Capítulo 5 Vigas sobre base elástica

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1 Cpítuo 5 Vigs sobre bse eástic Este cpítuo vi presentr s bses pr o estudo estático e eástico d fexão simpes de vigs suportds diretmente peo terreno (ue constitui, então, num poio eástico contínuo pr ests vigs), de trihos de estrds de ferro (suportdos por dormentes ue, devido à peuen distânci entre estes em reção o comprimento tot, podem ser considerdos como um poio eástico contínuo), de estcs verticis submetids crgs horizontis em seu topo (o terreno em contto com o fuste ds estcs será o poio eástico contínuo) e de uisuer outros tipos de peçs cujos poios eásticos possm, com precisão stisftóri, ser considerdos contínuos. 5.. Vigs de comprimento infinito O poio eástico (soo) exerce sobre vig, em cd seção, um reção de poio proporcion o desocmento vertic sofrido por est seção, igu K, sendo K constnte de mo do meio eástico ue serve de poio. hipótese simpes de ue reção contínu d bse sej proporcion o fundmento, é um proximção stisftóri em muitos csos d prátic (exempo ds estrds de ferro comprovção experiment). e curv eástic d vig, tem-se eução diferenci, d z EI () onde represent intensidde d crg ue tu n vig. r um trecho sem crg, únic forç ue tu é reção distribuíd continumente do do d bse e ue tem intensidde K. sendo k., Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

2 EI Z d k. () Fzendo K EI Z soução ger d eução cim pode ser escrit d seguinte form, e x x (.cosx B.senx) e ( C.cosx D.senx) () Nos csos prticures, s constntes rbitráris, B, C e D d soução devem ser determinds por meio de condições em certos pontos tução de um crg concentrd upondo, como exempo, um únic crg concentrd tundo num vig infinitmente ong. O origem ds coordends / imetri consider-se pens metde d vig Usndo soução ger () pr este cso, determinm-se s constntes rbitráris. dmitindo-se ue o desocmento vertic e s curvturs, em pontos infinitmente distntes d forç, são iguis zero, tem-se B. Logo, e x ( C.cosx D.senx) () Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

3 s constntes C e D devem ser determinds pes condições n origem, ou sej, x. Neste ponto, inh eástic deve ter tngente horizont, d X (5) Em () tem-se, d x.e d X C D C D ( C.cosx D.senx C.senx D.cosx) eução () torn-se: C.e x ( cosx senx) (6) s derivds consecutivs dess eução são: d Ce x senx (7) d Ce x ( senx cosx) (8) d Ce x ( cosx) constnte C pode ser obtid pe condição de ue o cortnte em x, é igu (9) pr prte direit d vig. r isso, torn-se necessário sber ue: d, EI d V e EI d. EI Q x d X d EI z X Z EI. C C 8 EI Z Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

4 Logo ns euções (6) e (8) respectivmente, tem-se: x K.e ( cosx senx) com 8 EI EI Z Z e K x ( cosx senx) (eução d curvtur) () EI Z d e x ( senx cosx) (eução do momento) () r simpificr, tem-se s euções de funções uxiires seguir: ( cosx sen x) ϕ e x ( senx cos x) e x e x cosx ξ e x senx () () () (5) ϕ x x x ξ x π π EI k Z comprimento de ond ddo peo período ds funções cosx e senx Que fornecem então: Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

5 ϕ( x) (6) k d ξ ( x) (7) k d EIZ ( x) (8) d EIZ ( x) (9) Q Convenção de sinis: e ositivos p/ bixo e Q Convenção cássic de sinis tbe presentd seguir uxii no cácuo do desocmento, d curvtur, do momento e do cortnte fornecendo os vores serem substituídos ns euções nteriores (6) e (9): Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 5 de

