Cálculo 1 - Cálculo Integral Teorema Fundamental do Cálculo

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1 Cálulo 1 - Cálulo Integrl Teorem Fundmentl do Cálulo Prof. Fbio Silv Botelho November 17, Resultdos Preliminres Theorem 1.1. Sej f : [,b] R um função ontínu em [,b] e derivável em (,b). Suponh que f (x) = 0, x (,b). Sob tis hipóteses, existe C R tl que f(x) = C, x [,b]. Proof. Sej x (,b]. Do teorem do vlor médio, existe x (,x) tl que f(x) f() = f ( x)(x ) = 0, ou sej f(x) = f() C, x [,b]. Corolry 1.2. Sej f : [,b] R um função e sejm F 1,F 2 : [,b] R funções tis que F 1 (x) = f(x) e Sob tis hipóteses existe C R tl que F 2(x) = f(x), x (,b). F 2 (x) = F 1 (x)+c, x [,b]. 1

2 Proof. Observe que [F 2 (x) F 1 (x)] = F 2(x) F 1(x) = f(x) f(x) = 0, x (,b). (1) Do último teorem existe C R tl que A prov está omplet. F 2 (x) F 1 (x) = C, x [,b]. Observção: Desse último resultdo podemos onluir que se F 1,F 2 : [,b] R são dus primitivs de f : [,b] R, então els diferem pens por um onstnte, isto é, existe C R tl que F 2 (x) = F 1 (x)+c, x [,b]. Portnto, podemos esrever, f(x) dx = F 1 (x)+c 1 = F 2 (x)+c 2, C 1,C 2 R. (2) 2 Integrl de Riemnn Começmos om definição de prtição. Definition 2.1. Sej [,b] R um intervlo fehdo. Definimos um prtição de [,b], denotd por P, por P = {x 0 =,x 1,,x n = b}, x 0 = < x 1 < x 1 < < x n = b. Definimos norm de P, denotd por P, por P = mx{ x i, i {1,,n}}, Exemplo, e sej Logo, x i = x i x i 1, i {1,,n}. [,b] = [1,5], P = {1,2,4,5}. P = 4 2 = 2. 2

3 Definition 2.2 (Som e Integrl de Riemnn). Sej f : [,b] R um função limitd, isto é, um função tl que existe K > 0 tl que f(x) K, x [,b]. Sej P = {x 0 =,x 1,,x n = b} um prtição de [,b]. Definimos um som de Riemnn de f em relção P, denotd por R P f, omo R P f = n f(x i) x i, i=1 e x i [x i 1,x i ] x i = x i x i 1, i {1,,n}. Por outro ldo, esrevemos qundo pr d ε > 0, existe δ > 0 tl que se I = lim P 0 RP f, 0 < P < δ, então R P f I < ε, pr tod som de Riemnn de f reltiv à P. Nesse so tmbém denotmos, I = lim P 0 RP f R f(x) dx, I f(x) dx é dit ser integrl de Riemnn de f em [,b] (isto é, f é integrável à Riemnn). Observção: Pr f : [,b] R ontínu tl que f(x) 0, x [,b], e pr um prtição P = {x 0 = 0,x 1,,x n = b} 3

4 de [,b], temos que R P f = n f(x i) x i i=1 é um proximção pr áre sob o gráfio de f entre e b. A proximção será tnto melhor qunto menor for P. Assim sendo, definiremos então áre sob o gráfio de f em [,b], denotd por A, por A = lim Rf P f(x) dx. P Proprieddes d integrl de Riemnn Theorem 2.3. A integrl de Riemnn present s seguintes proprieddes: 1. Tod função f : [,b] R ontínu em [,b] é integrável à Riemnn em [,b]. 2. Sejm f 1,f 2 : [,b] R funções integráveis à Riemnn em [,b]. Sob tis hipóteses, () (b) () Se R (f 1 (x)+f 2 (x)) dx f 1 (x) dx+r f 2 (x) dx. ( ) R αf 1 (x) dx = α R f 1 (x) dx, α R. f 1 (x) f 2 (x), x [,b], (d) então R f 1 (x) dx R f 1 (x) dx R f 2 (x) dx. f(x) dx+r f 1 (x) dx, (,b). A prov desse teorem, qul deorre d definição d integrl de Riemnn omo limite de soms de Riemnn, não será presentd nesse texto. 4

5 2.2 Teorem do vlor médio pr integris Theorem 2.4 (Teorem do vlor médio pr integris). Sej f : [,b] R um função ontínu em [,b]. Sob tis hipóteses, existe x 0 [,b] tl que Proof. Denotemos e Logo R f(x) dx = f(x 0 )(b ). m = min{f(x) : x [,b]} M = mx{f(x) : x [,b]}. m f(x) M, x [,b]. Disto e do do item 2d do último teorem, obtemos Defin g : [,b] R por Disto e (3), obtemos m(b ) R f(x) dx M(b ). (3) g(x) = f(x)(b ). min{g(x) : x [,b]} = m(b ) R M(b ) f(x) dx = mx{g(x) : x [,b]}. (4) Sendo g ontínu, de (4) e do teorem do vlor intermediário, existe x 0 [,b] tl que A prov está omplet. g(x 0 ) = f(x 0 )(b ) 3 Teorem Fundmentl do Cálulo f(x) dx. Theorem 3.1 (Teorem fundmentl do álulo, prte I). Sej f : [,b] R um função ontínu. Sej F : [,b] R definid por Sob tis hipóteses, F(x). F (x) = f(x), x (,b). 5

6 Proof. Sej x (,b). Sej h > 0 tl que x+h (,b). Assim, dos dois últimos dois teorems, podemos esrever pr lgum x [x,x+h]. Portnto, F(x+h) F(x) +h +h x R +R +h x R = f( x)h, (5) (F ) + F(x+h) F(x) f( x)h (x) = lim = lim h 0 + h h 0 + h Similrmente, podemos mostrr que (F ) (x) = f(x). = f(x). Logo, A prov está omplet. F (x) = f(x), x (,b). Definition 3.2. Sej f : [,b] R um função. Sej F : [,b] R um primitiv de f, isto é, um função tl que F (x) = f(x), x (,b). por Sej [,d] (,b). Definimos integrl definid de f em [,d], denotd por f(x) dx, f(x) dx = F(d) F(). Observção: A segund prte do teorem fundmentl do álulo onet esse último oneito de integrl definid, obtid medinte nti-derivção, om o oneito de integrl de Riemnn, qul é obtid pelo limite de soms de Riemnn. 6

7 Theorem 3.3 (Teorem fundmentl do álulo, prte II). Sej f : [,b] R um função ontínu. Sej [,d] (,b). Sob tis hipóteses, Proof. D prte I, obtemos, Logo, f(x) dx f(x) dx = F(d) F(), F(x), x [,b]. F (x) = f(x), x (,b). f(x) dx = F(x)+C, C R. Disto e d definição de integrl definid obtemos, Além disso, f(x) dx = F(d) F(). (6) De (6) e (7), obtemos F(d) F() R +R R. (7) A prov está omplet. f(x) dx = F(d) F() f(x) dx. 7