Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

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1 Universidde Federl de Mins Geris Instituto de Ciêncis Exts Deprtmento de Mtemátic Aproximção Por Funções Polinomiis (Polinômios de Tylor) Wi Gerldo Moreir dos Sntos Belo Horizonte, Julho de 26

2 Em tudo isto há mão de Deus. i

3 ii À Deus, por iluminr-me sempre, José e Gerld, meus pis, os meus irmãos, à Fernnd, os meus migos. De form especil Ao Professor Alberto Srmiento, o Grnde Mestre!

4 iii Sumário 1 Conceitos Fundmentis Introdução Funções Contínus Funções Deriváveis Interpretção Geométric Pontos Críticos Alguns Teorems d Análise Teorem de Rolle Teorem do Vlor Médio Teorem do Vlor Médio de Cuchy Regr de L Hôpitl A integrl O Conceito de integrl Teorem Fundmentl do Cálculo Aproximção Por Funções Polinomiis Introdução Polinômio de Tylor Teorem de Tylor Teorem de Tylor com Resto Integrl Teorem de Tylor com Resto Cuchy Teorem de Tylor com Resto Lgrnge Outros Exemplos Aplicções Critérios de Máximo e Mínimo Locis pr Pontos Críticos Degenerdos e é irrcionl Referêncis Bibliográfics 44

5 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Est monogrfi trt do estudo de proximções de funções por polinômios. Vmos mostrr que muits funções podem ser proximds por polinômios e que os polinômios, em vez d função originl, podem ser usdos pr cálculos, qundo diferenç entre o vlor d função em um ponto e o d proximção polinomil for suficientemente pequen. Existem vários métodos pr proximr um função dd por polinômios. Um dos mis usdos, e tmbém o que utilizmos neste trblho é o que envolve Fórmul de Tylor, ssim chmd em homengem o seu cridor, o inglês Brook Tylor ( ). No primeiro cpítulo trtremos de conceitos fundmentis do Cálculo. Estes conceitos nos fornecerão um bse pr melhor entendimento dos cpítulos seguintes. Flremos de funções contínus, funções deriváveis, onde interpretmos geometricmente derivd de um função e fremos ind um estudo sobre pontos críticos. A seguir mostrremos lguns teorems d Análise, como o Teorem de Rolle, Teorem do Vlor Médio, Teorem do Vlor Médio de Cuchy e ind Regr de L Hôpitl. No fim deste cpítulo trtremos do conceito de Integrl, onde presentmos o Teorem Fundmentl do Cálculo. No segundo cpítulo, inicimos nosso estudo sobre proximção de funções. Inicimos presentndo o Polinômio de Tylor centrdo em um certo ponto e dmos exemplos de Polinômios de Tylor pr lgums funções. Veremos lguns teorems sobre proximção de funções onde trtremos d diferenç entre o vlor de um função e seu respectivo Polinômio de Tylor. A est diferenç dmos o nome de Resto. Mostrmos este resto de três forms diferentes: trvés do Teorem de Tylor com Resto Integrl, Teorem de Tylor com Resto Cuchy e Teorem de Tylor com Resto Lgrnge. Finlizmos este cpítulo com mis exemplos onde tmbém clculmos o vlor numérico de certs funções em um ponto, com um determind precisão. No último cpítulo, denomindo Aplicções, estbelecemos critérios pr decidir se um determindo ponto crítico é máximo ou mínimo locl, ou ind ponto de inflexão. Este estudo é feito prtir de um teorem sobre os Polinômios de Tylor. Enfim, concluímos mostrndo que o número e é irrcionl.

6 2 Cpítulo 1 Conceitos Fundmentis 1.1 Introdução Inicimos nosso trblho com lguns conceitos fundmentis do Cálculo Diferencil e Integrl. Continuidde de um cert função, funções deriváveis, integrl e ind Teorems d Análise é o que veremos seguir. É importnte frisr que este cpítulo é de sum importânci pr um melhor entendimento dos cpítulos seguintes. 1.2 Funções Contínus Intuitivmente, um função f é contínu se seu gráfico não contém interrupções, sltos ou ocsiões indefinids. Ms, pensndo dest mneir, poderemos nos equivocr e dizer que um cert função é contínu, qundo, porém, não é. Assim definiremos função contínu d seguinte mneir: Definição 1. Um função f : D R é contínu no ponto se f(x) = f() x Definição 2. Dizemos que um determindo conjunto A, de números reis, é itdo superiormente se existe um número x tl que x de A. Um número x com est propriedde é um cot superior de A. Definição 3. Dizemos que um número x é um cot superior mínim de A se (1) x é cot superior de A, e (2) se y é um cot superior de A, então x y. Um vez dd definição precis, vemos que se x e y são mbos cots superiores mínims de A, então x = y. Neste cso:

7 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3 x y, visto que y é um cot superior, e x é um cot superior mínim e, y x, visto que x é um cot superior, e y é um cot superior mínim; segue que x = y. Por isto flmos d cot superior mínim de A que chmremos dqui em dinte de supremo e su notção é sup A Definição 4. Um conjunto A de números reis está itdo inferiormente se existe um número x tl que x de A. Assim, um número x recebe o nome de cot inferior de A. Definição 5. Um número x é cot inferior máxim de A se (1) x é um cot superior de A e, (2) se y é um cot superior de A, então x y. A cot inferior máxim de A é tmbém chmd de ínfimo de A e su notção é inf A Teorem 1. Se f é contínu em, então existe um número δ > tl que f está itd superiormente no intervlo ( δ, + δ) FIGURA 1 Prov: Como f é contínu, então x f(x) = f(), existe, pr todo ɛ >, um δ > tl que, pr todo x, se x < δ, então f(x) f() < ɛ.

8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 4 Escolhendo ɛ = 1, deduzimos que existe um δ > tl que, pr todo x, se x < δ, então f(x) f() < 1. Segue que se x < δ, então f(x) f() < 1. Então, no intervlo ( δ, + δ), função f está itd superiormente por f() + 1. Teorem 2. Se f é contínu no intervlo [, b], então existe um número y no intervlo [, b] tl que f(y) f(x) pr todo x de [, b]. Prov: Sbemos que f está itd no intervlo [, b], o que signific que o conjunto {f(x) : x [, b]} está itdo. Evidentemente este conjunto não é vzio, de modo que se tenh um cot superior mínim α. Visto que α f(x) pr todo x [, b], bst demonstrr que α = f(y) pr lgum y no intervlo [, b]. Fremos um contrdição e supondo que α f(y) pr todo y de [, b], então função g definid por g(x) = 1, x [, b] α f(x) é contínu no intervlo [, b], visto que o denomindor do segundo membro não é nunc. Por outro ldo, α é cot superior mínim de {f(x) : x [, b]}; isto signific que pr todo ɛ > existe um x no intervlo [, b] com α f(x) < ɛ. Isto signific, por su vez que pr todo ɛ > existe um x no intervlo [, b] com g(x) > 1 ɛ. Ms, isto é um contrdição, pois g(x) não está itd no intervlo [, b]. 1.3 Funções Deriváveis O conceito de derivd é o conceito fundmentl no cálculo, pois fornece o instrumento mis poderoso pr o estudo do comportmento de funções reis. Su formulção foi feit independentemente por Newton e Leibniz no século XVII e, podemos dizer, de um form mis simples, que o conceito de derivd nsceu d necessidde de se quntificr vrição de um função, ou sej, form como função vri.