6 x ϕ ξ Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 6 de

7 Exempo 5. Obter os desocmentos verticis e os momentos fetores tuntes sob os pontos de picção ds crgs de 5kN indicds bixo pr vig infinit cuj rigidez à fexão EI é igu kn.m e ue se pói sobre um meio eástico cuj constnte de mo é k x kn/m. 5kN oução:. KN m K EI. KN.m m m Escohendo pr origem do sistem de coordends primeir ds crgs concentrds, tem-se prtir d tbe bixo, empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, ue: Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 7 de

8 x φ,58,667 -, -,8 -,79 -,56 5kN. m ( x) (,8,79,56) 8,7kN. m δ δ ϕ k 5kN. ( x) m (,58,667,) δ,957m.. kn/ m 5kN. m ( x) ( (,8),79) 7,9kN. m ϕ k 5 ( x) ( (,58),667) δ,m.. Devido simetri existente (pois vig é infinit), os vores encontrdos pr s seções O e são tmbém váidos pr s seções O' e ', respectivmente tução de um crg uniformemente distribuíd ej um vig d figur bixo submetid um crg uniformemente distribuíd O desocmento em C, produzido por um eemento d crg é obtido substituindo-se por n eução (), 8 EI Z e x ( cosx senx) será: O desocmento em provocdo pe crg distribuíd o ongo do comprimento Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 8 de

9 x x e ( cosx senx) e ( cosx senx) 8 EI Z b ( e cos e cosb) b 8 EI Z () k r vores de e b grndes, os vores de e - e e -b serão peuenos e o desocmento será igu proximdmente /k, ou sej, em pontos muito fstdos ds extremiddes d prte crregd d vig, fexão d brr pode ser desprezd e pode-se dmitir ue crg uniformemente distribuíd é trnsmitid diretmente à bse eástic. Comprndo-se eução () com eução () e observndo-se s euções () (5), tem-se, e K x ( cosx senx) (eução d curvtur) () [ ( ) ( b) () k d [ ϕ( ) ϕ( b) () k [ ξ ( ) ξ ( b) () Q [ ( ) ( b) () λ upondo gor um seção situd for do trecho compreendido sob o crregmento. eguindo-se o mesmo procedimento dotndo nteriormente, tem-se, Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 9 de

10 e k b x b ( cosx senx) ( e cos e cosb) k Logo, utiizndo-se s euções () (5), tem-se, [ ( ) ( b) (5) k d [ ϕ( ) ϕ( b) (6) k [ ξ ( ) ξ ( b) (7) Q [ ( ) ( b) (8) 5... tução de um crg momento ej vig infinit bixo submetid à tução de um crg momento picd n origem, ode-se fzer o probem recir no cso de crg concentrd substituindo-se crg momento por um binário com tendendo pr zero. ( x) im { ϕ( x) ϕ[ ( x ) } k ϕ[ ( x ) ϕ( x) ( x) im k Entretnto, sbe-se ue, f im h ( x h) f( x) h Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

11 [ ( ) d ϕ x ( x) k k k ( x) [ ξ( x) ξ( x) (9) k ( x) ξ( x) d ( x) () k () ( x) ( x) () Q ( x) ϕ( x) Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

12 Exempo 5. Obter o desocmento e o momento fetor no ponto d vig infinit bixo sbendo-se ue EI x 9 N.mm e 6, x - mm -. 5 N/mm x kn.m b oução: ) Crg concentrd kn ϕ k ϕ ( x) ( x) K k EI EI 6xx k mm k,7n/ mm xxx 9 N.mm onto x x x6,x,5mm (,7) x x,97kn. m x6,x ) Crg distribuíd k [ ( ) ( b) 5 x,7,6mm x [,777,9 [ ξ( ) ξ( b) 5 6,8kN.m ( ) (,89,9) 6,x 6,x, x76,9 b 6,x x58,7 b,,777 ξ ξ ( ) ( b),9 ( ),89 ( b), 9 Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

