Funções representadas por integrais

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1 Funções representds por integris Felipe Felix Souto Mrt Cilene Gdotti esumo N Análise de Fourier os prinipis elementos são funções definids por integris, omo os oefiientes d Série de Fourier, ou, priniplmente, função d Trnsformd de Fourier. Assim, s funções representds por integris, ou integris dependendo de um prâmetro tem grnde importâni nesse tipo de estudo. Neste trlo, pretendemos esteleer lguns resultdos om respeito ontinuidde, difereniilidde e integrilidde de funções definids por integris, sedo n referêni [1]. Plvrs Cve: Análise de Fourier, funções representds por integris, integris dependendo de um prâmetro Introdução Esse tópio tem grnde importâni, ms, muits vezes, é deixdo de ldo nos ursos de Cálulo e, té mesmo, em lguns ursos introdutórios à Análise: funções representds por integris ou, num nomenltur ntig, integris dependendo de um prâmetro. Um exemplo desse tipo de função é trnsformd de Fourier de um função f: F (ξ) = 1 2π e ixξ f(x)dx. Nosso ojetivo prinipl será disutir s proprieddes de ontinuidde, difereniilidde e integrilidde de um função mis gerl dd por: Φ(x) = f(x, y)dy, (0.0.1) onde f : I é um função que stisfz erts ondições, que serão expliitds nos resultdos desritos neste texto, e I pode ser um intervlo limitdo ou não de. Trlo relizdo omo prte do projeto de Iniição Científi Fpesp, Proesso: 2015/ so orientção d Prof. Dr. Mrt Cilene Gdotti. Emil: feipe felix souto@otmil.om. Curso de Breldo em Mtemáti, Universidde Estdul Pulist - io Clro Emil: mrtg@r.unesp.r, Deprtmento de Mtemáti do IGCE-Unesp, io Clro. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 4

2 1 Integris definids Pr estudrmos funções do tipo de (0.0.1), devemos, primeirmente, estudr lgo mis simples, que são s funções representds por integris definids: ϕ(x) = f(x, y)dy, (1.0.2) onde f : I [, ] é um função e I é um intervlo limitdo ou não de. Note que se f for um função ontínu, então ϕ está em definid. Proposição 1 Se f : I [, ] é um função ontínu, então ϕ : I, definid em (1.0.2), é um função ontínu. Demonstrção: Sej x 0 I qulquer. Queremos mostrr que ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que, pr < δ, temos: ϕ(x 0 + ) ϕ(x 0 ) < ε. Pr tnto, fixmos α > 0 e onsidermos restrição de f no retângulo ddo por [x 0 α, x 0 + α] [, ], que é uniformemente ontínu (já que é um função ontínu definid num ompto). Assim, ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr (x, y), (x, y ) : Dí, { x x < δ y y < δ ϕ(x 0 + ) ϕ(x 0 ) desde que < δ. f(x, y) f(x, y ) < f(x +, y) f(x, y) dy < ε. ε dy = ε, Definição 2 Dizemos que um função f : I é um função L 1, qundo for integrável e solutmente integrável. Corolário 3 Sej f : I [, ] um função dd por f(x, y) = g(x, y)k(y), onde g : I [, ] é um função ontínu e k : [, ] é um função L 1, então ϕ é um função ontinu. Demonstrção: Ddo ε > 0, ontinuidde d restrição de g no onjunto = [x 0 α, x 0 + α] [, ], pr lgum α > 0 fixdo, impli n existêni de δ > 0 tl que pr (x, y), (x, y ) tem-se: então, pr < δ: [ 1 g(x, y) g(x, y ) < ε k(y) dy], ϕ(x 0 + ) ϕ(x 0 ) g(x, y) g(x, y ) k(y) dy < ε. Proposição 4 Sej f : I [, ] um função ontínu, possuindo derivd pril f x : I [, ] tmém ontínu. Então ϕ : I é derivável e vle: ϕ (x) = f x (x, y)dy. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 5