9 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 5 Se um função é contínu, então pequens vrições d vriável x germ pequens vrições dos vlores d função ms, té comprndo funções contínus bstnte simples, podemos ver que um mesm pequen vrição de x pode gerr vrições muito diferentes dos vlores ds funções. O conceito de derivd nos permite quntificr esss diferençs de vrições, sendo, portnto, um instrumento muito importnte pr o estudo do comportmento de funções reis. Definição 6. Dizemos que um função f : R R é derivável (ou diferenciável) num ponto x de seu domínio, se f está definid em lgum intervlo berto contendo x e existe o ite bixo: f(x) f(x ) x x x x Neste cso, esse ite será chmdo derivd de f no ponto x. Se f é um função derivável em x, derivd de f no ponto x é denotd por f (x ), isto é, f f(x) f(x ) (x ) =. x x x x Interpretção Geométric Sej f : R R um função diferenciável no ponto x, isto é, f(x) f(x ) = f (x). x x x x Fixndo x 1 > x, o quociente f(x 1) f(x ) é o coeficiente ngulr d ret x 1 x que pss pelos pontos (x, f(x )) e (x 1, f(x 1 )), logo est ret é secnte o gráfico de f. (ver figur 1) Se fixmos x < x 2 < x 1, novmente f(x 1) f(x ) é o coeficiente ngulr x 1 x d ret que pss pelos pontos (x, f(x )) e (x 1, f(x 1 )). Assim, vemos que f (x ) é o ite dos coeficientes ngulres ds rets secntes que pssm por (x, f(x )) qundo x tende x. Como este ite existe, represent o coeficiente ngulr d ret tngente o gráfico de f no ponto (x, f(x )). Definição 7. Se um função f : D R é derivável em todos os pontos de seu domínio D, dizemos simplesmente que f é derivável e função f : D R que cd número x D ssoci o número f (x) é chmd primeir derivd de f ou função derivd de f. Logo, se função f for diferenciável, denotmos

10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 6 Figur 2 derivd (f ) = f : D R, que é chmd de segund derivd de f. Cso f for diferenciável, denotremos derivd (f ) = f : D R. Assim sucessivmente podemos flr de um função k-vezes diferenciável onde k- ésim derivd denotmos por f (k) : D R Pontos Críticos A prtir de certs informções sobre derivd podemos obter informções sobre o comportmento de um função. Mis especificmente, podemos determinr os intervlos onde função é crescente e queles onde el é decrescente, encontrndo os pontos onde função mud de comportmento (de crescente pr decrescente ou vice-vers). Se f : (, b) R, tl que f não é constnte, nem crescente e nem decrescente em (, b), dizemos que f present mudnç de comportmento qunto o crescimento em (, b). Assim, no estudo de um função f, mostrremos os intervlos de seu domínio onde não há mudnçs de comportmento qunto o crescimento ou decrescimento e qul é o único comportmento de f em cd um desses intervlos. Comecemos por nlisr lgums situções onde ocorrem mudnçs de comportmento de um função qunto o crescimento, buscndo crcterizr pontos de seu domínio que indiquem possibilidde de ocorrênci desss mudnçs.

11 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 7 Por exemplo, situção em que um número x pertence um intervlo (, b) do domínio de f, é tl que f é crescente em (, x ] e decrescente em [x, b). Neste cso teremos f(x) f(x ) pr qulquer vlor de x (, b), ou sej, f(x ) é o mior vlor que f ssume no intervlo (, b). Dí definirmos: Definição 8. Dizemos que x é um ponto de máximo locl de f : (, b) R, se existe um intervlo berto (c,d) contido no domínio de f tl que x (c, d) e f(x) f(x ), qulquer que sej x (, b). O número f(x ) é chmdo vlor máximo locl de f. Definição 9. Dizemos que x é um ponto de mínimo locl de f : (, b) R, se existe um intervlo berto (c,d) contido no domínio de f tl que x (c, d) e f(x ) f(x), qulquer que sej x (, b). O número f(x ) é chmdo vlor mínimo locl de f. Com ess definição temos que se x (, b) e f é decrescente em (, x ] e crecente no intervlo [x, b), então x é um ponto de mínimo locl de f. Teorem 3. Sej f : (, b) R derivável em cd ponto do intervlo (,b). Se x é um máximo locl (ou um mínimo locl) pr f em (,b) e f é derivável em x, então f (x) =. Figur 3 Prov: Consideremos o cso em que f tem um máximo locl em x. Observe que s rets secntes trçds à esquerd de (x, f(x)) tem inclinção e s secntes trçds por pontos direit de (x, f(x)) tem inclinção. Se h é um número qulquer tl que (x + h) está em (, b), então f(x) f(x + h) Logo, f(x + h) f(x)

12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8 Se h > podemos escrever e, em conseqüênci disto f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x). h + h Se h < teremos de modo que f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x). h h Como, por hipótese, f é derivável em x, então estes dois ites devem ser iguis e iguis f (x), ou sej, f (x) e f (x). Logo, e f (x) = f f(x + h) f(x) (x) =. h h O cso em que f tem um mínimo locl em x é nálogo. Definição 1. Sej f : [, b] R um função diferenciável. Chmmos ponto crítico de um função f todo número x (, b) tl que f (x) =. 1.4 Alguns Teorems d Análise Teorem de Rolle Teorem 4. Se f : [, b] R é um função contínu em [,b] e derivável em (,b), e f() = f(b), então existe um número x em (,b) tl que f (x) =. Prov: Observe s figurs 4.1, 4.2 e Vmos supor, em primeiro lugr, que os vlores de máximo e mínimo locis sejm iguis, ou sej, f é constnte.

