UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISE MATEMÁTICA Edurdo Brietzke Neuz Kzuko Kkut Pulo Ricrdo d Silv SÃO JOSÉ DO RIO PRETO - 26

2 1 INTRODUÇÃO Este texto surgiu ds nots de uls ministrds pelo professor Edurdo H.M.Brietzke n Universidde Federl do Rio Grnde do Sul em 1987, período em que eu er seu luno. O texto cobre o progrm d disciplin de Análise Mtemátic, e contém tópicos que podem ser desenvolvidos em um inicição científic, ou que servem de nivelmento todo luno que pleitei um curso de mestrdo. O texto foi digitdo e revisdo pel professor Neuz Kzuko Kkut. Pulo Ricrdo d Silv. São José do Rio Preto, 1 de mrço 26.

3 Conteúdo 1 O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ENUMERABILIDADE O CORPO DOS NÚMEROS REAIS SEQÜÊNCIAS SUBSEQÜÊNCIAS SEQÜÊNCIAS MONÓTONAS SEQÜÊNCIAS DE CAUCHY TOPOLOGIA DA RETA CONCEITOS BÁSICOS O CONJUNTO DE CANTOR LIMITES DE FUNÇÕES FUNÇÕES CONTÍNUAS CONTINUIDADE UNIFORME DERIVAÇÃO FUNÇÕES CONVEXAS FÓRMULA DE TAYLOR E MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS INTEGRAÇÃO Critérios de Integrbilidde Critério de Riemnn Integrl como limite de soms Critérios de Du Bois-Rymond e de Lebesgue Os teorems do Cálculo INTEGRAIS IMPRÓPRIAS SEQÜÊNCIAS DE FUNÇÕES SÉRIES DE FUNÇÕES

4 CONTEÚDO 3 8 Tópicos Complementres INTEGRAIS PRÓPRIAS DEPENDENTES DE UM PARÂMETRO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DEPENDENTES DE UM PARÂMETRO INTEGRAIS DE FRESNEL TEOREMA DA APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS EXEMPLO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA QUE NÃO TEM DERIVADA EM NENHUM PONTO

5 Cpítulo 1 O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 1.1 ENUMERABILIDADE Definição 1.1. Dois conjuntos X e Y têm mesm crdinlidde se existe um bijeção entre X e Y. A crdinlidde de X é denotd por #X. Definição 1.2. Dizemos que X é enumerável se X é finito ou #X = #N. Exemplo 1.3. nz := {nx : x Z} é enumerável, qulquer que sej n N. De fto, temos que f : N nz definid por x. n se x é pr f(x) = 2 x + 1. n se x é ímpr 2 é um bijeção e portnto #nz = #N. Teorem 1.4. Se X é enumerável e Y X então Y é enumerável. Demonstrção: Se X é finito então Y é finito pois Y X. Se X é infinito então existe f : N X um bijeção, e portnto X = {f(), f(1),...}. Se Y é finito, clrmente Y é enumerável. Se Y é infinito, devemos encontrr um bijeção g : N X. Sej K = {k N : f(k) Y }. Temos que K, pois Y. Como, K N, existe k o menor elemento de K. Definimos g() = k. Considermos K 1 = {k N : f(k) Y e k > k }, k 1 = mínk 1, e definimos g(1) = f(k 1 ). 4

6 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 5 Indutivmente, considermos K n = {k N : f(k) Y e k n > k n 1 }, k n = min K n, e definimos g(n) = f(k n ). Logo obtemos g : N X, de onde podemos concluir que Y é enumerável. Observção : Se existir f : N X tl que f é sobrejetor então X é enumerável, pois nesse cso existe A N tl que g : A X dd por g(x) = f(x), x A, é bijetor. Exemplo : Q é enumerável. Um sobrejeção g : N Q + é obtid seguindo s sets Um sobrejeção h : N Q é dd por se x = h(x) = g(n) se x = 2n 1 g(n) se x = 2n Logo, Q é enumerável.. Teorem 1.5. Pr todo X tem-se #X #P(X). Demonstrção: Vmos mostrr que não existe f : X P(X) sobrejetor. Pr isso, mostremos que existe A P(X) tl que A / Imf. Sej A = {x X : x / f(x)}. Suponh que exist um sobrejeção f : X P(X). Então existe X tl que f() = A. Se A então / f() = A (contrdição).

7 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 6 Se / f() = A então f() = A (contrdição). Logo, tod f : X P(X) não é sobrejetor. Corolário 1.6. P(N) é infinito não enumerável. Demonstrção: Como #P(N) #N segue que P(N) não é enumerável. Teorem 1.7. Se X e Y são enumeráveis então X Y é enumerável. Demonstrção: Sejm X = {x 1, x 2, x 3,...} e Y = {y 1, y 2, y 3,...}. Enumerndo os pres (x 1, y 1 ), (x 1, y 2 ), (x 2, y 1 ), (x 3, y 1 )(x 2, y 2 )..., seguindo s sets do digrm bixo, concluímos que X Y é enumerável. (x 1, y 1) (x 2, y 1) (x 3, y 1) (x 4, y 1) (x 5, y 1)... (x 1, y 2) (x 2, y 2) (x 3, y 2) (x 4, y 2) (x 5, y 2)... (x 1, y 3) (x 2, y 3) (x 3, y 3) (x 4, y 3) (x 5, y 3)... (x 1, y 4) (x 2, y 4) (x 3, y 4) (x 4, y 3) (x 5, y 3) Corolário 1.8. O produto finito de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. Demonstrção: Sejm X 1, X 2, X 3,... X n conjuntos enumeráveis. Então, pelo teorem cim, X 1 X 2 é enumerável. Novmente, pelo teorem cim, X 1 X 2 X 3 é enumerável. Aplicndo o teorem cim por n vezes concluímos que X 1 X 2... X n é enumerável. Teorem 1.9. Um reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstrção: Sejm X 1, X 2, X 3,... enumeráveis e X = X k. k=1 D hipótese temos que existem f 1 : N X 1, f 2 : N X 2,... f n : N X n,... bijeções. Definimos f : N N X por f(m, n) = f n (m). Temos que f é sobrejetor. Como existe g : N N N um bijeção, então composição, f g : N X é sobrejetor, e isto nos dá enumerbilidde de X.

8 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 7 Exemplo 1.1. O produto de infinitos ftores de conjuntos enumeráveis não é necessrimente enumerável. De fto, sejm X 1 = X 2 =... = {, 1} e consideremos X = X n. n=1 Suponhmos que X é enumerável então, X = {p 1, p 2,...} onde p 1 = ( 11, 12,...), p 2 = ( 21, 22,...) com ij {, 1}. Sej p = (b 1, b 2, b 3,...) tl que b i {, 1} com b i ii. Então, p X, o que é um bsurdo, pois p p i, qulquer que sej i N. Logo, X não é enumerável. 1.2 O CORPO DOS NÚMEROS REAIS Definição Um corpo K é ordendo se existe P K stisfzendo s condições (1) x, y P x + y P e x.y P. (2) Pr todo x K, tem-se: x P ou x P ou x =. Notção: Escrevemos (K, P ) pr denotr um corpo ordendo. Definição Sejm (K,P) um corpo ordendo e x, y K. Definimos x < y y x P. Definição Sejm K um corpo ordendo e A K. A é limitdo superiormente se existe c K tl que x c, x A. Neste cso c é dito um cot superior de A. Observção: Se K é um conjunto infinito então o conjunto dos números nturis é identificdo como um subconjunto de K vi plicção injetor de N em K dd por n n.1 K, onde 1 k denot o elemento neutro d multiplicção. Teorem Sej K um corpo ordendo infinito. São equivlentes s seguintes firmções: () N não é limitdo superiormente em K. (b) Pr quisquer, b K, com >, existe n N tl que b < n.

