de clsse C 1. Então, eiste um cmpo esclr φ tl que e, derivndo em ordem j, obtemos F i = φ i ; i = 1,,..., n D j F i = j φ i = i φ j = D i F j ; i j 18

19 Definição 1.5 Ddo um cmpo vectoril F tl que D j F i = D i F j ; i j diz-se que F é um cmpo fechdo. Assim, ser fechdo é condição necessári pr que um cmpo vectoril sej grdiente. Eemplos: 1. Cmpo grvitcionl: Sej M um mss pontul e situd n origem de R 3. O cmpo grvitcionl gerdo pel mss M é ddo por (,, z) r F(,, z) = GM (,, z) = GM 3 r 3 em que r = (,, z) e G é constnte universl d grvitção. Fcilmente se verific que o cmpo grvitcionl é um grdiente e o seu potencil é função 1 φ(,, z) = GM (,, z) = GM 1 r = GM + + z ou sej F(,, z) = (F 1 (,, z), F (,, z), F 3 (,, z)) = ( φ, φ, φ ) z Note-se que o domínio do cmpo F coincide com o domínio do respectivo potencil φ, ou sej, F = φ em R 3 \ {(,, )}.. Consideremos o cmpo vectoril F(, ) = (, ) definido em R. rt-se de um cmpo fechdo porque se tem F 1 = F = e, portnto, há possibilidde de que sej um grdiente. Pr determinr o respectivo potencil esclr, cso eist, consideremos s equções = φ = φ 19

20 D primeir equção, obtemos e d segund equção em que C é um constnte. φ(, ) = + K() K() = + C Assim, o potencil esclr do cmpo F é ddo por φ(, ) = + + C 3. Sej F : R \ {(, )} R o cmpo vectoril definido por ( ) F(, ) = +, + Fcilmente se verific que F é um cmpo fechdo e que F(, ) = 1 log( + ) ou sej, F é um cmpo grdiente e o respectivo potencil é o cmpo esclr φ definido por φ(, ) = 1 log( + ) = log +. nto F como φ estão definidos no mesmo domínio, R \ {(, )}. 4. Consideremos o cmpo vectoril F : R \ {(, )} R definido por ( F(, ) = ) +, + Fcilmente se verific que F é um cmpo fechdo. Note-se que pr, temos + = ( ) rctn ; + = ( ) rctn. No entnto, o cmpo esclr φ(, ) = rctn ( ) está definido no subconjunto de R em que e, portnto, não coincide com o domínio do cmpo vectoril F que é o conjunto R \ {(, )}. Assim, função rctn ( ) não é um potencil esclr do cmpo F. Sej um circunferênci de rio R e centro n origem e descrit pelo cminho g : [, π] R definido por g(t) = (R cost, R sen t).

21 Então F dg = π ( R sen t, R cost ) ( R sen t, R cost)dt = π R R Sendo g um cminho fechdo, concluímos que o cmpo F não é um cmpo grdiente em R \ {(, )}. Se considerrmos o cmpo F como estndo definido pens no berto {(, ) : > }, então F é um grdiente cujo potencil é função ( φ(, ) = rctn. ) O mesmo se pssrá pr o conjunto {(, ) : < } ou sej, há subconjuntos de R \ {(, )} em que F é um cmpo grdiente. Note-se que o conjunto S = {(, ) : > } é conveo, ou sej, ddos dois pontos quisquer P e Q em S, o segmento de rect [P, Q] está contido em S. No entnto, o conjunto R \ {(, )} não é conveo. Note-se tmbém que o integrl de linh de F o longo de um circunferênci centrd n origem não depende do rio. *** Deste eemplo surgem três questões importntes: ) Será que o cmpo F é grdiente nos subconjuntos conveos de R \ {(, )}? b) Será possível crcterizr os subconjuntos de R \ {(, )} em que F é um cmpo grdiente? c) Será que o integrl de linh de F o longo de um linh qulquer fechd em torno d origem é igul o integrl de linh de F o longo de um circunferênci centrd n origem? A respost cbl ests questões não será bordd nests nots. No entnto um respost prcil e bstnte importnte será dd pelo teorem de Green em R e pelo teorem de Stokes em R 3. 1