Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 11.

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1 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic eprtmento de Mtemátic Aplicd Cálculo A List Eercício : ej o cmpo vetoril F,,),+,). Clcule o fluo de F trvés de, orientd com n eterior se: ) : + com > e h; b) : + + com >. olução: ) O esboço de está representdo n figur que se segue. h n teori, temos no cso do cilindro +, que o unitário norml eterior é d form,,) n. Então o fluo φ é ddo por: φ F n d,+,),,) d + + ) d + ) d d A) πh) π h.

2 Cálculo A List 65 b) O esboço de está representdo n figur seguir. n teori, temos no cso d esfer + +, que o unitário norml eterior é ddo por,,) n. Então fluo é ddo por: φ F n d,+,),,) d ) d + + ) d π ) π. d A) Eercício : Clculr o fluo do cmpo vetoril de F ) i + j + k trvés d semi-esfer superior de + +, com cmpo de vetores normis n tl que n k >. olução: O esboço de está representdo n figur seguir.

3 Cálculo A List 66 n Como n k > então n pont pr cim e, portnto, n,,) fluo é ddo por: F n d,,),,) d,,) pois. O + + ) d + + }{{} ) d ) d d ) d A) ) d π ) d π ) d. Or, pr clculr ) d devemos prmetrir. Então temos que : ϕφ,θ) senφcosθ,senφsenθ,cosφ), com φ,θ) : { φ π/ θ π. Tmbém temos que d

4 Cálculo A List 67 senφ dφdθ senφ dφdθ. Logo: ) d sen φsenθcosθ senφcosθ ) senφ dφdθ sen φsenθcosθ dφdθ sen φcosθ dφdθ Portnto: π/ π/ π sen φ senθcosθ dθdφ [ ] sen θ π π/ sen φ dφ π/ F n d π. π sen φ cosθ dθdφ sen φ [ senθ ] π dθ. Eercício : Clcule F nd, onde F k e é prte d esfer + + for do cilindro +, n pontndo pr for. olução: A superfície está ilustrd n figur seguir: π/6 tgφ φ π φ 6 Um prmetrição pr é dd por : ϕφ,θ) senφcosθ, senφsenθ, cosφ) [ π com φ,θ) 6, 5π ] [,π]. Temos: 6 d senφdφ dθ senφdφ dθ.

5 Cálculo A List 68 Como n é eterior, então Assim: 6 F nd 5π/6 π d π/6 [ cos π φ ] 5π/6 π/6 n,,),, ),,),,). d cos φ senφdφ dθ cos φsenφdθ dφ π π π π. 8 5π/6 π/6 [ ) ) ] cos φdcosφ) Eercício : Clcule o fluo do cmpo F i j + k sobre o cilindro + 6, situdo no primeiro octnte entre e 5 com orientção norml que pont pr o eio. olução: A superfície está ilustrd n figur seguir. 5 n C 5 Temos : ϕt,) cost, sent, ), com t,) : { t π/ 5 sent. Além disso, Como n pont pr o eio, então: d dt d dt d. n,,),,).

6 Cálculo A List 69 Portnto: F nd 6 6 π/ + ) d }{{} 6 dt d 6,,,,) ) d π/ 5 sent d d dt d 5 sent) dt 6 [ 5t+cost ] π/ 5π ) π 6. Eercício 5: Clcule F n d onde F,,) e i e j + k e é prte do plno + + no primeiro octnte com orientção pr bio. olução: O esboço de está representdo n figur seguir. + n A superfície pode ser descrit por : f,), com,) : e. Um vetor norml é ddo por N f, f,),,)como n pont pr

7 Cálculo A List 7 bio então n,, ) F n d. Temos que d +f ) +f ) dd dd. Então: e, e,, ), ) d e +e,, ) + ) d e e ) d d d ) dd ++) dd ++) dd [ + + ] d 6. Eercício 6: Clcule F n d onde F,,) i + j +5k e é fronteir d região delimitd pelo cilindro + e pelos plnos e + com orientção positiv isto é, n eterior ). olução: Pr esboçr, fçmos um inversão nos eios coordendos. n n n Temos que, orientd positivmente. Logo: F n d F n d + F n d + F n d.