3 Demonstrção: Como ϕ define um função ontínu, st mostrr que, ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr < δ : ϕ(x + ) ϕ(x) f x (x, y)dy < ε ou, equivlentemente, [ f(x +, y) f(x, y) ] f x (x, y) dy < ε. De fto, ddo ε > 0, ontinuidde de f x grnte existêni de δ > 0 tl que pr < δ: f x (x +, y) f x (x, y) < ε. (1.0.3) Além disso, do Teorem do Vlor Médio, existe θ y [0, 1], tl que: f(x +, y) f(x, y) = f x (x + θ y, y). (1.0.4) Portnto, segue de (1.0.3) e (1.0.4) que, pr < δ: [ f(x +, y) f(x, y) f(x +, y) f(x, y) ] f x (x, y) dy f x (x, y) dy = f x (x + θ y, y) f x (x, y) dy < ε. O próximo Corolário, segue diretmente d proposição nterior. Corolário 5 Sej f : I [, ] um função dd por f(x, y) = g(x, y)k(y), onde g : I [, ] é um função ontínu om derivd pril g x : I [, ] ontínu e k : [, ] é um função L 1, então ϕ é um função derivável e vle: ϕ (x) = f x (x, y) dy. Proposição 6 Sejm g : [, d] [, ] um função ontínu e k : [, ] um função L 1, então Demonstrção: d e G : [, d] por: Oserve que: g(x, y)k(y) dy dx = d g(x, y)k(y) dx dy. Primeirmente, defin F : [, d] [, ] por F (x, y) = G(x) = G() = 0 e G(d) = x g(ξ, y) dξ F (x, y)k(y) dy. d g(x, y)k(y) dx dy. Pelo Teorem Fundmentl do Cálulo, F é ontínu e F x (x, y) = g(x, y), logo ontínu tmém. Assim, segue do Corolário 5 que: G (x) = F x (x, y)k(y)dy = g(x, y)k(y)dy. Por fim, integrndo expressão im de té d, onluímos que: d g(x, y)k(y) dx dy = G(d) G() = d g(x, y)k(y) dy dx. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 6

4 2 Funções definids por integris imprópris Agor que o so mis simples foi estuddo, podemos seguir om um tipo um pouo mis omplexo ddo por: ψ(x) = f(x, y) dy, (2.0.5) onde f : I [, + ) é um função stisfzendo lgums ipóteses serem definids e I pode ser um intervlo limitdo ou não de. Pr que ψ estej em definid st que f sej integrável. Entretnto, omo nem tudo são flores, nem ondição de ontinuidde dess função será sufiiente pr que possmos ter resultdos nálogos os já demonstrdos. Por exemplo: Considere função f(x, y) = sen 2 (x)e ysen2 (x) que é integrável em [0, + ), pr d x rel fixdo. E defin: ψ(x) = 0 f(x, y) dy = qul pode ser dd expliitmente por: { 0, se x = kπ, k Z ψ(x) = 1,.. 0 sen 2 (x)e ysen2 (x) dy = lim y (1 e ysen2 (x) ), que é um função desontínu. Pr determinr um ondição pr vlidr lguns resultdos nálogos, vmos trlr om o oneito d integrl imprópri omo limite uniforme de integris do tipo: ψ N (x) = N f(x, y) dy, ssim, omo d ψ N é ontínu, seu limite uniforme, ψ, tmém será. Definição 7 Dizemos que integrl imprópri definid por (2.0.5) onverge uniformemente num intervlo J I se, ddo ε > 0, existir y(ε) > tl que pr todo x J tem-se: f(x, y) dy < ε. y(ε) Proposição 8 Se f : I [, + ) for um função ontínu e integrl definid em (2.0.5) onvergir uniformemente, então ψ : I é ontínu. Demonstrção: D onvergêni uniforme, ddo ε > 0, existe um y(ε) > tl que pr todo x I: f(x, y)dy y(ε) < ε 3. Além disso, ontinuidde de f grnte que existe δ > 0 tl que, pr < δ, vle: y(ε) [f(x +, y) f(x, y)] dy < ε 3. Assim, pr x e x + em I, om < δ, temos: y(ε) ψ(x + ) ψ(x) [f(x +, y) f(x, y)]dy + f(x +, y) dy y(ε) + f(x, y) dy y(ε) < ε. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 7