13 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 9 Figur 4.1 Figur 4.2 Figur 4.3 Como f()=f(b), se os vlores máximos e mínimo de f são iguis, então f é um função constnte, e pr um função constnte podemos escolher qulquer x de (, b). Se f(x)=c, então f (x)=. 2. Supondo, gor, que o vlor máximo se present num ponto de x pertencente (, b): Então, segundo o teorem nterior, f (x)=. 3. Supondo gor que o vlor mínimo está num ponto x pertencente (, b): Então, segundo o teorem nterior, f (x)= Teorem do Vlor Médio Teorem 5. Se f : (, b) R é um função contínu em [,b] e derivável em (,b), então existe um número x em (,b) tl que f (x) = f(b) f() b Prov: [ ] f(b) f() Sej h(x) = f(x) (x ). b Por hipótese, f é contínu em [, b] e derivável em (, b), então h tmbém é. Assim, [ ] [ ] f(b) f() f(b) f() h() = f() ( ) = f() () = f() b b [ ] f(b) f() h(b) = f(b) (b ) = f(b) f(b) + f() = f() b Como h() = h(b) = f(), podemos plicr o Teorem de Rolle e deduzir que existe lgum x em (, b) tl que = h (x) = f (x) f(b) f() b

14 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 Então Logo, = f (x) f (x) = f(b) f() b f(b) f(). b Teorem do Vlor Médio de Cuchy Teorem 6. Se f : (, b) R e g : (, b) R são funções contínus em [,b] e deriváveis em (,b), então existe um número x em (,b) tl que Prov: Sej [f(b) f()]g (x) = [g(b) g()]f (x) h(x) = f(x)[g(b) g()] g(x)[f(b) f()] Como f e g são contínus em [, b] e deriváveis em (, b), então h tmbém é contínu em [, b] e derivável em (, b) e, h() = f()[g(b) g()] g()[f() f()] h() = f()g(b) f()g() g()f(b) + g()f() h() = f()g(b) g()f(b) e tmbém h(b) = f(b)[g(b) g()] g(b)[f(b) f()] h(b) = f(b)g(b) f(b)g() g(b)g() g(b)f(b) + g(b)f() h(b) = g(b)f() f(b)g() Logo, h() = h(b). Do Teorem de Rolle, segue que h (x) = pr lgum x pertencente (, b). Então: h (x) = f (x)[g(b) g()] g (x)[f(b) f()] = f (x)[g(b) g()] g (x)[f(b) f()] = f (x)[g(b) g()] = g (x)[f(b) f()]

15 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11 Logo, Se g(b) g() e g (x). f (x) f(b) f() g = (x) g(b) g() OBS: Se g(b) g() e g (x), podemos escrever equção cim d seguinte form: f(b) f() g(b) g() = f (x) g (x) Se g(x) = x, x, então g (x) = 1 e obteremos o Teorem do Vlor Médio: f (x) = f(b) f() g(b) g() Aplicndo-se o Teorem do Vlor Médio f e g seprdmente encontrremos x e y em (, b) com f(b) f() g(b) g() = f (x) g (y) ; f (x) = f(b) f() b Dividindo f (x) por g (x) teremos: e g (y) = g(b) g() b f (x) g (y) = f(b) f() b g(b) g() b Porém, nd nos grnte que x e y escolhidos sejm iguis Regr de L Hôpitl Teorem 7. Supondo que f(x) = e g(x) =, e supondo tmbém que x x f (x) f(x) existe x g, então existe (x) x g(x), e f(x) x g(x) = f (x) x g (x).

16 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 12 Prov: f (x) A hipótese de que x g existe contém implicitmente dus suposicões: (x) 1. Existe um intervlo ( δ, + δ) tl que f (x) e g (x) existem em todo x pertencente ( δ, + δ) exceto possivelmente pr x = ; 2. Neste intervlo g (x) com possível exceção de x =. Por outro ldo, não se supõe que f e g estejm definids em. Se definimos f() = g() = então f e g são contínus em. Se < x < + δ, então o Teorem do Vlor Médio e o Teorem do Vlor Médio de Cuchy são plicáveis f e g no intervlo [, x] (igulmente válido pr δ < x < ). Aplicndo primeiro o Teorem do Vlor Médio em g, vemos que g(x), pois se fosse g(x) = então existiri lgum x 1 no intervlo (, x) com g (x) =, contrdizendo (2). Aplicndo o Teorem do Vlor Médio de Cuchy f e g, vemos que existe um número α x no intervlo (, x) tl que [f(x) ]g (α x ) = [g(x) ]f (α x ) ou f(x) g(x) = f (α x ) g (α x ). α x proxim-se de qundo x se proxim de, visto que α x está no intervlo f (y) (, x). D existênci de y g, segue que (y) f(x) x g(x) = f (α x ) x g (α x ) = f (α y ) y g (α y ). 1.5 A integrl O Conceito de integrl Se e b são números reis com < b, um prtição P pr o intervlo [, b] é um conjunto finito de pontos do intervlo, P = {t, t 1, t 2,..., t k }, stisfzendo t = < t 1 < t 2,..., t k 1, b = t k Logo, se [, b] é um intervlo contido no domínio de um função f, P = {t, t 1, t 2,..., t k } é um prtição contid em [, b]. Definição 11. O tmnho de um prtição P, denotdo por P, é o comprimento do mior subintervlo determindo por dois números consecutivos d prtição, isto é, intervlos d form [t i 1, t i ], ou sej, P = mx{(t 1 t ), (t 2 t 1 ),..., (t i t i 1 ),..., (t k t k 1 )}.

17 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 13 Com est definição, o comprimento de qulquer subintervlo [t i 1, t i ] é sempre menor ou igul o tmnho d prtição, isto é, t i 1, t i P, pr 1 i k. Definição 12. Suponh que f : [, b] R é itd no intervlo [, b] e P = {t, t 1,..., t n 1, t n } é um prtição de [, b]. Sej m i = inf{f(x) : t i 1 x t i }, M i = sup{f(x) : t i 1 x t i }. A som inferior de f pr P, designd por L(f, P ), é definid por: L(f(x), P ) = n m i (t i t i 1 ). A som superior de f pr P, designd por U(f, P ), é definid por: U(f(x), P ) = i=1 n M i (t i t i 1 ). i=1 Se P é um prtição qulquer, então L(f(x), P ) U(f(x), P ), pois, e, pr cd i teremos L(f(x), P ) = U(f(x), P ) = n m i (t i t i 1 ), i=1 n M i (t i t i 1 ), i=1 m i (t i t i 1 ) M i (t i t i 1 ). Definição 13. Suponh que f : [, b] R é itd no intervlo [, b]. b b ā Chmmos de Integrl Superior e denotmos por f(x)dx = inf {U(f(x),P): P é um prtição de [,b]}. Chmmos de Integrl Inferior e denotmos por f(x)dx = sup {L(f(x),P): P é um prtição de [,b]}.

18 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 14 Definição 14. Um função f : [, b] R itd no intervlo [, b] é integrável em [, b] se b f(x)dx = b ā f(x)dx. Neste cso, o número I, comum mbos, recebe o nome de integrl de f e é escrito d seguinte mneir: Se f(x), integrl b entre e b e cim do eixo x. I = b f(x)dx. f(x)dx é áre d região bixo do gráfico de f Então, se f é integrável, L(f(x), P ) b pr tods s prtições P do intervlo [, b]. f(x)dx U(f(x), P ) Teorem 8. Suponh que f : [, b] R sej integrável em [, b] e que m f(x) M pr todo x de [, b]. Então Prov: Sej b m(b ) b f(x)dx M(b ). f(x)dx = sup{l(f, P )} = inf{u(f, P )}.