9 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 8 (c) Pr qulquer K, > existe n N tl que < 1 n <. Demonstrção: Provemos () (b). Temos que N não é limitdo superiormente em K se pr todo k K existe n N tl que n > k. Sejm, b K, >. Temos que b 1 K e então por (), existe n N tl que b 1 < n. Logo, b < n. Provemos (b) (c). Sej K, >. Então existe n N tl que pois n P. > 1 n >, Provemos (c) (). Sej k K e mostremos que existe n N tl que n > k. Se k P, então k < 1 n. Se k P, então = 1 k >, e dí por (c) existe n N tl que Portnto, existe n N tl que k < n. 1 n < = 1 k. Definição Um corpo ordendo K é chmdo de Arquimedino se K stisfz um ds proprieddes equivlentes do teorem cim. Exemplo : Q é um corpo Arquimedino. De fto, se r = p q Q, com p, q N, então existe n = q + 1 tl que 1 q + 1 < p q = r. Definição Sejm K um corpo ordendo e A K tl que A é limitdo inferiormente (resp. superiormente). Um cot inferior (resp. superior) de A é chmd de ínfimo (resp. supremo) de A, se est é mior (resp. menor) ds cots inferiores (resp. cots superiores) de A, isto é:

10 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 9 = inf(a) se: e b = sup(a) se : e x, x A, K, x, x A. x b, x A, b K, x b, x A b b. Exemplo : Consideremos o conjunto A = { 1 n : n N} R. Temos que = inf(a), 1 = sup(a). Definição Um corpo ordendo é dito completo se todo A, A K, que é limitdo superiormente, possui supremo em K. Proposição Todo corpo ordendo completo é rquimedino. Demonstrção: Suponhmos que K é um corpo não rquimedino. Assim o conjunto N K é limitdo superiormente. Se b K é um cot superior de N então n + 1 b pr todo n N. Ms ssim concluímos que b 1 tmbém é um cot superior de N. Como b 1 < b segue que N não tem supremo e isso contrdiz o fto do corpo ser completo. Axiom Fundmentl d Análise: Existe um corpo ordendo completo R. Corolário 1.2. R é rquimedino. Proposição Todo subconjunto não vzio e limitdo inferiormente de R dmite um ínfimo. Demonstrção: Sej A R, limitdo inferiormente. Sej A := { : A}. Bst observr que inf(a) = sup( A).

11 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 1 Proposição Pr todo R,, existe um único b R, b tl que b 2 =. Demonstrção: Sej A = {x R : x, x 2 }. Temos que A, pois A. Se > 1, então é um cot superior de A, já que se não fosse existiri x A tl que x > e então x 2 > 2 > (o que contrdiz o fto que x A ). Se < < 1, então 1 é um cot superior de A, e portnto A é limitdo superiormente. Assim, existe b R tl que b = sup(a). Sendo b = sup(a), temos que ddo ε >, existe x A tl que x > b ε. Assim, x 2 > (b ε) 2 b 2 2bε + ε 2 b 2 2bε, ε >. Afirmmos que b 2. De fto, < b 2 b2 2b Por outro ldo, > < ε < b2 2b 2bε < b 2 < b 2 2bε (contrdição). b = sup(a) (b + ε) / A, ε > (b + ε) 2 > b 2 + 2bε + ε 2 >, e em prticulr, se < ε < 1 então b 2 + ε(2b + 1) >. Assim concluímos que b 2, pois se b 2 < então b 2 > e poderímos escolher < ε < 1 tl que b 2 2b + 1 > ε. Teorem Q é denso em R, isto é (, b) R, (, b) Q. Demonstrção: Sejm, b R, com < b. Então existe m N tl que pois R é um corpo Arquimedino. Agor, m > 1 b, mb m > 1 n Z : m < n < mb < m n < b.

12 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 11 Teorem ( Teorem dos Intervlos Encixntes ) Pr cd n N sej I n = [ n, b n ] R. Se I 1 I 2... I n I n+1..., então I n. Demonstrção: I n I n+1, n N n < b n... b 2 b 1. n=1 Sej A = { n : n N}, então A é limitdo superiormente. Se s = sup(a), então n s b n, pois s = sup(a) e b n é um cot superior de A. Logo, s I n, n N. Teorem O conjunto dos números reis não é enumerável. Demonstrção: Mostremos que nenhum função f : N R pode ser sobrejetor. Dd um função f : N R construiremos um seqüênci decrescente I 1 I 2... I n... de intervlos limitdos e fechdos tis que f(n) / I n, n. Tomndo I 1 = [ 1, b 1 ] tl que f(1) < 1 temos então que f(1) / I 1. Supondo obtidos I 1, I 2... I n tis que f(j) / I j, tommos I n+1 como segue: Se f(n + 1) / I n, podemos simplesmente tomr I n+1 = I n. Se f(n + 1) I n, então, s.p.g. n < f(n + 1). Neste cso tommos I n+1 = [ n+1, b n+1 ], com n+1 = n e b n+1 = n+1 + f(n + 1) n+1. 2 ( cso f(n + 1) < b n e dí b n+1 = b n.) Assim f(n + 1) / I n+1 e se c é um número rel pertencente todos os I n, nenhum dos vlores f(n) pode ser igul c. Logo, f não é sobrejetor.

13 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 12 Corolário [, b] não é enumerável. Demonstrção: Supondo que [, b] sej enumerável, temos então que [, b]= {x 1, x 2,...}. Sejm I 1 = [, b], I 2 I 1, um intervlo fechdo tl que x 1 / I 2, I 3 I 2, intervlo fechdo tl que x 2 / I 3,..., I n+1 I n, intervlo fechdo tl que x n / I n+1,... Logo, pr todo x [, b], existe n tl que x = x n / I n+1, ou sej x / I n. n=1 Definição Sej x R. Diz-se que x é um número lgébrico se x é riz de um polinômio não nulo, com coeficientes em Z. Dizemos que x é trnscendente se x não é lgébrico. Exemplos (1) Todo x Q, x é lgébrico. De fto, x = m n, com m, n Z, n, e ssim nx + m =. (2) x = 2 é lgébrico. De fto, x 2 2 =. (3)x = é lgébrico. De fto, x 2 = (x 2 5) 2 = 6 x 4 1x + 19 =. Proposição O conjunto de números lgébricos é enumerável. Demonstrção: Inicilmente provemos que Z[X] é enumerável. De fto, Z[X] = P P 1 P 2..., onde P n = {p Z[X] : gru(p) = n}. Sendo plicção + 1 x n x n (, 1,..., n ) (Z... Z ) bijetor, segue então que P n é enumerável, qulquer que sej n N. Logo Z[X] é enumerável.

14 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 13 Ddo p Z[X], sej R p o conjunto ds rízes de p. Então o conjunto dos números lgébricos é igul R p. p Z[X] Como Z[X] é união enumerável de conjuntos enumeráveis, tmbém é enumerável. Segue que o conjunto de números lgébricos é enumerável. Exercícios 1.3. (1) Prove que n 2 = n(n + 1)(2n + 1), n N. 6 (2) Sej P f (N) = {A N : A é finito} (conjunto ds prtes finits de N ). Prove que P f (N) é enumerável. (3) Sejm (K, P ) um corpo ordendo. Prove: se x K então x 2. Conclu que C não tem estrutur de um corpo ordendo. (4) Sej K um corpo ordendo, onde e 1 são os elementos neutros d dição e multiplicção respectivmente. Prove que os elementos 1, 1+1, 1+1+1,... são todos distintos. Conclu que todo corpo ordendo é infinito. (5) Sej K um corpo ordendo. Prove que existem H K e f : H N um bijeção. (6) Sej K um corpo ordendo. Prove: Se, b K tl que então b. (7) Sej Prove que: () K é um corpo. K = Q(x) = { p(x) q(x) (b)(k, P ) é um corpo ordendo, onde P = { p(x) q(x) > b 1 n, n N : p(x), q(x) Q[x], comq(x) }. K : o coeficiente de mior gru de p(x)q(x) é positivo}. (c) N é limitdo superiormente por K. Conclu que K não é Arquimedino. (8) A prtir do fto que R stisfz o Axiom do Supremo, prove que: N não é limitdo superiormente, e conclu que R é Arquimedino.