13 5.. Vigs semi-infinits 5... Vigs semi-infinits com bordo ivre ej vig semi-infinit cim, submetid o crregmento indicdo, ue se desej resover. rocur-se então mneir pe u pode-se fzer com ue su resoução reci n soução de um vig infinit (probem resovido nteriormente). r resover vig infinit cim (sem e ) consider-se su diferenç estátic d vig semi-infinit como sendo existênci em, de um momento fetor e de um esforço cortnte Q ue mntém continuidde entre os trechos semi-infinitos d vig à esuerd e à direit de. e Q, euive dizer ue não existe ção estátic d prte (crregd) d vig à direit de sobre prte (descrregd) d vig esuerd de, ue não estri, então, trbhndo. Deste modo, fzendo desprecer e Q pr vig infinit, su resoução será idêntic d vig semi-infinit inici. Isto pode fcimente ser conseguido picndo-se à vig infinit, em es, um crg vertic e um momento tis ue promovm o precimento, em, de um momento fetor (- ) e de um esforço cortnte (-Q ) ue tornem intiv prte d vig infinit à esuerd de. Dest form, Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

14 (com x ) ( x) ( x) ( x) ϕ( x) Q Obtendo-se então, (. Q ) ( Q ) ssim, resoução d vig semi-infinit será resoução d vig infinit submetid o crregmento d semi-infinit, crescido ds crgs e definids cim, tuntes em es. Exempo 5. Resover vig semi-infinit bixo: oução: Q ( x) ( x) x fim de evitr probems com condições de contorno, supõese picdo em DIR, pr determinção de e. Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de

15 ubstituindo-se ns euções () e () Q / Logo ϕ k ϕ k d d ϕ k Q k ( x) ξ ( x) k ( x) ξ ( x) ( x) ξ k ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ξ ( x) k k ( x) ϕ( x) ( x) Exempo 5. r vig semi-infinit bixo, submetid o crregmento indicdo, obter o momento fetor sob o ponto de picção d crg. Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 5 de

16 Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 6 de oução: O momento fetor pedido pode ser obtido prtir d vig infinit bixo onde e podem ser obtidos trvés ds euções () e () ( ) e ( ) Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ Logo, o momento tunte sob crg, picndo-se o princípio d superposição dos efeitos será, () ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) [ ( ) B ( ) ( ) [ B

17 5.. Vigs Finits 5... Cso de bordos ivres s crgs,, B e B são picds em es e B dir respectivmente. s prtes à esuerd de e à direit de B ds vigs infinits ficm inertes. endo então Q,, Q B e B os esforços cortntes e momentos fetores tuntes, n vig infinit, ns seções e B, devidos o mesmo crregmento ue o picdo n vig finit, s crgs O, O, OB e OB devem stisfzer às condições: B B () ( ) () ( ) B o B () ( ) ϕ() ϕ( ) B B ( ) () ( ) () Q B B ( ) () ϕ( ) ϕ() B Q B Heténi propôs um rtifício de combinção de crgs trnsformndo o sistem de euções com incógnits em sistems independentes de euções e incógnits. Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 7 de

18 Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 8 de ) Cso simétrico (Q em e B e e Q ) () ( ) [ () ( ) [ () ( ) [ () ( ) [ Q ϕ oução: ( ) ( ) [ ( ) [ { } ( ) ( ) [ ( ) [ { } ϕ Q Es Q Es Onde ( ) ( ) [ ( ) [ ( ) [ ( ) [ ( ) ( ) ϕ sen senr e E E

19 b) Cso nti-simétrico E E { [ } { Q [ [ ( ) } ( ) Q ( ) [ ϕ( ) ( ) ( ) Onde E E ( ) ( ) [ ( ) [ ( ) [ ϕ( ) [ ( ) e ( senh sen) Exempo 5. Ccur o desocmento vertic e o momento fetor sob crg pr vig finit de bordos ivres com. oução: Como o crregmento é simétrico, deve-se utiizr pens s euções d prte simétric obtids nteriormente. Q e ddos por: ( ) [ ( ) [ ϕ( ) Es Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin 9 de

20 Cp. 5 Vigs sobre bse eástic ágin de ( ) ( ) [ ( ) [ λ Es como,,5,9 Empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, tem-se: () () k k K c c ξ ϕ ϕ como c EJ, k, EJ,5 c, c