5 Proposição 9 (Teste M de Weierstrss) Supon que pr d x fixdo, função y f(x, y) sej L 1 em [, ). Supon, tmém, que exist um função M : [, ) não negtiv e integrável tl que f(x, y) M(y), pr todo x J [, ). Então integrl em (2.0.5) onverge solut e uniformemente em J, isto é, s integris: f(x, y)dy são uniformemente onvergentes em J. Demonstrção: e Como M(y) é integrável, denote M(y) dy = L. Pr d ε > 0, existe y(ε) [, ) tl que: L ε < α f(x, y) dy M(y) dy L, y(ε) < α <. Logo, pr y(ε) < α α, tem-se: ( α ) α 0 M(y) dy = M(y) dy L α Portnto, pr y(ε) < α α <, α α f(x, y)dy f(x, y) dy < α α α α ( α ) M(y) dy L < ε. M(y)dy < ε, x J. Oservção 10 Não é sempre que integrl de um função onverge solut e uniformemente, um exemplo em oneido é: 0 sen(xy) y dy, uj integrl onverge uniformemente, ms não solutmente. Corolário 11 Sej f : I [, ) um função dd por f(x, y) = g(x, y)k(y), onde g : I [, ) é um função ontínu e limitd (limitção de g omo função de y pr x fixdo) e k : [, + ) é um função L 1, então ψ é um função ontínu. Demonstrção: Bst oservr que integrl de f definid em (2.0.5) onverge uniformemente pois: g(x, y)k(y)dy < M k(y) dy, onde M é o máximo de g(x, y) pr x 0 x x 0 + e < y < +, sendo > 0 fixdo. E dí, temos ontinuidde de ψ no ponto x 0. Oservção 12 Oservndo demonstrção im, vê-se que pr demonstrr ontinuidde de ψ num ponto x 0, st supor que integrl em (2.0.5) onvirj uniformemente em um vizinnç de x 0. No so de um intervlo ilimitdo, função pode ser onvergente em d vizinnç, sem ser em todo intervlo. Conlui-se que tnto ontinuidde, qunto difereniilidde são proprieddes lois. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 8

6 Proposição 13 Sej f : I [, ) um função ontínu, om derivd pril f x : I [, ) tmém ontínu. Supon que (2.0.5) onvirj (não neessrimente uniformemente) e que f x (x, y)dy onvirj uniformemente em I. Então ψ é derivável em todo ponto de I e vle: Demonstrção: pr < δ: ou sej, ψ (x) = f x (x, y)dy. Queremos mostrr que ddos ε > 0 e x I, existe δ > 0 tl que, ψ(x + ) ψ(x) f x (x, y)dy < ε, [ ] f(x +, y) f(x, y) f x (x, y) dy < ε. De fto, ddo ε > 0, d onvergêni uniforme, temos existêni de y(ε) > tl que: f x (x, y)dy y(ε) < ε, x I. (2.0.6) 3 Segue do Teorm do Vlor Médio que existe θ y [0, 1] tl que f(x +, y) f(x, y) = f x (x + θ y, y). Então, fixdo y(ε), d ontinuidde de f x, existe δ > 0 tl que: y(ε) [f x (x + θ y, y) f x (x, y)]dy < ε 3. (2.0.7) Assim, de (2.0.6) e (2.0.7) temos: [ ] f(x +, y) f(x, y) f x (x, y) dy [f x (x + θ y, y) y(ε) + y(ε) f x (x, y)]dy + [f x (x + θ y, y) f x (x, y)]dy < ε. y(ε) O Corolário seguinte é otido diretmente d proposição nterior. Corolário 14 Sej f : I [, ) um função dd por f(x, y) = g(x, y)k(y), onde g : I [, ) é um função ontínu, limitd (limitção de g omo função de y e x fixdo) e om derivd pril g x : I [, ) um função tmém ontínu e limitd, e k : [, + ) é um função L 1, então ψ é um função difereniável. Proposição 15 Sej f : I [, + ) um função omo n Proposição 8 ou em seu Corolário. Se (2.0.5) onverge uniformemente, então pr qulquer intervlo limitdo [, ] I, temos: f(x, y) dx dy. (2.0.8) SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 9