15 CAPÍTULO 1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 14 (9) Prove: não existe r Q tl que r 2 = 2. (1) Sejm, b R tl que < b e b > 1. Prove que existe n Z tl que < n < b. (11) Sej A R tl que A é enumerável. Prove que R \ A é denso em R. (12) Prove que o conjunto de números trnscendentes é denso em R. (13) Sej G R, um grupo ditivo. Indiquemos por G + = {x G : x > } e suponh que G {}. Prove: () Se inf G + = então G é denso em R (b)se inf(g + ) = > então G + e G = {,, 2,...} (c) Se i é um número irrcionl, então {m + ni : m, n Z} é um subconjunto denso de R. (14) Se < x < b, mostre que x < + b. (15) Mostre que 2 + b + b 2,, b R. (16) Sejm x e y números reis positivos. Mostre que x + y xy. 2 (Ess desiguldde diz que médi geométric de dois números reis positivos é menor ou igul à médi ritmétic desses números.) Mostre geometricmente prtir dess desiguldde que : ltur de um triângulo retângulo tendo como bse hipotenus, é menor ou igul que metde d hipotenus. Qundo é que s médis ritmétic e geométric são iguis? O que é que quer se dizer geometricmente? (17) Se x 1, x 2,..., x n e y 1, y 2,..., y n são números reis, mostre que: ( n x i y i ) 2 ( n x 2 i )( n y 2 i ). i=1 i=1 i=1 (Ess desiguldde é chmd de desiguldde de Cuchy-Schwrz-Bunikovski).

16 Cpítulo 2 SEQÜÊNCIAS Definição 2.1. Um seqüênci de números reis é um função d form f : N R. Se f(n) = x n, seqüênci f será denotd por (x n ) n N, ou simplesmente (x n ). Exemplos (1) x n = 1/n. (2) x n = n 2. (3) x n = (1 + 1 n )n. (4) x n = ( 1) n. Definição 2.2. Um seqüênci (x n ) é dit limitd superiormente (resp. inferiormente) se existe M R tl que x n M ( resp.m x n ), pr todo n N. A seqüênci (x n ) é limitd, se (x n ) é limitd superiormente e inferiormente. Definição 2.3. Sej (x n ) um seqüênci de números reis. () Dizemos que se e somente se lim x n = R n ε >, n N t.q. x n < ε, n n. (b) Dizemos que lim x n = + n 15

17 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 16 se e somente se (c) Dizemos que se e somente se A >, n N t.q. x n > A, n n. lim x n = n A >, n N t.q. x n < A, n n. Se lim n x n = então Definição 2.4. Se existe e lim x n+p =, p N. n lim n x n lim x n =, n dizemos que seqüênci (x n ) é convergente e denotmos por x n ou lim x n =. Um seqüênci (x n ) é dit divergente se (x n ) não é convergente ou sej Exemplos 2.5. () De fto, lim n x n ou lim n x n = ±. x n = 1 n. ε >, n > 1 1 t.q < ε, n n ε 2. n (b) Se x n = ( 1) n então (x n ) é divergente. De fto, ε = 1/3 t.q R, 1 > 1/3 ou 1 > 1/3. Dest form concluímos que não existe lim n x n. (c) Sej x n = n, então e n se < < 1, n + se > 1. De fto, < < 1. ε >, n N, n > ln ε ln t.q

18 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 17 Logo, n n n > ln ε ln n ln < ln ε ln n < ln ε n < ε. n. > 1 Sej A >. Se A 1 então n > 1 A. Se A > 1, Logo, n N, n > ln A ln t.q, n n n > ln A ln n ln > ln A n > A. n +. Teorem 2.6. (Unicidde do Limite) Se x n e x n b então = b. Demonstrção: Suponh por bsurdo que b. Sem perd de generlidde podemos supor que < b. Tomndo temos que Como, x n e x n b, então ε = b 3, ( ε, + ε) (b ε, b + ε) =. n t.q x n < ε, x n b < ε, n n. Logo, x n ( ε, + ε) (b ε, b + ε), n n, o que é um contrdição. Teorem 2.7. Tod seqüênci convergente é limitd. Demonstrção: Sej (x n ) tl que x n. Então n t.q. x n < 1, n, n n. Assim, Tomndo temos que 1 + < x n < 1 +, n, n n. M = máx{x 1, x 2,..., x n 1, + 1}, x n M, n N.

19 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 18 Logo, (x n ) é limitd. Observção : A recíproc do teorem cim é fls. Considere x n = ( 1) n. Temos que (x n ) é limitd e divergente. OPERAÇÕES COM LIMITES Teorem 2.8. Se x n, y n b então, () x n ± y n ± b, (b) (c) se b. x n.y n.b, x n y n b, Demonstrção: Temos x n ε >, n 1 N t.q. x n < ε, n n 1, e y n b ε >, n 2 N t.q y n b < ε, n n 2. () Tomndo n = mx{n 1, n 2 } temos que x n + y n b x n + y n b < 2ε, n n. Logo, x n + y n + b. (b) Como (x n ) é limitd então existe M > t.q. x n < M, n. Tomndo n = mx{n 1, n 2 } temos que x n y n b = x n y n x n b + x n b b x n. y n b + b. x n < Mε + bε = ε(m + b ). Logo, x n.y n.b. (c) Pr provr (c), bst que provemos: 1 y n 1 b Como, y n b então ddo ε = b 2, existe n 3 N tl que y n b < b 2, n n 3.

20 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 19 Dí, b y n y n b < b 2 y n b 2, n n 3. Tomndo n = máx{n 2, n 3 } temos que 1 1 y n b = y n b 2ε b. y n b, n n. 2 Logo, 1 y n 1 b.. Teorem 2.9. Se x n e >, então existe n N tl que x n >, pr n n. Demonstrção: Tomndo ε = 2, existe n N t.q. x n < ε, n n. Logo, < 2 < x n < 3 2, n n. Teorem 2.1. TEOREMA DO CONFRONTO Sejm (x n ), (y n ) e (z n ) seqüêncis. Suponh que x n y n z n pr todo n n. () Se x n e z n então y n. (b) Se x n + então y n +. (c) Se z n então y n. Demonstrção: () Como x n e z n temos que ddo ε >, existe n 1 N, t.q. x n < ε, pr n n 1 e existe n 2 N t.q. z n < ε, pr n n 2. Tomndo N = máx{n, n 1, n 2 }, temos pr todo n n que ε < x n y n z n < + ε. Logo, y n < ε, pr n N, ou sej y n. (b) Como x n + temos que ddo A >, existe n 1 N, t.q. x n > A, pr n n 1. Tomndo N = máx{n, n 1 }, temos y n x n > A, pr n N. Logo, y n +. (c) Como z n temos que ddo A >, existe n 1 N, t.q. x n < A, pr n n 1. Tomndo N = máx{n, n 1 }, temos x n z n < A, pr n N. Logo, y n. Corolário Se x n e (y n ) é limitd, então x n.y n. Demonstrção: Como (y n ) é limitd, existe M > t.q. y n < M, pr todo n e dí, x n.y n < Mx n. Assim, M. x n < x n y n < M. x n e pelo Teorem do Confronto segue que x n y n.

21 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 2 Exercícios Prove por indução sobre n que () (1 + ) n 1 + n, pr quisquer n N, 1. (Desiguldde de Bernouille). (b) (1 + ) n n.(n 1), pr quisquer n N, 1. 2 Exemplos (1) Sej R. Então, n 1 se = 1 n se < 1 ( n ) é divergente se > 1 ou = 1 Se = ou = 1, temos respectivmente que n e n 1. < < 1 Temos pr lgum b >. Assim Logo, > 1 < < 1 1 > 1 1 = 1 + b, 1 n = (1 + b)n > 1 + nb < n < nb n x n. Se > 1 pelo exemplo nterior temos que ( n ) é divergente. Se 1 então n = n se n é pr e n = n se n é ímpr. Logo, ( n ) é divergente pr > 1 e = 1. (2) n 1, > 1 De fto, n 1 n = 1 + n, com n >. Como = (1 + n ) n (1 + n n ) < n 1, n n então pelo teorem do confronto segue que n, e dí 1. (3) n n 1. De fto, n n 1 n n = 1 + b n, b n.

