Método dos Elementos Finitos Estruturas Planas Articuladas Exercícios Resolvidos

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1 Método dos Eementos Finitos Estrtrs Pns Articds Exercícios Resovidos. orenço, J. Brros Retório 7-DEC/E-5 Dt: Mrço de 7 N.º de páins: 7 Pvrs chve: MEF, Estrtrs Articds Esco de Enenhri Deprtmento de Enenhri Civi Universidde do Minho Azrém, Gimrães - Te Fx E-mi secg@civi.minho.pt

2 Deprtmento de Enenhri Civi Resmo No presente retório present-se picção do Método dos Eementos Finitos (MEF) pr o cáco dos desocmentos nodis, esforços ns brrs e recções dos poios em estrtrs pns birticds (treiçs). Se o peso próprio dests brrs for desprezdo, ests ficm sbmetids pens esforços xiis, estndo sjeits extensões sendo o se eixo, isto é, todos os pontos de m determind secção d brr sofrem o mesmo desocmento, preo o eixo d brr. A seecção dos exercícios presentdos vis exempificção e discssão de spectos qe os tores jm fndmentis pr picção do MEF em estrtrs pns birticds. Os qtro exercícios presentdos têm diferentes objectivos: - No primeiro exercício m estrtr pn, constitíd por brrs birticds de secção constnte, é discretizd por eementos de dois nós; expõem-se os pssos necessários pr obtenção d mtriz de riidez de m estrtr e do vector ds forçs nodis eqiventes às cções ctntes. D resoção do sistem de eqções, obtêm-se os desocmentos nodis e recções nos poios. Por útimo, são obtidos os esforços ns brrs. No primeiro exercício tods s brrs são discretizds peo mesmo tipo de eemento finito. Contdo, discretizção de brrs pode ser efectd por intermédio de m mior número de eementos o de eementos com mior número de nós. O exercício tem por objectivo tender este ssnto. Trt-se de m estrtr constitíd pens por m brr de secção constnte, onde se nism os restdos obtidos trvés d discretizção d mesm recorrendo m eemento de dois nós, dois eementos de dois nós e m eemento de três nós. O exercício sre como compemento o exercício nterior. Contdo, o exercício é dedicdo o cso de m brr de secção vriáve. Discte-se necessidde de recorrer m discretizção d brr por m mior número de eementos de form obter-se m soção mis proximd d exct. 4 Por útimo, e pr m estrtr pn constitíd por brrs birticds, de secção constnte e vriáve, sere-se o cáco de ns coeficientes d mtriz de riidez d estrtr, ms inhs do vector soicitção e o cáco dos esforços presentes nm ds brr prtir dos desocmentos nos nós. Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

3 Deprtmento de Enenhri Civi Exercício Considere-se treiç pn representd n Fir, discretizd com m eemento de dois nós em cd brr. Pretende-se conhecer os desocmentos nodis, os esforços ns brrs e s recções nos poios (ddos: EA 5 kn / m ). 5º F [C] [E] 5 [B] 4 [A] [D] Fir Treiç Pn O primeiro psso pr resoção do exercício pss pe discretizção de cd m ds brrs d estrtr com eementos de dois nós, como serido. Estndo pernte m estrtr rticd pn discretizd em cinco eementos e qtro nós, e ddo existirem dois rs de iberdde por nó, estrtr present oito rs de iberdde nodis. N Fir presentm-se os rs de iberdde nodis referidos, no referenci er. () () (5) () (4) Fir Grs de iberdde nodis Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

4 Deprtmento de Enenhri Civi ) Cáco d mtriz de riidez d estrtr Seidmente procede-se o cáco d mtriz de riidez d estrtr, sendo pr isso necessário ccr mtriz de riidez dos eementos qe constitem. A mtriz de riidez de m eemento enérico de pórtico pno é constitíd pe som ds mtrizes de riidez retivs à deformção xi, fexão e corte: f c () em qe f [ B ] [ B f ] T T EAB EI B [ ] T ( B ) c G A f d d () () c Bcd (4) Ddo estr-se nisr m treiç, únic deformção possíve é xi, peo qe * (5) com, d ds (6) Assim, T [ B ] EAB ds (7) A mtriz B, pr m nó enérico de n nós é dd por: dn dn dnn B... (8) ds ds ds peo qe, pr o cso de m eemento de dois nós, (7) pss presentr o seinte formto Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 4/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