7 Demonstrção: Primeirmente, oserve que: ψ(x) dx é integrl definid d função ψ, que existe pel su ontinuidde. D Proposição 6, provr (2.0.8) é equivlente provr: lim N ou, usndo Proposição 6, ou ind, N lim N N lim N N f(x, y) dx dy = N 0. ψ(x) dx ψ(x) dx De fto, ddo ε > 0, onvergêni uniforme grnte que pr N sufiientemente grnde: f(x, y) dy < ε. Portnto: N f(x, y) dy dx < ε dx = ε. Finlmente estmos prontos pr nlisr função do tipo (0.0.1). Primeirmente, oservmos que el pode ser esrit omo som de dus integris do tipo (2.0.5) : 0 f(x, y) dy e 0 f(x, y) dy = 0 f(x, z)dz. (2.0.9) Assim, (0.0.1) onverge uniformemente se ddo ε > 0, existe y(ε) > 0 tl que: y(ε) f(x, y)dy + f(x, y)dy < ε, ou sej, se ms integris de (2.0.9) onvergirem uniformemente. Portnto, podemos enunir os resultdos que nos interessm, que seguem omo orolários ds proposições nteriores. Proposição 16 Se f : I for um função ontínu e integrl definid em (0.0.1) onvergir uniformemente, então Φ : I é ontínu. Mis gerlmente, será sufiiente supor f(x, y) = g(x, y)k(y), om g : I ontínu e k : um função L 1. Proposição 17 Sej f : I um função ontínu, om derivd pril f x : I tmém ontínu. Supon que (0.0.1) onvirj (não neessrimente uniformemente) e que y(ε) f x (x, y) dy onvirj uniformemente em I. Então Φ é derivável em todo ponto de I e vle: Φ (x) = f x (x, y) dy. Mis gerlmente, será sufiiente dmitir f(x, y) = g(x, y)k(y), om g : I ontínu, possuindo derivd pril g x : I ontínu (ms limitds), e k : um função L 1. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 10

8 Proposição 18 Sej f : I um função ontínu. Se (0.0.1) onvergir uniformemente, então pr qulquer intervlo limitdo [, ] I, temos: f(x, y) dx dy. Mis gerlmente, será sufiiente dmitir f(x, y) = g(x, y)k(y), om g : I ontínu e k : um função L 1. Note que, pr mudnç n ordem de integrção, nlismos pens o so que um ds integris é indefinid. Pr que possmos ter s dus indefinids, não strá pens onvergêni uniforme de Φ, omo, por exemplo, função f(x, y) = e i(t y)x f(x, y). Entretnto, existem váris ondições sufiientes, ontudo mis útil pr Análise de Fourier é: Teorem 19 ( Fuinizino ) Sej f : um função ontínu tl que s integris ixo onvirjm: f(x, y) dy dx e f(x, y) dx dy. (2.0.10) Então, s integris iterds d f onvergem e f(x, y) dx dy. (2.0.11) Demonstrção: Defin: { f + f(x, y), se f(x, y) 0 (x, y) = 0, se f(x, y) < 0 e f (x, y) = { f(x, y), se f(x, y) < 0 0, se f(x, y) 0 e oserve que f = f + f e que f = f + + f. Assim, podemos provr pens pr o so que f(x, y) 0. Agor, sej φ(x) = f(x, y) dy = lim f(x, y) dy,, que está em definid pois s integris de (2.0.10) onvergem. Além disso, omo f(x, y) 0, tem-se φ(x) Assim, pr quisquer, d > 0, temos: d φ(x) dx d Como integrl imprópri f(x, y) dy 0,, > 0. d φ(x) dx f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy d f(x, y) dx dy. (2.0.12) SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 6, p. 4-14, jul Edição Iniição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 11