22 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 21 Assim, n = (1 + b n ) n > ( n 2 ) b n 2 n(n 1) b 2 n. 2 Portnto, b n < n 1 (4) Sej (x n ) dd por 2 n 1 e pelo teorem do confronto segue que b n, e dí x n = n 1, R. Temos, { De fto temos: () Se = 1 então (x n ) é convergente se < 1, (x n ) é divergente se 1. x n = n + e portnto (x n ) é divergente. (b) Se = 1 então x n = se n é ímpr e x n = 1 se n é pr. Logo, (x n ) é divergente. (c) Se 1 então x n é um som de um progressão geométric de rzão e dí, x n = 1 n 1 1. < 1 n 1 x n 1 1. > 1 > 1 ou < 1 x n + ou x n. Logo, (x n ) não é limitd e portnto, (x n ) é divergente. (5) Vle que Como, e lim ( 1 n n (n + 1) (2n) ) =. 2 n + 1 (2n) ( 1 2 n (n + 1) (2n) ) n + 1, 2 n 2 n + 1 lim n (2n) = = lim n + 1, 2 n n 2 pelo Teorem do Confronto, conclui-se o requerido. (6) Se A R e = supa então existe (x n ) um seqüênci em A tl que x n. Como = supa então 1 <, n. n

23 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 22 Logo, pr todo n, existe x n A t.q. 1 n < x n < < + 1 n. Assim, pelo Teorem do Confronto temos que x n. Exercícios (1) Prove que () x n = ( n n 1) n. (b) x n = (n 2 + n) 1 2n+1 1. (c) x 1 = 2, x 2 = 2 2, x 3 = (d) lim ( 1 + n n ) = +. n + 1 2n (2) Prove: Se x 2 n então x n ,..., x n = (3) Sejm (x n ) e (y n ) dus seqüêncis tis que x n y n 5e n. Prove: Se x n então y n. (4) Sej (x n ) um seqüênci tl que x n 1 n. Mostre que x n. (5) Se A R e = infa então existe (x n ) um seqüênci em A tl que x n. (6) Sej R. Mostre que lim n n n = se < 1 e lim n n. n = se > 1. (7) Sejm > b e x n = n n + b n. Mostre que x n. (8) Prove que: x n, > k x n k, k N. (Dic: Ponh n = k x n, b = k então x n = n k b k = ( n b).y n, onde y n = n k 1 + n k 2 b n b k 2 + b k 1 com (y n ) limitd e b k 1 < y n.) 2.1 SUBSEQÜÊNCIAS Definição Dd um seqüênci f : N R tl que f(n) = x n. Sej {n 1, n 2,..., n k,...} um subconjunto infinito tl que n 1 < n 2 <... A função g : N R tl que g(k) = x nk é chmd de subseqüênci de (x n ) e denotd por (x nk ) Teorem Se (x nk ) é um subseqüênci de (x n ) tl que x n então x nk. Demonstrção: Como x n então ddo ε >, existe n N tl que x n < ε, n n.

24 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 23 Como {n k : k N} é um subconjunto infinito crescente de N então existe k tl que n k n. Assim, n k > n k x nk < ε, k k. Logo, x nk. Exemplo:(( 1) n ) é divergente, pois ( 1) 2n 1 e ( 1) 2n SEQÜÊNCIAS MONÓTONAS Definição Um seqüênci (x n ) é dit: () Crescente se x 1 < x 2 < x 3 <... (b)decrescente se x 1 > x 2 > x 3 >... (c) Não decrescente se x 1 x 2... (d) Não crescente se x 1 x 2... Um seqüênci é dit monóton se um ds condições cim ocorre. Teorem Tod seqüênci monóton e limitd é convergente. Demonstrção: Sem perd de generlidde podemos supor que (x n ) é monóton crescente e limitd. Sej A = {x 1, x 2,...}. Como (x n ) é limitd então A é um subconjunto limitdo e não vzio de R e então pelo xiom do supremo, existe = sup(a). Afirmção : x n. = sup(a) x n, n. Ddo ε > temos que ε < e portnto existe n t.q. ε < x n. Sendo (x n ) crescente, temos que ε < x n, n n. Logo, x n < ε, n n, i.é. x n. Exemplo: y n = ! n!. Temos que (y n ) é crescente, pois y n+1 = y n + 1 (n + 1)!. Como, y n < n temos que (y n ) é limitd. Logo, (y n ) é convergente. = 3, n N

25 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 24 Teorem lim n (1 + 1 n )n = lim n ( ! n! ). Demonstrção: Sejm x n = (1 + 1 n )n e y n = ! n!. Mostremos que (x n ) é crescente e limitd superiormente. Pel fórmul de binômio de Newton, x n = 1 + n. 1 n + n(n 1) 2! 1 n(n 1) n2 n! n = n ! (1 1 n ) + 1 3! (1 1 n )(1 2 n ) n! (1 1 n )(1 2 n )... (1 n 1 n ). Como cd prcel de x n é positiv, concluímos que (x n ) é crescente. Além disso, x n < ! n! = y n e portnto, x n < y n e dí, lim x n lim y n. n n Como (x n ) é crescente então pr cd p fixo e pr todo n > p tem-se x n > ! (1 1 n ) + 1 3! (1 1 n )(1 2 n ) p! (1 1 n )(1 2 n )... (1 p 1 n ) := z n Sendo, lim z n = n 2! p! = y p e x n > z n temos que lim x n y p, e portnto n lim x n lim y p (**) n p De (*) e (**), segue que ( ) lim (1 + 1 n n )n = lim ( n 2! n! ). Exercícios 2.2. (1) Sejm (x n ) um seqüênci tl que e < k < 1 tl que x n, n x n+1 k x n, n. Prove que ( x n ) é decrescente e x n. (2) Sej x n = n, >. Mostre que () (x n ) é monóton (crescente se < < 1 e decrescente se > 1), (b) x n 1. (3) Sej x n = n, < < 1. Mostre que (x n ) é monóton decrescente e x n.

26 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 25 (4) Sej (x n )um seqüênci definid por x 1 = 1 e x n+1 = 1 + x n. Prove que () (x n ) é monóton crescente, (b) x n (5) Sej (x n ) tl que Suponh que Prove que: x n >, n. x n+1 lim =. n x n () Se < 1 então (x n ) é decrescente pr n suficientemente grnde e x n. (Dic: Tome c R : < c < 1 e ε = c ) (b) Se > 1 então (x n ) é crescente e x n +. (Dic: Tome c R : 1 < c < e ε = c) (6) Mostre, usndo o exercício nterior que: n () lim n n! =, n k R++ (b) lim =, onde > 1 e k N n n n! (c) lim n n =. n { (d) lim n n n = se < 1 se > 1 Teorem Teorem de Bolzno-Weierstrss Tod seqüênci limitd dmite um subseqüênci convergente. Demonstrção: Sej (x n ) um seqüênci limitd. Então existem A, B tis que A x n B, n. Sej I 1 = [A, B] e ponh x n1 = x 1 I 1. Dividindo-se I 1 o meio obtemos um intervlo I 2 I 1 e tomemos x n2 I 2. Repetindo-se o processo de divisão váris vezes obtemos um seqüênci com intervlos fechdos de modo que I 1 I 2... e um subsequênci (x nk ) com x nk I k. Pelo teorem dos intervlos encixntes, temos que I n, n=1 e então existe I n, qulquer que sej n. Como o comprimento l(i n ) = B A 2 n, ddo ε >, existe n tl que l(in) < ε, n n. Assim, I n e l(in) < ε, n n.

27 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 26 Sej n k n então, I nk I nk, n k n k l(i nk ) < ε, n k n k. Como x nk I nk, segue que ε < x nk < + ε ou sej x nk < ε, n k n k. Logo, x nk. 2.3 SEQÜÊNCIAS DE CAUCHY Definição Um seqüênci (x n ) é de Cuchy se ε >, n N t.q x n x m < ε, m, n n. Teorem Tod seqüênci convergente é de Cuchy. Demonstrção: Sej (x n ) t.q. x n. Então ddo ε >, existe n N t.q. n n x n < ε 2. Assim pr m, n n temos que x n x m = x n + x m x n + x m < ε 2 + ε 2 = ε. Teorem Tod seqüênci de Cuchy é limitd. Demonstrção: Pr ε = 1, existe n N t.q. x n x n < 1. Assim x n < 1 + x n, n n. Tomndo M = máx{x 1, x 2,..., x n 1, 1 + x n } segue que x n < M, n. Teorem Se (x n ) é um seqüênci de Cuchy e (x nk ) é um subseqüênci convergente, então (x n ) é convergente. Demonstrção: Como (x n ) é de Cuchy então ddo ε >, existe n N t.q. x n x m < ε, m, n n.