5 Deprtmento de Enenhri Civi ( ) e dn ds dn dn ds dn EA (9) ds ds ds Pr se concir o cáco d mtriz de riidez do eemento de dois nós, é ind necessário conhecer s derivds ds fnções de form. A fnção de form pr m nó enérico i é dd por n s s j N i ( s) () j ( j i) si, s j Pr m eemento rneno de dois nós, s e s, peo qe se obtém N ( s ) ( ) ( ) s s s ( s ) () s s ( s ) Atendendo () e (), obtém-se ( ) ( ) s s s N s s ( s ) () dn ds dn ds () (4) Sbstitindo () e (4) em (9) temos ( ) e EA ds (5) o Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 5/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

6 Deprtmento de Enenhri Civi ( ) e EA ds (6) Sendo o módo de esticidde do mteri qe constiti brr e áre d secção trnsvers dest constntes, rest ( ) e EA ds (7) O cáco do inter presente em (7) será efectdo por intermédio d interção nméric de Gss eendre. Pode, contdo, ser efectdo niticmente. O primeiro psso pr interção nméric de Gss eendre pss por determinr o número de pontos necessários (pontos de interção de Gss) qe permite ccr, de form exct, o inter. Sbe-se qe, com n pontos de Gss, se inter, de modo excto, m poinómio de r n-; sbe-se tmbém qe nos pontos de m qdrtr de Gss-eendre de ordem n, m poinómio de r n e otro de r n- tomm o mesmo vor. Como fnção interr é m poinómio de r zero, tiizção de m único ponto de interção (PI) é sficiente ( tiizção de ponto de interção, n, permite interção de m poinómio de r o inferior, x-). A Tbe inci o número de pontos de interção necessários pr interção de fnções poinomiis de r 5, bem como s coordends normizds dos pontos de interção doptr e os respectivos pesos, W i. Número de pontos de interção n Tbe Interção Nméric de Gss eendre Gr do poinómio n- Coordends normizds dos pontos de interção s i Pesos W i /9 8/9 5/9 Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 6/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

7 Deprtmento de Enenhri Civi A interção nméric d fnção interr é efectd trvés do somtório de n prces (reembr-se qe n é o número de pontos de interção). As referids prces são obtids mtipicndo fnção interr (onde s é sbstitído pe coordend normizd do respectivo ponto de interção), peo respectivo peso, W i. Utiizndo interção nméric de Gss eendre pr resover expressão presentd em (7), EA (8) Conci-se, ssim, qe mtriz de riidez de m eemento finito de dois nós, no se referenci oc, considerndo pens deformção xi e dmitindo módo de esticidde e secção constntes o ono d brr, é dd por: Atendendo os ddos fornecidos no enncido do probem, EA (9) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5) () Ddo existirem eementos com referenciis ocis qe não coincidem com o referenci er d estrtr, é necessário trnsformr mtriz de riidez dos eementos pr m único referenci, o er. Pr t recorre-se à mtriz de trnsformção qe recion desocmentos e forçs entre os referenciis oc do eemento e er d estrtr. Pr m eemento de m estrtr rticd bidimension mtriz qe converte estes ddos do referenci oc pr o er d estrtr tem o seinte formto (in Brros, 5 - Método dos desocmentos - páins 4. e 4.4): T T () T Em qe Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 7/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

8 Deprtmento de Enenhri Civi Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 8/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57 α α α α cos cos ) ( sen sen T e i () é mtriz qe trnsform os rs de iberdde do nó i do referenci oc pr o er. Pr os eementos d estrtr em estdo, s correspondentes mtrizes de trnsformção terão o seinte formto: (5) () T T () () T (4) () T (5) (4) T (6) A mtriz de riidez de m eemento finito enérico e no referenci er d estrtr é obtid por intermédio de [ ] T e e e e T T ) ( ) ( ) ( ) ( (7) em qe:

9 Deprtmento de Enenhri Civi e ) ( - é mtriz de riidez de m eemento finito no referenci er; (e) T - é mtriz de trnsformção do referenci oc do eemento pr o er d estrtr; e ) ( - é mtriz de riidez de m eemento finito no se referenci oc; e [ T ] ) T ( - é trnspost de e T ( ). A mtriz de riidez do eemento finito qe discretiz brr, no referenci er d estrtr, é obtid trvés de (7), tendendo () e (). ( ) (8) () A mtriz de riidez dos restntes eementos é obtid de form simir o presentdo em (8) () (9) () () (4) () 5 Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 9/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