8 Cálculo A List 7 Cálculo de F n d Temos : f,), com,) : +. Logo, um prmetrição de é ϕ,),f,),),,), com,). Logo, ϕ,f,),,) e ϕ,f,),,) donde i j k ϕ ϕ f f,,f ),,). f Logo, d ϕ ϕ dd dd. Como n pont pr cim, então componente de n é positiv. Logo n,,). Então: F n d,,5),,) dd dd A) π. Cálculo de F n d Temos : +, com. Um prmetrição de é: ϕt,) cost,,sent), com t,) : t π e cost. Temos i j k N ϕt ϕ sent cost cost,, sent) donde d N dtd dtd. Como n é eterior então n cost,,sent). Logo: F n d cost,,5) cost,,sent) dtd π cost cos tdtd cos t ddt Cálculo de π cos t cos t ) π dt cos t dt [ F n d t+ sent ] π π Verifique!). π cos t dt

9 Cálculo A List 7 Temos : f,), com,) : +. Logo, d +f ) +f ) dd dd e n j. Então: F n d,,5),,) dd dd. Portnto: F n d π+π π. Eercício 7: Clcule F n d, onde F,,) i +k e é fronteir com região limitd por e +, com n eterior. olução: O esboço de está representdo n figur seguir. n n Usndo propriedde de fluo, temos F n d F n d + F n d. Cálculo de F n d: Temos : f,), com,) : +. Temos tmbém que n k e d dd. Então: F n d,, ),,)d d A) ) π π.

10 Cálculo A List 7 Cálculo de F n d: Temos : + g,), com,) : +. Um vetor norml é ddo por N g, g,),,) que pont pr cim. Como n pont pr bio, então n,, ) + +. Temos que d N dd + + dd. Então: F n d,, + )),, )dd ) dd rθ r r cos θ ) r drdθ π [ θ+ +cos θ ) r drdθ [ r θ+ senθ )] π π. ] π +cos θ ) dθ Eercício 8: Clcule F n d onde F i +5 j +k e é prte do cone + interior o cilindro +, orientd com norml n tl que n k <. olução: e + e + temos que. Logo, s dus superfícies interceptm-se no plno, segundo circunferênci +. Assim, o esboço de está representdo n figur seguir. n

11 Cálculo A List 7 Como n k < então terceir componente de n é negtiv e, portnto n pont pr bio. A superfície de é dd por : + com,) : +. Um vetor norml pontndo pr bio é donde n N,, ) N N e d N dd. Então: F n d +, ) +,,5,), )dd + +, + 5 )dd + + dd dd + dd. Como função então: Como função então: Então: é ímpr em relção e região tem simetri em relção o eio + dd. + 5 é ímpr em relção e região tem simetri em relção o eio + 5 dd. + F n d + A) π. Eercício 9: Ache o fluo de F,, + ) trvés de superfície de revolução obtid girndo-se o segmento de ret que lig,,) e,,) em torno do eio, onde o vetor norml n tem componente não negtiv. olução: As figurs seguir, mostrm curv C e superfície.

12 Cálculo A List 75 C n Um prmetrição pr C é dd por: com t [,]. Logo: σt),,)+t [,,),,) ],,)+t,,) t,, +t), t) t t) t) +t com t [,]. Um prmetrição pr é dd por: com θ [,π] e t [,]. : ϕθ,t) t)cosθ, t)senθ, t) ) t)cosθ, t)senθ, +t ) Um vetor norml é ddo por: N ϕ θ ϕ t i j k t)senθ t)cosθ cosθ senθ t)cosθ, t)senθ, t ).

13 Cálculo A List 76 Temos: φ F nd t)+t)senθ, t)+t)cosθ), t) ) t)cosθ, t)senθ, t ) dt [ t) +t)senθcosθ t) +t)senθcosθ+ + t) ] dt π [ t) t) dt π ] π ) π. Eercício : Clcule F nd, onde F,,) +) i +5 j + +) k e é superfície do sólido limitdo por,, e o plno, com vetor norml n eterior. olução: A superfície é constituid de qutro superfícies: uperfície Temos :,) com,) : d + { e ) ) + dd + dd. uperfície Temos :,) com,) : d + { e ) ) + dd + + dd dd. uperfície Temos :,) com,). Logo d dd.

14 Cálculo A List 77 uperfície Temos :,) com,). Logo d dd. A superfície pode ser vist n figur seguir: n n n n Como n é eterior, então n,,) +, n i, n i e n k. Temos: F nd F ni d i i onde: uperfície F n d +, 5, + ),, )dd + ) 9 + ) dd 9 + ) d [ + ] +) 8.

15 Cálculo A List 78 uperfície F n d, 5, + ),, )d d d dd [ ] [ d ] + ) d + ) uperfície F n d +6, 5, + ),, )d +6)d d +6 d [ 5 +6 ] dd ) ) d uperfície F n d, 5, ),, )d dd A ) A ). Logo: 8 F n d