28 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 27 Suponhmos que x nk e sej n k > n. Então x nk < ε 2. Assim, pr n n temos que x n = x n x nk + x nk x n x nk + x nk < ε 2 + ε 2 = ε. Teorem (x n ) é convergente se e somente se (x n ) é de Cuchy. Demonstrção: Pelo teorem cim, bst provrmos que se (x n ) é de Cuchy então (x n ) é convergente. De fto, (x n ) é de Cuchy (x n ) é limitd (x n ) dmite um subseqüênci convergente (x n ) é convergente. Exercícios (1) Prove que: () x n = n A n n! + (Dic : Use definição e o fto que lim n n! (b) ( n n) n 3 é decrescente. (c) lim ( 1) n + ( 1)n n n! (d) Se lim x n = e lim (x n y n ) = então lim y n =. n n n (e) Se lim x 2n = e lim x 2n+1 = então lim x n =. n n n = pr A > ) (2) Se um seqüênci monóton tem um subseqüênci convergente, prove que seqüênci é el própri convergente. (3) Sej > e defin x 1 =, x 2 = + = + x 1,..., x n = + x n 1,... () Sej M = mx{,, 2}. Prove, por indução, que (b) Prove por indução que (x n ) é crescente. (c) Prove que x n x n M, n. (4) Sej (x n ) definid por x 1 = 5 e x n+1 = x n. Mostre que x n = n e clcule lim n x n (5) Sej (x n ) definid por x 1 = 1 e x n+1 = nx n n + 1. Mostre que (x n) é decrescente e x n. (6) Sej (x n ) definid por x 1 = 1 e x n+1 = 1 x n. Mostre que (x n ) é divergente. (7) Sej (x n ) um seqüênci tl que x n > Prove: se x n+1 x n c, onde c < 1 então x n.

29 CAPÍTULO 2. SEQÜÊNCIAS 28 (8) Prove que (x n ) = (( 1) n + sen nπ 2 convergente. ) não é convergente, ms dmite um subseqüênci (9) Verddeiro ou flso. Prove ou dê um contr exemplo. () A som de dus seqüêncis divergentes é divergente. (b) Tod seqüênci divergente não é limitd. (c) Tod seqüênci lternd é divergente. (d) Se (x n ) converge então ( x n ) converge. (e) Se x n y n, (x n ) é crescente e (y n ) é convergente então (x n ) é convergente. (f) Se (x n ) é convergente então (( 1) n x n ) é convergente.

30 Cpítulo 3 TOPOLOGIA DA RETA 3.1 CONCEITOS BÁSICOS Definição 3.1. Ddos A R e A. Dizemos que é um ponto interior de A se existe ε > tl que ( ε, + ε) A. Tmbém denotmos A= int(a). A:= { A : é um ponto interior de A.} Definição 3.2. A R, é dito berto se A= A. Exemplos : (1) (, b) é berto. (2) R é berto. (3) é berto. (4) Ddos 1,..., n R, temos que R \ { 1,..., n } é berto. Teorem 3.3. Se A 1,..., A n são bertos então A 1... A n é berto. Demonstrção: Sejm A = A 1... A n então, A A i, i ε i > /( ε i, + ε i ) A i, i. Sej ε = mín{ε 1,..., ε n } então ( ε, + ε) A i, pr todo i e portnto ( ε, + ε) A. Exemplo: A interseção infinit de bertos não é necessrimente um berto. Se A n = ( 1 n, b + 1 n ) então que não é berto. A n = [, b], n=1 29

31 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 3 Teorem 3.4. Se A i é berto, pr todo i I então i I A i é berto. Demonstrção: Sej A = i I A i então A i I : A i ε > : ( ε, + ε) A i ε > : ( ε, + ε) A. Lem 3.5. Se F é um fmíli de intervlos bertos dois dois disjuntos então F é enumerável. Demonstrção: Pr cd I F, escolhemos r I Q I. Isto é possível pois Q é denso em R. Se I J então I J = e portnto r I r J. Logo, plicção: I F r I Q I, é injetiv. Assim, existe um bijeção entre F e um suconjunto de Q. Sendo Q enumerável segue que F é enumerável. Teorem 3.6. (Lindelöf) Todo berto não vzio de R é um união enumerável de intervlos bertos dois dois disjuntos. Demonstrção: Sej A R, um berto. Assim pr cd x A, existe ε x > tl que (x ε x, x + ε x ) A. Fixdo x A, consideremos A x = x I I, onde I é um intervlo berto. Afirmção (1): A x é um intervlo berto contendo x. De fto, A x é um união de intervlos bertos contendo x, e portnto A x é um berto contendo x. Mostremos que A x é um intervlo. Sejm, b A x. Assim existem I, J intervlos bertos tis que x, I e x, b J. Temos que I J é um intervlo berto contendo x, i.é. I J A x. Logo, I J é um intervlo tl que, b I J e ssim, [, b] I J A x [, b] A x. Afirmção (2): Se x, x A então A x = A x ou A x A x =. Suponhmos que A x A x. Então existe A x A x. Como A x e A x são intervlos bertos, com A x A x então A x A x é um intervlo contendo x, e dí A x A x A x ou sej A x A x. Como A x A x é tmbém um intervlo contendo x, concluímos que A x A x. Portnto A x = A x.

32 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 31 As dus firmções e o teorem nterior implicm o resultdo. Definição 3.7. Ddos A R e R. Dizemos que é ponto derente de A se existe um seqüênci (x n ) em A tl que x n. Exemplos : (1)Todo ponto A é um ponto derente, pois bst tomr seqüênci (x n ) tl que x n =, n. (2)Os pontos derentes de A = { 1 n : n N } são A {}. Definição 3.8. O fecho ou derênci de A é definido e denotdo por A := { R : é um ponto derente dea}. Observe que A A. Definição 3.9. Dizemos que A é um subconjunto fechdo de R se A = A. Exemplos: (1) (, b) = [, b]. (2) [, b] = [, b]. (3) R,, e { 1 n : n N } {} são fechdos em R. Teorem 3.1. A é fechdo se e somente se A c := R \ A é berto. Demonstrção: ( ) Sej A c, e suponhmos por bsurdo que ( ε, + ε) A, ε >. Pr ε = 1/n, existe x n ( ε, + ε) A. Então existe um seqüênci (x n ) em A tl que x n, com A c, o que contrdiz o fto de A ser fechdo. ( ) Sej x A então existe um seqüênci (x n ) em A tl que x n. Se / A então d hipótese de A c ser berto, existe ε > tl que ( ε, + ε) A c. Como x n, existe n N tl que x n ( ε, + ε), n n, e portnto x n A c, n n o que é um contrdição.

33 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 32 Corolário Temos: (1) Se F 1,..., F n são fechdos então F 1... F n é fechdo. (2) Se F i é fechdo, pr todo i I, então i I F i é fechdo. Definição Sej A R, R. Dizemos que é um ponto de cumulção de A se ddo ε >, existe x A tl que < x < ε. O conjunto A := { R : é um ponto de cumulção de A} é chmdo de derivdo de A. Exemplo: N =. Observção: (1) (2) A ε >, (( ε, + ε) \ {}) A. A ε >, ( ε, + ε) A. Proposição Ddos A R e R. São equivlentes s firmções: (1) A. (2) Existe um seqüênci (x n ) em A tl que x n e x n, n N. (3) Pr todo ε >, ( ε, + ε) A é infinito. Demonstrção: (1) (3) Sej A então ε >, (( ε, + ε) \ {}) A. Suponh que exist ε > tl que ( ε, + ε ) A é finito, digmos {x 1, x 2,..., x n } então tomndo ε = min{ x i, i = 1, 2,..., n} temos que ( ε, + ε) (A \ {}) = e isto é um contrdição. (3) (2) Suponhmos que pr todo ε >, ( ε, + ε) A é infinito. Pr cd n N, tomndo ε = 1/n, existe x n ( 1 n, + 1 n ) tl que x n. Assim, existe (x n ) em A tl que x n e x n, n N. (2) (1) Sej (x n ) em A tl que x n e x n, n N.