19 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 15 Então, percebemos que pr tod prtição P do intervlo. m(b ) L(f, P ) e U(f, P ) M(b ) Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem 9. Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo Sej f : [, b] R um função integrável sobre o intervlo [, b] e F (x) = f(t)dt. Se f é contínu em c, onde c está contido no intervlo [, b], então F é derivável em c e F (c) = f(c). Prov: Como c está contido no intervlo [, b], teremos, por definição, Supondo primeiro que h >, então Sejm: F F (c + h) F (c) (c) =. h h F (c + h) F (c) = Do teorem nterior segue que c+h c f(t)dt. m h = inf{f(x) : c x c + h}, M h = sup{f(x) : c x c + h}. Logo, Se h, teremos: m h.h m h c+h c f(t)dt M h.h. F (c + h) F (c) h M h. m h = inf{f(x) : c + h x c}, M h = sup{f(x) : c + h x c}. Então, m h.( h) c+h c f(t)dt M h.( h)

20 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 16 Figur 6 m h.h c+h c f(t)dt M h.h Como h obteremos o mesmo resultdo pr h >, que é m h F (c + h) F (c) h M h. Est iguldde se fz pr qulquer função integrável. Como f é contínu em c, teremos m n = M n = f(c), h h e isto signific que F F (c + h) F (c) (c) = = f(c) h h Definição 15. Se f e g são funções tis que f é derivd de g, isto é, g (x) = f(x), dizemos que função g é um primitiv pr f. Teorem 1. Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo Se f : (, b) R é integrável sobre [, b] e f = g pr lgum função g, então b f(t)dt = g(b) g().

21 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 17 Prov: Sej P = {t, t 1,..., t n 1, t n } um prtição qulquer de [, b]. Pelo teorem do vlor médio, existe um ponto x i em [t i 1, t i ] tl que g(t i ) g(t i 1 ) = g (x i )(t i t i 1 ) g(t i ) g(t i 1 ) = f(x i )(t i t i 1 ). Se m i = inf{f(x) : t i 1 x t i }, M i = sup{f(x) : t i 1 x t i }, Então m i (t i t i 1 ) f(x i )(t i t i 1 ) M i (t i t i 1 ), é o mesmo que m i (t i t i 1 ) g(x i ) g(t i 1 ) M i (t i t i 1 ). Somndo ests equções pr i = 1,..., n obteremos, n n m i (t i t i 1 ) g(b) g() M i (t i t i 1 ) i=1 i=1 de mneir que L(f, P ) g(b) g() U(f, P ) pr tod prtição de P. Porém, isto sigfic que g(b) g() = b f(t)dt.

22 18 Cpítulo 2 Aproximção Por Funções Polinomiis 2.1 Introdução Um polinômio p de gru n N, com coeficientes reis n vriável x é ddo por p(x) = + 1 x + 2 x n x n onde os coeficintes i R i =, 1, 2, 3,..., n. Como efetundo pens s operrções de dição e multiplicção podemos sempre clculr o vlor de p em x, então p como função rel está definid pr todo x R. No Cálculo, s funções polinomiis são considerds s mis simples. Já s funções logrítmo, seno, cosseno, exponencil, etc., não têm tl simplicidde. Dd um função qulquer, f : R R, fremos qui um proximção dest por polinômios, de modo que possmos usr vlores dos polinômios o invés dos vlores de tis funções, cometendo com isto um erro tão pequeno qunto queirmos. 2.2 Polinômio de Tylor Dizemos que um polinômio está n form (x ) ou que está centrdo em x = se for d form: p(x) = + 1 (x ) + 2 (x ) n (x ) n Neste cso, temos que p() = ; derivndo p sucessivmente temos que:

23 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 19 p (x) = (x ) (x ) n n (x ) n 1 p () = p (1) () = 1 = 1 = p(1) () ; 1! p (x) = (x ) n(n 1) n (n ) n 2 p () = p (2) () = 2 2 = 2 = p(2) () 2! Assim pode-se mostrr por indução que p (k) (x) = k! k (n )x (n k) p (k) (x) = k! k n(n 1) [n (k 1)]. n (x ) n k p (k) (x) = n j=k j! (j k)! j(x ) j k Então p (k) () = k! k = k = p(k) (). (2.1) k! Definição 16. Dd f : R R um função que tenh derivds té ordem n no ponto x =, ssocimos f o polinômio P n, (x) de gru n ddo por P n, (x) = + 1 (x ) + 2 (x ) n (x ) n, onde os coeficientes k = f (k) (), k =, 1, 2, 3,..., n. Logo, k! P n, (x) = f() + f (1) ()(x ) + f (2) () 2! (x ) f (n) () (x ) n. (2.2) O polinômio P n, (x) recebe o nome de Polinômio de Tylor de gru n pr f centrdo em.

24 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 2 Escrevendo com notção de somtório, temos que P (n,) (x) = n k= f (k) () (x ) k k! Em prticulr, se =, o Polinômio de Tylor de gru n pr f, centrdo em x = é: p(x) = P (n,) (x) = + 1 x + 2 x n x n. Exemplo 1. Dd função f(x) = sen(x), encontrr o Polinômio de Tylor de f de gru (2n + 1) centrdo em =. Como função sen(x) é infinitmente diferenciável, então sen() = sen (1) () = cos() = 1 sen (2) () = sen() = sen (3) () = cos() = 1 sen (4) () = sen() = Dqui em dinte s derivds se repetem em ciclo de 4. Logo os números k = sen(k) () k! são d form: 1, se k=3,7,11...; k =, se k for pr; 1, se k=1,5,9... Logo =, 1 = 1, 2 =, 3 = 1 3!, 4 =, 5 = 1 5!, 6 =, 7 = 1 7!,... Então, o Polinômio de Tylor P 2n+1, pr função sen(x) centrdo em = é (x )2 P 2n+1, = + 1.(x ) +. 2! (x )6 (x ) ( 1) n. 6! 7! (x )3 1. [ 3! x 2n+1 (2n + 1)! Então teremos, [ P 2n+1, (x) = x x3 3! + x5 5! x7 x 2n+1 7! ( 1)n. ]. (x 4)4 (x ) ! 5! 2n + 1! ].

25 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 21 Exemplo 2. Dd função h(x) = e x, encontrr o Polinômio de Tylor de h de gru n centrdo em =. h() = h (1) () =... = h (n) () = 1 Então, = 1 = 2 =... = n = 1 Logo, o Polinômio de Tylor P n, pr função e x no ponto = é: (x )2 (x )3 (x )4 (x )n P n, (x) = 1 + x ! 3! 4! P n, (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 xn !. Consideremos pr função h(x) = e x os Polinômios de Tylor de gru 1 e 2, que são: P 1, (x) = 1 + x e P 2, (x) = 1 + x + x y x 2 Exponencil Polinomio Gru 1 Polinomio Gru 2 Notemos que num pequen vizinhnç centrd em x =, medid que o gru do Polinômio de Tylor ument, o gráfico respectivo fic mis próximo do gráfico de h(x).(vej figur nterior).