10 Deprtmento de Enenhri Civi (5) () Seidmente, procede-se o esphmento ds mtrizes de riidez (8) () dos eementos, no referenci er, n mtriz de riidez d estrtr. Com o intito de simpificr o processo de esphmento, mtriz de riidez do eemento no referenci er é decompost em qtro sbmtrizes, cjos coeficientes estão reciondos com o nó esqerdo do eemento, e, e/o com o nó direito, d, isto é: ee ed ( e de ) dd () O esphmento ds mtrizes de riidez dos eementos n mtriz de riidez d estrtr está presentdo em (4). E () ee () ee () de () de () de () ee () ed () (4) dd ee (4) de () dd () ed (4) ed (4) dd (5) de (5) ee () ed (5) ed () dd (5) dd (4) Sbstitindo em (4) os vores presentdos em (8) (), e tendendo (), rest E E (5) Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

11 Deprtmento de Enenhri Civi A mtriz de riidez tem dimensão [8x8], isto é, 8 inhs e 8 cons, i o número de rs de iberdde d estrtr. b) O vector soicitção d estrtr Como n estrtr em náise é desprezdo o peso próprio d estrtr, únic soicitção presente é de m cr pont picd directmente nm nó, como presentdo n Fir. Assim: Q E 5 cos 5º.87 5 sin 5º 86.4 [ kn] (6) c) Os desocmentos nodis d estrtr O cáco dos desocmentos nodis é efectdo prtir d resoção do seinte sistem de eqções de eqiíbrio: E E E Q U (7) Pr os rs de iberdde impedidos (poios d estrtr), o desocmento é conhecido (desocmento no o i m event ssentmento de poio), sendo no entnto desconhecido o vor d recção do respectivo poio. Neste sentido, eqção (7) é ornizd de form seprr s eqções ssocids rs de iberdde ivres (sbíndice ) ds eqções correspondentes rs de iberdde fixos (sbíndice f). Q E, Q R E, f E E, E, f E, f E, ff U U E, E, f (8) em qe R E é o vor ds recções. Desenvovendo primeir prte de (8) rest: Q E E, U E, E, f U, E, f (9) D resoção de (9) obtém-se o vector dos rs de iberdde ivres, E U,. Sbstitindo em (9) os vores presentdos em (5) e (6) e tendendo os ddos do probem retivmente os desocmentos nos rs de iberdde impedidos, obtém-se: Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

12 Deprtmento de Enenhri Civi U E, E, f (4) do q rest U E , [ m] (4) Assim, o vector dos desocmentos dos nós d estrtr present o seinte formto U E [ m] (4) As recções nos poios d estrtr, (8). R E, são obtids trvés d resoção d send eqção de Q R E E f E, f U E, E, ff U, E, f (4) R 5 R 4 5 R 7 5 R E, ff (44) Com resoção do sistem de eqções obtemos s recções nos poios d estrtr. R R R R [ kn] (45) Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

13 Deprtmento de Enenhri Civi d) Os esforços n brr A A tensão instd nm eemento é obtid por intermédio d ei de Hooke, o sej, mtipicndo extensão, ε, peo vor do módo de esticidde do mteri, E. Por s vez, o esforço xi instdo nm eemento é obtido mtipicndo tensão, σ, pe áre d secção trnsvers do eemento, A. A brr A foi discretizd peo eemento. Pr determinr extensão n brr A é necessário determinr os desocmentos dos nós do eemento no se referenci oc. No referenci er o vector dos desocmentos dos nós ns extremiddes do eemento tem o seinte formto: [ m] (46) U ( ) Os desocmentos nodis do eemento no referenci oc do próprio eemento obtêm-se prtir d seinte eqção U () T () [ T ] U (47) Sbstitindo () e (46) em (47) [ m] (48) U ( ) Assim, se os nós esqerdo e direito do eemento sofrerm desocmentos xiis, respectivmente, de ( ) e e ) d (, extensão ocorrid no eemento, de comprimento é 5 () () () d e ε 9.56 (49) A tensão no eemento é (dmitindo E GP) 6 5 σ E ε kp (5) Restndo pr o esforço xi o vor seinte: Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