34 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 33 Ddo ε >, então existe n N tl que x n ( ε, + ε), n n e portnto (( ε, + ε) \ {}) A. Logo, A. Definição Ddos A R e R, é um ponto isoldo de A se / A, i.é. existe ε > tl que ( ε, + ε) A = {}. Dizemos que A é discreto se todos os pontos de A são isoldos. Exemplos: N e A = {1/n : n N } são conjuntos discretos. Proposição A = A A. Demonstrção: Sej A. Então A ou / A. Logo A A. Por outro ldo, como A A e A A temos que A A A. Portnto, A = A A. Definição Dizemos que A é perfeito se A = A. Observção: Se A é perfeito então A é fechdo. De fto, A = A A = A A = A. 3.2 O CONJUNTO DE CANTOR Sejm: F 1 = [, 1], F 2 = [, 1 3 ] [2 3, 1], F 3 = [, 1 9 ] [2 9, 1 3 ] [2 3, 7 9 ] [8 9, 1],... Em cd etp, os fechdos são obtidos dividindo-se cd intervlo em três prtes iguis e excluindo-se o intervlo intermediário. Obtemos ssim um cdei de fechdos F 1 F 2 F 3... Definição O conjunto de Cntor é definido por C = Tem-se: (1) C, pois 1/3 C, 1/9 C,... (2) C é fechdo. De fto, F n é um união de 2 n 1 intervlos fechdos e portnto F n é fechdo, n=1 F n

35 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 34 pr todo n N. Logo, C é fechdo. Observmos que k C = { 3 : k k {, 2}}. k=1 De fto, como x C, implic x [, 1] e portnto dmite um representção n bse três. Se lgum k = 1 então x / C. Proposição O conjunto de Cntor é perfeito. Demonstrção: Como C é fechdo temos que C = C C C = C C C. Sejm x C e ε >. Mostremos que existe y C tl que < x y < ε. Tomndo n N tl que 1 < ε, temos que: 3n x C x F n, n I um intervlo que form F n tl que x I Então, I (x ε, x + ε), pois l(i) = 1 < ε. Sej y x um extremidde de I então y C e 3n < x y < ε. Logo, x C e portnto C C. Lem Se F é perfeito e x F então existe F 1 F, F 1 tl que F 1 é perfeito, limitdo e x / F 1. Demonstrção: Sej y F, y x. Escolhemos e b tis que x / [, b] e y [, b]. Definindo F 1 = (, b) F, temos que F 1 é fechdo e limitdo. Sendo F 1 fechdo temos que F 1 = F 1 e dí, F 1 F 1 = F 1 ou sej F 1 F 1. Pr provrmos que F 1 é perfeito, bst provrmos que F 1 F 1. Sej z F 1 e suponh que z (, b). Então existe ε > tl que (z ε, z + ε) (, b). Sendo (z ε, z + ε) F infinito e (z ε, z + ε) F (z ε, z + ε) F 1, temos que (z ε, z + ε) F 1 é infinito, donde concluímos que z F 1. Se z F 1 e z = então F 1 = (, b) F. Assim, existe x n (, b) F 1 tl que x n e então, x n F 1 e x n com x n, n ou sej F 1. Anlogmente, se z = b F 1 temos que b F 1. Logo, F 1 F 1, e portnto F 1 é perfeito. Teorem 3.2. Todo conjunto perfeito não vzio não é enumerável.

36 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIA DA RETA 35 Demonstrção: Sej F perfeito e suponh que F é enumerável, digmos F = {x 1, x 2,...}. Tome I 1 um intervlo fechdo de comprimento 1 tl que x 1 int(i 1 ). Como F é perfeito, temos que F (int(i 1 ) \ {x 1 }) é infinito. Tome gor I 2 um intervlo fechdo de comprimento 1 2 tl que I 2 I, x 1 / I 2 e F I 2 é infinito. Tome novmente I 3, um intervlo fechdo de comprimento 1 2 com I 2 3 I 2, x 2 / I 3 e F I 3 é infinito. Repetindo o processo, temos um seqüênci encixnte de intervlos I 1 I 2 I 3... tl que os comprimentos tendem zero. Pelo Teorem dos Intervlos encixntes, temos que I n = {z}. Pel construção, temos que n=1 x i / I i+1 e então, x i / I n, i N. n=1 Assim, z x i, e dí, z / F. Por outro ldo, pr cd n N, existe y n F I n, y n z. Assim, (y n ) é um seqüênci em F tl que y n z e y n z. Portnto, z F, o que é um contrdição. Corolário O conjunto de Cntor não é enumerável. Demonstrção: O conjunto de Cntor é perfeito, pelo teorem cim, concluímos que o conjunto de Cntor não é enumerável. Exercícios (1) Prove que se A R, é infinito e limitdo então existe x R, um ponto de cumulção de A. (2) Prove que se A não é enumerável então existe x R tl que x é ponto de cumulção de A. (3) Sej A R. Prove que A é berto se e somente se stisfz seguinte condição: Se x n com A, então existe n N tl que x n A, pr n n. (4) Sejm X, Y R. Prove que : ()int(x Y ) = int(x) int(y ) (b) int(x Y ) int(x) int(y ). um iguldde. Dê um exemplo em que inclusão não se reduz (5) Se x n e X = {x 1, x 2,...} então X = X {}. (6) O número 1 4 pertence o conjunto de Cntor. (7) Sejm F fechdo e x F. Então x é um ponto isoldo de F se e somente se F \ {x} é ind fechdo.

37 Cpítulo 4 LIMITES DE FUNÇÕES Definição 4.1. Ddos X R, f : X R e X, dizemos que lim f(x) = L, x com L R se ddo ε >, existe δ > (dependendo de ε e ) tl que pr todo x X, tl que < x < δ tem-se f(x) L < ε. Exemplo. Sej f : R R dd por f(x) = 2x. Temos que lim f(x) = 2, x 1 pois ddo ε >, existe δ = ε 2 tl que < x 1 < δ f(x) 2 = 2x 2 2 x 1 < ε. Observção : Se X é um ponto isoldo então existe δ > tl que X ( δ, + δ) = {}. Assim, pr todo L R temos que pr todo ε >, existe δ > tl que < x < δ f(x) L < ε. Ou sej, se não exigimos que sej ponto de cumulção então não temos unicidde do limite. Teorem 4.2. (Unicidde do Limite) Sejm f : X R e X. Se então L = M. L = lim x f(x) e M = lim x f(x) Demonstrção: Suponhmos por bsurdo que L M. Sej Então existe δ 1 > tl que ε = M L. 2 x X, < x < δ 1 f(x) L < ε/2 36

38 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 37 e existe δ 2 > tl que x X, < x < δ 2 f(x) M < ε/2. Tomndo δ = min{δ 1, δ 2 } temos x X, < x < δ f(x) L < ε/2 e f(x) M < ε/2. Como X então existe x X tl que < x < δ e ssim M L = f(x) L f(x) + M f(x) L + M f(x) < ε/2 + ε/2 = ε = M L. 2 Teorem 4.3. Sejm f : X R, X e L = lim x f(x). Então existe δ > tl que f é limitd no conjunto X ( δ, + δ). Demonstrção: Tomndo ε = 1, existe δ > tl que Temos então que x X, < x < δ f(x) L < 1. 1 L < f(x) < 1 + L, x X ( δ, + δ) \ {}. Tomndo segue que M = { L + 1 se / X mx{ L + 1, f()} se X, f(x) M, x X ( δ, + δ). Teorem 4.4. Se lim x f(x) > então existem c > e δ > tis que Demonstrção: f(x) > c, x X ( δ, + δ) \ {}. Sej L = lim x f(x). Tomndo c = L 2 existe δ > tl que pr todo x X ( δ, + δ) \ {} tem-se f(x) L < L 2. Sendo, L 2 < f(x) L < L 2 concluímos que f(x) > L 2 = c, pr todo x X ( δ, + δ) \ {}. Teorem 4.5. Sejm f : X R e X então, lim x f(x) = L se e somente se tod seqüênci (x n ), x n X \ {} tl que x n tem-se que f(x n ) L.