26 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 22 Anliticmente, verificremos que P 2, (x) está mis mis próximo de h(x) do que P 1, (x), ou sej, ordem de convergênci é mis próxim se ordem de proximidde for mior. Pr isto clculmos os seguintes ites: f(x) P 1, (x) e x 1 x 1. = = x x x x. Aplicndo Regr de L Hôpitl, teremos h(x) P 1, (x) =. (2.3) x x x 2 f(x) P 2, (x) ex 1 x 2. x (x ) 2 = 2 x x 2 =. Aplicndo Regr de L Hôpitl 2 vezes temos que h(x) P 2, (x) x x 2 = (2.4) O primeiro ite (2.3) nos diz que diferenç h(x) e P 1, (x) tende zero mis rápido que função liner x. O segundo ite (2.4) nos diz que diferenç de h(x) e P 2, (x) tende zero ind mis rápido que um função qudrátic x 2. É isto que o Teorem seguir mostr pr um função qulquer. Teorem 11. Sej f : R R um função n-vezes diferenciável no ponto x =. Então, f(x) P n, (x) x (x ) n =. Prov: Consideremos o Polinômio de Tylor de f de gru n centrdo em x = : P n, (x) = f() + f ()(x ) f (n 1) () (n 1)! (x )n 1 + f n () (x ) n Seprndo o último termo do polinômio temos que:

27 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 23 P n, (x) = Então, n 1 k= f (k) () k! f(x) f(x) P n, (x) (x ) n = f(x) f(x) P n, (x) (x ) n = Chmemos de g(x) = Devemos mostrr que (x ) k + f n ()(x ) n. n 1 k= n 1 k= n 1 k= f (k) (x ) k f (n) ()(x ) n k! (x ) n. f (k) ()(x ) k k! (x ) n f (n) (). f (k) ()(x ) k k! e h(x) = (x ) n. [ f(x) g(x) f (n) ] () =. x h(x) Como o segundo termo do ite cim não depende de x, bst mostrr que f(x) g(x) x h(x) = f (n) (). (2.5) Sendo que g(x) = f() + f ()(x ) f n 1 () (n 1)! (x )n 1, então temos que, derivndo sucessivmente como em (2.1) g (i) () = f (i) () i n 1. Como f é n vezes diferenciável no ponto, então f, f, f (2),..., f (n 1) são contínus em x = e sendo g polinômio, então temos: [f (i) (x) g (i) (x)] = f (i) () g (i) (); i n 1. x Assim, pr mostrr (2.5), podemos plicr Regr de L Hôpitl (n 1) vezes à primeir prte d equção e obtemos:

28 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 24 f(x) g(x) f (n 1) (x) g (n 1) (x) f n (x) = = = f n () x h(x) x h (n 1) (x) x Um plicção importnte deste Teorem que deixmos pr o Cpítulo 3 é dr um critério pr decidir qundo um ponto crítico degenerdo (isto é, f () = f () =... = f (k) () = e f (k+1) () ) é ponto de máximo ou mínimo locl. Definição 17. Dizemos que dus funções f e g : R R são iguis té ordem n em x= se f(x) g(x) x (x ) n =. Teorem 12. Sejm P e Q dois polinômios em (x ), de gru n e sej R qulquer. Suponh que P e Q sejm iguis té ordem n em, então, P = Q Prov: Como P e Q são iguis té ordem n em, por definição, temos que: P (x) Q(x) x (x ) n =. Chmemos de R(x) = P (x) Q(x). Substituindo temos: x R(x) =. (2.6) (x ) n Devemos mostrr que R(x) = pr todo x R. De (2.6), Sej i n, x [ ] R(x) R(x) (x ) i = (x )n i =. (2.7) x (x ) n Em prticulr pr i =, result simplesmente que x R(x) =. Sej R(x) = b + b 1 (x ) + b 2 (x ) b n (x ) n. R(x) = [b + b 1 (x ) + b 2 (x ) b n (x ) n ] x x R(x) = b = b =. x

29 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 25 Logo, Então, De (2.7), pr i = 1, temos R(x) x = b 1 + b 2 (x ) b n (x ) n 1. R(x) x x = [b 1 + b 2 (x ) b n (x ) n 1 ] = x R(x) x x = b 1 =. Seguindo este processo e usndo (2.7), temos que b = b 1 = b 2 =... = b n = Então, R(x) = x R. Conseqüentemente, P (x) = Q(x) x R. Isto é P = Q. Corolário 1. Sejm f : R R um função derivável n vezes no ponto x = e P um polinômio em (x-), de gru n. Suponh que P é igul f té ordem n em x =. Então P é o Polinômio de Tylor de f de ordem n centrdo em x =. Isto é, P (x) = P n, (x), x R. Prov: Como f é igul P té ordem n em x =, temos que: Por outro ldo, do teorem 11 Então devemos mostrr que f(x) P (x) x (x ) n = (2.8) f(x) P n, (x) x (x ) n =. (2.9) P (x) P (n,) (x) x (x ) n = Com efeito, crescentndo e subtrindo f(x) o ite cim, temos: P (x) P (n,) (x) P (x) P (n,) (x) + f(x) f(x) x (x ) n = x (x ) n =

30 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 26 [ ] [f(x) P(n,) (x)] [f(x) P (x)] = x (x ) n = [ ] f(x) P(n,) (x) f(x) P (x) = x (x ) n (x ) n = [ ] [ ] f(x) P(n,) (x) f(x) P (x) = x (x ) n x (x ) n então, de (2.8) e (2.9) temos que P (x) P (n,) (x) x (x ) n =. Assim os polinômios P e P n, são iguis té ordem n em x =, então, do teorem 13 P = P n,. Qundo um função for n vezes diferenciável no ponto x =, o corolário cim oferece um método útil pr encontrr seu Polinômio de Tylor centrdo em x =. Exemplo 3. Dd função t(x) = rctg(x), encontrr o Polinômio de Tylor de t de gru 2n + 1 centrdo em =. Note que, pr determinrmos cd vlor de k = t(k) (), devemos determinr t (), t (), t (),..., t k (). Assim k! rctg (x) = x 2 rctg() = 1; rctg (x) = 2x (1 + x 2 rctg() = ) rctg (x) = (1 + x2 ) 2.( 2) + 2x.2(1 + x 2 ).2x (1 + x 2 ) 4 rctg() = 2 Se continur-mos derivndo, teremos um expressão cd vez mior, um cont cd vez mis complicd e, pr evitr isto, o Corolário 1 simplific bstnte o nosso trblho. Sej equção rctg(x) = t 2 dt Dividindo o integrndo (isto é 1 entre 1 + t 2, té obter um quociente de ordem 2n, o resto é ( 1) n+1 t 2n+1, então t 2 = 1 t2 + t 4 t ( 1) n t 2n + ( 1)n+1 t 2n t 2 Logo,