9 existe, segue que o onjunto { d } A = f(x, y) dx dy /, d são fixdos e, são quisquer. é limitdo, omo tmém (2.0.12) é válido pr quisquer, d > 0, f(x, y) 0 e d lim f(x, y)dxdy = f(x, y)dx,,d segue que, φ(x)dx f(x, y) dx dy. Finlmente, fzendo o limite om,, otemos: φ(x)dx f(x, y) dx dy, que é um prte de (2.0.11), sendo que outr é simétri, st definir φ(y) = f(x, y) dx Oservção 20 Se onsiderrmos integrl de Leesgue, o invés d integrl de iemmn no teorem im, o resultdo é oneido omo teorem de Fuini e st supor que um ds integris em módulo onvirj, pois dí teremos onvergêni d outr. O resultdo itdo n oservção im é demonstrdo por prtes, ssim omo presentdo n referêni [2]. Neste trlo, presentremos pens demonstrção pr o so ds funções esds, enqunto que o mis gerl deixremos o enunido pr um quesito de uriosidde. Teorem 21 Sej s S( 2 ) (onjunto ds funções esds). () Pr d y fixo, integrl s(x, y) dx existe e, omo um função de y, é Leesgue integrável em. Além disso, ( ) s(x, y) d(x, y) = s(x, y) dx dy. 2 () Pr d x fixo, integrl s(x, y) dy existe e, omo um função de x, é Leesgue integrável em. Além disso, ( ) s(x, y) d(x, y) = s(x, y) dy dx. 2 () Em prtiulr, ( ) ( ) s(x, y) dy dx = s(x, y) dx dy. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 7, p. 4-14, jul Edição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 12

10 Demonstrção: Provremos pens o item (), pois o () sirá de modo nálogo e () é um deorrêni de () e (). Note que existem 1 < 1, e 2 < 2 tis que s : [ 1, 1 ] [ 2, 2 ] é um função esd em [ 1, 1 ] [ 2, 2 ] e s(x, y) = 0, (x, y) [ 1, 1 ] [ 2, 2 ]. Então, exitem prtições 1 = x 0 < x 1 < < x n < 1 e 2 = y 0 < y 1 < < y m < 2, de [ 1, 1 ] e [ 2, 2 ] respetivmente, e ij tis que, pr todo i {1,..., n} e j {1,..., m}: Assim, [x i 1,x i ] [y j 1 y j ] s(x, y) = ij, x (x i 1, x i ) e y (y j 1, y j ). s(x, y) d(x, y) = ij (x i 1, x i )(y j 1 y j ) = Dí, fzendo som sore i e j, otemos [ 1, 1 ] [ 2, 2 ] s(x, y) d(x, y) = [ 2, 2 ] [y j 1,y j ] ( ) s(x, y) dx dy. [x i 1,x i ] ( ) s(x, y) dx dy. [ 1, 1 ] Como s(x, y) = 0 (x, y) [ 1, 1 ] [ 2, 2 ], segue o resultdo. Teorem 22 (Teorem de Fuini) Supon f L( 2 ) (onjunto ds funções integráveis à Lesegue). Então: () A integrl de Leesgue f(x, y) dx existe pr quse todo y e função G :, definid por: f(x, y) dx, se integrl existe G(y) = 0,.. é Leesgue integrável em e f(x, y) dx = () A integrl de Leesgue f(x, y) dy G(y) dy ; existe pr quse todo x e função H :, definid por: f(x, y) dy, se integrl existe H(x) = 0,.. é Leesgue integrável em e f(x, y) dy = H(x) dx ; () Em prtiulr, ( ) ( ) f(x, y) dx dy. SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 7, p. 4-14, jul Edição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 13

11 3 Considerções finis Como foi meniondo nteriormente, Trnsformd de Fourier é um tipo de função definid por um integrl imprópri e om os resultdos presentdos neste trlo, podemos relizr o estudo d ontinuidde e difereniilidde deste tipo de função e de sus proprieddes. O texto desrito qui é útil no estudo de tod função definid por integris imprópris, omo Trnsformd de Lple, função Gm, entre outrs. eferênis [1] Figueiredo, Djiro Guedes de, Análise de Fourier e Equções Difereniis Priis, Assoição Instituto Nionl de Mtemáti Pur e Aplid, io de Jneiro, [2] W.W.L Cen, Introdution to Lesegue Integrl; Leture Notes of Willim Cen, SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representds por integris. C.Q.D. - evist Eletrôni Pulist de Mtemáti, Buru, v. 7, p. 4-14, jul Edição Científi. DOI: /qdvol6i ffsmg Disponível em: ttp://www2.f.unesp.r/revistqd/index.jsp 14

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