39 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 38 Demonstrção: Suponhmos que L = lim x f(x) e sej x n X \ {} tl que x n. Ddo ε >, existe δ > tl que Como x n, existe n N tl que x X, < x < δ f(x) L < ε. < x n < δ, n n. Assim, f(x n ) L < ε, n n i.e. f(x n ) L. Reciprocmente, suponh por bsurdo que exist ε > tl que pr todo δ >, existe x X tl que < x < δ e f(x) L ε. Tomndo ε = 1 n, existe x n X tl que < x n < 1/n e f(x n ) L ε, i.é. x n ms f(x n ) L. ( contr hipótese ) Corolário 4.6. Se L = lim f(x) e L = lim g(x) então lim(f + g)(x) = L + L e lim(f.g)(x) = x x x x L.L. Teorem 4.7. (Critério de Cuchy) Sejm f : X R e X. Então existe lim x f(x) se e somente se pr todo ε >, existe δ > tl que f(x 1 ) f(x 2 ) < ε, x 1, x 2 X ( δ, + δ) \ {}. Demonstrção: Suponhmos que exist L = lim x f(x). Ddo ε >, existe δ > tl que Assim, x X, < x < δ f(x) L < ε/2. x 1, x 2 X ( δ, + δ) \ {} f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) L + f(x 2 ) L < ε/2 + ε/2 = ε. Reciprocmente, sej x n X \ {} tl que x n. Afirmmos que (f(x n )) é de Cuchy. De fto, ddo ε >, existe δ > tl que Como x n, existe n N tl que x 1, x 2 X ( δ, + δ) \ {} f(x 1 ) f(x 2 ) < ε. x n, x m ( δ, + δ), n, m n e portnto f(x n ) f(x m ) < ε. Dí (f(x n )) é de Cuchy e então existe L R tl que f(x n ) L. Sej y n X \ {} tl que y n. De form nálog, obtemos M R tl que f(y n ) M. Consideremos gor seqüênci (z n ) X \ {} tl que z 2n = y n e z 2n 1 = x n. Temos então que z n, e portnto f(z n ) M e f(z n ) L. Logo, L = M.

40 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 39 Exercícios 4.8. (1) N definição de limite de f(x) retire condição de x. Mostre que est nov definição coincide com definição originl no cso de / X, ms pr X o novo limite existe se e somente se, o limite originl existe, e é igul f(). (2) Considere o seguinte erro tipográfico n definição de limite: ε >, δ > : x X, < x < ε f(x) L < δ. Mostre que f cumpre est condição se e somente se f é limitd em qulquer intervlo de centro. No cso firmtivo, L pode ser qulquer número rel. (3) Sej f : X R monóton tl que f(x) [, b]. Se f(x) é denso em [, b] então pr cd c X + X tem-se Se c X então este limite é igul f(c). lim f(x) = lim f(x). x c+ x c (4) Sej f : [, ) R um função limitd em cd intervlo limitdo. Se então lim [f(x + 1) f(x)] = L x f(x) lim x x = L. (5) Sej f : R R definid por f(x) = x + x sen x. Mostre que Observção. Solução do exercício 4: < 1 lim x f(x) =. Suponhmos que lim x [f(x + 1) f(x)] = L então ddo ε > existe < x tl que pr x > x tem-se Isso implic que pr x > x tem-se f(x + 1) f(x) L < ε 3. f(x + n) f(x) n.l < n.ε < (n + x).ε e portnto f(x + n) x + n f(x) x + n n L < ε. x + n Escrevendo y = x + n com x [x, x + 1] temos que f(y) y L f(y) y f(x) y n y L + f(x) y + (1 n y ) L.

41 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 4 Observe que sendo y x + 1 tem se primeir prcel do ldo direito d desiguldde cim é menor que ε 3. Além disso como f é limitd em intervlos limitdos e x [x, x + 1] segue que existe y 1 > tl que pr y y 1 tem se que segund prcel tmbém é menor que ε 3. Finlmente observe que (1 n y ) L = x y L x + 1 L, y e portnto existe y 2 > tl que pr y y 2 tem-se que terceir prcel tmbém é menor que ε 3. Logo tomndo y = mx{x + 1, y 1, y 2 } tem-se que pr y y f(y) y L ε. 4.1 FUNÇÕES CONTÍNUAS Definição 4.9. Sejm A R, A e f : A R. Dizemos que f é contínu em se ε >, δ > t.q. x < δ, x A f(x) f() < ε. Dizemos que f é contínu se f é contínu em todos os pontos de A. Proposição 4.1. Sejm A e f : A R. f é contínu em se e somente se pr tod seqüênci x n A, stisfzendo que x n, tem-se f(x n ) f(). Demonstrção: Suponhmos que f é contínu em. Sej x n A tl que x n. Assim ddo ε >, existe δ > tl que x n < δ f(x n ) f() < ε. Como x n, existe n N tl que x n < ε, n n e ssim f(x n ) f() < ε, n n. Logo, f(x n ) f(). Reciprocmente, suponhmos por bsurdo que existe ε >, tl que pr todo δ > existe x A tl que x < δ e f(x) f() ε. Tomndo δ = 1 n, obtemos x n < 1 n e f(x n) f() ε. Isto signific que x n e f(x n ) f(), o que contrdiz hipótese. Observção 4.11.

42 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 41 (1) Se é um ponto isoldo (i.é. existe δ > tl que ( δ, + δ ) A = {}) então tod função f : A R, é contínu em, pois ε >, δ = δ t.q. x A, x < δ f(x) f() = < ε. (2) Se é um ponto de cumulção de A então f : A R é contínu em se e somente se lim f(x) = f(). x Proposição Se f é contínu em e f() > então existem c > e δ > tis que Demonstrção: imedit. f(x) > c, x A ( δ, + δ). Exemplos (1) A identidde, s funções constntes, s funções polinomiis e s funções rcionis são contínus. (2) Sej (2n + 1)π A = R \ { : n Z} 2 e f : A R dd por f(x) = tn(x). Então f é contínu em A. (3) Sej f : R R dd por Vle que f é contínu pr x. f(x) = x x se x 1 se x = (4) Sej f : R R dd por Vle que f não é contínu em. (5) f : R R dd por 1 se x > f(x) = se x = 1 se x < f(x) = Temos que f é descontínu em todos os pontos. { 1 se x Q se x / Q

43 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 42 (6) f : R {} R dd por f(x) = se x / Q 1 q se x Q {}, x = p, mdc(p, q) = 1 q Afirmmos que f é descontínu em Q e f é contínu em R \ Q. De fto, f é descontínu em Q {}, pois se Q, então f() e existe x n R \ Q tl que x n, e dí f(x n ) = f(). Provemos que f é contínu em R \ Q. Sej ε >. Inicilmente observmos que se x R \ Q, então f(x) f() = < ε. Sej n N tl que 1/n < ε. Sej B = {p/q Q, q n 1} e pr 1 q n 1, sej G q = { p q : p Z}. Temos que B = n 1 q=1 e G q é um subgrupo discreto. Como / G q, existe p Z tl que p q < < p + 1. Sej q δ q = min{ p q, p + 1 }. Portnto existe δ q > tl que q G q x δ q, x G q. Tomndo δ = min{δ 1, δ 2,..., δ n 1 }, temos que δ > e Se x Q e x < δ temos que x / B. Logo, x = p q com q n e f(x) = 1 q Definição Sejm A R, x δ, x B. de 1 espécie, se f é descontínu em, ms existem < ε. Portnto f é contínu em. A e f : A R. Dizemos que é um descontinuidde lim f(x) e lim f(x). x + x Dizemos que é um descontinuidde de 2 lteris. Exemplos (1) f : R R dd por x se x f(x) = x se x = Temos que = é um descontinuidde de 1 espécie. espécie, cso não exist um dos limites