31 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 27 rctg(x) = [1 t 2 + t 4 t ( 1) n t 2n + ( 1)n+1 t 2n t 2 ] dt rctg(x) = x x3 3 + x ( 1)n x 2n+1 + ( 1) n+1 t 2n+2 2n t 2 dt rctg(x) = x x3 3 + x ( 1)n x 2n+1 + ( 1) n+1 t 2n+2 dt (2.1) 2n t2 Denotemos por P (x) = x x3 3 + x ( 1)n x 2n+1, então de (2.1) 2n + 1 rctg(x) = P (x) + ( 1) n+1 t 2n t 2 dt ( 1) rctg(x) P (x) n+1 t 2n t (x ) 2n+1 = 2 dt (x ) 2n+1 (2.11) Agor mostrremos que: De fto, x t 2n t 2 dt (x ) 2n+1 = t 2n t 2 dt x t 2n+2 dt = x 2n+3 2n + 3 (2.12) Então t 2n t 2 dt x (x ) 2n+1 x 2n+3 x x 2n+1 = x x 2 2n + 3 =. D firmção nterior e de (2.11) temos rctg(x) P (x) x (x ) 2n+1 =. Então s funções rctg e P são iguis té ordem 2n + 1 no ponto x =. Logo, do Corolário 1, P é o Polinômio de Tylor de gru 2n + 1 centrdo em

32 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 28 x =. Deste modo, o Polinômio de Tylor pr função rctg(x), de gru 2n + 1, centrdo em x= é: P 2n+1, (x) = x x3 3 + x ( 1)n x 2n+1. 2n + 1 Voltemos gor equção (2.1): rctg(x) = x x3 3 + x ( 1)n x 2n+1 + ( 1) n+1 t 2n+2 2n t 2 dt. D estimtiv (2.11), se x 1, temos que o resto é: t 2n t 2 dt x 2n+3 2n + 3 < 1 2n + 3. Isto signific que podemos utilizr os Polinômios de Tylor pr função rctg(x) com proximção que quisermos, bst eleger n tão grnde qunto queirmos pr obter um resto rbitrrimente pequeno. Os teorems sobre Polinômios de Tylor estendem este resultdo, como veremos no cpítulo de Aplicções. Os teorems té qui demonstrdos têm exmindo sempre o comportmento do Polinômio de Tylor P n, pr n fixo, qundo x tende. Mis frente iremos comprr os Polinômios de Tylor P n, pr x fixo e n distintos. 2.3 Teorem de Tylor Definição 18. Sejm f : [, x] R um função e P n, o seu Polinômio de Tylor té ordem n em x =. Chmmos de Resto e denotmos por R n, (x) seguinte função: Então, R n, (x) = f(x) P n, (x). f(x) = P n, (x) + R n, (x) = = f() + f ()(x ) f (n) () (x ) n + R n, (x) (2.13)

33 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 29 Seri desejável dispor de um expressão pr R n, (x) que nos permit fcilmente estimr um bo proximção pr um determind função. Do exemplo 3, pr função rctg(x), encontrmos que R 2n+1, (x) = ( 1) n+1 t 2n t 2 dt e mostrmos que R 2n+1, (x) x 2n+3 2n + 3. Lem 1. Sej f : [, x] R função n-vezes diferenciável em [, x]. t [, x] denotemos por Pr R n,t (x) = S(t) = f(x) f(t) f (t)(x t)... f (n) (t) (x t) n. Então Prov: S (t) = f (n+1) (t) (x t) n. Fixdo x e pr cd t [, x], podemos escrever equção (2.13) em termos do Polinômio de Tylor centrdo em t, e denotmos o resto por S(t) = R n,t (x). Assim temos f(x) = f(t) + f (t)(x t) f n (t) (x t) n + S(t). (2.14) Derivndo mbos os membros de (2.14) em relção t temos que f (x) =. Então, [ = f (t) + [... + f (n) (t) f (t) + f (t) (x t) 1! (n 1)! (x t)n 1 + f (n+1) (t) ] [ + f (t) 1! (x t) n ] + S (t) Simplificndo temos = f (n+1) (t) (x t) n + S (t). Então t (x t) + f ] (t) (x t) ! S (t) = f (n+1) (t) (x t) n. (2.15) Utilizremos este lem ns subseções seguir.

34 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS Teorem de Tylor com Resto Integrl Consideremos seguinte equção: f(x) = f() + R, (x) Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, temos que de mneir que R, (x) = f(x) = f() + f (t)dt. f (t)dt De form nálog, obtemos um expressão pr R 1, (x). Pr isto, integrmos f (t)dt, utilizndo o método de integrção por prtes. Vej que f(x) = f() + Resolvendo somente integrl f (t)dt = f() f (t)( dt). f (t)( dt), temos que, u(t) = f (t), du(t) = f (t)dt e dv(t) = dt, v(t) = x t. Logo teremos f (t)( dt) = u(t)v(t) b = f (x)(x x) f ()(x ) Como f(x) = f() Assim então, = f ()(x ) f(x) = f() (x t)f (t)dt = f (t)(x t) f (t)(x t)dt = f ()(x ) f (t)(x t)dt. f (t)( dt), temos então que [ f ()(x ) f(x) = f() + f ()(x ) + R 1, (x) = f (t)(x t)dt. f (t)(x t)dt = ] f (t)(x t)dt f (t)(x t)dt. f (t)(x t)dt = Um generlizção dest form de escrever o resto é ddo no seguinte teorem:

35 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 31 Teorem 13. Sej f : [, x] R um função n+1 vezes diferenciável com f n+1 integrável em [, x]. Então f(x) = f() + f ()(x ) f n () (x ) n + R n, (x), onde o resto é d form: R n, (x) = f x+1 (x t) n dt. Prov: Escrevendo f(x) em função dos Polinômios de Tylor centrdos em t [, x], como no Lem 1, e d equção (2.15), temos que função resto S(t) = R n,t (x) stisfz S (t) = f (n+1) (t) (x t) n. Aplicndo o Teorem Fundmentl do Cálculo, temos S(x) S() = S (t)dt = f (n+1) (t) (x t) n dt. Como S(t) = R n,t (x), temos que S(x) = R n,x (x) = (pois f(x) = f(x) + f (x)(x x) R n,x (x)) e S() = R n, (x). Então temos que Logo, R n, (x) = f (n+1) (t) (x t) n dt. R n, (x) = f (n+1) (t) (x t) n dt Teorem de Tylor com Resto Cuchy Teorem 14. Sej f : [, x] R um função n+1 vezes diferenciável. Então f(x) = f() + f ()(x ) f n () (x ) n + R n, (x), e função resto é d form: R n, (x) = f (n+1) (t) (x t) n (x ), pr lgum t (, x).