14 Deprtmento de Enenhri Civi σ N σ σ kn A (5) Not: EA Exercício 5 5 A E m. N Fir está representd m brr birticd de secção trnsvers circr, soicitd por m forç pont n extremidde direit d brr, n direcção do se eixo, e m cr niformemente distribíd o ono de tod brr. Admitindo pr módo de esticidde, E, o vor de GP, pr rio d secção, r, o vor de.5 m, e considerndo qe forç pont picd n extremidde direit d brr é de 5 kn, e qe cr niformemente distribíd, q, é de 5 kn/m, pretende-se ccr os desocmentos nodis e recção no poio. q S Q x, Secção ss S Fir Brr birticd Propõe-se qe o exercício sej resovido procedendo três níveis de discretizção d brr: e eementos finitos de dois nós e m eemento finito de três nós. ) Discretizção d brr birticd por m eemento de dois nós N Fir 4 present-se discretizção d brr rticd trvés de m eemento de dois nós. Pr resoção deste probem, doptr-se-á, or de form mis céere, os procedimentos doptdos pr resoção do exercício, com s necessáris dptções. q x, Q () Fir 4 Brr birticd discretizd por m eemento de dois nós Admitindo somente m r de iberdde (n direcção do eixo d brr) por cd nó, mtriz de riidez do eemento é dd por, Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 4/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

15 Deprtmento de Enenhri Civi ( ) e dn ds dn dn EA ds dn ds ds (5) ds Atendendo o fcto d estrtr ser discretizd pens por m eemento, e ddo qe o referenci oc do eemento coincide com o referenci er d estrtr, tem-se (e) E (5) Simpificndo expressão (5) e tendendo (5), obtém-se mtriz de riidez d estrtr. () EA E (54) Procede-se, seidmente, o cáco do vector ds forçs nodis eqiventes. D mesm form, tendendo o fcto d estrtr ser discretizd pens por m eemento, e ddo qe o referenci oc do eemento coincide com o referenci com o referenci er d estrtr, tem-se qe () Q E Q (55) onde o vector ds forçs nodis eqiventes à cr distribíd por nidde de comprimento, q, qe ct nm determindo eemento (e), obtém-se de Q N T q J ds (56) o sej Atendendo () e (), (57) redz-se N ( ) Q e [ q ] N ds (57) ( q ) () () Q Q E (58) D resoção do sistem de eqções presentdo em (7), Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 5/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

16 Deprtmento de Enenhri Civi EA () q R q Q (59) rest ; q Q EA Atendendo os ddos fornecidos no enncido, ; ( Q q ) R (6) ; m; R 45 kn (6) b) Discretizção d brr birticd por dois eementos de dois nós N Fir 5 present-se discretizção d brr rticd trvés de dois eementos de dois nós. q () q () Q x, Fir 5 Brr birticd discretizd por dois eementos de dois nós A mtriz de riidez dos eementos finitos no referenci er d estrtr (neste cso, o referenci oc dos eementos coincide com o referenci er d estrtr) é dd por (54). Contdo, estndo pernte mis do qe m eemento, é necessário proceder o esphmento ds mtrizes de riidez dos eementos n mtriz de riidez d estrtr. Procedendo esse esphmento, rest: EA EA () () EA () () EA EA () EA () EA EA E (6) Esphndo o vector ds forçs nodis eqiventes de cd eemento no vector ds forçs nodis eqiventes d estrtr rest: () () Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 6/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

17 Deprtmento de Enenhri Civi Q E () q () q q () q () (6) D resoção do sistem de eqções presentdo em (7): () EA EA () EA () EA EA () EA () () EA EA () () () q R () q q () q Q () (64) obtém-se ; q Q EA 4 EA ; ( Q q ) ; ( Q q ) Atendendo os ddos fornecidos no enncido rest R (65) ; m; m; R kn (66) c) Discretizção d brr birticd por m eemento de três nós N Fir 6 present-se discretizção d brr rticd trvés de m eemento de três nós. q Q () x, Fir 6 Brr birticd discretizd por m eemento de três nós Estndo estrtr discretizd pens por m eemento finito, e sendo o referenci oc do eemento coincidente com o referenci er d estrtr, mtriz de riidez d estrtr coincide Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 7/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

18 Deprtmento de Enenhri Civi com mtriz de riidez do eemento e o vector ds forçs nodis eqiventes d estrtr coincide com o vector ds forçs nodis eqiventes o eemento. Atendendo o fcto de se trtr de m eemento finito de três nós, é necessário definir s fnções de form pr m eemento deste tipo. Atendendo (), e sbendo qe, pr m eemento rneno de três nós, s, s e s, temos N N ( s ) s( s ) (67) ( s ) ( s ) ( s ) (68) N ( s ) s( s ) (69) A mtriz de riidez é dd por: ( ) e dn ds dn dn EA ds ds dn ds dn ds dn ds ds (7) Recorrendo dois Pontos de Interção de Gss eendre pr efectr interção nméric de (7) rest: () 4 6 () EA E (7) O vector ds forçs nodis eqiventes é ddo por Sbstitindo por (67) (69) em (7) N ( ) Q e N [ q] ds N (7) Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 8/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