44 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 43 (2) A função de exemplo 6 present descontinuidde de 1 espécie em todo Q. (3) Ddo f : R R dd por sen 1 f(x) = x se x k se x = Temos que = é um descontinuidde de 2 espécie. Teorem Sejm I R um intervlo e f : I R monóton. Então s descontinuiddes de f são tods de 1 espécie e o conjunto dos pontos de descontinuiddes é enumerável. Demonstrção: Suponhmos que f é crescente. Sej I tl que não é um extremidde de I. Sej A = {f(x) : x I, x < }. Como f é crescente e x <, então f(x) f(), ou sej f() é um cot superior de A. Sendo A, existe L = supa. Afirmmos que L = lim x f(x). De fto ddo ε >, existe x I, x < tl que f(x ) > L ε. Sej δ = x, então se δ < x < x < x < e f(x ) f(x) L. Assim, e portnto L ε < f(x ) f(x) L < L + ε f(x) L < ε. Logo, L = lim f(x). Anlogmente existe M = lim f(x) e M = inf{f(x) : x > }. Logo f só x x + tem descontinuiddes de 1 espécie. Sej D = { I : f é descontínu em }. Se D existem limites lteris E, D tis que E = plicção D (E, D ). Afirmmos que lim f(x) f() x (E, D ) (E b, D b ) =,, b D, b. lim f(x) = D. Consideremos x + De fto, suponh < b e escolh x tl que < x < b. Assim, D = lim x + f(x) = inf{f(x) : x > } sup{f(x) : x < b} = E b. Logo, pr todo, b D com < b tem-se D E b e (E, D ) (E b, D b ). Como qulquer fmíli de intervlos disjuntos é enumerável segue que D é enumerável. Teorem Sejm f : A R, g : B R tis que f(a) B e b = f(). Se f é contínu em e g é contínu em b então g f é contínu em. Demonstrção: Sej (x n ) A tl que x n, então f(x n ) f(). Dí (g f)(x) = g(f(x n )) g(f()).

45 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 44 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO (T.V.I.) Sej f : [, b] R contínu tl que f() < f(b). Se f() < d < f(b), então existe c (, b) tl que f(c) = d. Demonstrção: Sej A = {x [, b] : f(x) < d} e c = supa. Ddo ε >, existe δ > tl que x c < δ f(x) f(c) < ε. Como existe x A tl que x > c δ e x < c, temos que f(x ) f(c) < ε se c x < δ. Logo, f(c) < f(x ) + ε, ε >, e dí f(c) d. Se f(c) < d então existe δ > tl que f(x) < d, pr qulquer x (c δ, c + δ). Como ind (c δ, c + δ) A, temos que c não é o supremo de A, e isto é um contrdição. Logo, f(c) = d. Corolário Se f é contínu em um intervlo I então f(i) é um intervlo. Corolário Se p(x) é um polinômio de gru ímpr então existe x R tl que p(x ) =. Definição 4.2. Dizemos que K R é COMPACTO se for fechdo e limitdo Teorem ( TEOREMA DE WEIERSTRASS) Se f : K R é contínu e K R é compcto, então f é limitd e ssume um máximo e mínimo. Demonstrção: Suponhmos por bsurdo que f não sej limitd, i.é. pr todo M >, existe x K tl que f(x) > M. Pr M = n existe x n K tl que f(x n ) > n.como (x n ) é limitd então, pelo teorem de Bolzno Weierstrss, existe (x nk ) um subseqüênci de(x n ) tl que x nk c, com c R. Sendo x nk b segue que c K e portnto f(x nk ) f(c), e isto é um bsurdo pois por construção f(x nk ). Sej s = sup{f(x) : x K}, então existe x n K tl que f(x n ) > s 1 n. Como (x n) é limitd, existe um subseqüênci x nk tl x nk d. Assim, s f(x nk ) > s 1 e f(x nk ) f(d). Logo, f(d) = s. n k Exercícios (1) Sejm I um intervlo e f : I R contínu e injetiv. Prove que f é monóton e f 1 : J R é contínu, onde J = f(i). (2) Ddo n N, n 2 e sej f : [, ) R tl que f(x) = x n. Prove que pr todo, existe um único b [, ) tl que b n =.

46 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES CONTINUIDADE UNIFORME Definição Um função f : A R é uniformemente contínu se ddo ε >,existe δ > tl que pr todo x 1, x 2 A com x 1 x 2 < δ tem-se que f(x 1 ) f(x 2 ) < ε. Proposição Se f : A R é uniformemente contínu então f é contínu. Demonstrção: imedit. Exemplos (1) f : R R tl que f(x) = x 2 é contínu ms não é uniformemente contínu. De fto, tomndo ε = 1 então pr cd δ >, escolh x 1 = 1/δ e x 2 = 1/δ + δ/2. Temos que x 1 x 2 < δ e f(x 1 ) f(x 2 ) 1. (2) f : (, 1) R tl que f(x) = sen( 1 ) é contínu ms não é uniformemente contínu. x (3) Um função f : A R é de Lipschitz se existe λ > tl que f(x 1 ) f(x 2 ) λ. x 1 x 2, x 1, x 2 A. Tod função de Lipschitz é uniformemente contínu. (4) Um função f : A R é de Hölder se existem λ >, α > tis que f(x 1 ) f(x 2 ) λ. x 1 x 2 α, x 1, x 2 A. Tod função de Hölder é uniformemente contínu. Teorem Se f : K R é contínu, K R compcto, então f é uniformemente contínu. Demonstrção: Suponh que exist ε > tl que pr todo δ >, existem x 1, x 2 K tl que x 1 x 2 < δ e f(x 1 ) f(x 2 ) ε. Pr δ = 1 n, existem x n, y n K tl que x n y n < δ e f(x n ) f(y n ) ε. Como K é limitdo temos que (x n ) e (y n ) são limitds e portnto existem (x nk ), (y nk ) subseqüêncis de (x n ) e (y n ) respectivmente tis que x nk x e y nk y. Sendo K fechdo e x n y n < 1/n temos que x, y K e x = y. Assim, f sendo contínu segue que f(x nk ) f(x) e f(y nk ) f(y), o que contrdiz condição f(x nk ) f(y nk ) ε. Exercícios (1) Prove que f : [, ) R dd por f(x) = x é uniformemente contínu. ( Dic : Em [, 1] é contínu e portnto uniformemente contínu; em [1, + ) é Lipschitizin.) (2) Se f : A R é uniformemente contínu e x n A, é de Cuchy então (f(x n )) é de Cuchy. (3) Se f : A R é uniformemente contínu e A é limitdo então f(a) é limitdo.

47 CAPÍTULO 4. LIMITES DE FUNÇÕES 46 (4) Se f : A R é uniformemente contínu então existe um únic função f : A R contínu f A = f. (5) Se f : (, b) R é contínu então f é uniformemente contínu se e somente se f tem um extensão f : [, b] R contínu se e somente se existem lim f(x) e lim f(x). Conclu x + x b que f : (, b) R tl que f(x) = sen(1/x) é contínu ms não é uniformemente contínu. Exercícios Exercícios do Cpítulo (1) Sej f : R R contínu. Mostre que Z f = {x R : f(x) = } é fechdo. Conclu que se f, g : R R são contínus então {x R : f(x) = g(x)} é fechdo. (2) Sejm f, g : X R, e definmos (f g)(x) = mx{f(x), g(x)} e (f g)(x) = min{f(x), g(x)}. Mostre que se f e g são contínus em X então f g e f g tmbém o são. (3) Se f : A R definid num berto A R é contínu c R, então os conjuntos [f < c] = {x A : f(x) < c} e [f > c] = {x A : f(x) > c} são bertos. (4) Sejm f, g : X R contínus. Se Y X é denso e f(y) = g(y), pr todo y Y, então f = g. Conclu que se dus funções f, g : R R contínus são tis que f(r) = g(r), pr todo r Q, então f = g. (5) Sejm F R um conjunto fechdo e f : F R um função contínu. Prove que existe um função f : R R contínu tl que f F = f. (6) Defin um bijeção f : R R descontínu em todos os pontos de R. (7) Sej f : X R monóton tl que f(x) sej denso num intervlo limitdo. Mostre que existe um únic função contínu f : X R monóton tl que f X = f. (8) Sej f : [, b] [, b] contínu. Prove que f possui um ponto fixo, i.é. existe x [, b] tl que f(x) = x (Teorem de Brouwer em dimensão 1). Dê um exemplo de um função contínu f : (, 1) (, 1) sem pontos fixos. x (9) Mostre que função f : ( 1, 1) R definid por f(x) = é um homeomorfismo 1 x (bijeção contínu com invers contínu) entre ( 1, 1) e ret. (1) Dd um função f : X R e suponh que pr todo ε > se poss obter um função contínu g : X R tl que f(x) g(x) < ε, pr todo x X. Prove que f é contínu.