36 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 32 Prov: Escrevendo f(x) em função dos Polinômios de Tylor centrdos em t [, x], como no Lem 1, e d equção (2.15), temos que função resto S(t) = R n,t (x) stisfz S (t) = f (n+1) (t) (x t) n Aplicndo o teorem do vlor médio n função S em [, x], temos que existe um t em (, x) tl que S(x) S() x = S (t) = f (n+1) (t) (x t) n Como S(t) = R n,t (x) = f(x) f(t) f (t)(x t)... f (n) (t) (x t) n, temos que S(x) = R n,x (x) = e S() = R n, (x). Assim então, R n, (x) x ou sej, como querímos demonstrr: = f (n+1 (t) (x t) n R n, (x) = f (n+1) (t) (x t) n (x ) Teorem de Tylor com Resto Lgrnge Teorem 15. Sej f : [, x] R um função n+1 vezes diferenciável. Então f(x) = f() + f ()(x ) f n () (x ) n + R n, (x), e função resto é d form: R n, (x) = f (n+1) (t) (n + 1)! (x )n+1, pr lgum t (, x). Prov: Escrevendo f(x) em função dos Polinômios de Tylor centrdos em t [, x], como no Lem 1, e d equção (2.15), temos que função resto S(t) = R n,t (x) stisfz S (t) = f (n+1) (t) (x t) n

37 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 33 Pr deduzir o resto n form de Lgrnge, bst plicr o teorem do vlor médio de Cuchy ns funções S(t) e g(t) = (x t) n+1. Assim, existe t (, x) tl que f (n+1) (t) S(x) S() g(x) g() = S (t) (x t) n g (t) = (n + 1)(x t) n = f (n+1) (t) (x t) n (n + 1)(x t) n Vejmos que S(x) = R n,x (x) =, S() = R n, (x), g(x) = e g() = (x ) n+1. Substituindo n equção nterior R n, (x) (x ) n+1 = f (n+1) (t) (x t) n (n + 1)(x t) n R n, (x) (x ) n+1 = f (n+1) (t) (x t) n (n + 1)(x t) n R n, (x) (x ) n+1 = f (n+1) (t)(x t) n. 1 (x + 1)(x t) n R n, (x) (x ) n+1 = f (n+1) (t) (n + 1) = f (n+1) (t) (n + 1)! Então, R n, (x) = f (n+1) (t) (n + 1)! (x )n Outros Exemplos Exemplo 4. Dd função g(x) = log(x), com x >, encontrr o Polinômio de Tylor de g de gru n centrdo em = 1. f(1) = f (1) (x) = 1 x f (1) (1) = 1 f (2) (x) = 1 x 2 f (2) (1) = 1 f (3) (x) = 2 x 3 f (3) (1) = 2

38 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 34 f (4) (x) = 6 x 4 f (4) (1) = 6 Logo, f (k) (x) = ( 1)n 1.(n 1)! x n, n 1 O Polinômio de Tylor P n,1 pr função log(x) no ponto = 1 é P n,1 (x) = (x 1) (x 1)2 2 + (x 1) ( 1)n 1 (x 1) n. n Exemplo 5. Pr função sen(x), com =, sbemos que seu Polinômio de Tylor de gru P 2n+1, é: [ ] P 2n+1, (x) = x x3 3! + x5 x 2n+1 5!...+( 1)n + 2n + 1! sen (2n+2) (t) (x t) 2n+1 dt (2n + 1)! Iremos estimr o vlor d integrl cim, um vez que é bstnte complicdo resolvê-l. Estimr este vlor é fácil e o mesmo tempo teremos um bo proximção pr o vlor dest função. Por ser sen (2n+2) (t) 1, t, teremos Então, sen (2n+2) (t) (2n + 1)! (x t) 2n+1 dt 1 (2n + 1)! (x t) 2n+1 (x t)2n+2 (x x)2n+2 dt = = 2n + 2 2n + 2 (x t) 2n+1 dt = x2n+2 2n + 2 Logo, sen (2n+2) (t) (x t) 2n+1 dt (2n + 1)! 1 (2n + 1)! x 2n+2 2n + 2 = (x t) 2n+1 dt [ ] (x )2n+2 = 2n + 2 x 2n+2 (2n + 2)! Se quisermos clculr sen2 com um erro menor que 1 4, temos que sen2 = P 2n+1, (2) + R, onde R 22n+2 (2n + 2)!. Assim, utilizmos P 2n+1,(2) como solução sempre que 2 2n+2 (2n + 2)! < 1 4

39 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 35 Logo, qundo n = 5, obtemos o resultdo procurdo, pois sen2 = P 11, (2) + R = ! ! 27 7! ! ! + R onde R < 1 4. Vej que R = ! < 1 4, ou, 4 <, 1. Logo, com est tolerânci temos que sen2 =, A figur seguir mostr o gráfico d função sen(x) bem como o gráfico de seu Polinômio de Tylor de gru y x -4-8 Seno Polinomio de Tylor Exemplo 6. Sej função f(x) = cox(x). Iremos encontrr o Polinômio de Tylor P n, (x) de gru 2n no ponto =. cos() = 1 cos (1) () = sen() = cos (2) () = cos() = 1 cos (3) () = sen() = cos (4) () = cos() = 1 As derivds se repetem em ciclo de 4. Então os números serão k = cos(k) () k!

40 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 36 = 1, 1 = 2 = 1 2!, 3 =, 4 = 1 4!, 5 =, 6 = 1 6!, 7 =,... é: O Polinômio de Tylor P 2n, de gru 2n pr função cos(x) no ponto = (x )2 P 2n, = 1 + (x ) 1 2! (x )6 (x ) ( 1) n (x)2n + 6! 7! 2 (x )3 +. 3! (x ) ! cos (2n+1) (t) (x t) 2n dt (2n)! (x )5 + 5! P 2n, (x) = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2n ( 1)n 6! 2 + cos (2n+1) (t) (x t) 2n dt (2n)! Iremos estimr o vlor d integrl cim, um vez que é bstnte complicdo resolvê-l. Estimr este vlor é fácil e teremos um bo proximção pr o vlor d função cox(x). Por ser cos (2n+1) (t) 1, t, teremos cos (2n+1) (t) (x t) 2n dt (2n)! 1 (2n)! (x t) 2n dt x2n+1 (2n + 1)!. Se quisermos clculr cos1 com um erro menor que 1 5, temos que cos1 = P 2n, (1) + R, onde R 12n+2 (2n + 2)!. Assim, utilizmos P 2n,(2) como solução sempre que 1 (2n)! < 1 5. Logo, qundo n = 5, obtemos o resultdo procurdo, pois 1 1! < 1 5. cos1 = P 1, (1) + R = ! ! 16 6! ! 11 1! + R onde R < 1 5. Assim, com est tolerânci temos que cos1 =, A próxim figur mostr o gráfico d função cos(x) bem como o gráfico de seu respectivo Polinômio de Tylor de Gru 11.