19 Deprtmento de Enenhri Civi ( ) Q e Efectndo interção obtém-se s( s ) ( s )( s ) s ( s ) q Q 4 Q [ q ] ds E (7) (74) Com resoção do sistem de eqções (7), () EA q R 6 q q Q 6 (75) e tendendo os ddos fornecidos no enncido, obtém-se: ; m; m; R 45 kn (76) Sient-se qe os restdos obtidos recorrendo à discretizção d brr birticd por m eemento de três nós são iis os obtidos trvés d discretizção por dois eementos de dois nós. Exercício O Exercício é mito semehnte o exercício nterior. Contdo, brr birticd present secção vriáve, como presentdo n Fir 7. A A exp(-x /) S Q x, Secção ss S Fir 7 Brr birticd de secção vriáve Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 9/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

20 Deprtmento de Enenhri Civi Propõe-se, pr resoção do probem, discretizção d brr em m, dois e três eementos de dois nós, tendo cd eemento secção constnte i à reistd no centro do eemento. ) Discretizção d brr birticd de secção vriáve por m eemento de dois nós N Fir 8 present-se brr birticd de secção vriáve discretizd por m eemento de dois nós. R () Q x, / / Fir 8 Brr birticd de secção vriáve discretizd por m eemento de dois nós A mtriz de riidez do eemento é semehnte (5). N presente bordem dmite-se qe áre d secção trnsvers do eemento é constnte o ono do eemento, i à qe se obtém no centro do eemento. Assim, Sendo o vector soicitção do eemento, () E A e E A.665 (77) R ( (78) Q Q ) D resoção do sistem de eqções de eqiíbrio: E A R.665 (79) Q rest Q ; R Q (8) E A b) Discretizção d brr birticd de secção vriáve por dois eementos de dois nós N Fir 9 present-se brr birticd de secção vriáve discretizd trvés de dois eementos de dois nós. Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

21 Deprtmento de Enenhri Civi R () () Q x, /4 /4 /4 /4 Fir 9 Brr birticd de secção vriáve discretizd por m eemento de três nós Atendendo à existênci de dois eementos, é necessário ccr mtriz de riidez dos eementos finitos qe discretizm estrtr. Admitir-se-á qe os eementos têm secção constnte, i à obtid no centro de cd m dos eementos, peo qe: () E A.5576 (8) () E A.9447 (8) Procedendo-se o esphmento ds mtrizes de riidez dos eementos, obtém-se mtriz de riidez d estrtr: E A E (8) Do esphmento do vector ds forçs nodis eqiventes de cd eemento no vector soicitção d estrtr rest: R Q E (84) Q D resoção do sistem de eqções de eqiíbrio: R E A (85) Q rest Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

22 Deprtmento de Enenhri Civi Q. 75 ; R Q (86) E A c) Discretizção d brr birticd de secção vriáve por três eementos de dois nós N Fir present-se brr birticd de secção vriáve discretizd por três eementos de dois nós. R () () () 4 Q x, 4 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Fir Brr birticd de secção vriáve discretizd por três eementos de dois nós Resovendo de form simir às ínes nteriores, obtém-se o seinte sistem de eqções: R E A (87) Q Restndo d s resoção, Q ; R Q (88) E A A soção exct do probem pss pe considerção de qe brr tem secção vriáve o ono do se comprimento, peo qe no inter do cáco d mtriz de riidez, A deve ser sbstitíd pe correspondente fnção, restndo, e dn dx dn dn E E dn dx dx ( A exp( x ) ) dx (89) dx R Q E (9) Q Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