41 CAPÍTULO 2. APROXIMAÇÃO POR FUNÇÕES POLINOMIAIS 37 8 y x -8 Cosseno Polinomio de Tylor

42 38 Cpítulo 3 Aplicções 3.1 Critérios de Máximo e Mínimo Locis pr Pontos Críticos Degenerdos Definição 19. Sej f : [, x] R um função n vezes diferenciável. x (, b) é ponto crítico degenerdo de ordem k se f (x) = f (x) =... = f (k) (x) = e f (k+1) (x) Como plicção do Teorem 11, dremos um critério pr decidir se um certo ponto crítico degenerdo é máximo ou mínimo locl, ou ponto de inflexão. Teorem 16. Sej f : R R um função n-vezes diferenciável no ponto x =, e este é um ponto crítico degenerdo de ordem n. Então um ds seguintes proprieddes é válid: 1. Se n é pr e f (n) () >, então f tem um ponto de mínimo locl em. 2. Se n é pr e f (n) () <, então f tem um ponto de máximo locl em. 3. Se n é ímpr, então f não é ponto de máximo nem de mínimo locl em x =. Neste cso, x = é chmdo de ponto de inflexão. Prov: Se considermos função g(x) = f(x) f(), notmos que g() = e g k () = f k () k. Sendo g um trnslção verticl de f, nturez de ser máximo locl ou mínimo locl de um implic o mesmo pr o outro. Assim, sem perd de generlidde, podemos supor que f() =. Como s primeirs (n 1) derivds de f no ponto x = vlem, o Polinômio de Tylor P n, (x) de f é: P n, (x) = f (n) () (x ) n.

43 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES 39 Do Teorem 11 temos que f(x) P n, (x) f(x) = x (x ) n = x f (n) () (x ) n (x ) n. Simplificndo, temos que [ f(x) x (x ) n f (n) ] () =. Logo, x f(x) (x ) n = f (n) (). (3.1) Cso 1: Se n é pr e f n () >. De (3.1) e d definição de ite, ddo ɛ = 1 2 que se < x < δ, então ɛ < f(x) (x ) n f (n) () < ɛ = f (n) () ɛ < Como ɛ = 1 ( f (n) ) (), então 2 < 1 ( f (n) ) () < f(x) 2 (x ) n < 3 2 ( f (n) ) () >, δ > tl f(x) (x ) n < ɛ + f (n) (). ( f (n) () ). (3.2) Sendo n pr, (x ) n > x, então de (3.2) temos x com δ < x < + δ implic que f(x) > = f(). Em conseqüênci, f tem um mínimo locl no ponto x =. Vej figur 1. Cso 2: Se n é pr e f n () <. De modo semelhnte o cso 1, bst tomr ɛ = 1 ( f (n) ) () > pr obter 2

44 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES 4 Figur ( f (n) ) () < f(x) (x ) n < 1 2 ( f (n) ) () <. (3.3) Como n é pr, (x ) n > x ( δ, + δ), com x. Logo, isto implic que f(x) < = f(). Em conseqüênci, f tem um máximo locl no ponto x =, vej figur seguir. Figur 11 Cso 3: Se n é ímpr.

45 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES ) Se f (n) () >, usmos (3.2): < 1 2 ( f (n) ) () < f(x) (x ) n < 3 2 ( f (n) () Se x >, temos que (x ) n >, então f(x) >. Se x <, temos que (x ) n <, então f(x) <. Logo, f tem um ponto de inflexão em x = (ver figur 12). ). Figur ) Se f (n) () <, usmos (3.3): 3 2 ( f (n) ) () < f(x) (x ) n < 1 2 ( f (n) ) () <. Se x >, temos que (x ) n >, então f(x) <. Se x <, (x ) n <, então f(x) <. Novmente f tem um ponto de inflexão em x = (ver figur 13). 3.2 e é irrcionl Pr função e x centrdo em =, sbemos do exemplo 2 que seu Polinômio de Tylor P n, com resto integrl é: P n, (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 xn ! + e t (x t)n dt Pr um resultdo melhor, iremos supor que x (estimr pr x é nálogo). Sobre o intervlo [, x], o vlor máximo de e t é e x, pois função

46 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES 42 Figur 13 exponencil é crecente, de modo que R = e t (x t)n dt ex (x t) n dt = ex x n+1 (n + 1)!. Como e é proximdmente 2, , temos então que Temos que e x x n+1 (n + 1)! < 3x x n+1 (n + 1)! e x < 3 x e x < e xln3 x < xln3 1 < ln3 Se x >, e < 3. Se x 1, então e x = 1 + x + x2 2! xn + R, onde < R < 3 (n + 1)!. Se quisermos estimr o vlor de e com um erro menor que 1 5, temos que e = e 1 = ! R

47 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES 43 3 onde R (n + 1)!. Assim, bst exigir que: 3 (n + 1)! < Notemos que qundo n = 7 temos (n + 1)! > 1 5, o que não nos tenderá. 3 Porém qundo n = 8 temos (n + 1)! < 1 5. Assim então, temos que e = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! + 1 7! + 1 8! + R, onde R 1 5. Logo, com est tolerânci temos que e = 2, A figur bixo mostr o gráfico d função e x bem como o gráfico de seu Polinômio de Tylor de gru 8. 2 y x 8 1 Exponencil Polinomio de Tylor Teorem 17. e é irrcionl Prov: Sbemos que, pr todo n,

48 CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES 44 e = e 1 = ! + 1 2! R n onde < R n < 3 (n + 1)! Suponh que e sej rcionl, isto é, e =, onde e b são números inteiros b positivos. Sej n inteiro tl que n > b 2. b = ! R n. Se multiplicrmos mbos os ldos por, temos b = ! + R n. Vej que todos os termos diferentes de R n são inteiros (o primeiro termo é inteiro pois n > b). Assim R n é inteiro. Ms de modo que pr n > 3, < R n < 3 (n + 1)!, < R n < 3 n + 1 < 3 4 < 1 Isto é um contrdição, logo e é irrcionl.

49 45 Referêncis Bibliográfics [1] M. Spivk. Clculus. Clculo Infinitesiml, (1977). [2] W. Murer. Curso de Cálculo Diferencil e Integrl., (1967). [3] C. Boyer. Históri d Mtemátic., (1974). [4] A. Sntos, W. Binchini. Aprendendo Cálculo com o MAPLE: Cálculo de um vriável., (22). [5] R. Cournt. Cálculo Diferencil e Integrl., (1952).