23 Deprtmento de Enenhri Civi peo qe, d resoção do sistem de eqções de eqiíbrio rest: Q. 788 ; R Q (9) E A Anisndo os restdos verific-se qe discretizção de m brr birticd com m número distinto de eementos ev restdos diferentes. Contdo, verific-se qe, se discretizção d estrtr é efectd com m mior número de eementos, menor é o erro cometido (ver Fir ). Q eemento E A 4.% Q. 75 eementos E A.% Q eementos E A.5% Soção Q. 788 exct E A Erro do desocmento d extremidde (%) 4.5 Número de eementos Fir Evoção do erro do desocmento d extremidde ivre d brr com o número de eementos Exercício 4 A Fir represent m estrtr constitíd por ds brrs birticds [A] e [B]. kn [A] E GP Diâmetro,m [A] Diâmetro,m 4m [B] 5 kn/m Diâmetro,m E GP [B] Diâmetro,m 4m Fir Estrtr birticd Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - /7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

24 Deprtmento de Enenhri Civi ) Utiizndo m eemento finito de três nós pr discretizr cd m ds brrs rticds [A] e [B] d estrtr, identifiqe os rs de iberdde dos nós d estrtr. Os rs de iberdde considerdos são os representdos n Fir. Os rs de iberdde estão no referenci er d estrtr ( i j com j,, sendo i o número do nó). [A] 4 4 [B] 5 5 Fir Discretizção e identificção dos rs de iberdde nodis d estrtr b) Cce os termos d mtriz de riidez retivos os rs de iberdde do nó d estrtr, tiizndo interção nméric de Gss eendre. A fnção de form do nó de m eemento de três nós é dd por (69). A derivd d referid fnção de form é dn ds s (9) Admitindo (), ms considerndo qe n presente estrtr pens ocorre deformção xi ns brrs, obtém-se (7). Sendo somente pedido os termos d mtriz de riidez retivos o nó d estrtr, é sficiente o cáco dos termos d mtriz de riidez no referenci oc retivos o nó d direit (nó ) de mbos os eementos. Assim, EA dn ( A ) ds ds 4 π. dn s ds 6 ( A ) [ s ] ds (9) Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 4/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

25 Deprtmento de Enenhri Civi Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 5/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57 ( ) ) (.5.75 ds ds dn s ds dn E B π ( ) [ ] 6 ) ( ds s s s B π (94) Utiizndo interção nméric de Gss eendre (ver Tbe ), e sbendo qe A ) ( constiti m poinómio de r e B ) ( m poinómio de r 4, tem-se: 4. 6 ) ( π A ) ( A (95) Onde os termos d mtriz de riidez retivos o nó d direit do eemento [A] são, [ ] m kn A 877. ) ( (96) Adoptndo procedimento idêntico pr o eemento [B], ( ) [ ] ) ( π π π B ) ( B (97) Onde os termos d mtriz de riidez retivos o nó d direit do eemento [B] são,

26 Deprtmento de Enenhri Civi [ kn m] (98) ( B ) A mtriz de riidez de m eemento finito enérico e no referenci er d estrtr é obtid por intermédio de (7). Neste sentido, cos 45 sin cos 45 sin E, (99) sin 45 cos 45 sin 45 cos 45 E , [ kn m] () c) Determine s forçs no nó d estrtr eqiventes às cções ctntes As forçs no nó d estrtr eqiventes às cções ctntes são dds por: T Q T B N q ds [ kn] () retivmente à cr niformemente distribíd n brr [B] e cr pont picd no nó d estrtr. Q E cos 45 sin 45 N 5 ds sin 45 cos 45 N () Q E cos 45 sin 45 s ( ) s 5 ds sin 45 cos 45 s ( ) s () Q E.... [ kn] (4) d) Admit qe, pr m determindo crremento, os desocmentos dos nós do eemento A U (m). qe discretiz brr [A] são [ ] Cce os esforços no ponto de interção mis próximo do poio (dmit dois pontos de interção pr efeito de cáco de esforços nesse eemento). O esforço xi em qqer ponto d brr é ddo por: T Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 6/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57

27 Deprtmento de Enenhri Civi N E A ε (5) Com extensão xi ccd trvés de (6). Not: o cáco d extensão xi poderi ser efectdo trvés de (49). [ A] ε B U (6) Sbstitindo mtriz enncido do exercício, temos qe B e dmitindo os vores de desocmento dos nós presentdos no ε ( ) ( )( ) ( ).8 s s s s s s (7) 6.66 O ponto de interção mis próximo do poio, dmitindo dois pontos de interção, é Assim, s. ( ).8 ε s s s. 595 (8) 6.66 O esforço xi no ponto de Gss referido seri de. kn. Método dos Eementos Finitos Estrtrs Articds Pns Exercícios Resovidos - 7/7 Azrém Gimrães Te. (5) 5 5 Fx (5) 5 57